第15章 分式 单元复习题 2023-2024学年上学期人教版八年级数学上册（山东地区适用）（含解析）

第15章 分式 单元复习题
一、单选题
1．（2023上·山东济宁·八年级统考期末）下列式子中是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·山东淄博·八年级统考期末）如果把分式中的x，y的值都扩大2倍，那么此分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．扩大6倍 D．不变
4．（2023上·山东聊城·八年级校考期末）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022上·山东泰安·八年级统考期末）公园普通景观灯天耗电千瓦．改用节能景观灯后，同样千瓦的电量可多用天．普通景观灯每天的耗电量是节能景观灯每天耗电量的（ ）倍．
A． B． C． D．
6．（2023上·山东济南·八年级统考期末）若，则代数式的值是（ ）
A． B．3 C． D．6
7．（2023上·山东济宁·八年级统考期末）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201千克，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）关于的方程有增根，则增根可能是（ ）
A．1 B．3 C．－1 D．1或
9．（2023上·山东德州·八年级统考期末）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．（2023上·山东济宁·八年级期末）已知分式，当时，分式无意义，则a＝ ．
11．（2023上·山东泰安·八年级校考期末）分式，当x= 时分式的值为零．
12．（2023上·山东烟台·八年级统考期末）已知，则代数式的值为 ．
13．（2023上·山东菏泽·八年级统考期末），的最简公分母是 ．
14．（2023上·山东滨州·八年级统考期末）（1）约分： ．的结果为 ．
（2）分解因式： ．
（3）多项式的公因式是 ．
15．（2022上·山东聊城·八年级校考期末）计算的结果是 ．
16．（2023上·山东德州·八年级统考期末）若式子无意义，则x的值为 ．
17．（2023上·山东济宁·八年级统考期末）若，则的值为 ．
三、计算题
18．（2023上·山东滨州·八年级统考期末）（1）计算：
（2）如图，在中，，外角的平分线、相交于点D，求的度数．
19．（2023上·山东临沂·八年级校考期末）先化简，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中．
20．（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）计算
(1)
(2)
21．（2023上·山东济南·八年级统考期末）先化简，再求值，其中．
22．（2023上·山东临沂·八年级统考期末）（1）化简：
（2）先化简，再求代数式的值，其中
23．（2023上·山东滨州·八年级统考期末）先化简再求值：，其中
四、问答题
24．（2023上·山东临沂·八年级校考期末）市政府为了建方仓医院，准备从某厂调拨用于搭建板房的板材和铝材，该厂现有板材和铝材，不足部分计划安排人进行生产，若每人每天能生产板材或铝材，则应分别安排多少人生产板材和铝材，才能确保同时完成各自的生产任务？
25．（2023上·山东临沂·八年级校考期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
26．（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）列方程解应用题：
甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的倍，两人各加工个这种零件，甲比乙少用天．求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
27．（2023上·山东济南·八年级统考期末）某商店购进篮球、足球两种商品，已知每个篮球的价格比每个足球的价格贵元，用元购买篮球的个数恰好与用元购买足球的个数相同．
(1)求篮球、足球每个的价格各是多少元
(2)计划购买这两种球共个，且投入的经费不超过元，那么最多可购买多少个篮球
28．（2022上·山东淄博·八年级统考期末）中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的月饼，已知购进甲种月饼的金额是元，购进乙种月饼的金额是元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多个，甲种月饼每个的单价是乙种月饼每个单价的倍．求甲、乙两种月饼的每个的单价分别是多少元
29．（2023上·山东德州·八年级统考期末）黄老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车 新能源车
油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时
油价：9元/升 电价：元/千瓦时
续航里程：a千米 续航里程：a千米
每千米行驶费用：______元 每千米行驶费用：______元
(1)用含a的代数式表示燃油车与新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
参考答案：
1．C
【分析】如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母．根据分式的定义逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、的分母中不含有字母，不是分式，不符合题意，选项错误；
B、的分母中不含有字母，不是分式，不符合题意，选项错误；
C、是分式，符合题意，选项正确；
D、的分母中不含有字母，不是分式，不符合题意，选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的判断，熟练掌握分式的定义是解题关键．
2．B
【分析】直接利用分式有意义的条件即分母不为零，进而得出答案．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
3．A
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可得出结果．
【详解】解：由题意得：，
∴把x，y的值都扩大2倍，分式的值扩大了2倍，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4．C
【分析】分子、分母分别因式分解，约分即可得到结论．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简，解决问题的关键是熟练应用平方差公式．
5．D
【分析】根据题意求得普通景观灯每天的耗电量与节能景观灯每天耗电量，即可求解．
【详解】解：∵公园普通景观灯天耗电千瓦
∴普通景观灯每天的耗电量为，
∵改用节能景观灯后，同样千瓦的电量可多用天
∴节能景观灯每天耗电量为，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的除法的应用，根据题意列出代数式是解题的关键．
6．D
【分析】由题意知，然后代入求值即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
7．B
【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此即可得解．
【详解】0.00000201用科学记数法表示为,
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于正确的确定a和n的值．
8．D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出所求即可．
【详解】解：∵方程中各分式的最简公分母为，
分式方程有增根，
∴，
解得，
化简为，
当时，，
当时，，
综上，增根可能是1或．
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程无解和增根的条件．
9．A
【分析】根据时间=路程÷速度，列出分式方程计算即可．
【详解】根据题意，得：，
故选A．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
10．4
【分析】根据分母等于0分式无意义列式求解即可.
【详解】解：∵当时，分式无意义，
∴，
解得：；
故答案为4．
【点睛】本题考查了分式无意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．
11．
【分析】根据分式值为零的条件是分子为零，分母不为零进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子为零，分母不为零是解题的关键．
12．/
【分析】将代数式的分子分母同时除以，然后将已知等式代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的性质，整体代入是解题的关键．
13．/
【分析】先把分母因式分解，再根据确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
根据上述方法求出最简公分母．
【详解】解：∵，
，
∴，的最简公分母是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简公分母，先把分母因式分解，再根据确定最简公分母的方法是本题的解题方法．
14． 或）
【分析】（1）根据分式的性质，分别进行约分运算，即可求解；
（2）利用平方差公式进行分解因式，即可求解；
（3）找出公因式即可．
【详解】解：（1）约分：；
，
故答案为：，；
（2）
故答案为：；
（3）多项式的公因式是或），
故答案为：或）．
【点睛】本题考查了分式的性质，分解因式，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
15．
【分析】先对各项进行因式分解，再将除法变为乘法，最后化简即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的除法运算，正确进行因式分解是解题的关键．
16．
【分析】根据零指数幂的性质得到，解之即可．
【详解】解：∵式子无意义，
∴，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了零指数幂，解题的关键是掌握中．
17．
【分析】先利用多项式乘以多项式法则展开，得到、的值，再代入计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的乘法，代数式求值，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
18．（1）；（2）．
【分析】（1）利用分式的乘除法则进行计算即可；
（2）根据三角形的外角的性质，角平分线的定义得到，根据三角形的内角和为，得到，，进而求出，再利用三角形的内角和定理，即可得解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：根据三角形的外角性质，，
∵、分别是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，．
【点睛】本题考查分式的乘除混合运算，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质．熟练掌握分式乘除的运算法则，以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．
19．(1)，0
(2)，3
【分析】（1）利用多项式除单项式法则、乘法的平方差公式先乘除，再合并同类项，最后代入求值；
（2）首先把括号内的分式进行通分相减，然后把除法转化为乘法，即可进行化简，然后把已知的式子写成，代入即可求解．
【详解】（1）解：原式，
把，代入，
即
（2）解：
∵，
∴，
把代入，即．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和分式混合运算，要注意先去括号，分子、分母能因式分解的先因式分解，除法要统一换为乘法．
20．(1)
(2)
【分析】（1）通分计算即可；
（2）先通分算减法，再算除法．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
【点睛】此题考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
21．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
因为，
所以原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
22．（1）；（2）；
【分析】（1）先进行完全平方公式和多项式乘多项式的运算，再合并同类项即可；
（2）先按照分式的运算法则进行化简，根据零指数幂和负整数指数幂的法则，求出的值，再代值计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
，
将代入得，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的化简求值．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
23．，
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵
∴时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
24．分别安排人生产板材，人生产铝材，才能确保同时完成各自的生产任务
【分析】先设x人生产板材，则人生产铝材，根据生产时间相等得列出方程，再解方程即可．
【详解】解：设x人生产板材，则人生产铝材，
由题意得，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
则，
答：分别安排人生产板材，人生产铝材，才能确保同时完成各自的生产任务．
【点睛】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系是解决问题的关键．
25．(1)
(2)无解
【分析】（1）把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：由
则去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
经检验：是原分式方程的解；
（2）解：由，
则去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
因为，
经检验：是增根，原分式方程无解．
【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则．
26．乙每天加工个零件，甲每天加工个零件
【分析】设乙每天加工零件个，则甲每天加工零件个，根据两人各加工个这种零件，甲比乙少用天列出方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设乙每天加工个零件，甲每天加工个零件．
根据题意，得：
解这个方程，得：，
经检验知是原方程的根，并符合题意，
当时，，
答：乙每天加工个零件，甲每天加工个零件．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
27．(1)每个足球的价格为元，每个篮球的价格为元；
(2)个．
【分析】（1）根据题意找出等量关系，列出分式方程，解出方程并检验即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式，求出解集即可求出最大值．
【详解】（1）设每个足球的价格为元，每个篮球的价格为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：每个足球的价格为元，每个篮球的价格为元．
（2）设购买个篮球，则购买个足球，依题意得：，
解得：，
∴的最大值为，
答：最多可购买个篮球．
【点睛】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式．
28．甲种月饼每个的单价为元，乙种月饼每个的单价为元
【分析】设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼的每个的单价为元，由题意：购进甲种月饼的金额是元，购进乙种月饼的金额是元，购进甲种月饼的数量比乙种月饼的数量多个，列出分式方程解方程即可；
【详解】解：设乙种月饼每个的单价为元，则甲种月饼的每个的单价为元，
依题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，
则，
答：甲种月饼每个的单价为元，乙种月饼每个的单价为元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
29．(1)新能源车的每千米行驶费用为元；燃油车元
(2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低
【分析】（1）根据每千米行驶费用相应的费用续航里程，即可求解；
（2）①结合（1）进行求解即可；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：（元），
故答案为：元；
（2）①燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
（元），
（元），
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
②设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．