2023-2024学年北师大（2012）九年级上册第一章特殊平行四边形单元测试卷(含解析)

2023-2024学年 北师大（2012）九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45°．若∠BAE=α，则∠FEC一定等于（　　）
A．2α B．90°-2α C．45°-α D．90°-α
2．如图，在中，顶点，，．将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形中，平分交于E，，则下列结论其中错误的是（ ）
A．是等边三角形 B．
C． D．
4．如图，一张矩形纸片平放在平面直角坐标系内，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且的长满足，将纸片沿对折，使点落在轴上的点处，则点的坐标为（）

A． B．） C． D．
5．如图，在长方形中，，，点E在边上，将长方形沿折叠使点D恰好落在边上的点F处，则的长度为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
6．如图，正方形和正方形，点在上，是的中点．若，则的长为（ ）

A．2.5 B． C． D．2
7．如图，在中，，如果分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，在长方形中，，若将长方形沿折叠，使点C落在边上的点F处，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．10
9．如图，在矩形中，对角线与交于点O．若，，则的长为（ ）．
A．2 B．3 C． D．4
10．已知有一个正方形，将正方形沿着B逆时针旋转至，A，C三点处在同一条直线上，则的角度为（　　）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，以AB为斜边在矩形内部构造等腰直角三角形APB，将△ABP沿BC方向平移得到△A'B'P'，当AB与CD重合时停止，连接P'A，P'D．当△AP'D是等腰三角形时，平移的距离是 ．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF=AC，连接EF．若AC=10，则EF= ．
13．如图，已知，，，E是边的中点，F为边上一点，，若，，则的值为 ．
14．如图，长方形中，，，将长方形沿折叠，点落在点处，交于）点，则重叠部分的面积为 ．
15．如图，在菱形中，对角线交于点O，E是的中点，连接，若，则菱形的周长是 ．
16．如图，菱形的对角线与相交于点O，点E，F在对角线上，且，过点E作于点G，连接．若，，则的最小值为 ．
评卷人得分
三、问答题
17．如图，是直角梯形，，，，点P从B点开始，沿边向点A以的速度移动，点Q从D点开始，沿DC边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从B、D同时出发，P、Q有一点到达终点时运动停止，设移动时间为t．
(1)t为 时四边形是平行四边形；
(2)t为何值时四边形是矩形？
(3)t为 时四边形是等腰梯形．
评卷人得分
四、证明题
18．如图，点E是长方形的边延长线上一点，连接．点F是边上一个动点，将沿翻折得到．已知，，．
(1)求的长；
(2)若点P落在的延长线上，求的面积；
(3)若点P落在射线上，求的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【详解】将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=∠C=90°．
由旋转性质可知：∠DAF=∠BAH，∠D=∠ABH=90°，AF=AH，
∴∠ABH+∠ABC=180°，
∴点H，B，C三点共线．
∵∠BAE=α，∠EAF=45°，
∠BAD=∠HAF=90°，
∴∠DAF=∠BAH=45°-α，
∠EAF=∠EAH=45°．
∵∠AHB+∠BAH=90°，
∴∠AHB=45°+α．
在△AEF和△AEH中，
∴△AFE≌△AHE（SAS），
∴∠AHE=∠AFE=45°+α，
∴∠AHE=∠AFD=∠AFE=45°+α，∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°+2α．
∵∠DFE=∠FEC+∠C=∠FEC+90°，
∴∠FEC=2α．
2．A
【分析】先求出的值，再利用正方形的性质确定点坐标，由于，所以第2020次旋转结束时，正方形回到初始位置，再继续旋转3次即可确定结果．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵每次旋转，
∴4次为一个循环，
∵，
∴第2023次旋转结束时与第3次旋转后的落点相同，
∴点的坐标为．
故选：A．
3．D
【分析】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
由矩形的性质以及角平分线的性质得到，即可证明是等边三角形；根据同底同高即可判断面积相等，证明是等边三角形，即可计算出；由等量代换判断．
【详解】解：矩形，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，故选项A正确，不符合题意；
，
与是等底等高，
，故选项B正确，不符合题意；
，，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，故选项C正确，不符合题意；
，
，
，
，故选项D不正确，符合题意．
故选D．
4．C
【分析】本题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
先根据勾股定理求出的长，进而可得出的长，在中，由勾股定理可求出的长，进而得出点坐标．
【详解】，
，
，
由折叠性质得：，
设，
由勾股定理得：，
，
，
设
，
，
，
，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得到，在中，利用勾股定理易得，设，则，在中，利用勾股定理可求出x的值．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵将折叠使点D恰好落在边上的点F，
∴，
在中，，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，即的长为5．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 是的中点，可得，根据勾故定理求、的值，根据，求的值，进而可求．
【详解】解：如图，连接，

由正方形的性质可得，，
∴，
∵ 是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选B．
7．D
【分析】本题考查了直角三角形的高和中线，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角；
根据同角的余角相等，直角三角形斜边中线的性质证明即可得出答案．
【详解】解：在中，∵，、分别是斜边上的高和中线，
∴，，，
∴，，
∴，
无法得出，，，
∴A、B、C错误，D正确；
故选：D．
8．C
【分析】设线段的长为x，根据翻折的性质得到的长，并根据勾股定理求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求解即可得．本题主要考查勾股定理的应用，折叠的性质等，理解题意，利用折叠的性质和勾股定理是解题关键．
【详解】解：在长方形中，，
设长为x，则，
∵翻折为，
∴，
∴，，
根据勾股定理可得：
，
∴，
∴，
∴在中，
，
∴，
解得：，
∴长为．
故选：C．
9．D
【分析】根据矩形性质、等边三角形的判定与性质，证明为等边三角形即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选：D．
10．D
【分析】连接，连接交于，取的中点E，连接，由正方形的性质得，，，由直角三角形的性质可得，从而可证得是等边三角形，得出，从而得出，再由旋转的性质可求，，由外角的性质可求得，即可由求解．
【详解】解：如图，连接，连接交于，取的中点E，连接，
四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵点E是的中点，，A，C三点处在同一条直线上，
∴，
将正方形沿着逆时针旋转，
，，
，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
11．1或4-2
【详解】过点P作AD的平行线，交AB于点E，交DC于点F．
∵△ABP为等腰直角三角形，AP=BP，
∴AE=BE=AB=2，
∴AE=EP=2．
如图，在平移过程中，点P在射线PF上移动，分两种情况讨论．
①作边AD的垂直平分线，交EF于点P'，如图1所示，则P'A=P'D，此时△AP'D是等腰三角形．
∴EP'=AD=3，
∴PP'=EP'-EP=3-2=1；
②以点A为圆心，AD长为半径作弧，交EF于点P'，如图2所示，则AP'=AD=6，此时△AP'D是等腰三角形．
在Rt△AEP'中，由勾股定理，得EP'==4，
∴PP'=EP'=4-2．
综上所述，当△AP'D是等腰三角形时，平移的距离是1或4-2．
图1
图2
12．
【详解】在矩形ABCD中，AO=OC=AC，AC=BD=10，
∵AF=AC，∴AF=AO，
∴点F为AO中点．
又∵点E为边AD的中点，
∴EF为△AOD的中位线，
∴EF=OD=BD=．
13．
【分析】先根据已知条件证四边形是矩形，得出，．再延长交于点G，证明，得出，再证明，设，根据勾股定理得出：，列方程求出DF的长度，进而求出．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
如图，延长交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵E是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，
根据勾股定理得：，
即，
解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1.8．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．
14．
【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证得，则，设，则在中，根据勾股定理求，再根据三角形面积公式计算即可得到结果，解题的关键是熟练掌握矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、折叠的性质等知识的应用．
【详解】解：根据折叠的性质得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
15．32
【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，对角线互相垂直，四边相等，结合E是的中点，得，故，即可作答．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵E是的中点，
∴，
故，
，
那么菱形的周长是32，
故答案为：32．
16．
【分析】本题考查了动点最值问题，菱形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，找出取得最小值的满足的条件，再根据相关的判定方法及性质进行求解是解题的关键．连接，，，可证四边形是平行四边形，从而可得，求的最小值，求最小值即可，由垂线段最短可知，当、、三点在一条直线上时，最小值，即可求解．
【详解】解：连接，，，
四边形是菱形，，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
求的最小值，求最小值即可，
由垂线段最短可知，如图，当、、三点在一条直线上时，最小值，

在中，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查的是等腰梯形的性质及平行四边形的性质，熟知一组对边平行不相等，另一组对边不平行但相等的四边形是等腰直角梯形是解题的关键．
（1）若四边形是平行四边形，则，即，即可得到答案；
（2）若四边形是矩形，则，即，即可得到答案；
（3）分别过点作，由于是直角梯形，故四边形是矩形，，若四边形是等腰梯形，故，由此求出答案．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，即，
，
解得；
（2）解：四边形是矩形，
，即，
，
解得；
（3）解：分别过点作，
是直角梯形，，，
四边形是矩形，
，
四边形是等腰梯形，
故，
，即，
．
18．(1)
(2)的面积是
(3)的长是1或
【分析】（1）根据矩形的性质及勾股定理求解即可；
（2）根据翻折的性质推出，，根据勾股定理及线段的和差求出，根据三角形面积公式求解即可；
（3）分两种情况：点P落在线段上，点P落在线段的延长线上，根据矩形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵，∴．
∵，，∴．
∴．
（2）如图，由题意可知，则．
设，则，．
在中，．∴．
∴．∴．
即的面积是．
（3）过点F作，垂足为H．如图，点P在边上．
在中，．
∵，，∴．∴．
设，则，．
在中，．∴．
∴．即．
如图3，点P在边的延长线上．
在中，．
∵，，∴．∴．
设，则，．
在中，．∴．
∴．即．
∴的长是1或．
【点睛】此题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理并作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键．
答案第1页，共2页
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