达州外国语学校2023-2024学年高二上学期12月月考
数学答案
单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
A C D A B B A A
多项选择题
9 10 11 12
ABC BD ACD ACD
填空题
6 14. -1 15. 16.
解答题
17.(1)∵四边形为平行四边形，∴.∴.
∴直线的方程为，即.
(2)∵，∴.
∴直线的方程为，即.
18.(1) . 解：过切点且与垂直的直线为，
即，则其经过圆心，
∵ 直线方程为，
∴ 直线的中垂线过圆心，
联立
解得，，
∴ 圆心为，
∴ 半径，
∴ 所求圆的方程为.
(2) . ∵ 直线的方程为，
∴ 圆心到直线的距离，
设的中点为，连接，则必有，
在中，，
∴.
19. (1) . 证明：连接交于，连接，
因为四边形为正方形，所以是的中点，
又因为是的中点，所以在中，，
由平面，平面，
所以平面.
(2) 因为平面，平面，所以，
又因为四边形为正方形，所以，
由平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，由，为的中点，
所以，
平面，平面，
所以平面.
20.(1) . 解：∵ ，∴ ，
∴ .将代入，
得，，
∴ 椭圆的方程为.
(2) . 由题设得，，∴ ，
∴ 设直线的方程为.
设，，由
整理，得，
∴ ，.
∵ ，
解得，
∴ ，
，
∴ ，
解得，
∴ 直线的方程为或.
21. (1) .证明：连接，
，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，
，，
，，
，
，，
，即，
故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
设，则，
，，
，即．
(2) . 解：平面，平面的一个法向量为，
由（1）知，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
，
当时，面与面所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当时，面与面所成的二面角的正弦值最小．
22. (1)
(2) 假设存在满足题意的点，设直线的方程为
由可得
设
则有
因为点到直线的距离与点到直线的距离相等，所以平分
所以
即
=
又因为
所以
代入
即有，
解得
故轴上存在定点，使得点到直线的距离与点到直线的距离相等．达州外国语学校2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试卷
考试时间:120分钟;满分:150分
第Ⅰ卷(选择题)
一、单项选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2. 过点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B.
C. D.
3. 已知圆，则圆的圆心坐标和半径分别为( )
A. B. C. D.
4. 已知椭圆，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，若，则( )
A. B. C. D.
5. 攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．如图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为( )
A. B. C. D.
6. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”．设是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点，若恰好是的”勾”“股”，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知三棱锥的四个顶点均在同一个确定的球面上，且，，若三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，下列结论正确的有( )
A. B.
C.是平面的一个法向量 D.
10. 设为不同的直线，为不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
11. 已知直线，圆，下列说法正确的是( )
A.直线恒过点
B.圆被轴截得的弦长为
C.当直线与圆相切时，直线的斜率是
D.当直线与圆相交时，直线斜率的取值范围是
12. 如图，在长方体中，,分别为线段上的动点（不包括端点），且，则以下结论正确的为( )
A.
B.不存在点，使得
C.点和点到平面的距离相等
D.直线与平面所成角的最大值为
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 双曲线的虚轴长是________.
14. 直线与直线互相平行，则=_______．
15. 在三棱柱中，，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为________.
16. 已知点是椭圆上的一个动点，点是圆上的一个动点，则的最大值是________．
四、解答题 (共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.
(1)求直线的方程；
(2)求边上的高所在直线的方程.
18. (12分)已知圆经过点，且与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)设直线与圆相交于两点，求弦长．
19. (12分)如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，为的中点.
求证：(1)；
(2).
20. (12分)已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，上顶点为，已知直线平行于直线，且交椭圆于两点，若，求直线的方程．
21. (12分)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，分别为和的中点，为棱上的点，．
(1)证明：；
(2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
22. (12分)已知椭圆的左右焦点分别为,短轴的两个顶点与构成面积为的正方形.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，轴上是否存在定点，使点到直线的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
