2023-2024学年北师大（2012）九年级上册第四章图形的相似单元测试卷(含解析)

2023-2024学年 北师大（2012）九年级上册 第四章 图形的相似 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．如图，与相交于点，且，，，则的长为（ ）

A．8 B．12 C．16 D．18
2．如图，在菱形中，为上一点，连接，且交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在，中线相交于点O，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC，DF分别交l1，l2，l3于点A，B，C和点D，E，F，连接AF，作BG∥AF．若，BG=9，则AF的长为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
5．在△ABC中，D为BC边上一点，连接AD，E，F分别为AB，AC上的点，且EFBC，交AD于点G，连接BG并延长交AC于点H．若AE∶AB=2∶3，CD∶BD=2∶3，则GH∶BG的值为（　　）
A．4∶9 B．4∶11 C．2∶5 D．2∶3
6．如图，在中，D、E是边的三等分点，是边的中线，、分别与交于点G、H，若，则的面积为（　　）

A． B． C． D．
7．已知与相似，且周长比为，则与的面积比为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，点D，E分别在的边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，使与一定相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．如图，，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E及点B，D，F，，，，则的长为（ ）

A．5 B．5.6 C．6 D．6.5
10．如图，在中，为坐标原点，直角顶点在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过的中点，交于点，连接．若，则直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线DN'交BC于点E．若△BDE与四边形ACED的面积比为4∶21，则的值为 ．
12．如图，在平行四边形中，点为线段与的交点，若，，点为线段上一点，且，点是线段上的一点．若在线段上有且只有两个点使得与相似，则的值为 ．
13．如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G．若AC=9，BC=6，△BCG的面积为8，则△ACG的面积为 ．
14．如图，是平行四边形的边的垂直平分线，垂足为点O，与的延长线交于点E，连接与交于点F，则下列结论正确的是：
①四边形是菱形；②；③；④
15．如图．是矩形的边上的点．交于点，已知与的面积分别为2和8，则四边形的面积为 ．
16．如图，正方形的边长为8，点为对角线的交点，点为边的中点，绕着点旋转至，如果点在同一直线上，那么的长为 ．
评卷人得分
三、证明题
17．如图，中，，点、分别在的边、上，且．
(1)求证：．
(2)如果，，，求的长．
评卷人得分
四、问答题
18．如图，中，点D、E分别在边上，平分，交于点F、G，且．
(1)求证：；
(2)若与的周长之比是，，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由平行可得，求得，从而求得即可．
【详解】解：，
，
，
，
又，
，
，
，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质，由菱形的性质可得，，从而推出，再根据得出，即可得解，熟练掌握相似三角形对应的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解此题的关键．
【详解】解：四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，利用三角形中线等分三角形为面积．、是的中线，即D、E是和的中点，即是的中位线，则，，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断．
【详解】解：∵、是的中线，即D、E是和的中点，
∴是的中位线，
∴，，即，①正确；
∵
∴，
∴，②错误；
∵，，
∴，③正确；
∵，
∴，
∴，
又∵是的中线，
∴，
∴，④错误，
故①③正确；
故选：B．
4．D
【详解】∵直线l1∥l2∥l3，∴，∴．
∵BG∥AF，∴，即，∴AF=15．
5．B
【详解】∵EF∥BC，
∴AG∶AD=AE∶AB=2∶3．
∵△AGF∽△ADC，
∴GF∶DC=AG∶AD=2∶3．
∵CD∶BD=2∶3，∴CD∶BC=2∶5，∴GF∶BC=4∶15．
∵FG∥BC，∴△HGF∽△HBC，
∴HG∶HB=GF∶BC=4∶15，
∴HG∶BG=4∶11．
6．C
【分析】本题考查的是三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，过F作，交于P，过H作，交于Q，先证明，再结合三角形的面积关系可得答案.
【详解】解：如图，过F作，交于P，过H作，交于Q，

∴
∵是边的中线，
∴，
∴，
∴，
∵D、E是边的三等分点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据三角形相似的性质进行解答即可．
【详解】解：与相似，且周长比为，
与的相似比为，
与的面积比为相似比的平方，即，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理“两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似”即可判断．
【详解】解：①添加，又，
∴，成立；
②添加，且，
∴，成立；
③添加，但不一定与相等，故与不一定相似；
④添加且，
∴，成立．
综上，使与一定相似的有①②④，
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．由题意得，，由，可得，即，计算求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
解得，，
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用的长度表示出点B的坐标是解题的关键，也是本题的难点．
设，根据点D在反比例函数图象上表示出，再根据相似三角形对应边成比例列式求出，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出a、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
【详解】解：设，
∵点D在上，
，
，
，
，
∴点，
∵点B是的中点，
∴点B的坐标为，
∵点B在反比例函数图象上，
，
，
，
解得，，
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为，
则，解得，
所以，直线的解析式为．
故答案为：C．
11．
【详解】．　根据作图可得∠BDE=∠A，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC．
∵△BDE与四边形ACED的面积比为4∶21，∴，
∴．∴．
12．或/5或4
【分析】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质和相似三角形的性质，由，得，当与相似时，分或时，再结合一元二次方程根的情况即可求解，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴当或时，与相似，
∵四边形是平行四边形，
∴，
设，则，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵有且只有两个点，
∴有两种情况，
有两个相等的实数根，
∴，又因为，
∴；
有两个不相等的实数根，且是它的一个根，
∴代入得：，又因为，
∴，
综上可知：的值为或．
13．12
【详解】如图，过点B作BM∥AC交CG的延长线于点M，
∴∠ACM=∠CMB．由作图可得CG是∠ACB的平分线，∴∠ACM=∠BCM，∴∠BCM=∠CMB，∴BC=BM．∵BM∥AC，∴△ACG∽△BMG，∴，∴．∵△BCG的面积为8，∴△ACG的面积为12．
14．①②④
【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、等高模型等知识，根据菱形的判定方法、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
∵垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是菱形，故①正确，
，
，
，故②正确，
，
，
，
，
，
，故③错误，
设的面积为a，则的面积为，的面积为，
的面积的面积，
∴四边形的面积为，的面积为，
．
故④正确，
故答案为：①②④．
15．38
【分析】本题考查相似三角形的性质判定，其关键是运用“同高的两个三角形面积之比等于对应底之比”得到相似三角形的相似比．根据同高的两个三角形面积之比等于对应底之比求得的值，再证明，可求得的面积，从而得到的面积，再得到面积 ，最后用的面积减去的面积即得四边形的面积．
【详解】解：∵与的面积分别为2和8，与中、边上的高相同，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：38．
16．
【分析】根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到，，过B作于F，连接，证明根据相似三角形的性质得到，求得，根据旋转的性质得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵正方形的边长为8，
，
，
∵点E为边的中点，
，
，
，
如图，过B作于F，连接，
，
，
，
，
，
，
绕着点B旋转至，
，，
即，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．
（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】（1）证明：，，
，
∵
∴，
，
∴；
（2）解：由（1）得，
，
，，
，
，，
．
．
18．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，
（1）直接根据相似三角形的判定定理进行证明即可；
（2）根据相似三角形周长比等于相似比等于对应角平分线的比可得，即可求解；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵与的周长之比是，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴．
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