一、选择题（本大题共 8 小题，共 23 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一
项）
1.在平面直角坐标系中，若点 的坐标为(3, 2)，则点 所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】解：若点 的坐标为(3, 2)，
因为3 > 0， 2 < 0，
所以点 所在的象限是第四象限．
故选： ．
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，
四个象限的符号特点分别是：第一象限(+, +)；第二象限( , +)；第三象限( , )；第四
象限(+, )．
2.下列函数中，是一次函数的是( )
1 2 1A. = B. = 1 C. = D. = +
【答案】C
1
【解析】解： 、 = ，是反比例函数，故不符合题意；
B、 = 2 1，是二次函数，不符合题意；
第 1 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
C、 = ，是一次函数，故符合题意；
1
D、 = + 不是一次函数，故不符合题意；
故选： ．
根据一次函数的定义：形如 = + ( , 为常数且 ≠ 0)，即可解答．
本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
3.如图，数轴上点 表示的数可能是( )
A. √ 2 B. √ 5 C. √ 10 D. √ 15
【答案】B
【解析】解：由被开方数越大，其算术平方根越大，得
√ 2 < √ 4 < √ 5 < √ 9 < √ 10 < √ 15，
即√ 2 < 2 < √ 5 < 3 < √ 10 < √ 15，
故选： ．
根据被开方数越大，其算术平方根越大，可得答案．
本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大，其算术平方根越大得出√ 2 < √ 4 < √ 5 <
√ 9 < √ 10 < √ 15是解题关键．
4.以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )
A. 4，5，6 B. √ 3，√ 5，√ 7
1 1 1
C. 0.3，0.4，0.5 D. ， ，
6 8 10
【答案】C
【解析】解： 、42 + 52 ≠ 62，不能组成直角三角形，不符合题意；
B、(√ 3)2 + (√ 5)2 ≠ (√ 7)2，不能组成直角三角形，不符合题意；
C、0.32 + 0.42 = 0.52，能组成直角三角形，符合题意；
1 1 1
D、( )2 + ( )2 ≠ ( )2，不能组成直角三角形，不符合题意．
8 10 6
故选： ．
求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平
方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大
小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而
作出判断是解答此题的关键．
第 2 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
5.如图，已知 = ， = .要证△ ≌△ ，还需添加的一个条件是( )
A. ∠ = ∠ B. ∠ = ∠
C. ∠ = ∠ D. ∠ = ∠
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定，在△ 和△ 中，已经具备 = ， = ，
只要再加一夹角相等即可．
【解答】
解：∵ = ， = ，
若添加条件∠ = ∠ ，
则△ ≌△ ( )，
A、 、 选项都不能证明△ ≌△ ，
故选：
6.有甲、乙、丙三人，它们所在的位置不同，他们三人都以相同的单位长度建立不同的
坐标系，甲说：“如果以我为坐标原点，乙的位置是(4,3)”；丙说：“以我为坐标原点，
乙的位置是( 3, 4)”；如果以乙为坐标原点，甲和丙的位置分别是( )
A. (3,4)，( 3, 4) B. (4, 3)，(3, 4)
C. ( 3, 4)，(4,3) D. ( 4, 3)，(3,4)
【答案】D
【解析】解：以甲为坐标原点，乙的位置是(4,3)，则以乙为坐标原点，甲的位置是( 4, 3)；
以丙为坐标原点，乙的位置是( 3, 4)，则以乙为坐标原点，丙的位置是(3,4)．
故选： ．
由于已知三人都以相同的单位长度建立不同的坐标系，以甲为坐标原点，乙的位置是
(4,3)，则以乙为坐标原点，甲的位置是( 4, 3)；同样得到以丙为坐标原点，乙的位置
是( 3, 4)，则以乙为坐标原点，丙的位置是(3,4)．
本题考查了坐标确定位置：直角坐标平面内点的位置由有序实数对确定，有序实数对与
点一一对应．
第 3 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
7.∠ 为锐角， = ，点 在射线 上，点 到射线 的距离为 ， = ，若△
的形状、大小是唯一确定的，则 的取值范围是( )
A. = 或 ≥ B. ≥
C. = D. = 或 >
【答案】A
【解析】解：过 作 ⊥ 于 ，
∵点 到射线 的距离为 ，
∴ = ，
①如图，
当 点和 点重合时， = ，此时△ 是一个直角三角形；
②如图，
当 < < 时，此时 点的位置有两个，即△ 有两个；
③如图，
第 4 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
当 ≥ 时，此时△ 是一个三角形；
所以 的范围是 = 或 ≥ ，
故选： ．
先找出点 的位置，再画出符合的所有情况即可．
本题考查了全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情
况是解此题的关键．
8.如图(1)，在△ 中，点 从点 出发向点 运动，在运动过程中，设 表示线段 的
长， 表示线段 的长， 与 之间的关系如图(2)所示，则边 的长是( )
A. √ 20 B. √ 23 C. √ 24 D. 6
【答案】C
【解析】解：如图，过点 作 ′ ⊥ 于点 ′，
由图象可知， = 3， = 5，
当 = 1时， ⊥ ，
即 ′ = 1，
在 △ ′中，
第 5 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
′ = √ 2 ′2 = 2√ 2，
∵ ′ = 1，
∴ ′ = ′ = 5 1 = 4，
在 △ ′ 中，
= √ ′2 + ′ 2 = √ 24 = 2√ 6．
故选： ．
过点 作 ′ ⊥ 于点 ′，根据图象可知 = 3， = 5，当 = 1时， ⊥ ，即 ′ =
1， ′ = ′ = 5 1 = 4，根据勾股定理可求得 ′ = √ 2 ′2 = 2√ 2，再
根据勾股定理可求得 = √ ′2 + ′ 2 = √ 24 = 2√ 6．
本题主要考查动点问题的函数图象、数形结合思想，解题关键是根据图象得出 = 3，
= 5，当 = 1时， ⊥ 是解题关键．
二、填空题（本大题共 10 小题，共 28 分）
9.若√ 3 1在实数范围内有意义，则 的取值范围是______．
1
【答案】 ≥
3
【解析】解：由题意得，3 1 ≥ 0，
1
解得， ≥ ，
3
1
故答案为： ≥ ．
3
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10.比较大小：√ 10 3. (填“>”、“=”或“<”)
【答案】>
【解析】解：∵ 32 = 9 < 10，
∴ √ 10 > 3，
故答案为：>．
先求出3 = √ 9，再比较即可．
本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方
法．
11.点 ( 2,3)关于 轴的对称点 ′的坐标为______．
【答案】( 2, 3)
【解析】解：点 ( 2,3)关于 轴的对称点 ′的坐标为( 2, 3)，
故答案为：( 2, 3)．
第 6 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
根据关于 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可解答．
本题考查了关于 轴、 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 轴对称的点，纵坐标相同，
横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12.北京2022年冬奥会志愿者招募活动于2019年12月5日启动，截至到2021年12月5日，
共有来自全球168个国家和地区的超过961000人报名．将961000用四舍五入法精确到
10000，并用科学记数法表示，则961000可表示为______．
【答案】9.6 × 105
【解析】解：961000 = 9.61 × 105 ≈ 9.6 × 105，
故答案为：9.6 × 105．
科学记数法的表示形式为 × 10 的形式，其中1 ≤ | | < 10， 为整数．确定 的值是易
错点，由于961000有6位，所以可以确定 = 6 1 = 5.有效数字的计算方法是：从左边
第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效
数字只与前面的 有关，与10的多少次方无关．
本题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
13.如图，△ 中，边 的中垂线分别交 、 于点 、
， = 3 ，△ 的周长为9 ，则△ 的周长
是 ．
【答案】15
【解析】解：∵△ 中，边 的中垂线分别交 、 于点 、 ， = 3 ，
∴ = ， = 2 = 6 ，
∵△ 的周长为9 ，
∴ + + = + + = + = 9 ，
∴△ 的周长为： + + = 15 ．
故答案为：15．
由△ 中，边 的中垂线分别交 、 于点 、 ， = 3 ，根据线段垂直平分
线的性质，即可求得 = ， = 2 ，又由△ 的周长为9 ，即可求得 +
的值，继而求得△ 的周长．
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的
应用，注意等量代换思想的应用．
第 7 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
14.在平面直角坐标系中，把点 ( 1,5)向左平移3个单位得到点 (2 2 , 5)，则2 +
4 + 3的值为______．
【答案】15
【解析】解：将点 ( 1,5)向左平移3个单位，得到点 ，点 的坐标为(2 2 , 5)，
∴ 1 3 = 2 2 ，
∴ + 2 = 6，
∴ 2 + 4 + 3 = 2( + 2 ) + 3 = 2 × 6 + 3 = 15，
故答案为：15．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
本题考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；
纵坐标上移加，下移减．
15.如图所示，把一个直角三角尺 绕着30°角的顶点 顺时针旋转，使得点 落在 的
延长线上的点 处，则∠ 的度数为______度．
【答案】15
【解析】解：根据旋转的性质△ ≌△ ， = ，
则△ 是等腰三角形，∠ = ∠ ，∠ = 180° ∠ = 180° 30° = 150°，
1
∠ = (180° ∠ ) = 15°．
2
故答案为15°．
根据旋转的性质△ ≌△ ， = ，求出∠ 的度数，再求∠ 的度数．
根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺 绕着30°角
的顶点 顺时针旋转求出即可．
16.如图，在2 × 5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为
格点，点 、 、 均在格点上，则∠ + ∠ =______．
【答案】45°
【解析】解：延长 至 ，连接 ，
= = √ 22 + 12 = √ 5，
= √ 32 + 12 = √ 10，
∵ (√ 5)2 + (√ 5)2 = (√ 10)2，
第 8 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
即 2 + 2 = 2，
∴△ 是等腰直角三角形，
∴ ∠ = 45°，
∴ ∠ + ∠ = ∠ = 45°．
故答案为：45°．
根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得△ 是等腰直角三角形，可得∠ = 45°，
再根据三角形外角的性质即可求解．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是得到△ 是等腰直角三角形．
17.如图， △ 中，分别以这个三角形的三边为边长作
正方形，面积分别记为 1、 2、 2.如果 2 + 1 3 = 18，
则阴影部分的面积为______．
9
【答案】
2
【解析】解：由勾股定理得，
2 2 = 2，
即 2 3 = 1，
∵ 2 + 1 3 = 18，
∴ 1 = 9，
1
由图形可知，阴影部分的面积= 1， 2
9
∴阴影部分的面积= ，
2
9
故答案为： ．
2
1
由勾股定理得出 2 3 = 1，再根据 2 + 1 3 = 18即可得出 1的值， 即为图中2 1
阴影部分的面积．
本题考查了勾股定理，由勾股定理得出 2 3 = 1，是解题的关键．
18.如图1，将一张直角三角形纸片 (已知∠ = 90°， > )折叠，使得点 落
在点 处，折痕为 .将纸片展平后，再沿着 将纸片按着如图2方式折叠， 边交
于点 .若△ 是等腰三角形，则∠ 的度数为_______．
第 9 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
180
【答案】( ) °或36°
7
【解析】【分析】
本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性
质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．由翻折可得 = = ′ ，∠ = ∠ ′ ，
所以∠ ′ = 4∠ ，所以∠ = 180° 4∠ ，∠ = ∠ + ∠ = 3∠ ，若△
是等腰三角形，有三种情况：①当 = 时，∠ = ∠ ，②当 = 时，
∠ = ∠ ，③当 = 时，∠ = ∠ ，然后分别列式计算即可解决问题．
【解答】
解：由翻折可知： = = ′ ，∠ = ∠ ′ ，
∵ ∠ = 90°，
∴ = = = ′ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ ′ = ∠ = 2∠ ，
∴ ∠ ′ = 4∠ ，
∴ ∠ = 180° 4∠ ，∠ = ∠ + ∠ = 3∠ ，
若△ 是等腰三角形，有三种情况：
①当 = 时，∠ = ∠ ，
∴ 180° 4∠ = 3∠ ，
180
解得∠ = ( ) °；
7
②当 = 时，∠ = ∠ ，
∴ 3∠ = ∠ ，
∴ ∠ = 0°(不符合题意舍去)；
③当 = 时，∠ = ∠ ，
∴ 180° 4∠ = ∠ ，
解得∠ = 36°．
第 10 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
180
综上所述：∠ 的度数可能是( ) °或36°．
7
180
故答案为：( ) °或36°．
7
三、解答题（本大题共 10 小题，共 89 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8分)
求下列各式中的 ：
(1)9 2 4 = 0；
(2)( 1)3 = 8．
【答案】解：(1)9 2 4 = 0，
9 2 = 4，
2 4 = ，
9
4 2
= ±√ = ± ．
9 3
(2)( 1)3 = 8，
1 = 2，
= 3．
【解析】(1)式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
(2)利用立方根的定义求解即可．
本题主要考查了平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
20.(本小题8分)
计算：
3 7
(1)√ ( 1)2 + √( 2)3 + √ 1 ；
9
(2)|1 √ 3| + ( 2)2 √ 3．
4
【答案】解：(1)原式= 1 2 +
3
1
= ；
3
(2)原式= √ 3 1 + 4 √ 3
= 3．
【解析】(1)直接利用立方根以及算术平方根分别化简得出答案；
(2)直接利用绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确掌握相关定义是解题关键．
第 11 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
21.(本小题8分)
已知某正数的两个不同的平方根是3 14和 2； 15的立方根为 3．
(1)求 、 的值；
(2)求4 + 的平方根．
【答案】解：(1) ∵正数的两个不同的平方根是3 14和 2，
∴ 3 14 + 2 = 0，
解得 = 4，
∵ 15的立方根为 3，
∴ 15 = 27，
解得 = 12
∴ = 4、 = 12；
(2) = 4、 = 12代入4 +
得4 × 4 + ( 12) = 4，
∴ 4 + 的平方根是±2．
【解析】(1)根据正数的两个不同的平方根是3 14和 2，列出方程解出 ，再根据
15的立方根为 3，列出方程解出 ；
(2)把 = 4、 = 12代入4 + 计算出代数式的值，然后求它的平方根．
本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握其概念和性质是解题关键
22.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系中，已知△ 的三个顶点的坐标分别为 (1,0)， (2, 3)，
(4, 2)．
(1)画出△ 关于 轴的对称图形△ 1 1 1；
(2)画出△ 1 1 1向左平移4个单位长度后得到△ 2 2 2；
(3)如果 上有一点 ( , )经过上述两次变换，那么对应 2 2上的点 2的坐标
是 ．
(4)在 轴上画出一点 ，使得∣ ∣的值最大，此时点 的坐标是 ．
第 12 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
【答案】解：(1)如图，△ 1 1 1即为所求；
(2)如图，△ 2 2 2即为所求；
(3)( 4, )．
(4)(0,3)
【解析】【分析】
本题主要考查了作图 轴对称变换、平移变换，平面直角坐标系中点的变换规律等知识，
准确画出图形是解题的关键，属于常考题．
(1)根据关于 轴对称的点的坐标特征确定△ 三个顶点的对称点，再顺次连接即可；
(2)根据平移的坐标变换规律确定△ 1 1 1三个顶点的对应点，再顺次连接即可；
(3)根据平面直角坐标系中点的变化规律可得出答案．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)点 ( , )在 上，关于 轴的对称点为( , )，此点再向左平移4个单位长度得点 2
的坐标为( 4, )，
故答案为：( 4, )．
第 13 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
23.(本小题6分)
如图所示，某新型休闲凳可无缝叠摞在家中角落，节省收纳空间，请根据图中所给的信
息数据，解答问题．
(1)求叠在一起的凳子总高度 ( ) 与休闲凳数量 (个)之间的一次函数表达式；
(2)当购买5个休闲凳时，求叠在一起的凳子的总高度．
【答案】解：(1)设一次函数 = + ，
52 = 2 +
根据题意得{ ，
64 = 4 +
= 6
解得{ ，
= 40
∴ 与 的函数解析式为 = 6 + 40；
(2)当 = 5时， = 6 × 5 + 40 = 70，
答：当购买5个休闲凳时，求叠在一起的凳子的总高度为70．
【解析】(1)用待定系数法求出函数解析式即可；
(2)把 = 5代入函数解析式求出 即可．
本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．
24.(本小题7分)
如图，在△ 中，边 的垂直平分线 与边 的垂直平分线 交于点 ，这两条
垂直平分线分别交 于点 、 ．
(1)若∠ = 30°，∠ = 40°，求∠ 的度数；
(2)已知△ 的周长11 ，分别连接 、 、 ，若△ 的周长为27 ，求 的
长．
第 14 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
【答案】解：(1) ∵ ∠ = 30°，∠ = 40°，
∴ ∠ = 180° ∠ ∠ = 180° 30° 40° = 110°，
∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ = 30°，
同理， = ，
∴ ∠ = ∠ = 40°，
∴ ∠ = ∠ ∠ ∠ = 110° 30° 40° = 40°；
(2)连接 ， ， ，
∵△ 的周长11
∴ + + = 11( )，
∴ = + + = + + = 11( )；
∵△ 的周长为27 ，
∴ + + = 27( )，
∵ = 11 ，
∴ + = 16( )，
∵ 垂直平分 ，
∴ = ，
同理， = ，
∴ = = = 8( )．
第 15 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
【解析】(1)求出∠ = 110°，根据线段垂直平分线的性质得到 = ， = ，
可求出答案；
(2)连接 ， ， ，根据三角形的周长公式求出 + ，根据线段垂直平分线的
性质得到 = ，计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上
的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
25.(本小题10分)
小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置 处， 与地面垂直，
两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 高的 处接住他后用力一推，爸爸在 处接
住他，若妈妈与爸爸到 的水平距离 、 分别为1.6 和2 ，∠ = 90°．
(1) △ 与△ 全等吗？请说明理由；
(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
【答案】解：(1) △ 与△ 全等．
理由如下：
由题意可知∠ = ∠ = 90°， = ，
∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°．
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
{∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ ( )；
(2) ∵△ ≌△ ，
∴ = ， = ，
∵ 、 分别为1.6 和2 ，
∴ = = = 2 1.6 = 0.4( )，
第 16 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
∵ = 1.2 ，
∴ = + = 1.6( )，
答：爸爸是在距离地面1.6 的地方接住小明的．
【解析】(1)由直角三角形的性质得出∠ = ∠ ，根据 可证明△ ≌△ ；
(2)由全等三角形的性质得出 = ， = ，求出 的长则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△ ≌△ 是解题
的关键．
26.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，点 在 轴上，点 在第一象限，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，
已知点 的坐标为(3, √ 3)， 长为2．
(1)求 ， 的长．
(2)请判断△ 的形状，并说明理由．
【答案】解：(1) ∵点 的坐标为(3, √ 3)， ⊥ 轴，
∴ = 3， = √ 3，
∴ = √ 2 2 = √ 22 (√ 3)2 = 1， = √ 2 + 2 = √ 32 + (√ 3)2 = 2√ 3；
(2) △ 是直角三角形，理由如下：
∵ = 3， = √ 3， ⊥ 轴，
∴ 2 = 2 + 2 = 9 + 3 = 12，
由(1)得 = 1，
∴ = + = 4，
∵ 2 = 16， 2 = 4，
∴ 16 = 4 + 12，
即 2 = 2 + 2，
∴△ 是直角三角形．
第 17 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
【解析】(1)由题意可得 = 3， = √ 3，利用勾股定理即可求解；
(2)由勾股定理可求得 2 = 12，利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题主要考查坐标与图形，解答的关键是对勾股定理及其逆定理的掌握与运用．
27.(本小题12分)
如图，对于平面直角坐标系中的任意两点 ， 给出如下定义：过点 作直线 ⊥ 轴，
过点 作直线 ⊥ 轴，直线 ， 交于点 ，我们把 叫做 ， 两点之间的水平宽，记
作 1( , )，即 1( , ) = | |，把 叫做 ， 两点之间的铅垂高，记作 2( , )，
即 2( , ) = | |.
特别地，当 ⊥ 轴时，规定 ， 两点之间的水平宽为0，即 1( , ) = 0， ， 两点
之间的铅垂高为线段 的长，即 2( , ) = | |；
当 ⊥ 轴时，规定 ， 两点之间的水平宽为线段 的长，即 1( , ) = | |， ，
两点之间的铅垂高为0，即 2( , ) = 0；
(1)已知 为坐标原点，点 (2, 1)，则 1( , ) =______， 2( , ) =______．
(2)已知点 (3 , 2 + 2)．
①若点 (0,2)， 1( , ) + 2( , ) = 5，求 的值；
②若点 ( 2 , 3 )，直接写出 1( , ) + 2( , )的最小值．
【答案】解：(1)2； 1；
(2)①由题意：|3 | + |2 | = 5，
当 > 0时， = 1，
当 < 0时， = 1，
综上所述， 的值为±1．
②由题意， 1( , ) + 2( , ) = |5 | + |5 2|，
当 ≤ 0时， 1( , ) + 2( , ) = |5 | + |5 2| = 2 10 ，
= 0时，有最小值，最小值为2，
2
当0 < < 时， 1( , ) + 2( , ) = |5 | + |5 2| = 5 + 2 5 = 2， 5
第 18 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
2
当 ≥ 时， 1( , ) + 5 2
( , ) = |5 | + |5 2| = 10 2，
2
= 时，有最小值，最小值为2，
5
综上所述， 1( , ) + 2( , )的最小值为2．
【解析】【分析】
本题考查新定义，绝对值，
(1)根据水平宽 1( , ) = | |，铅垂高 2( , ) = | |的定义求解即可．
(2)①构建方程求解即可．
②由题意， 1( , ) + 2( , ) = |5 | + |5 2|，分3种情况分别求出最小值即可判断．
【解答】
解：(1)由题意， 1( , ) = |2 0| = 2， 2( , ) = |0 ( 1)| = 1，
(2)①见答案．
②见答案．
28.(本小题10分)
已知：如图，△ 中，∠ = 90°， > ，点 是 的中点，点 是直线 上的一
个动点，连接 ，过点 作 ⊥ 交直线 于点 ．
(1)如图1，当点 、 分别在线段 、 上时(点 与点 、 不重合)，过点 作 的平
行线交 的延长线于点 ，连接 、 ．
①求证： = ；
②若 = 12， = 9，设 = ， = ，求 关于 的函数表达式；
(2)当点 在线段 的延长线上时，依据题意补全图2，用等式表示线段 、 、 之
间的数量关系，并说明理由．
【答案】解：(1)① ∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∵点 是 的中点，
第 19 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
∴ = ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
{∠ = ∠
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∵ ⊥ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ = ；
② ∵ = 9， = ，
∴ = = 9 ，
由①知，△ ≌△ ，
∴ = = 9 ，
∵ = 12， = ，
∴ = = 12 ，
在 △ 中， 2 = 2 + 2 = 2 + (12 )2，
在 △ 中， 2 = 2 + 2 = (9 )2 + 2，
由①知， = ，
∴ (9 )2 + 2，= 2 + (12 )2，
4 7
∴ = ，
3 2
∵点 在线段 上，
∴ 0 < < 9，
4 7
∴ 0 < < 9，
3 2
21 75
∴ < < ，
8 8
∵点 在线段 上，
∴ 0 ≤ ≤ 12，
4 7 21 75
∴ 关于 的函数表达式为 = ( < < )；
3 2 8 8
(2)补全图形如图2所示，结论： 2 + 2 = 2；
第 20 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
理由：∵ // ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
在 △ 中，根据勾股定理得， 2 + 2 = 2，
由(1)①知，△ ≌△ ，
∴ = ，
由(1)①知， = ，
∴ 2 + 2 = 2．
【解析】(1)①由 // ，得出∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，再判断出 = ，进
而判断出△ ≌△ ( )，得出 = ，最后由垂直平分线定理，即可得出结
论；
②先表示出 ， ，利用勾股定理和 = ，建立方程求解，即可得出结论；
(3)先判断出 2 + 2 = 2，再借助(1)①的结论，代换，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平
分线定理，平行线的性质，判断出 = 是解本题的关键．
第 21 页，共 21 页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …八年级数学练习
一、选择题（本大题共 8 小题，共 24 分。）
1.在平面直角坐标系中，若点 的坐标为 ，则点 所在的象限是( ▲ )
A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
2.下列函数中，是一次函数的是( ▲ )
A. B. C. D.
3.如图，数轴上点 表示的数可能是( ▲ )
A. B. C. D.
4.以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( ▲ )
A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ，
5.如图，已知 ， 要证 ，还需添加的一个条件是( ▲ )
A. B.
C. D.
6.有甲、乙、丙三人，它们所在的位置不同，他们三人都以相同的单位长度建立不同的坐
标系，甲说：“如果以我为坐标原点，乙的位置是 ”；丙说：“以我为坐标原点，乙
的位置是 ”；如果以乙为坐标原点，甲和丙的位置分别是( ▲ )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 为锐角， ，点 在射线 上，点 到射线 的距离为 ， ，若
的形状、大小是唯一确定的，则 的取值范围是( ▲ )
A. 或 B.
C. D. 或
8.如图 ，在 中，点 从点 出发向点 运动，
在运动过程中，设 表示线段 的长， 表示线段 的
长，与 之间的关系如图 所示，则边 的长是( ▲ )
A. B. C. D.
第 1页，共 6页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
二、填空题（本大题共 10 小题，共 30 分）
9.若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ▲ ．
10.比较大小： ▲ 填“ ”、“ ”或“ ”
11.点 关于 轴的对称点 的坐标为 ▲ ．
12.北京 年冬奥会志愿者共有来自全球超过 人报名．将 用四舍五入法精
确到 ，并用科学记数法表示，则 可表示为 ▲ ．
13.如图， 中，边 的中垂线分别交 、 于点 、 ， ， 的周长
为 ，则 的周长是 ▲ ．
（第 13 题） （第 15 题） （第 16 题）
14.在平面直角坐标系中，把点 向左平移 个单位得到点 ，则
的值为 ▲ ．
15.如图所示，把一个直角三角尺 绕着 角的顶点 顺时针旋转，使得点 落在 的
延长线上的点 处，则 的度数为 ▲ 度．
16.如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点 、 、 均在格点
上，则 ▲ ．
17.如图， 中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为 、 、
如果 ，则阴影部分的面积为 ▲ ．
（第 17 题） （第 18 题）
18.如图 ，将一张直角三角形纸片 已知 ， 折叠，使得点 落在点
处，折痕为 将纸片展平后，再沿着 将纸片按着如图 方式折叠， 边交 于点 若
是等腰三角形，则 的度数为 ▲ ．
第 2页，共 6页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
三、解答题（本大题共 10 小题，共 96 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题 分
求下列各式中的 ： ； ．
20. 本小题 分
计算： ； ．
21. 本小题 分
已知某正数的两个不同的平方根是 和 ； 的立方根为 ．
求 、 的值； 求 的平方根．
22. 本小题 分
如图，平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
画出 关于 轴的对称图形 ；
画出 向左平移 个单位长度后得到
；
如果 上有一点 经过上述两次变换，那么
对应 上的点 的坐标是 ．
在 轴上画出一点 ，使得 的值最大，此
时点 的坐标是 ．
23. 本小题 10 分
如图所示，某新型休闲凳可无缝叠摞在家中角落，节省收纳空间，请根据图中所给的信息
数据，解答问题．
求叠在一起的凳子总高度 与休闲
凳数量 个 之间的一次函数表达式；
当购买 个休闲凳时，求叠在一起的凳子
的总高度．
第 3页，共 6页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
24. 本小题 10 分
如图，在 中，边 的垂直平分线 与边 的垂直平分线 交于点 ，这两条垂直
平分线分别交 于点 、 ．
若 ， ，求 的度数；
已知 的周长 ，分别连接 、 、 ，若 的周长为 ，求 的
长．
25. 本小题 分
小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置 处， 与地面垂直，
两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 高的 处接住他后用力一推，爸爸在 处接住
他，若妈妈与爸爸到 的水平距离 、 分别为 和 ， ．
与 全等吗？请说明理由；
爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
第 4页，共 6页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
26. 本小题 10 分
在平面直角坐标系中，点 在 轴上，点 在第一象限，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，已
知点 的坐标为 ， 长为 ．
求 ， 的长．
请判断 的形状，并说明理由．
27. 本小题 分
如图，对于平面直角坐标系中的任意两点 ， 给出如下定义：过点 作直线 轴，过
点 作直线 轴，直线 ，交于点 ，我们把 叫做 ，两点之间的水平宽，记作 ，
即 ，把 叫做 ， 两点之间的铅垂高，记作 ，即
特别地，当 轴时，规定 ， 两点之间的水平宽为 ，即 ， ， 两点之间
的铅垂高为线段 的长，即 ；
当 轴时，规定 ， 两点之间的水平宽为线段 的长，即 ， ， 两
点之间的铅垂高为 ，即 ；
已知 为坐标原点，点 ，则 ______， ______．
已知点 ．
若点 ， ，求 的值；
若点 ，直接写出 的最小值．
第 5页，共 6页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
28. 本小题 12 分
已知：如图， 中， ， ，点 是 的中点，点 是直线 上的一个
动点，连接 ，过点 作 交直线 于点 ．
如图 ，当点 、 分别在线段 、 上时 点 与点 、 不重合 ，过点 作 的平行线
交 的延长线于点 ，连接 、 ．
求证： ；
若 ， ，设 ， ，求 关于 的函数表达式；
当点 在线段 的延长线上时，依据题意补全图 ，用等式表示线段 、 、 之间
的数量关系，并说明理由．
第 6页，共 6页
{#{QQABaQSUggAgABIAABhCQQGKCEEQkBECAIoOxAAAIAAAQBFABAA=}#}
