2023- 2024学年星湾学校初三年级 12月份月考数学试卷
一、选择题 (本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分）
1. cos30°的值是 ( )
A. 22 B.
3
3 C.
1
2 D.
3
2
2.用配方法解一元二次方程 x2+ 3= 4x，下列配方正确的是 ( )
A. (x+ 2)2= 2 B. (x- 2)2= 7 C. (x+ 2)2= 1 D. (x- 2)2= 1
3.二次函数 y= ax2+ bx+ 2的图象经过点 (-1,0)，则代数式 a- b的值为 ( )
A. 0 B. - 2 C. - 1 D. 2
4.已知⊙O的半径为 5，点P在⊙O内，则OP的长可能是 ( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
5.在ΔABC中，∠C= 90°，AC= 1，BC= 2，则 cosA的值是 ( )
A. 12 B. 5 C.
5
5 D.
2 5
5
6.已知二次函数 y= x2- 2x+ c的图象经过点P(-1,y1)和Q(m,y2)．若 y1< y2，则m的取值范围是 ( )
A. - 1 3 D. m<-1
7.如图，四边形ABCD与四边形 EFGH OE 2是位似图形，点O是位似中心．若 = 3 ，四边形ABCD的面积是EA
25，则四边形EFGH的面积是 ( )
A. 4 B. 10 C. 1009 D.
50
3
(第 7题图)
（第 9题图）
8.二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)中，自变量 x与函数 y的对应值如下表：
x -2 -1 0 1 2 3 4
y m- 4.5 m- 2 m- 0.5 m m- 0.5 m- 2 m- 4.5
若 1A.该函数图象开口向上
B.该函数图象与 y轴的交点在 x轴的下方
C.对称轴是直线 x=m
D.若 x1是方程 ax
2+ bx+ c= 0的正数解，则 2< x1< 3
9.如图，半圆O的直径AB= 4，将半圆O绕点B顺时针旋转 45°得到半圆O ，与AB交于点P，图中阴影部分的
面积等于 ( )
A. 2π+ 2 B. 2π+ 4 C. 2π- 4 D. 4π- 8
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10.如图，RtΔABC中，AB⊥BC，AB= 6，BC= 4，P是ΔABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线
段CP长的最小值为 ( )
A. 3 B. 2 C. 8 132 13 D.
12 13
13
A
B
C
（第 10题图） 第 13题图 第 15题图 （第 16题图）
℃
二、填空题 (本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分）
11.已知 x= 2是关于 x的方程 x2+ x- 2m= 0的一个根，则m= ．
12.若方程 ax2+ bx+ c= 0的解是 x =-2，x = 5，则抛物线 y= ax21 2 + bx+ c的对称轴是直线 x= ．
13.如图，四边形ABCO的顶点A、B、C在⊙O上，若∠ABC= 130°，则∠AOC= ．
14.已知圆锥的母线长为 4，其侧面展开图的圆心角的度数为 90°，则圆锥的底面圆的半径为 ．
15.如图，在一根半径为 10cm的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于
5cm，则这个正三角形边长最大为 cm．
16.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C三点都在格点上，则
sin∠ABC= .
17.如图，在RtΔABC中，∠ACB= 90°，∠B= 30°，BC= 3，点D是BC边上的一动点 (不与点B、C重合)，过点D
作DE⊥BC交AB于点 E，将∠B沿直线DE翻折，点 B落在射线BC上的点 F处．当 ΔAEF为直角三角形
时，则折叠后所得到的四边形AEDF的周长为 ．
（第 17题图） 第 18题图
18.如图，二次函数 y= ax2+ bx+ c的图象与正比例函数 y= kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为
-3，点B的横坐标为 2，二次函数图象的对称轴是直线 x=-1．下列结论：① abc< 0；② 3b+ 2c> 0；③关于 x
的方程 ax2+ bx+ c= kx的两根为 x1=-3，x2= 2 1；④ k= 2 a．其中正确的是 .(只填写序号)
三、解答题 (本大题共 10小题，共 76分）
-1
19.计算：4sin60° + 13 + |-2| - 12．
20.解方程：x2- 8x+ 9= 0；
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21.如图，在 6× 6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，点A，B，C均在格点上．请按要求在网格中画图，
所画图形的顶点均需在格点上．
(1)在图 1中以线段AB为边画一个ΔABD，使其与ΔABC相似，但不全等．
(2)在图 2中画一个ΔEFG，使其与ΔABC相似，且面积为 8．
22.已知关于 x的方程 x2- (2k+ 1)x+ 4 k- 12 = 0
(1)求证：无论 k取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长 a= 4，另两边 b、c恰好是这个方程的两个根，求ΔABC的周长．
23.如图，在RtΔABC中，∠ACB= 90° 4，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为E．已知BC= 20，sinA= 5．
(1)求线段CD的长；
(2)求 cos∠BDE的值．
24.如图，在ΔABC中，O是AC上 (异于点A，C)的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分
∠CAD．
(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
(2)若AC= 10，DC= 8，求⊙O的半径长．
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25.根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
图 1中有一座圆拱石桥，图 2是其圆形
素材 1 桥拱的示意图，测得水面宽AB=
16m，拱顶离水面的距离CD= 4m．
如图 3，一艘货船露出水面部分的横截
面为矩形EFGH，测得EF= 3m，EH
= 10m．因水深足够，货船可以根据需
素材 2 要运载货物．据调查，船身下降的高度
（米与货船增加的载重量（吨满足函数
y= 1关系式 100 x
问题解决
任务 1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径
根据图 3状态，货船能否
通过圆形拱桥？若能，最
任务 2 拟定设计方案 多还能卸载多少吨货物？
若不能，至少要增加多少
吨货物才能通过？
26. 3如图，抛物线 y= ax2+ bx+ c与 x轴交于A，B两点，与 y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线 x=- 2．已知
点B(1,0)，C(0, -2)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)E是线段AC上的一个动点，过点E作ED⊥ x轴，延长DE交抛物线于点F，求线段EF的最大值及此时点
E的坐标．
(3)在 y轴上是否存在一点P，使得∠OAP+∠OAC= 60°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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27.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于 n(n≥ 0)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点
1 1 13 ，3 是函数 y= x图象的“ 2 阶方点”；点 (-1,1)是函数 y=-x图象的“1阶方点”．
(1)在① (-1,2)；② (0,0) 1；③ 2 ，-1 三点中，是正比例函数 y=-2x图象的“1阶方点”的有 (填序号)；
(2)若 y关于 x的一次函数 y= ax- 4a+ 1图象的“2阶方点”有且只有一个，求 a的值；
(3)若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点 (n,n)，则点 (n,n)称为此函数图象的“不动 n阶方点”，若 y关于 x
1
的二次函数 y= 4 x
2+ (p- t+ 1)x+ q+ t- 2的图象上存在唯一的一个“不动 n阶方点”，且当 2≤ p≤ 3时，q
的最小值为 t，求 t的值．
28.综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在RtΔABC中，∠C= 90°，D为AC上一点，CD= 2，动点P以每秒 1个单位
的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设
点P的运动时间为 t s，正方形DPEF的面积为S，探究S与 t的关系．
初步感知
(1)如图 1，当点P由点C运动到点B时，
①当 t= 1时，S= ；
②S关于 t的函数解析式为 ．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现 S是关于 t的二次函数，并绘制成如图 2所示的图象．请根据图
象信息，求S关于 t的函数解析式及线段AB的长．
延伸探究
(3)若存在 3个时刻 t1，t2，t3(t1< t2< t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．
① t1+ t2= ；
②当 t3= 6t1时，求正方形DPEF的面积．
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参考答案与解析
一、选择题 (本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分）
1. cos30°的值是 ( )
A. 22 B.
3 C. 13 2 D.
3
2
【答案】D
【解析】解：cos30° = 32 ，
故选：D．
2.用配方法解一元二次方程 x2+ 3= 4x，下列配方正确的是 ( )
A. (x+ 2)2= 2 B. (x- 2)2= 7 C. (x+ 2)2= 1 D. (x- 2)2= 1
【答案】D
【解析】解：x2+ 3= 4x，
整理得：x2- 4x=-3，
配方得：x2- 4x+ 4= 4- 3，即 (x- 2)2= 1．
故选：D．
3.二次函数 y= ax2+ bx+ 2的图象经过点 (-1,0)，则代数式 a- b的值为 ( )
A. 0 B. - 2 C. - 1 D. 2
【答案】B
【解析】解：把 (-1,0)代入 y= ax2+ bx+ 2，得 a- b+ 2= 0，
即 a- b=-2，
故选：B．
4.已知⊙O的半径为 5，点P在⊙O内，则OP的长可能是 ( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】D
【解析】解：∵⊙O的半径为 5，点P在⊙O内，
∴OP< 5．
故选：D．
5.在ΔABC中，∠C= 90°，AC= 1，BC= 2，则 cosA的值是 ( )
A. 1 5 2 52 B. 5 C. 5 D. 5
【答案】C
【解析】解：在RtΔACB中，∠C= 90°，AC= 1，BC= 2，
∴AB= AC2+BC2= 12+ 22= 5，
∴ cosA= AC = 1 = 5
AB 5 5
，
故选：C．
6.已知二次函数 y= x2- 2x+ c的图象经过点P(-1,y1)和Q(m,y2)．若 y1< y2，则m的取值范围是 ( )
A. - 1 3 D. m<-1
初三数学 第 1页 共 13页
{#{QQABCQQUogAIABIAARhCQQEaCEIQkBECAAoOAAAIMAAAQBNABAA=}#}
【答案】C
【解析】解：∵二次函数 y= x2- 2x+ c，
∴ x=- -2图象的开口向上，对称轴为直线 2× 1 = 1，
∴当 x< 1时，y随 x的增大而减小，当 x> 1时，y随 x的增大而增大，
∴点P(-1,y1)关于对称轴的对称点为 (3,y1)，
∵二次函数 y= x2- 2x+ c的图象经过点P(-1,y1)和Q(m,y2)，且 y1< y2，
∴m<-1或m> 3，
故选：C．
7.如图，四边形ABCD与四边形 EFGH OE 2是位似图形，点O是位似中心．若 = 3 ，四边形ABCD的面积是EA
25，则四边形EFGH的面积是 ( )
A. 4 B. 10 C. 100 D. 509 3 \
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心，
∴ EF = OE ，四边形ABCD与四边形EFGH相似，
AB OA
∵ OE = 2
EA 3
，
∴ OE = 2
OA 5
，
∴ EF = 2，
AB 5
∵ EF
2 4
四边形EFGH的面积：四边形ABCD的面积= =AB 25，
∴四边形EFGH = 4的面积 25 × 25= 4．
故选：A．
8.二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)中，自变量 x与函数 y的对应值如下表：
x -2 -1 0 1 2 3 4
y m- m- 2 m- m m- m- 2 m-
4.5 0.5 0.5 4.5
若 1A.该函数图象开口向上
B.该函数图象与 y轴的交点在 x轴的下方
C.对称轴是直线 x=m
D.若 x1是方程 ax
2+ bx+ c= 0的正数解，则 2< x1< 3
【答案】D
【解析】解：∵二次函数过 (-1．，m- 2)，(3,m- 2)，∴对称轴为直线 x= -1+ 32 = 1，故C错误，不合题意；
初三数学 第 2页 共 13页
{#{QQABCQQUogAIABIAARhCQQEaCEIQkBECAAoOAAAIMAAAQBNABAA=}#}
由表格可得，当 x> 1时，y随 x的值增大而减小，
∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意；
∵图象过点 (0,m- 0.5)，1∴ 1- 0.5∴该函数图象与 y轴的交点在 x轴的上方，故B错误，不合题意；
由表中数据可知：y= 0在 y=m- 2与 y=m- 0.5之间，
故对应的 x的值在-1与 0之间，
故对应的 x的值在 2与 3之间，即 2< x1< 3，故D正确，符合题意．
故选：D．
9.如图，半圆O的直径AB= 4，将半圆O绕点B顺时针旋转 45°得到半圆O ，与AB交于点P，图中阴影部分的
面积等于 ( )
A. 2π+ 2 B. 2π+ 4 C. 2π- 4 D. 4π- 8
【答案】C
【解析】解：连接A′P，
∵A′B是直径，
∴∠A′PB= 90°，
∵∠OBA′ = 45°，
∴△A′PB是等腰直角三角形，
∴PA′ =PB= 22 AB= 2 2，
∴A′P=BP，
∴S =S -S = 45π× 4
2 1
阴影 扇形ABA′ △A′BP 360 - 2 × 2 2 × 2 2 = 2π- 4，
故选：C．
10.如图，RtΔABC中，AB⊥BC，AB= 6，BC= 4，P是ΔABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线
段CP长的最小值为 ( )
A. 3 B. 2 C. 8 13 D. 12 132 13 13
【答案】B
【解析】解：∵∠ABC= 90°，
∴∠ABP+∠PBC= 90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP= 90°，
∴∠APB= 90°，
∴OP=OA=OB(直角三角形斜边中线等于斜边一半)，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RtΔBCO中，∵∠OBC= 90°，BC= 4，OB= 3，
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{#{QQABCQQUogAIABIAARhCQQEaCEIQkBECAAoOAAAIMAAAQBNABAA=}#}
∴OC= BO2+BC2= 5，
∴PC=OC-OP= 5- 3= 2．
∴PC最小值为 2．
故选：B．
二、填空题 (本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分）
11.已知 x= 2是关于 x的方程 x2+ x- 2m= 0的一个根，则m= 3 ．
【答案】3
【解析】解：∵ x= 2是关于 x的方程 x2+ 2x- 2m= 0的一个根，
∴ 22+ 2- 2m= 0，
解得，m= 3．
故答案为：3．
3
12.若方程 ax2+ bx+ c= 0的解是 x1=-2，x2= 5，则抛物线 y= ax2+ bx+ c的对称轴是直线 x= 2 ．
3
【答案】2
【解析】解：∵方程 ax2+ bx+ c= 0的解是 x1=-2，x2= 5，
∴抛物线 y= ax2+ bx+ c与 x轴的交点坐标为 (-2,0)和 (5,0)，
∴抛物线 y= ax2+ bx+ c -2+ 5 3的对称轴是直线 x= 2 = 2，
3
故答案为：2．
13.如图，四边形ABCO的顶点A、B、C在⊙O上，若∠ABC= 130°，则∠AOC= 100° ．
【答案】100°
【解析】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵∠ABC= 130°，
∴∠ADC= 180° -∠ABC= 50°，
∴∠AOC= 2∠ADC= 100°．
故答案为：100°．
14.已知圆锥的母线长为 4，其侧面展开图的圆心角的度数为 90°，则圆锥的底面圆的半径为 1 ．
【答案】1
【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为 r，
2πr= 90π× 4则 180 ，
解得：r= 1，即圆锥的底面圆的半径为 1，
故答案为：1．
15.如图，在一根半径为 10cm的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于
5cm，则这个正三角形边长最大为 5 3 cm．
【答案】5 3
【解析】解：如图所示：
∵ΔABC是等边三角形，设这个正三角形边长为 a，
∴DA= 12 a，OA=
3
3 a，
∵在一根半径为 10cm的圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少
于 5cm，
∴OA≤ 5，
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{#{QQABCQQUogAIABIAARhCQQEaCEIQkBECAAoOAAAIMAAAQBNABAA=}#}
3
即 3 a≤ 5，
∴ a≤ 5 3，
故答案为：5 3．
16.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C三点都在格点上，则
sin∠ABC= .
2
【答案】 A2
【解析】解：连接AC，得∠ACB= 90°，AC= 32+ 12 = 10 ,AB= 42+ 22 = 20
sin∠ABC= AC = 10 = 2 B
AB 20 2
2 C
故答案为： 2
17.如图，在RtΔABC中，∠ACB= 90°，∠B= 30°，BC= 3，点D是BC边上的一动点 (不与点B、C重合)，过点D
作DE⊥BC交AB于点 E，将∠B沿直线DE翻折，点 B落在射线BC上的点 F处．当 ΔAEF为直角三角形
5 3 4 3
时，则折叠后所得到的四边形AEDF的周长为 3 + 3或 3 + 4 ．
5 3
【答案】 3 + 3
4 3
或 3 + 4
【解析】解：∵RtΔABC中，∠ACB= 90°，∠B= 30°，BC= 3，
∴AB= BCcosB = 2 3 AC=
1
， 2 AB= 3．
∵∠B= 30°，DE⊥BC，
∴∠BED= 60°．
由翻折的性质可知：∠BED=∠FED= 60°，
∴∠AEF= 60°．
∵ΔAEF为直角三角形，
∴∠AFE= 90°或∠EAF= 90°．
①∠AFE= 90°时，点F在边BC上．
∴∠EAF= 30°，
∴AE= 2EF．
由翻折的性质可知：BE=EF，
∴AB= 3BE，
∴EB= 1 AB= 2 33 3 ，AE= 2EB=
4 3
3 ，
∴ED= 1 EB= 32 3 ，BD= 3ED= 1=DF，
∴AF= 3EF= 3EB= 2，
∴四边形AEDF的周长=AE+ED+DF+FA= 4 3 + 3 5 33 3 + 1+ 2= 3 + 3；
②∠EAF= 90°时，点F在BC的延长线上．
∴∠EFA= 30°．
∴∠EFD=∠EFA．
又∵ED⊥BF，EA⊥AF，
∴AE=DE．
设DE= x，BE=AB-AE=AB-DE= 2 3- x．
∵DE AC，
∴ ED = BE x = 2 3- x，即 ，
AC AB 3 2 3
初三数学 第 5页 共 13页
{#{QQABCQQUogAIABIAARhCQQEaCEIQkBECAAoOAAAIMAAAQBNABAA=}#}
x= 2 3解得， 3 ，
2 3
则AE=DE= 2 33 ，BD=
DE = 3tanB = 2=DF，AF= 3AE= 2，3
3
∴四边形AEDF的周长=AE+ED+DF+FA= 2 3 + 2 33 3 + 2+ 2=
4 3
3 + 4．
5 3 4 3
综上所述，折叠后所得到的四边形AEDF的周长为 3 + 3或 3 + 4．
5 3
故答案为 3 + 3
4 3
或 3 + 4．
18.如图，二次函数 y= ax2+ bx+ c的图象与正比例函数 y= kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为
-3，点B的横坐标为 2，二次函数图象的对称轴是直线 x=-1．下列结论：① abc< 0；② 3b+ 2c> 0；③关于 x
的方程 ax2+ bx+ c= kx 1的两根为 x1=-3，x2= 2；④ k= 2 a．其中正确的是 ①③ .(只填写序号)
【答案】①③
b
【解析】解：由图象可得，a> 0，c< 0，又- 2a =-1，
∴ b> 0．
∴ abc< 0．①正确．
由题意，令 ax2+ bx+ c= kx，
∴ ax2+ (b- k)x+ c= 0．
又二次函数 y= ax2+ bx+ c的图象与正比例函数 y= kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标
为-3，点B的横坐标为 2，
∴ ax2+ (b- k)x+ c= 0的两根之和为-3+ 2=-1，两根之积为-3× 2=-6．
∴- b- ka =-1
c
，a =-6．
∴ 6a+ c= 0．
又 b= 2a，
∴ 3b+ c= 0．
∴ 3b+ 2c= c< 0．②错误，③正确．
∵- b- ka =-1，b= 2a，
∴ k= a．④错误．
故答案为：①③．
三、解答题 (本大题共 10小题，共 76分）
-1
19.计算：4sin60° + 13 + |-2| - 12．
【答案】5
= 4× 3【解析】解：原式 2 + 3+ 2- 2 3
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= 2 3+ 3+ 2- 2 3
= 5．
20.解方程：x2- 8x+ 9= 0；
【答案】x1= 4+ 7 ,x2= 4- 7
【解析】解：a= 1,b=-8,c= 9
△= b2- 4ac= (-8)2- 4× 1× 9= 28> 0
x= -b± △ = 8± 282a 2
x1= 4+ 7 ,x2= 4- 7
21.如图，在 6× 6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，点A，B，C均在格点上．请按要求在网格中画图，
所画图形的顶点均需在格点上．
(1)在图 1中以线段AB为边画一个ΔABD，使其与ΔABC相似，但不全等．
(2)在图 2中画一个ΔEFG，使其与ΔABC相似，且面积为 8．
【解析】解：(1)如图，ΔABD即为所求；
(2)如图，ΔEFG即为所求．
22.已知关于 x的方程 x2- (2k+ 1)x+ 4 k- 12 = 0
(1)求证：无论 k取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长 a= 4，另两边 b、c恰好是这个方程的两个根，求ΔABC的周长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【解析】(1)证明：△= (2k+ 1)2- 4× 4 k- 12
= 4k2+ 4k+ 1- 16k+ 8，
= 4k2- 12k+ 9
= (2k- 3)2，
∵ (2k- 3)2≥ 0，即△≥ 0，
∴无论 k取何值，这个方程总有实数根；
(2)解：当 b= c时，△= (2k- 3)2= 0，解得 k= 32，
方程化为 x2- 4x+ 4= 0，解得 b= c= 2，而 2+ 2= 4，故舍去；
当 a= b= 4或 a= c= 4时，把 x= 4 1 5代入方程得 16- 4(2k+ 1) + 4 k- 2 = 0，解得 k= 2，
方程化为 x2- 6x+ 8= 0，解得 x1= 4，x2= 2，即 a= b= 4，c= 2或 a= c= 4，b= 2，
所以ΔABC的周长= 4+ 4+ 2= 10．
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23.如图，在RtΔABC中，∠ACB= 90°，D 4是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为E．已知BC= 20，sinA= 5．
(1)求线段CD的长；
(2)求 cos∠BDE的值．
【答案】(1)12.5
(2) 725
【解析】解：(1)在RtΔABC中，∠ACB= 90°，BC= 20，sinA= 45，
∴AB= 25，
∴AC= 15，
∵D是边AB的中点，
∴CD= 12.5，
(2)过C点作CF⊥AB于F．
CF=AC BC÷AB= 12，
DF= 12 52- 122= 3.5，
cos∠BDE= cos∠CDF= DF = 7
CD 25
．
24.如图，在ΔABC中，O是AC上 (异于点A，C)的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分
∠CAD．
(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
(2)若AC= 10，DC= 8，求⊙O的半径长．
【答案】(1)见解析
2 16（ ） 4
【解析】解：(1)BC与⊙O相切，理由如下：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵AB平分∠CAD，
∴∠DAB=∠CAB，
∴∠DAB=∠OBA，
∴AD OB，
∵AD⊥CB，
∴OB⊥CB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
(2) ∵∠D= 90°，AC= 10，DC= 8，
∴AD= AC2-DC2= 6，
∵AD OB，
∴ OB = OC ，
AD AC
∴ OB = 10-OA6 10 ，
∵OA=OB，
∴OB= 154 ，
∴⊙O 15的半径长为 4 ．
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25.根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
图 1中有一座圆拱石桥，图 2是其圆形
素材 1 桥拱的示意图，测得水面宽AB=
16m，拱顶离水面的距离CD= 4m．
如图 3，一艘货船露出水面部分的横截
面为矩形EFGH，测得EF= 3m，EH
= 10m．因水深足够，货船可以根据需
素材 2 要运载货物．据调查，船身下降的高度
（米与货船增加的载重量（吨满足函数
关系式 y= 1100 x
问题解决
任务 1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径
根据图 3状态，货船能否
通过圆形拱桥？若能，最
任务 2 拟定设计方案 多还能卸载多少吨货物？
若不能，至少要增加多少
吨货物才能通过？
【答案】
【解析】解：任务 1，设圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图，
设桥拱的半径为 rm，则OD= (r- 4)m，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD= 12 AB= 8m，
∵OD2+AD2=OA2，
∴ (r- 4)2+ 82= r2，
∴ r= 10，
∴圆形拱桥的半径为 10m．
任务 2，根据图 3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加 (900- 500 3 )吨的货物才能通过．理由：
当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH FG，
∵OC⊥AB，
∴OM⊥EH．
∴EM= 12 EH= 5，
∴OM= OE 2-EM 2= 5 3m，
∵OD= 6m，
∴DM= 5 3- 6< 3，
∴根据图 3状态，货船不能通过圆形桥拱，
∴船在水面部分可以下降的高度 y= 3- (5 3- 6) = (9- 5 3 )m．
∵ y= 1100 x，
∴ x= 100(9- 5 3 ) = (900- 500 3 )吨，
∴至少要增加 (900- 500 3 )吨的货物才能通过．
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26.如图，抛物线 y= ax2+ bx+ c与 x 3轴交于A，B两点，与 y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线 x=- 2．已知
点B(1,0)，C(0, -2)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)E是线段AC上的一个动点，过点E作ED⊥ x轴，延长DE交抛物线于点F，求线段EF的最大值及此时点
E的坐标．
(3)在 y轴上是否存在一点P，使得∠OAP+∠OAC= 60°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1 y= 1 x2+ 3【答案】（ ） 2 2 x- 2
（2）(-2, -1)
（3）(0, -32+ 20 3 )或 (0,32- 20 3 )
【解析】解：(1) ∵点C的坐标为 (0, -2)，c=-2．
∵抛物线过点B(1,0)，对称轴是直线 x=- 32，
则抛物线和 x轴的另外一个交点为：(-4,0)，
则抛物线的表达式为：y= a(x+ 4) (x- 1) = a(x2+ 3x- 4)，
则-4a=-2 1，则 a= 2，
∴ 1 3抛物线的解析式为 y= 22 x + 2 x- 2；
(2) ∵ 3抛物线对称轴为直线 x=- 2，点B的坐标为 (1,0)，
∴点A的坐标为 (-4,0)．
由点A、C的坐标得，直线AC的解析式为 y=- 12 x- 2，
E x, - 1 1 3设点 2 x- 2 ，则点F x,
2
2 x + 2 x- 2 ，
∴EF= (-2x- 2) - (x2+ 3x- 2) =-2x- 2- x2- 3x+ 2=- (x+ 2)2+ 2，
∵- 12 < 0，
∴当 x=-2 时，线段EF的值最大，最大值为 2，
此时点E的坐标为 (-2, -1)；
(3)存在．
设点P(0,n)，
如图，过点P作PG⊥AC于点G，连接AP．
∵∠OAP+∠OAC= 60°，
∴∠PAG= 60°，AG= 12 PA，
∴ 2PG= PA2- 12 PA =
3
2 PA．
∵PA= n2+ 42，AC= 42+ 22= 2 5，
∴PG= 3 n22 + 4
2，
由ΔPAC 1 1的面积，得：2 AC PG= 2 PC OA，
1
即 2 × 2 5 ×
3
2 × n
2+ 42= 12 × 4(n+ 2)，
解得：n=-32+ 20 3或-32- 20 3 (不符合题意，舍去)，
∴P(0, -32+ 20 3 )，
设点P 与点P关于原点O对称，
则P′ (0,32- 20 3 )，
综上所述，点P的坐标为：(0, -32+ 20 3 )或 (0,32- 20 3 )．
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27.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于 n(n≥ 0)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点
1 1 13 ，3 是函数 y= x图象的“ 2 阶方点”；点 (-1,1)是函数 y=-x图象的“1阶方点”．
(1)在① (-1,2)；② (0,0) 1；③ 2 ，-1 三点中，是正比例函数 y=-2x图象的“1阶方点”的有 ②③ (填序号)；
(2)若 y关于 x的一次函数 y= ax- 4a+ 1图象的“2阶方点”有且只有一个，求 a的值；
(3)若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点 (n,n)，则点 (n,n)称为此函数图象的“不动 n阶方点”，若 y关于 x
1
的二次函数 y= 4 x
2+ (p- t+ 1)x+ q+ t- 2的图象上存在唯一的一个“不动 n阶方点”，且当 2≤ p≤ 3时，q
的最小值为 t，求 t的值．
【解析】解：(1)① (-1,2)到 x轴距离为 2，不符合题意，
② (0,0)到两坐标轴的距离都等于 0，符合题意，
③ 12，-1
1
到 x轴距离为 1，到 y轴距离为 2，符合题意，
故答案为：②③．
(2) ∵ y= ax- 4a+ 1= a(x- 4) + 1，
∴函数经过定点P(4,1)，
在以O为中心，边长为 4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”
有且只有一个， y
由图可知，C(2, -2)，D(2,2)，
∵一次函数 y= ax- 4a+ 1图象的“2阶方点”有且只有一 A D 个，
3
当直线经过点C(2, -2)时，-2= 2a- 4a+ 1 a= 2， P
此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
x
当直线经过点D(2,2)时，2= 2a- 4a+ 1 a=- 12，
此时图象的“2阶方点”有且只有一个， B C
3 1
综上所述：a的值为 2 或 a=- 2．
(3) ∵点 (n,n)在直线 y= x上，
∴ y= 1 x24 + (p- t+ 1)x+ q+ t- 2
1
的图象上存在唯一的一个“不动 n阶方点”时，方程 4 x
2+ (p
- t+ 1)x+ q+ t- 2= x有两个相等实数根，
∴△= (p- t)2- q- t+ 2= 0，
∴ q= (p- t)2- t+ 2，
∵当 2≤ p≤ 3时，q的最小值为 t，
若 p= t，则 q的最小值为-t+ 2，则-t+ 2= t， t= p= 1，不符合题意．
当 t< 2时，若 p= 2，则 q取最小值，即 q= (2- t)2- t+ 2= t t= 3+ 3 (舍)或 t= 3- 3，
当 t> 3时，若 p= 3，则 q取最小值，即 q= (3- t)2- t+ 2= t
解得 t= 4- 5 (舍)或 t= 4+ 5，
综上所述，t= 3- 3或 4+ 5．
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28.综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在RtΔABC中，∠C= 90°，D为AC上一点，CD= 2，动点P以每秒 1个单位
的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设
点P的运动时间为 t s，正方形DPEF的面积为S，探究S与 t的关系．
初步感知
(1)如图 1，当点P由点C运动到点B时，
①当 t= 1时，S= 3 ；
②S关于 t的函数解析式为 ．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现 S是关于 t的二次函数，并绘制成如图 2所示的图象．请根据图
象信息，求S关于 t的函数解析式及线段AB的长．
延伸探究
(3)若存在 3个时刻 t1，t2，t3(t1< t2< t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．
① t1+ t2= ；
②当 t3= 6t1时，求正方形DPEF的面积．
【答案】（1）① 3，②S= t2+ 2
（2）S= t2- 8t+ 18(2≤ t≤ 8)，AB= 6
3 4, 66（ ）① ② 25 .
【解析】解：(1)①当 t= 1时，CP= 1，
又∵∠C= 90°，CD= 2，
∴S=DP2=CP2+CD2= 12+ ( 2 )2= 3．
故答案为：3；
②当点P由点C运动到点B时，CP= t，
∵∠C= 90°，CD= 2，
∴S=DP2=CP2+CD2= t2+ ( 2 )2= t2+ 2．
故答案为：S= t2+ 2；
(2)由图 2可得：当点P运动到点B处时，PD2=BD2= 6，当点P运动到点A处时，PD2=AD2= 18，
抛物线的顶点坐标为 (4,2)，
∴BC= BD2-CD2= 6- 2= 2，AD= 18= 3 2，
∴M (2,6)，
设S= a(t- 4)2+ 2，将M (2,6)代入，得 4a+ 2= 6，
解得：a= 1，
∴S= (t- 4)2+ 2= t2- 8t+ 18，
∴AC=AD+CD= 3 2+ 2= 4 2，
在RtΔABC中，AB= AC2+BC2= (4 2 )2+ 22= 6，
∴抛物线的解析式为S= t2- 8t+ 18(2≤ t≤ 8)；
t2+ 2 (0≤ t< 2)
(3)①方法一：由 (1) (2)可得S= ，t2- 8t+ 18 (2≤ t≤ 8)
图象如图所示：
∵存在 3个时刻 t1，t2，t3(t1< t2< t3)对应的正方形DPEF的面积均相等，
∴ 2∴点P1与P2关于直线 x= 2对称，点P2与P3关于直线 x= 4对称，
∴ 12 (t1+ t2) = 2
1
，2 (t2+ t3) = 4，
∴ t1+ t2= 4，t2+ t3= 8．
故答案为：4；
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方法二：如图，则∠AHD= 90° =∠C，
∵∠DAH=∠BAC，
∴ΔADH∽ΔABC，
∴ DH = AD = AH DH，即 2 =
3 2 AH
BC AB AC 6
= ，
4 2
∴DH= 2，AH= 4，
∴BH= 2，DH=CD，
∵存在 3个时刻 t1，t2，t3(t1< t2< t3)对应的正方形DPEF的面积均相等，
∴DP1=DP2=DP3，
∴CP1= t1，P2H= 4- t2，
CD=HD在RtΔCDP1和RtΔHDP2中， ，DP1=DP2
∴RtΔCDP1 RtΔHDP2(HL)，
∴CP1=HP2，
∴ t1= 4- t2，
∴ t1+ t2= 4．
故答案为：4；
②方法一：由①知：t1+ t2= 4，t2+ t3= 8，
∴ t3- t1= 4，
∵ t3= 6t1，
∴ t1= 45，
∴S= 2 45 + 2=
66
25．
方法二：∵DP3=DP1，DH=DC，∠DHP3=∠C= 90°，
∴RtΔDHP3 RtΔDCP1(HL)，
∴P3H=CP1，
∵P3H= t3- 4，
∴ t3- 4= t1，
∵ t3= 6t1，
∴ t1= 45，
∴S= 4
2
5 + 2=
66
25．
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