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第二十二章一元二次方程
第四课
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：
一、学习内容：公式法解一元二次方程。
二、学习目标：1、巩固直接开平方法、因式分解法、配方法；
2、会用公式法解简单的一元二次方程；
三、学习过程：
我们已经学习的解一元二次方程的方法有 、 、 。
探 索
我们来讨论一般形式的一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
因为a≠0，方程两边都除以a，得
x2＋ x＋ ＝0
移项，得 x2＋ x＝－
配方，得 x2＋2·x·＋( )2＝( )2－
即 (x＋ ) 2＝
∵a≠0，∴4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得
x＋ ＝±
∴ x＝-±,
即 x＝.
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
例1:解下列方程:
(1) 2 x2＋x－6＝0 (2) x2＋4x＝2
解 (1) a＝2，b＝1，c＝-6，
∵b2－4ac＝ 2－4× × ＝ ＝
∴x＝＝＝
∴原方程的解是 x1＝ ，x2＝ .
(2)将方程化为一般式，得x2＋4x－2＝0
∵ b2－4ac＝
∴ x＝＝-2±
∴原方程的解是 x1＝-2＋ ，x2＝-2－
(3)5x2－4x－12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
解： (3) ∵ b2－4ac＝
∴ x＝＝＝
∴原方程的解是 x1＝-，x2＝
(4)整理，得 4x2－12x＋9＝0.
∵ b2－4ac＝0，
∴x＝
∴x1＝x2＝-
四、分层练习：A组：
1、解下列方程：
(1) x2－6x＋1＝0 (2) 2x2－x＝6
解：
(3) 4x2－3x－1＝x－2 (4) 3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1)
解：4x2－ x+1＝0 3x2－ x＝ 2x2－
x2－ x+2＝0
(5) 2x2－6x－3＝0 （6） x（x＋5）＝24
解：
（7）a（a－2）－3a2＝0； （8）x（x＋1）＋2（x－1）＝0.
B组
1、用适当的方法解下列方程：
（1）x2－10x－12＝0 （2） 3x2－16x+5＝0
2、用公式法解方程2x2+2a2＝(4a+1)x ()
解： 2x2-(4a+1)x +2a2＝0
b2－4ac＝[-(4a+1)]2-4×2×2a2=
∵
∴ b2－4ac= ≥0
∴ x＝＝
∴原方程的解是 x1＝ ，x2＝
3、已知m是方程x2+x－1＝0的正根，求m+的值
解：∵ m是方程x2+x－1＝0的正根
∴ m2+m－1＝0
∴m＝
∴m=
∴m+=
C组:
已知则ax2+bx+c＝0的根是
五、小结：
1、解一元二次方程的方法有 ；
2、一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：x＝( b2－4 ac≥0)
3、在解一元二次方程的时候，你是如何选择方法的，和大家交流一下，好吗？
x＝( b2－4 ac≥0)
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1、解方程
1）x2 –x=0 2） 2x2 –8=0
3）x（x－6）＝2 4）2x2＝3x；
5）x（x＋8）＝16 6）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
7）（x－1）（x＋2）＝2（x+2）
8) （3x＋5）2－5（3x＋5）＋4＝0；
2、应用题
1）用配方法求x2 –4x+5的最小值。
解：x2 –4x+5
= x2 –4x+ 22 +1
=( x –2)2 +1
所以x2 –4x+5的最小值是1。
2)用配方法求x2 –4x–5的最小值。
3)用配方法求x2 –8x+5的最小值。
4)用配方法求-x2 +4x+5的最大值。
5）已知方程x2+6x＋m=0的一个根是-1，求m的值及另一个根.
6) 如果x2－ mx－6=0的两个根分别是、,且=2，那么实数m的值是？
7) 如果2x2－ 10x－5=0的两个根分别是α、β，那么α+β+αβ=？
8)、已知关于x的方程x2－8x＋p2－2p＋3＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.
9)一块长和宽分别为120厘米和80厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为1600平方米.求截去正方形的边长.
10）学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为24厘米和16厘米的长方形相片周围（外围）镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求镶上彩纸条的宽.（精确到0.1厘米）
11)学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为96平方米的长方形自行车棚.一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为28米的铁围栏.请你设计，如何搭建较合适？
12）小红前年存了500元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得514.5元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）
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第二十二章一元二次方程
第十课
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：
一、学习内容：列一元二次方程解应用题。
二、学习目标：会根据题意列方程，并解方程；
三、学习过程：
解应用题的关键是：能够理解题目中所给条件的关系，找出题目中的等量关系，列出方程。
例1：穗园小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为875m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10m，那么绿地的长和宽各为多少？
分 析：利用面积来列方程
解：设宽为xm，则长为（ ）m，根据题意，得：
x ( )＝875
整理得 －875＝0
解这个方程，得 x1= , x2=-35
∵ x2=-35<0，不合题意，舍去。
∴ x+10=
答：绿地得长和宽分别为 ， 。
例2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
分 析：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5(1＋x) (1＋x)＝5(1＋x)2万册
5(1＋x)2=7.2
整理可得 5x2＋10x－2.2=0
解得： x1= , x2=-2.2
∵ x2=-35<0，不合题意，舍去。
答：这两年的年平均增长率为 。
例3 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.
分析： 设截去正方形的边长x厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式.
解： 设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得
(60－2x)（ ）＝800
解得： x1= , x2=
答：截去正方形的边长为 。
在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答.
四、分层练习
A组：根据题意设未知数，并列出方程
1、 两个连续整数的积是210，求这两个数。
2、 已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数。
3、 要做一个容积是750cm2,高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长和宽应该是多少？
4、某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，平均每年增产的百分率是多少？
5、有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18m），另三边用竹篱笆围成。如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少？
解：(1) 如果鸡场的靠墙一边为长，则设鸡场的宽为xm ，长为（35-2x）m，根据题意得：
x( )=150
整理得：2x2-35x+150=0
解得：x1=10, x2=7.5
35-2x1=35-20=15<18,符合题意。
35-2x2=35-2×7.5=20>18，不符题意，舍去。
答：鸡场的长与宽各为15m,10m 。
（2）如果鸡场的靠墙一边为宽，则设鸡场的长为 ym ，宽为（35-2y）m，根据题意得：
y( )=150
整理得：
解得：y1= , y2=
35-2y1=
35-2y2=
答：鸡场的长与宽各为 m, m 。
6、一种药品经两次降价，由每盒60元调至52元，平均每次降价的百分率是多少？
B组：1、以大约与水平成45 角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：米）与标枪出手的速度v（单位：米/秒）之间大致有如下关系：。如果抛出40米，求标枪出手速度（精确到0.1米/秒）
2、用22cm长的铁丝，能不能折成一个面积为32cm2的矩形？试分析你的结论。
C组：1、某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，试判断这家商店盈亏情况，盈利（或亏本）多少元？
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第二十二章一元二次方程
第七课
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：
一、学习内容：一元二次方程根的判别式。
二、学习目标：理解一元二次方程根的判别式，并能用判别式判定根的情况；
三、学习过程：
将一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)用配方法将其变形为
即 (x＋) 2＝
∵a≠0，∴4 a2＞0。这样，我们有：
（1）当b2－4 ac>0时，方程右边是一个正数，因此，方程有
x1＝，x2＝
这样两个 （相等，不相等）的实数根；
（2）当b2－4 ac=0时，方程右边是0，因此，方程有
x1＝x2＝
这样两个 （相等，不相等）的实数根；
（3）当b2－4 ac<0时，方程右边是一个 数，而方程左边(x＋) 2不可能是一个 数，因此，方程 （有，没有）实数根。
综上所述，由的值可判别一元二次方程根的情况：
当时，有两个不相等的实数根；
当时，有两个相等的实数根；
当时，没有实数根。
四、分层练习：
A组：不解方程，判别方程根的情况；
（1） 2x2+3x-4=0 （2） 16y2+9=24y
解：∵ 解： 16y2 - +9=0
∴原方程有 的实数根 ∵
∴原方程有 的实数根
（3） 5（x2+1）-7x=0 （4）0.2x2-5=x
解：方程化为一般式得： 解：方程化为一般式得
∵ ∵
∴原方程有 的实数根 ∴原方程有 的实数根
(5) 3x2+4x-2=0 (6) 2y2+5=6y
(7)4p(p-1)-3=0 (8)x2+5=2x
B组：1、试判别方程x2+2mx+m-1=0 的根的情况；
2、当k取何值时，方程4x2-（k+2）x+k-1=0有两个相等的实数根？求出这时方程的根。
3、已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0
当k取何值时，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。
4、求证关于x的方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根；
C组：观察与猜想
1、解方程：
（1） 2y2-y-1=0 （2）3x2-4x=2
解：y= 解：
=
y1= ,y2=
则y1+y2= ，y1y2= 则x1+x2= ，x1x2=
（3）3x2+7x+2=0
解：x= = ,则x1+x2= ，x1x2=
（4）5x+2=3x2
解：
x= = ,则x1+x2= ，x1x2=
想一想：方程的两根之和，两根之积与方程的系数之间存在什么关系？
2、如果x1，x2是方程的两个实数根，求x1+x2和x1x2的值。
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1、解一元二次方程复习练习
（1）3x2－75＝0； （2）y2＋2y＝0；
（3）2x2－6x＝3 （4）x（x＋5）＝24；
2、试讨论下列问题的解，与你的同伴一起交流.
例题：
小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子.
（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多
少？
分析：关键在于列出底面长和宽的代数式,设截去正方形的边长x厘米, 则底面部分长 厘米，宽 厘米
解：设 ，根据题意，得
（2）如果要求长方体的底面面积为64cm2，那么剪去的正方形边长为多少？折合成的长方体的体积又是多少？
分析：设截去正方形的边长x厘米, 长方体的高是 厘米
（3）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
（4）在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点.看看与你的感觉是否一致.
练习
1. 一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到0.1米）
2. 如图，某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形.要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等.请你给出设计方案.（画图并标注尺寸）
3、 在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分面积为100平方米.求原正方形广场的边长.（精确到0.1米）
4、 里要修一条灌溉渠，其横截面是面积为1.6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0.4米.求灌溉渠横截面的上下底长和灌溉渠的深度
5、 学校原有一块面积为1500平方米的长方形操场，现围绕操场开辟了一圈绿化带，结果使操场的面积增加了150平方米.求现在操场的长和宽.
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第二十二章一元二次方程
第一课
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：
一、学习内容：一元二次方程的概念，直接开平方法。
二、学习目标：1、理解一元二次方程的概念，会根据概念识别一元二次方程；
2、会用直接开平方法解简单的一元二次方程；
三、学习过程：
阅读课本P26~27
1、概念：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。
例：判断下列方程哪些是一元二次方程。
（1） （ ） （2） （ ）
（3）（ ） （4） （ ）
（5） （ ） （6） （ ）
2、一元二次方程的一般形式： ，：二次项 ；bx： ；
c： ；a：二次项系数；b： ；
例：将下列方程化为一般形式，并指出它们的二次项系数，一次项系数，常数项。
（1） （2） （3）
解：（1） =0 （2） =0（3） =0
a= ,b= ,c= a= ,b= ,c= a= ,b= ,c=
3、直接开平方法解一元二次方程；
复方根：如果，则
例1：解下列方程：
（1）x2=25 （2） x2-9=0 （3）16y2-49=0
解：（1）x= (2) x2= (3) 16y2=
x1= ,x2= x= y2=
x1= ,x2= y=
y1= ,y2=
例2：解下列方程：
（1） （2）
解：(1) x+ =±1 (2)
x= =
x1=-2 , x2= x1= +1 , x2= +1
概 括
方程 x2＝4，
意味着x是4的平方根，所以
x=____,
即 x=____.
这种方法叫做直接开平方法.
思考：直接开平方法解怎样类型的一元二次方程？
形如 =a(a≥0)的一元二次方程。
四、分层练习：
A组
1． 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1） 5x2－3x=2:__________________
二次项系数：_____一次项系数：_______常数项：_______;
（2） 6x－4=5x2:_________________
二次项系数：_____一次项系数：_______常数项：_______;
（3） x(3x－1)－4x(x－2)=0:__________________
二次项系数：_____一次项系数：_______常数项：_______;
（4） 2x(x－1)=3(x＋5)－4: __________________
二次项系数：_____一次项系数：______常数项：_______.
2、解下列方程：
（1）x2=256 （2）x2=2 （3）
解：（1）x= （2） x= （3） x2=
x1= ,x2= x1= ,x2= x=
x1= ,x2=
（4）y2-12 =0 （5）x2-1=0 （6）3x2-27=0
解：（4）y2= （5）x2= （6）x2=
y= x= x=
y1= ,y2= x1= ,x2= x1= ,x2=
（7） （8）
解：（7）2x-3= (8)
x= =
x1=2 , x2= x1= , x2=
B组
1、方程中，当 时，该方程为一元一次方程；
当 时，该方程为一元二次方程。
2、小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么？
3、读一读
小张和小林一起解方程
x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
小张将方程左边分解因式，得
(3x＋2)(x－6)＝0,
所以 3x＋2＝0,或x－6＝0.
方程的两个解为 x1＝，x2＝6.
小林的解法是这样的：
移项，得 x(3x＋2)＝6(3x＋2),
方程两边都除以（3x+2），得
x＝6.
小林说:“我的方法多简便！”可另一个解x1＝哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
C组
1、已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，则m=_____。
2、关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是___________.
3、解下列方程：
（1）（x＋2）2－16＝0； （2）(x－1)2－18＝0；
（3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0.
中考在线
1、（06广州）一元二次方程x2-2x-3=0的两个根分别为（ ）
A x1=1 , x2=3 B x1=1 , x2=-3
C x1=-1 , x2=3 D x1=-1 , x2=-3
2、（05广州）若a2-2a+1=0,则2a2-4a= .
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网§22.1.1一元二次方程
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：____ 时间：2005年___月__日
问题一
穗园小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10m，那么绿地的长和宽各为多少？
分 析
设宽为xm，则有方程
x (x＋10)＝900,
整理得
x2＋10x－900＝0. （1）
方程x2＋10x－900＝0中只含有一个未知数，且未知数x的最高次数是2，它是一个一元二次方程.
问题二
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
分 析
设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5(1＋x) (1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程
5(1＋x)2=7.2,
整理可得
5x2＋10x－2.2=0. （2）
思 考
问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.这两个方程_____(填“是”或“不是”)一元一次方程.它们的共同特点是：__________________________。
概 括
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程（quadric equation with one unknown）.通常可写成如下的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)
其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.
练 习
[A组]
1． 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1） 3x2－x=2:__________________
二次项系数：_____一次项系数：_______常数项：_______;
（2） 7x－3=2x2:_________________
二次项系数：_____一次项系数：_______常数项：_______;
（3） x(2x－1)－3x(x－2)=0:__________________
二次项系数：_____一次项系数：_______常数项：_______;
（4） 2x(x－1)=3(x＋5)－4: __________________
二次项系数：_____一次项系数：______常数项：_______.
[B组]
2. 已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，则m=_____。
3. 关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是___________.
4．根据题意，列出方程（不必求解）：
（1）学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半.已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径.
（2）根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好.已知学校礼堂舞台宽20米，求举行文娱会演时主持人应站在何处？
[C组]
5．用试验的方法探索问题1中所列得方程x(x＋10)=900的解.方程有几个解？都是问题1的解吗？
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2006学年初三上学期单元测试卷
第二十二章 一元二次方程
初三（ ）班 姓名： 学号：
一、选择题（每题2分，共20分，每小题有且只有一个选项符合题意）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分
答案
1、一元二次方程x2-2x-3=0的两个根分别为（ ）
A x1=1 , x2=3 B x1=1 , x2=-3
C x1=-1 , x2=3 D x1=-1 , x2=-3
2、关于x的方程的根的情况是（ ）
A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根
C 没有实数根 D 不能确定
3、方程x(x+1)=0的根为（ ）
A 0 B -1 C 0，-1 D 0，1
4、方程x2+9=0的根为（ ）
A 3 B -3 C ±3 D 以上都不对
5、一元二次方程配方后变形正确的是（）
A B C D
6、已知2是关于x的方程的一个解，则k的值是（）
A 3 B 4 C 5 D 6
7、已知是方程的两个根，则的值为（ ）
A 3 B -3 C D
8、已知是方程的两个根，则（ ）
A ， B ，
C ， D ，
9、关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
A B C D
10、已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A 11 B 12 C 11或12 D 15
二、填空题（每题2分，共20分）
11、若a2-2a+1=0,则2a2-4a=
12、分解因式5x2+11x＋6=
13、方程的根是 ；
14、 当x为 时，代数式的值等于-9。
15、将方程3x2-5=6x化为一般形式后，a= ,b= ,c= ;
16、用求根公式解方程x2+3x=-1，先求得b2-4ac= ,则 x1= , x2= ；
17、x2+8x＋ =(x+ )2 x2-2x＋ =(x- )2
18、已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2+3mx+5=0有一根是x=－1，则m= ，另一根是
19、方程(x－4)(x+3)=0的解是 。
20、已知两个数的和等于12，积等于32，则这两个数为 。
三、解方程（每题4分，共24分）
21、（1）x2 –2x=0 （ 2） x2 –9=0
（3）x（x－6）＝2 （4）（2x＋1）2＝3（2x＋1）.
（5） 2x2-4x-3=0 （6）（3x＋5）2－5（3x＋5）-6＝0；
四、解答题（每题5分，共36分）
22、如果x2－mx+6=0的两个根分别是、,且=3，求实数m的值。（5分）
23、若代数式3x(x-1)的值与2(x-1)的值互为相反数，求x的值（5分）
24、学校图书馆去年年底有图书2万册，预计到明年年底增加到3.92万册.求这两年的年平均增长率。（5分）
25、不论m取何值时，关于x的方程总有两个不相等的实数根。（5分）
26、一块长和宽分别为12厘米和8厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为96平方厘米.求截去正方形的边长. （5分）
27、当m取何值时，方程 有两个互为相反数的实数根？（5分）
28、某商店买进一批运动衣用了1000元，每件按10元卖出，假如全部卖出这批运动衣所得的款与买进这批运动衣所用的款的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进11件运动衣所用的款，求这批运动衣有多少件？（6分）
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网§22.2.3一元二次方程的解法三
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：____ 时间：2005年___月__日
探 索
我们来讨论一般形式的一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
因为a≠0，方程两边都除以a，得
x2＋x＋＝0.
移项，得 x2＋x＝－，
配方，得 x2＋2·x·＋()2＝()2－,
即 (x＋) 2＝.
因为 a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得
x＋＝±.
所以 x＝-±,
即 x＝.
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
例6 解下列方程:
(1)2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2；
(3)5x2－4x－12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
解 (1)这里a＝2，b＝1，c＝-6，
b2－4ac＝12－4×2×(-6) ＝1＋48＝49
所以x＝＝＝，
即原方程的解是 x1＝-2，x2＝.
(2)将方程化为一般式，得
x2＋4x－2＝0.
因为 b2－4ac＝24，
所以 x＝＝-2±.
原方程的解是 x1＝-2＋，x2＝-2－.
(3)因为 b2－4ac＝256，
所以 x＝＝＝
原方程的解是 x1＝-，x2＝2.
(4)整理，得
4x2－12x＋9＝0.
因为 b2－4ac＝0，
所以 x1＝x2＝-.
练 习
应用公式法解方程：
(1) x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6；
(3)4x2－3x－1＝x－2； (4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1)；
(5)2x2－6x－3＝0； （6）x（x＋5）＝24。
（7）a（a－2）－3a2＝0； （8）x（x＋1）＋2（x－1）＝0.
思 考
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下.
x＝( b2－4 ac≥0)
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3本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
一元二次方程单元测试讲评课
一、依据：
1、依据新课程教学目标，讲评学生阶段性学习成果，通过测试和讲评检测学生达成目标的程度；
2、依据数学单元测试的目的和要求，引导学生系统复习学过的数学知识，检查其理解、掌握数学基础知识及基本应用技能的情况，评定学生学习成绩和教师的教学效果。
3依据我校改变数学落后现状，开展“培优”、“补差”的目标和要求；教师必须重视学生的个体差异，优化单元测试讲评课，让每位学生都能学到有价值的数学，发现薄弱环节，及时纠正和反馈。
二、目标：
1、 学生通过自查、互查、分析答错的原因，总结解题的方法等，明确在数学学习中，要及时反思；明确自己学习上的长处和短处，问题所在，然后采取适当的措施“扬长补短”，充分发挥自己的长处，弥补不足，克服存在的缺陷和缺点；
2、教师在对试题内容、功能进行挖掘、补缺，对学生存在的问题或薄弱环节进行补救的过程中，培养学生分析、比较、归纳、概括的能力；
3、开拓思路，探索捷径，掌握数学思想和解题技巧，培养灵活处理问题的能力；
4、讲评后进行单元二次测验，促使差生更好地巩固该单元的基础知识，突破该单元的薄弱环节，进一步拓展学生思维，增强他们解决问题的能力；同时，激发学生学好数学的勇气和决心。
三、课前准备：
1、全面批改好学生的单元测试卷，按学习成绩把全班学生分成小组，并让每个小组都有好、中、差的学生；
2、 做好有关数据统计：包括全班的平均分、最高分、最低分、及格率、优秀率、各分数段人数、各题得分率等；
3、 将学生出错的试题进行归类整理；
4、 统计好进步学生和退步学生的名单；
5、 发放试卷要求学生课外自查；
（1）学生课外独立改错；教师发放已批改好的测试卷，要求学生细心查阅自己的试卷，遇错即改；
（2）学生分小组自查，对试卷进行查缺补漏，检查哪些做得比较好，哪些不该答错，自检答错或空白得原因。
6、小组长统计本小组成员得答题情况：包括每人出错得题型，小组犯错频率高的题，小组尚未解决的问题，一题多解及典型解题方法等；
7、教师收集、整理各小组反馈的信息，做到课内讲评具有针对性。
四、讲评过程：
（一）导入
从学生对该单元的学习和检测基本情况导入；
（如全班平均分，最高分、最低分、及格率、优秀率、各分数段人数、各题得分率等）
（二）分析数据
1、公布该单元测试全班的部分数据资料，包括：
（1）平均分—优分率—低分率—合格率，最高分—最低分，各分数段人数、各题得分率；
（2）进步和退步10分以上的学生名单；优分学生名单；
（3）成绩对比：与上次测试成绩的比较，与邻班成绩的比较，与全级成绩的比较。
2、分析本次测试成绩高低的原因：
（1）教师因素：如教师对教学内容、方法及手段是否很好的落实到位，是否辅导好学习成绩差的学生等；
（2）学生因素：如学生平时学习态度是否端正，对基础知识内容的掌握、巩固及复习程度，对本次测试是否重视，大量低分段学生对全班平均分 的影响等。
（三）小组代表发言
（1）本小组成员犯错频率高的题，小组尚未解决的问题。如：A组学生提出填空题11题，选择题9题和第10题，解答题25题；E组学生提出选择题第5题，解答题第23题；
（2）典型的好的解题方法等。
如：若a2-2a+1=0,则2a2-4a=
C组代表提出：
方法一：解方程a2-2a+1=0，得a=1，代入得2a2-4a=-2
方法二：由a2-2a+1=0,得a2-2a=-1，2a2-4a=2（a2-2a）=-2
3、方程x(x+1)=0的根为（ ）
A 0 B -1 C 0，-1 D 0，1
F组的代表提出：本题除了用因式分解法以外还可以用代入排除法，首先排除A和B，再将1和-1分别代入可得C。
（3）自我评价小组成员本次测试成绩是否理想，以后提高数学学习成绩得打算等。
（四）具体评析
1、公布选择题、填空题的全部参考答案
2、鼓励学生敢于质疑，并引导学生解答自己提出的疑问。
3、引导学生对部分试题进行分析和变式引申。
例1：（选择题第5题，填空题第12题）
5、一元二次方程配方后变形正确的是（）
A B C D
12、分解因式5x2+11x＋6=
评析：
1、选择题第5题，填空题第12题得分率分别为28%和12%。
2、命题目的：考查配方法解一元二次方程和把二次三项式化为a(x+m)2 +n形式的关键都在于正确的配方。
3、错解剖析：引导学生分析错误的原因。如解答第12题，主要在配方时出现计算和符号错误，第12题解得5x2+11x＋6=（x+）2 -0.01是因错误将5x2+11x＋6每一项都同时除以二次项系数5再进行配方，与用配方法解一元二次方程相混淆。
4、引导学生通过对比分析，归纳出用配方法解一元二次方程和二次三项式化为a(x+m)2 +n的形式，两者的联系与区别，并采用表格的形式概括如下：
用配方法解一元二次方程方法步骤 二次三项式配方的方法步骤
1、方程两边同除以二次项系数（二次项系数化为1） 1、提取二次项系数（二次项系数化为1）
2、移项（将常数项移至方程的另一边） 2、加上一次项系数一半的平方同时减去一次项系数一半的平方
3、方程两边同时加上一次项系数一半的平方
变式训练：
（1）把化为a(x+m)2 +n（其中a,m,n是常数）的形式是
（2）把化为a(x+m)2 +n（其中a,m,n是常数）的形式是
（3）关于x的一元二次方程的根的情况是
通过变式（1）（2）两题的训练，巩固学生基础知识；通过变式（3）的训练，加强优生应用知识的能力。
例2：（选择题7、8，填空题18，解答题22、23题）
7、已知是方程的两个根，则的值为（ ）
A 3 B -3 C D
8、已知是方程的两个根，则（ ）
A ， B ，
C ， D ，
18、已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2+3mx+5=0有一根是x=－1，则m= ，另一根是
22、如果x2－mx+6=0的两个根分别是、,且=3，求实数m的值。（5分）
23、若代数式3x(x-1)的值与2(x-1)的值互为相反数，求x的值（5分）
评析：
1、选择题7、8，填空题18，解答题22、23题的得分率分别为88%，76%，67%，55%，36%。
2、命题目的：考查一元二次方程的根与系数的关系的简单应用
3、错解剖析：（学生自评）学生讨论分析错解的原因，不完善的地方教师补充。最后归纳：（1）没有先将一元二次方程化为一般形式或忽视前提条件，生搬硬套公式；（2）不能正确将求值代数式进行恒等变形，化为含有两根之和与两根之积的形式（3）忽视根与系数关系应用的前提条件。
变式训练：
1、已知是方程的两个根，则 ， ；
（五）拓展和提高
1、要求学生对自己答错的题目，根据教师的分析，用红笔或其它颜色的笔修改过来，边改边再识记和理解，准备即时进行二次检测，下课后由科代表把试卷收上并交由教师检查和批改。
2、进行二次检测（每小题10分，共100分）
（1）把化为a(x+m)2 +n（其中a,m,n是常数）的形式是
（2）关于x的一元二次方程的根的情况是
（3）已知是方程的两个根，则 ， ；
（4）已知是方程的两个根，则 ；
（5）以2和3为根的一元二次方程可以是 ；
（6）关于x的一元二次方程有两个实数根，则a 的取值范围是
（7）方程的两个实数根互为倒数，则a的值为
（8）学校图书馆去年年底有图书2万册，预计到明年年底增加到3.92万册.求这两年的年平均增长率为
（9）某种商品因换季准备打折出售，按定价的七五折出售将赔25元，按定价的九折出售将赚20元，如果这种商品的定价设为x元，则可列方程
（10）方程的根的判别式的值是
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实践与探索2
一、解方程
（1）x2－2x＝0； （2）x2＋3x－4＝0；
（3）x2－5x＋6＝0. （4）x（x＋5）＝24；
（5）a（a－2）－3a2＝0； （6）x（x＋1）＋2（x－1）＝0.
实践与探索（连续增长问题）
1、某市市政府今年市财政净收入为20亿元，若今后两年中财政净收入的平均年增长率为12%，那么两年后财政净收入为多少？
填空：一年后净收入=今年净收入+ 即：
=20+
=20（ ）
两年后净收入=一年后净收入+ 即：
= +
=20（ ）
2、某市市政府今年市财政净收入为20亿元，若今后两年中财政净收入的平均年增长率为x，那么两年后财政净收入为多少？
填空：一年后净收入=今年净收入+ 即：
=20+
=20（ ）
两年后净收入=一年后净收入+ 即：
= +
=20（ ）
3、若今年市财政净收入为a亿元，若今后两年中财政净收入的平均年增长率为x，那么两年后财政净收入为多少？3年后 4年后 n年后呢？
4、某市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，若今年市财政净收入为20亿元，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
分析 翻一番，即为原净收入的2倍.若设平均年增长率为x,则
5、阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
分析 翻一番，即为原净收入的2倍.若设原值为1，那么两年后的值就是2.
6、若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？
7、又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？
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单元复习一
1、解方程
1）x2 –x=0 2） 2x2 –8=0
3）x（x－6）＝2 4）2x2＝3x；
5）x（x＋8）＝16 6）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
7）（x－1）（x＋2）＝2（x+2） 8) （3x＋5）2－5（3x＋5）＋4＝0；
2、应用题
1）用配方法求x2 –4x+5的最小值。
解：x2 –4x+5
= x2 –4x+ 22 +1
=( x –2)2 +1
所以x2 –4x+5的最小值是1。
2)用配方法求x2 –4x–5的最小值。
3)用配方法求x2 –8x+5的最小值。
4)用配方法求-x2 +4x+5的最大值。
5）已知方程x2+6x＋m=0的一个根是-1，求m的值及另一个根.
6) 如果x2－ mx－6=0的两个根分别是、,且=2，那么实数m的值是？
7) 如果2x2－ 10x－5=0的两个根分别是α、β，那么α+β+αβ=？
8)已知关于x的方程x2－8x＋p2－2p＋3＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.
9)一块长和宽分别为120厘米和80厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为1600平方米.求截去正方形的边长.
10）学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为24厘米和16厘米的长方形相片周围（外围）镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求镶上彩纸条的宽.（精确到0.1厘米）
11)学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为96平方米的长方形自行车棚.一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为28米的铁围栏.请你设计，如何搭建较合适？
12）小红前年存了500元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得514.5元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网§22.2.2一元二次方程的解法二
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：____ 时间：2005年___月__日
例4解下列方程：
（1） x2＋2x＝5；
（2） x2－4x＋3＝0.
思 考
能否经过适当变形，将它们转化为
2＝a
的形式，应用直接开方法求解？
解（1）原方程化为x2＋2x＋1＝6，
_____________________,
_____________________,
_____________________.
（2）原方程化为x2－4x＋4＝－3＋4
_____________________,
_____________________,
_____________________.
归 纳
上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
例5用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0； （2）x2＋3x＋1＝0.
解（1）移项，得
x2－6x＝7.
方程左边配方，得
x2－2·x·3＋32＝7＋32，
即 （x－3）2＝16.
所以 x－3＝±4.
原方程的解是 x1＝7，x2＝－1.
（2）移项，得
x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得
x2＋2·x·＋（）2＝－1＋()2，
即 （x＋）2＝.
所以 x＋＝.
原方程的解是： x1＝－＋，x2＝－－，
练习：
1.填空：
（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2；
（2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；
（3）x2＋x＋（ ）＝（x＋ ）2；
（4）4x2－6x＋（ ）＝4（x－ ）2＝（2x－ ）2.
2.用配方法解方程：
（1）x2＋8x－2＝0 （2）y2＋2y－48＝0； （3）x2－5 x－6＝0.
试一试
用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).
思 考
如何用配方法解下列方程？
(1)4x2－12x－1＝0; (2)3x2＋2x－3＝0.
讨 论
请你和同桌讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？
应 用
现在我们来解决§22.1的问题1：
x(x＋10) ＝900，
x2＋10x－900＝0，
x＝-5±5，
x1＝－5－5，x2＝-5＋5.
这两个都是所列方程的解，但负数根x1不符合题意，应舍去.所以符合题意的解是
x＝－5＋5≈25.4，
x＋10≈35.4，
因此绿地的宽和长应分别约为25.4米和35.4米.
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第二十二章一元二次方程
第三课
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：
一、学习内容：配方法。
二、学习目标：1、巩固直接开平方法、因式分解法；
2、会用配方法解简单的一元二次方程；
三、学习过程：
解下列方程：
（1） x2＝2 （2）(x-2)2＝2
(3) x2-4x+4＝2 (提示：观察方程左边的特点)
探究：从以上题目能否得到启示，如何解方程x2-4x+3=0
思 考:能否经过适当变形，将它们转化为( )2＝a 的形式，应用直接开方法求解？
解:原方程化为x2－4x＋4＝－3＋4
( )2=____
x=
x1= , x2=
归 纳
上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能运用直接开平方的方法求解。这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
例1:用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0； （2）x2＋3x＋1＝0.
解:（1）x2－6x＝7 (2) x2＋3x＝－1
x2－2·x·3＋32＝7＋( )2 x2＋2·x·＋（）2＝－1＋( )2
（x－3）2＝ （x＋ ）2＝
x－3＝ x＋＝
x1＝7，x2＝ x1＝－＋ ，x2＝－－
例2：用配方法解下列方程：
(1) 4x2－12x－1＝0; (2) 3x2＋2x－3＝0
解：（1） x2－3x－＝0（方程两边同时除以4） （2）x2＋ x－ ＝0
x2－3x＝ x2＋x＝
x2－2·x·＋＝7＋( )2 x2＋2·x· +( )2＝1＋( )2
（x－ ）2＝ （x＋ ）2＝
x－ ＝ x＋ ＝
x1＝ ，x2＝ x1＝ ＋，x2＝ －
试一试
用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).
解： x2＋px= -q （移项）
x2+2·x· ＋( )2= -q ＋( )2 （方程两边同时加上一次项系数一半的平方）
（x＋ ）2＝
∵ p2－4q≥0
∴ x+ ＝
∴ x1＝ ＋，x2＝ －
讨 论
请你和同桌讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？
四、分层练习：
A组：
1.填空：
（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2；（2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；
（3）x2＋x＋（ ）＝（x＋ ）2；（4）x2－6x＋（ ）＝（x－ ）2
2.用配方法解方程：
（1）x2＋8x－2＝0 （2）y2＋2y－48＝0； （3）x2－5x－6＝0.
（B组）1、解方程：
（1）2x2＋5x－1＝0 （2）-x2＋2x－5＝0
解：x2＋ x－ ＝0 x2- x+ ＝0
（3） x2-4x＝-1 （4）-3x2＋1=-6x
C组：1、当x为何值时，代数式(x-5)2的值比2（x-5）的值多4？
2、用配方法证明：y2-4y+8的值恒大于0
证明： y2-4y+8
= y2-4y+ - +8
=( )2+
∵( )2>0
∴y2-4y+8>0
3、代数式-y2+y-1有没有最小值？试证明你的结论。
五、小结：
1、 配方法：把
配成后用直接开平方法求解；
2、 完全平方公式： ；
3、配方法关键；在方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方或利用+a-a=0的原理；
4、配方法适用范围：对所有一元二次方程都适用，但特别对于二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程用配方法会更为简单。
中考在线
1、根据下列表格的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
-0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程一个解x的范围是（ ）
A 3C 3.242、已知m是方程x2-x－1＝0的一个根，则代数式m2-m的值等于（ ）
A -1 B 0 C 1 D 2
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第二十二章一元二次方程
第二课
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：
一、学习内容：因式分解法。
二、学习目标：1、巩固直接开平方法；
2、会用因式分解法解简单的一元二次方程；
三、学习过程：
1、 判断：（1）若ab=0, 则a=0或b=0 ( )
(2) 若ab=1，则a=1或b=1 ( )
（3）若（x-5）（x+2）=0,则x-5=0或x+2=0 ( )
(4) 若（x-5）（x+2）=1,则x-5=1或x+2=1 ( )
2、 将下列各式因式分解：
（1）x2-9= ; （2）3x2+2x=
（3）x2-1= ; （4）16x2-25=
（5）x2-3x= ; （6）(x+1)2-4=
3、 因式分解法解一元二次方程：
上节课我们用直接开平方法解x2-9=0，思考还有新的解法吗？
例1：解下列方程：
（1） x2－1＝0 （2）16x2－25＝0
解法1：x2＝ 16x2＝
x= x2＝
x1= ,x2= x=
x1= ,x2=
解法2：（x+1）(x- )=0 （ ）（ ）=0
x+1=0或x- =0 （ ）=0或（ ）=0
x1= ,x2= x1= ,x2=
例2：解下列方程：
（1）3x2+2x=0 （2）x2=3x
解：x（ ）=0 解： x2- =0
x=0或（ ）=0 x（ ）=0
x1=0 ,x2= x=0或（ ）=0
x1=0 ,x2=
概 括
方程 x2-4=0，
将方程左边用___________公式分解因式，得
（x＋____）（x－____）＝0，
必有 x＋____＝0,或 x－____＝0
分别解这两个一元一次方程，得
x1＝_____，x2＝____.
这种方法叫做因式分解法.
反思：当我们不能用直接开平方法解一元二次方程时，如例2，可用 法，其中要注意方程的左边一定可以 。
思考：下列方程用什么方法解较快较好？大胆试一试，你一定行的！
例3：（1）(x+1)2-4=0 （2） 4(x-2)2-9=0
四、分层练习：
(A组)解下列方程：
（1）12y2－25＝0； （2）x2－2x＝0；
（3）（t－2）（t+1）=0； （6）x（x＋1）－5x＝0.
B组：用适当的数填空，使下列各等式成立。
(1) a2-2a+ =(a-1)2 (2) x2+4x+ =(x+2)2
(3) x2+3x+ =(x+ )2 (4) x2-x+ =(x- )2
(5) x2-x+ =(x- )2 (6) x2+x+ =(x+ )2
C组：解下列方程：
（1）x2+2x-48=0 （2） x（x+5）=24
（3）x2+7x+12=0 （4）x2-10x+16=0
五、小结：
1、 当一元二次方程不能变形为x2=a（a≥0）的形式时，我们可以考虑用因式分解法求解，；
2、 因式分解法前提：方程中，左边的多项式可以因式分解；
3、 因式分解方法有：提公因式法，运用公式法；
4、 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网§22.2.5一元二次方程的解法练习
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：____ 时间：2005年___月__日
[A组]
1. 解下列方程
（1）2x2－6＝0； （2）27＝4x2；
（3）3x2＝4x； （4）x（x－1）＋3（x－1）＝0；
（5）（x＋1）2＝2； （6）3（x－5）2＝2（5－x）.
2. 解下列方程
（1）（2x－1）2－1＝0； （2）（x＋3）2＝2；
（3）x2＋2x－8＝0； （4）3x2＝4x－1；
（5）x（3x－2）－6x2＝0； （6）（2x－3）2＝x2.
3. 当x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于21; （2）3x2－6的值与x－2的值相等.
[B组]
4. 用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x； （2）（x＋3）2＝1；
（3）x2＋(＋1)x＝0； （4）x（x－6）＝2（x－8）；
（5）（x＋1）（x－1）＝； （6）x（x＋8）＝16；
（7）（x＋2）（x－5）＝1； （8）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
5. 已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
6.
7. 已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数.
[C组]
8. 学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽.（精确到0.1米）
（第7题）
9. 某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月增长的百分率.
10. 学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚.一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏.请你设计，如何搭建较合适？
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4本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第二十二章一元二次方程
第八课
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：
一、学习内容：一元二次方程根与系数的关系。
二、学习目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两根的倒数和与平方和。
三、学习过程：
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
（1）x2－2x＝0 （2）x2＋3x－4＝0 （3）x2－5x＋6＝0.
探 索
一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知
x1=,x2=
能得出以下结果：
x1＋x2= 即：两根之和等于
x1 x2= 即：两根之积等于
=+
=
=
=×
=
==
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为
x1+x2=， x1x2=
如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为
x2＋ x＋＝0(a≠0)，
则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
x2-（ ）x＋x1x2＝0(a≠0)
例1：已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；
解：设方程的另一个根是x1，那么 （为什么？）
∴ x1=
又x1+2= （为什么？）
∴ k=
想一想，还有没有别的做法？
例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的
（1）平方和 （2）倒数和
解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2= ， x1x2=
（1）∵ （x1+x2）2= x12+2 +x22
∴ x12+x22=（x1+x2）2-2 =
（2）
例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是
解：所求的方程是x2-（）x＋（ ）＝0 (为什么？)
即 x2+ x- ＝0 或 6x2+ x- ＝0
例4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。
解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x＋9＝0的两个根
解这个方程，得x1= ， x2=
因此，这两个数是 ，
四、分层练习(A组)
1、 下列方程两根的和与两根的积各是多少？
（1）y2-3y+1=0 （2） 3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0
（4）3x2+5x-2=0 （5）2y2-5=6y （6）4p(p-1)-3=0
2、 已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值
3、 设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值
（1） （x1+1）（x2+1） （2）
4、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4，-7
5、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数。
B组：如果方程2x2＋kx-5＝0 的实数根互为相反数，那么k=
C组：已知是方程x2＋２x-5＝0 的实数根，求的值
太妙了！我想知道为什么？
乘以
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第二十二章一元二次方程
第五课
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：
一、学习内容：灵活解一元二次方程。
二、学习目标：合理选择直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程；
三、学习过程：
例：用适当的方法解下列方程：
（1）x2-2x=0
解法1：x( )=0 解法2： x2-2x+ =0+1
x=0或（ ）=0 ( )2=1
x1=0 , x2= =±1
x1= , x2=
解法3：x==
x1= , x2=
（2） x2+4x-12=0
解法1： 解法2：
四、分层练习：A组：
1、方程的根是 ；方程3y2-15=0的根是 ；
2、方程的根是 ；方程的根是 ；
3、如果 =0或 =0时，有x(x+2)=0 ;
4、方程5x(x-4)-2(x-4)=0可变形为（ ）（ ）=0，解得x1= , x2= ；
5、将方程（2x-1）(x+1)=x(x+1)化为一般形式后，a= ,b= ,c= ;
6、用求根公式解方程x2+3x=-1，先求得b2-4ac= ,则 x1= , x2= ；
7、方程x(x+1)=0的根为（ ）
A 0 B -1 C 0，-1 D 0，1
8、方程x2=x的根为（ ）
A 0 B 1 C 0，1 D 0，-1
9、方程x2-4=0的根为（ ）
A 2 B -2 C ±2 D 以上都不对
10、方程x2+9=0的根为（ ）
A 3 B -3 C ±3 D 以上都不对
11、方程5x2-2x=0的根为（ ）
A B C D
12、解方程：
（1）y(y-8)=16 （2）2x2-4x-3=0
（3）-x2 +10x+11=0 （4）x2-2x+1=0
（5）3(2y+1)2=27 （6）x(x-1)=2(x-1)
B组：
1、如果一元二次方程，a、c异号，则b2-4ac 0（填“〈”，“〉”）；
2、方程有实数根，则 b = ;
3、x2-5x+6=0的根为（ ）
A -2，-3 B 2，3 C 1，-6 D -1，-6
4、一元二次方程的两根是（ ）
A B C D 不一定有实数解
5、已知的值为（ ）
A -1 B 1 C 2 D -1 或2
6、当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值为（ ）
A 4 B 0 C -2 D -4
7、已知（x-y）(x-y-3)=10,则x-y= ;
8、解下列方程：
（1）3(x-5)2=2(5-x) （2） x(x-1)+3(x-1)=0
（3）(x+1)(x-1)=x （4）(x+2)(x-5)=1
（5）x)(x-6)=2(x-8) （6）(2x+1)2=2(2x+1)
C组：
1、如果 a是方程x2-3x+m=0的一个根， -a是方程x2+3x-m=0的一个根，那么a= ；
2、用配方法证明，不论x取任何实数时，代数式x2-5x+7的值总大于0，再求出当x取何值时，代数式的值最小？最小值是多少？
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第二十二章一元二次方程
第六课
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：
一、学习内容：复习解一元二次方程。
二、学习目标：合理选择直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程；
三、学习过程：
A组解下列方程：
1、3x2-75=0 2、x2 +2x-48=0 3、 2x2 –6=0
4、2x2-6x－3=0 5、x（x+5）=24 6、27=4x2
7、（x－1）（x＋2）＝2（x+2）
B组：解下列方程：
1、 （3x＋5）2－5（3x＋5）＋4＝0 2、（2x＋1）2=2（2x＋1）
3、（y+3）（1-3y）=1+2y2 4、(x-7)(x+3)+(x-1)(x+5)=38
5、x2+ax-2a2=0(a为已知常数) 6、x(3x-2)-6x2=0
7、（2x-3）2=x2 8、（x－1）（x＋1）＝2x
9、x2 +（+1）x=0 10、x(x-6)=2(x-8)
11、已知y1= 2x2 +7x-1,y2=6x+2,当x取何值时，y1=y2 ？
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韦达定理与根的判别式复习
知识点：
1、根的判别式
（1） ，方程有两个不相等的实数根；
（2），方程有两个相等的实数根；
（3），方程没有实数根；
2、韦达定理
已知是一元二次方程的两根，则有
例1：已知一元二次方程
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设是方程的两个实数根，且满足，求m的值
练习：
1、方程的根的情况是（ ）
A有两个不等的有理实根 B有两个相等的有理实根
C有两个不等的无理实根 D有两个相等的无理实根
2、已知是方程的两个根，则（ ）
A ， B ，
C ， D ，
3、已知方程，则此方程（ ）
A 无实数根 B两根之和为
C两根之积为2 D 有一根为
4、已知是方程的两个根，则的值为（ ）
A 3 B -3 C D
5、若将二次三项式因式分解，分解后的一个因式是x-3，则p的值是（ ）
A -5 B -1 C 1 D 5
6、已知是方程的两个根，那么的值是（ ）
A - 4 B 4 C -3 D 3
7、在一元二次方程中，若a与c异号，则方程（ ）
A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根
C 没有实数根 D 根的情况无法确定
8、已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（ ）
A B
C D
9、关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A B C D
10、若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A B C D
11、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90 ，那么关于x的方程的根的情况为（ ）
A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根
C 没有实数根 D 无法确定
12、设是方程的两个根，则=
13、已知关于x的方程有两个实数根，且两根的平方和等于16，则m的值为
14、已知方程的两根为，则的值为
15、关于x的一元二次方程，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
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第二十二章一元二次方程
第九课
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：
一、学习内容：二次三项式的因式分解。
二、学习目标：了解二次三项式的因式分解与解方程的关系，会利用一元二次方程求根公式在实数范围内将二次三项式因式分解。
三、学习过程：
解方程： （1）3y2-15=0 分解因式（1） 3y2-15
（2） 2x2-6x+4=0 （2）2x2-6x+4
(3) 5x2+6x-8=0 (3) 5x2+6x-8
观察上面的例子，猜想解方程与二次三项式之间的关系？
填空：写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的两个根
x1= 、x2=
计算x1＋x2= ，x1 x2= 。
则 ，x1 x2
∴ax2＋bx＋c=a(x2＋x＋)
=a[x2-( x1＋x2)x+ x1 x2]
=a(x- x1)(x- x2)
从上面的过程你想到什么？
在分解二次三项式ax2＋bx＋c的因式时，可先用公式求出方程ax2＋bx＋c＝0 的两个根x1、x2，然后写成 ax2＋bx＋c=a(x- x1)(x- x2) 。
四、分层练习：A组：分解因式
（1）x2-5x＋3 （2）2x2-8xy＋5y2
解：方程x2-5x＋3=0的根是 解：解关于x的方程2x2-8xy＋5y2=0得
x= x=
= =
∴ x2-5x＋3=(x- )(x- ) ∴ 2x2-8xy＋5y2=2(x- y)(x- y)
(3) x2-x-1 （4）p2-2p-4
(5) 5x2+11x＋6 （6）2x2-4x-5
(7) 6x2+x-15 （8）3x2y2-10xy＋7
B组分解因式：
（1）42x2-85xy＋42y2 （2）-3m2-2m＋4
(3) 14x2-67xy＋18y2 （4）12x2-7xy＋2y2
C组：分解因式
（1）(x2+x)2-2x(x+1)-3
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网实践与探索2
一、解方程
（1）x2－2x＝0； （2）x2＋3x－4＝0；
（3）x2－5x＋6＝0. （4）x（x＋5）＝24；
（5）a（a－2）－3a2＝0； （6）x（x＋1）＋2（x－1）＝0.
实践与探索（连续增长问题）
1、某市市政府今年市财政净收入为20亿元，若今后两年中财政净收入的平均年增长率为12%，那么两年后财政净收入为多少？
填空：一年后净收入=今年净收入+ 即：
=20+
=20（ ）
两年后净收入=一年后净收入+ 即：
= +
=20（ ）
2、某市市政府今年市财政净收入为20亿元，若今后两年中财政净收入的平均年增长率为x，那么两年后财政净收入为多少？
填空：一年后净收入=今年净收入+ 即：
=20+
=20（ ）
两年后净收入=一年后净收入+ 即：
= +
=20（ ）
3、若今年市财政净收入为a亿元，若今后两年中财政净收入的平均年增长率为x，那么两年后财政净收入为多少？3年后 4年后 n年后呢？
4、某市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，若今年市财政净收入为20亿元，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
分析 翻一番，即为原净收入的2倍.若设平均年增长率为x,则
5、阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
分析 翻一番，即为原净收入的2倍.若设原值为1，那么两年后的值就是2.
6、若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？
7、又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？§22.2.4一元二次方程的解法四
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：____ 时间：2005年___月__日
例7 如图22.2.1，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.
分析 设截去正方形的边长x厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式.
解 设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得
(60－2x) (40－2x) ＝800.
请同学们自己解一下这个方程，并讨论它的解是否符合题意.
在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答.
练 习
1. 学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求镶上彩纸条的宽.（精确到0.1厘米）
2. 竖直上抛物体的高度h和时间t 符合关系式h＝v0t－gt2，其中重力加速g以10米/秒2计算.爆竹点烯后以初速度v0＝20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米？
例8 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
思 考
原价和现在的价格都没有具体的数字，如何列方程？请同学们联系已有的知识讨论、交流.
解 设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得
(1－x) 2＝
解这个方程，得
x＝
由于降价的百分率不可能大于1，所以x＝不符合题意，因此符合本题要求的x为
≈29.3%.
答：每次降价的百分率为29.3%.
练 习
1. 小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）
2. 市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.
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2一元二次方程复习
A组
1. 已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.
2. 要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分面积为100平方米.求原正方形广场的边长.（精确到0.1米）
3. 村里要修一条灌溉渠，其横截面是面积为1.6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0.4米.求灌溉渠横截面的上下底长和灌溉渠的深度.
4. 某工厂准备在两年内使产值翻一番，求平均每年增长的百分率.（精确到0.1%）
5. 求出习题22.1中第3（2）题所列方程的解的近似值.（精确到0.1米）
B组
6. 解下列方程
（1）（y＋3）（1－3y）＝1＋2y2；
（2）（x－7）（x＋3）＋（x－1）（x＋5）＝38；
（3）（3x＋5）2－5（3x＋5）＋4＝0；（4）x2＋ax－2a2＝0.（a为已知常数）
7. （1）已知关于x的方程2x2－mx－m2＝0有一个根是1，求m的值；
（2）已知关于x的方程（2x－m）（mx＋1）＝（3x＋1）（mx－1）有一个根是0，求另一个根和m的值.
8.
9. 学校原有一块面积为1500平方米的长方形操场，现围绕操场开辟了一圈绿化带，结果使操场的面积增加了150平方米.求现在操场的长和宽.
C组
10. 先用配方法说明：不论x取何值，代数x2 －5x＋7的值总大于0.再求出当x取何值时，代数式x2 －5x＋7的值最小？最小值是多少？
11. 说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实根.
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31、解方程
1）x（x－6）＝2（x－8）； 2）（x＋1）（x－1）＝2x；
3）x（x＋8）＝16 4）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
2、应用题
1）绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
解：设宽为x米，则长为 米，列方程
2) 如图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.
分析: 关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式,设截去正方形的边长x厘米, 则虚线部分长 厘米
宽 厘米
解：设 ，根据题意，得
3）某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
思考：
原价和现在的价格都没有具体的数字，如何列方程？请同学们联系已有的知识讨论、交流.
解 设原价为 ，每次降价的百分率为x.根据题意，得
练习A
1）学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求镶上彩纸条的宽.（精确到0.1厘米）
2） 学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽.（精确到0.1米）
3）已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数.
4）小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）
5） 第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.
B组
1. 某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月增长的百分率.
2. 学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚.一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏.请你设计，如何搭建较合适？一元二次方程根的判别式
1、解一元二次方程
（1）y2＋2y－4＝0 （2）y2＋2y+4＝0；
2、概括：并不是所有一元二次方程都有实数解，满足什么样的条件才会有实数解呢？
我们在一元二次方程的配方过程中得到
（x＋）2＝. （1）
发现只有当 ≥0时，才能直接开平方，得
.
也就是说，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件 时才有实数根.
观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：
1 当b2－4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；
2 当b2－4ac 0时，方程有两个相等的实数要
x1＝x2＝；
3 当b2－4ac 0时，方程没有实数根.
这里的 叫做一元二次方程的根的判别式，
通常记作：Δ=
3、用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根。
例1：判断一元二次方程x2－x＋1＝0是否有实数根
由b2－4ac
＝
0（填< 、>、 = ）
所以它 （有、没有）实数根。
4、可以应用判别式来确实方程中的待定系数，例如：
例2：m取什么值时，关于x的方程
2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0
有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
解：因为方程有两个相等的实数根，所以Δ 0,即
Δ=
= 0
解这个关于m的方程得
练习
1、用判别式直接判断一元二次方程是否有实数根。
（1）y2＋y－4＝0 （2）y2＋y+4＝0；
（3）y2－y－4＝0 （4）y2－y+4＝0；
2、m取什么值时，关于x的方程
2x2-4mx＋2m2 －m＝0
(1) 有两个相等的实数根？
(2)有两个不相等的实数根？
(3)没有实数根？
3、m取什么值时，关于x的方程
mx2-(2m-1)x＋m－2＝0
(1)有两个相等的实数根？
(2)有两个不相等的实数根？
(3)没有实数根？
还有另外的情况吗？
一元二次方程根与系数的关系
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
（1）x2－2x＝0；
（2）x2＋3x－4＝0；
（3）x2－5x＋6＝0.
探 索
一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），用求根公式求出它的两个根x1、x2，
能得出以下结果：
x1＋x2= 即：两根之和等于
x1 x2= 即：两根之积等于
由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知
.
=
=
=
练习
1、（1）x2－x－4＝0 （2）x2－4x+1＝0；
= =
= =
2、已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值；
3、已知方程x2+kx＋=0的一个根是-1，求k的值及另一个根.
4、如果2x2－ mx－4=0的两个根分别是、,且=2，那么实数m的值是？
5、如果2x2－ 5x－4=0的两个根分别是α、β，那么α+β+αβ=？
5、已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.
和同学讨论一下，上述两个问题有几种解法？
太妙了！我想知道为什么？
乘以
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复习练习2
1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 。根的判别式△= 。
2、已知关于x的方程(m2－1)x2+(m+1)x+m－2=0是一元二次方程，则m的取值范围是 ；当m= 时，方程是一元一次方程。
3、已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2+3mx+5=0有一根是x=－1，则m= ，另一根是 。
4、已知关于x的一元二次方程(k－1)x2+2x－k2－2k+3=0的一个根为零，则k= 。
5、把方程a(x2+x)+b(x2－x)=1－c写成关于x的一元二次方程的一般形式是 ，二次项系数是 、一次项系数是 常数项是 ，并求出是一元二次方程的条件是 。
6、方程(x－4)(x+3)=0的解是 。
7、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 。
8、x2-1=0 9、
10、 11、(x+3)(x－3)=9
12、(3x+1)2－2=0 13、(x+)2=(1+)2
14、0.04x2+0.4x+1=0 15、(x－2)2=6
16、(x－5)(x+3)+(x－2)(x+4)=49
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网§22.2.1一元二次方程的解法一
初三（ ）班 姓名：_________ 学号：____ 时间：2005年___月__日
试一试
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x2＝4； （2）x2－1＝0; （3）3x2－75＝0
概 括
方程 x2＝4，
意味着x是4的平方根，所以
x=____,
即 x=____.
这种方法叫做直接开平方法.
对于第（2）个方程，有这样的解法：
将方程左边用___________公式分解因式，得
（x－____）（x＋____）＝0，
必有 x－____＝0，或x＋____＝0,
分别解这两个一元一次方程，得
x1＝_____，x2＝－____.
这种方法叫做因式分解法.
思 考
(1)用因式分解法解方程x2＝4
(2)用直接开平方法来解方程x2－1＝0
做一做 试用两种方法解方程x2－900＝0.
例1 解下列方程：
（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0.
解（1）移项，得
x2＝____.
直接开平方，得
x=_____.
所以原方程的解是 ，.
（2）移项，得
16x2＝_____.
方程两边都除以16，得
x2＝_____.
直接开平方，得
x＝_____.
所以原方程的解是 ， .
练 习
[A组]
1. 解下列方程：
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0；
（3）12y2－25＝0； （4）x2－2x＝0；
（5）（t－2）（t+1）=0； （6）x（x＋1）－5x＝0.
[B组]
2. 小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么？
读一读
小张和小林一起解方程
x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.
小张将方程左边分解因式，得
(3x＋2)(x－6)＝0,
所以 3x＋2＝0,或x－6＝0.
方程的两个解为 x1＝，x2＝6.
小林的解法是这样的：
移项，得 x(3x＋2)＝6(3x＋2),
方程两边都除以（3x+2），得
x＝6.
小林说:“我的方法多简便！”可另一个解x1＝哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
练 习
[C组]
解下列方程：
（1）（x＋2）2－16＝0； （2）(x－1)2－18＝0；
（3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0.
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1实践与探索
试讨论下列问题的解，与你的同伴一起交流.
问题1
小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子.
（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多
少？
（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
探 索
在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？先在下面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点.看看与你的感觉是否一致.
问题2
阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
分析 翻一番，即为原净收入的2倍.若设原值为1，那么两年后的值就是2.
探 索
若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？
又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？
问题3
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
（1）x2－2x＝0；
（2）x2＋3x－4＝0；
（3）x2－5x＋6＝0.
探 索
一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1 x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致.
习题22.3
1. 一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到0.1米）
2. 水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买.决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完.经结算，这批水果共盈利500元.若两次打折相同，每次打了几折？（精确到0.1折）
3. 为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵.已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级每年植树数的平均增长率.（精确到0.1%）
4. 某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元.有24名家庭贫困学生免费供应.经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润.问这批演出服共生产了多少套？
5. 如图，某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形.要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等.请你给出设计方案.（画图并标注尺寸）
（第5题）
6. （1）已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值；（2）已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.
和同学讨论一下，上述两个问题有几种解法？
小 结
1、 知识结构
2、 注意事项
1. 要联系已有的方程知识，在学习中进一步认识“方程是反映现实世界数
量关系的一个有效的数学模型”，在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性.
2. 掌握一元二次方程的各种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法与
公式法.着重体会相互之间的关系及其“转化”的思想，并能应用这一思想方法进行自主探索和合作交流.
3. 在应用一元二次方程解实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分析；
得到方程的解之后，必须检验是否符合题意。
复习题
A组
1. 解下列是方程：
（1）3x2－75＝0； （2）y2＋2y－48＝0；
（3）2x2－6x－3＝0； （4）x（x＋5）＝24；
（5）a（a－2）－3a2＝0； （6）x（x＋1）＋2（x－1）＝0.
2. 已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.
3. 要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分面积为100平方米.求原正方形广场的边长.（精确到0.1米）
4. 村里要修一条灌溉渠，其横截面是面积为1.6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0.4米.求灌溉渠横截面的上下底长和灌溉渠的深度.
5. 某工厂准备在两年内使产值翻一番，求平均每年增长的百分率.（精确到0.1%）
6. 求出习题22.1中第3（2）题所列方程的解的近似值.（精确到0.1米）
B组
7. 解下列方程
（1）（y＋3）（1－3y）＝1＋2y2；（2）（x－7）（x＋3）＋（x－1）（x＋5）＝38；
（3）（3x＋5）2－5（3x＋5）＋4＝0；（4）x2＋ax－2a2＝0.（a为已知常数）
8. （1）已知关于x的方程2x2－mx－m2＝0有一个根是1，求m的值；
（2）已知关于x的方程（2x－m）（mx＋1）＝（3x＋1）（mx－1）有一个
根是0，求另一个根和m的值.
9. 学校原有一块面积为1500平方米的长方形操场，现围绕操场开辟了一圈绿化带，结果使操场的面积增加了150平方米.求现在操场的长和宽.
C组
10. 先用配方法说明：不论x取何值，代数x2 －5x＋7的值总大于0.再求出当x取何值时，代数式x2 －5x＋7的值最小？最小值是多少？
11. 说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实根.复习练习
1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 。根的判别式△= 。
2、已知关于x的方程(m2－1)x2+(m+1)x+m－2=0是一元二次方程，则m的取值范围是 ；当m= 时，方程是一元一次方程。
3、已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2+3mx+5=0有一根是x=－1，则m= ，另一根是 。
4、已知关于x的一元二次方程(k－1)x2+2x－k2－2k+3=0的一个根为零，则k= 。
5、把方程a(x2+x)+b(x2－x)=1－c写成关于x的一元二次方程的一般形式是 ，二次项系数是 、一次项系数是 常数项是 ，并求出是一元二次方程的条件是 。
6、方程(x－4)(x+3)=0的解是 。
9、
10、
11、(x+3)(x－3)=9
12、(3x+1)2－2=0
13、(x+)2=(1+)2
14、0.04x2+0.4x+1=0
15、(x－2)2=6
16、(x－5)(x+3)+(x－2)(x+4)=49
17、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 。本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
实践与探索1
1、解一元二次方程复习练习
（1）3x2－75＝0； （2）y2＋2y＝0；
（3）2x2－6x＝3 （4）x（x＋5）＝24；
2、试讨论下列问题的解，与你的同伴一起交流.
例题：
小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子.
（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多
少？
分析：关键在于列出底面长和宽的代数式,设截去正方形的边长x厘米, 则底面部分长 厘米，宽 厘米
解：设 ，根据题意，得
（2）如果要求长方体的底面面积为64cm2，那么剪去的正方形边长为多少？折合成的长方体的体积又是多少？
分析：设截去正方形的边长x厘米, 长方体的高是 厘米
（3）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
（4）在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点.看看与你的感觉是否一致.
练习
1. 一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到0.1米）
1. 如图，某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形.要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等.请你给出设计方案.（画图并标注尺寸）
3、 在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分面积为100平方米.求原正方形广场的边长.（精确到0.1米）
3、 里要修一条灌溉渠，其横截面是面积为1.6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0.4米.求灌溉渠横截面的上下底长和灌溉渠的深度
3、 学校原有一块面积为1500平方米的长方形操场，现围绕操场开辟了一圈绿化带，结果使操场的面积增加了150平方米.求现在操场的长和宽.
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初三（ ）班 姓名：_________ 学号：____ 时间：2005年___月__日
试讨论下列问题的解，与你的同伴一起交流.
问题1
小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子.
（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？
（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
探 索
在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？先在下面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点.看看与你的感觉是否一致.
问题2
阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
分析：翻一番即为原净收入的2倍.若设原值为1，那么两年后的值就是2.
探 索
若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？
又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？
问题3
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
（1）x2－2x＝0；
（2）x2＋3x－4＝0；
（3）x2－5x＋6＝0.
探 索
一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1 x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致. （根与系数的关系式）
1. 习题22.3
2. 一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到0.1米）
3. 水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买.决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完.经结算，这批水果共盈利500元.若两次打折相同，每次打了几折？（精确到0.1折）
4. 为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵.已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级每年植树数的平均增长率.（精确到0.1%）
5. 某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元.有24名家庭贫困学生免费供应.经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润.问这批演出服共生产了多少套？
6. 如图，某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形.要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等.请你给出设计方案.（画图并标注尺寸）
（第5题）
7. （1）已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值；
（2）已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.
和同学讨论一下，上述两个问题有几种解法？
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