2023-2024学年北师大（2012）九年级下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年北师大（2012）九年级下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷(含解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1015.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-17 13:03:29 | ||
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文档简介
2023-2024学年 北师大（2012）九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡AB的坡比是，则的长是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．12米
2．在中，，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，，，，以斜边的中点D为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．9 C． D．
4．在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，，，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
7．在中，，是边上的中线，，，则（）
A． B． C． D．
8．如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，某飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，此时飞行高度，从飞机上看地平面指挥台的俯角，则飞机与指挥台的距离为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，的直角顶点与坐标原点重合，，若点在反比例函数的图象上，则过点的反比例函数的比例系数为（ ）
A．2 B．4 C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在 ABCD中，∠D=60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为 ．
12．如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，则 ．
13．已知斜坡的坡角为，坡度为，小明沿该斜坡行走，上升了20米，则他行走的路程是 米．
14．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为 m．
15．如图，在直角坐标系中，，，P为内任意一点，求的最小值 ．
16．如图，网格中小正方形的边长均为，点，、都在格点（小正方形的顶点）上，则的正切值是
评卷人得分
三、证明题
17．如图，是正方形的对角线，平分交于，点在上，且，连接并延长，分别交，于点G，F．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求的值．
18．综合与探究
如图，在正方形中，E是边上一点，连接，于点F，连接，交于点G．
(1)求证：．
(2)若E为的中点．
①求证：．
②连接，若，求正方形的边长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据题意可以求得米，再根据勾股定理即可求得的长，本题得以解决．
【详解】解：∵米，迎水坡的坡比为，
∴，
∴米，
∴米，
故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义即可解答；理解三角函数的相关定义是解题的关键．
【详解】解：如图:∵，，
∴，
∴．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查的是解直角三角形，旋转的性质等知识．先根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，再利用旋转的性质，结合锐角三角函数，分别求出，，，最后根据，即可求出阴影面积．灵活运用直角三角形的相关性质求出所需线段是解题关键．
【详解】解：如图，
，，
，
，
，
点D为的中点，
，
绕点D逆时针方向旋转得到，
，，，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
故选：B．
4．C
【分析】在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，即可得出结果．本题考查了解直角三角形，熟练掌握好边角之间的关系是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了解直角三角形，根据条件可得，，再根据即可求解．
【详解】解：∵在中，，是边上的高，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
∴．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据余弦的定义得到，然后根据特殊角的三角函数值确定的度数．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据直角三角形斜边上中线的性质得，所以，根据勾股定理得，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】如图，
∵是边上的中线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
8．C
【分析】本题考查正弦的定义，掌握是解题的关键．
【详解】解：∵是边上的高，已知，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
故选C．
9．A
【分析】本题考查了解直角三角形，由图得到，利用的正弦即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键．
【详解】解：由图可得，，
∴，
∴，
故选：．
10．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握反比例函数中的几何意义是解答本题的关键．
过点作轴于点，过点作轴于点，证明，利用相似三角形的判定与性质得出，根据反比例函数的几何意义可得，进而得出答案．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图：
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
经过点的反比例函数图象在第二象限，
过点的反比例函数的比例系数．
故选：．
11．
【详解】∵在 ABCD中，∠D=60°，∴∠ABC=60°，AD∥BC．由作图知BP平分∠ABC，BA=BE，
∴△ABE是等边三角形，∠ABF=∠EBF=∠ABC=30°，
∴BO⊥AE，AO=OE．
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBF=30°，
∴∠AFB=∠ABF=30°，
∴AB=AF．
∵BO⊥AE，
∴∠BAO=∠FAO=(180°-30°-30°)=60°，
∴=tan∠FAO=tan 60°=．
12．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形的折叠问题．根据矩形的性质，图形折叠的性质可证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
13．52
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据坡度的定义求出水平方向走的距离，然后再运用勾股定理解答即可，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
【详解】解：∵坡度为，小明沿该斜坡行走，上升了20米，
∴水平方向走的距离为，
∴行走的路程是米．
故答案为52．
14．20
【分析】本题考查直角三角形的应用，根据坡比等于铅直高比上水平宽，求出的长，勾股定理求出的长即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴，
∴；
故答案为：20．
15．
【分析】将绕点旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，进而得到为等边三角形，得到，进而得到，当四点共线时，的值最小，为的长，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，
则：，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
当四点共线时，的值最小，为的长，
∵，
∴，
过点作轴，则：，
∴，
∴，
∴，即点在轴上；
过点作轴于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即：的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形变换，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．解题的关键是将图形进行旋转，根据两点之间线段最短，确定最小值．本题的难度较大，属于填空题中的压轴题．
16．
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握勾股定理，锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
根据题意，利用网格中小正方形，求出，，的长，得到，由此求出的正切值．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由，平分，，得再结合正方形的性质可证，得，再证，得，进而即可证明结论；
（2）设正方形的边长为，则，，得，结合正方形的性质可证，得，再由等腰三角形的性质得，进而即可求解；
（3）由等腰三角形的性质和正方形的性质可证得，设正方形的边长为，由（2）得，得，则，在中，可知，进而即可求解．
【详解】（1）解：，平分，
，
，
正方形，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
∴，
；
（2）设正方形的边长为，则，
，
，正方形，
，则，，
，
，
，平分，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
，
设正方形的边长为，由（2）得，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，求角的正切值等知识．利用正方形的性质及等腰三角形的性质证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．
18．(1)见解析
(2)①见解析；②．
【分析】（1）利用正方形的性质，垂直的性质，同角的余角相等，得到，利用四边形的内角和，邻补角的定义和同角的补角相等得到，利用相似三角形的判定定理即可得出结论；
（2）①利用直角三角形的边角关系定理和（1）的结论得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等量代换即可得出结论；
②过点作于点，设正方形的边长为，则，，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，，，再利用相似三角形的判定与性质求得，，最后在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，．
，
，
，
，
．
四边形的内角和为，，
．
，
，
；
（2）①证明：为中点，
，
，
由（1）知：，
，
，，
，
为的中点，
，
，
，
；
②解：过点作于点，如图，
设正方形的边长为，则，，
，
设，则，
，
，
，，
，
，．
同理求得：，
．
．
，，
∴，
，
，
，，
．
，
，
，
，
，
正方形的边长为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂直的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡AB的坡比是，则的长是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．12米
2．在中，，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，，，，以斜边的中点D为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．9 C． D．
4．在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，，，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
7．在中，，是边上的中线，，，则（）
A． B． C． D．
8．如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，某飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，此时飞行高度，从飞机上看地平面指挥台的俯角，则飞机与指挥台的距离为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，的直角顶点与坐标原点重合，，若点在反比例函数的图象上，则过点的反比例函数的比例系数为（ ）
A．2 B．4 C． D．
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在 ABCD中，∠D=60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为 ．
12．如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，则 ．
13．已知斜坡的坡角为，坡度为，小明沿该斜坡行走，上升了20米，则他行走的路程是 米．
14．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为 m．
15．如图，在直角坐标系中，，，P为内任意一点，求的最小值 ．
16．如图，网格中小正方形的边长均为，点，、都在格点（小正方形的顶点）上，则的正切值是
评卷人得分
三、证明题
17．如图，是正方形的对角线，平分交于，点在上，且，连接并延长，分别交，于点G，F．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求的值．
18．综合与探究
如图，在正方形中，E是边上一点，连接，于点F，连接，交于点G．
(1)求证：．
(2)若E为的中点．
①求证：．
②连接，若，求正方形的边长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据题意可以求得米，再根据勾股定理即可求得的长，本题得以解决．
【详解】解：∵米，迎水坡的坡比为，
∴，
∴米，
∴米，
故选：D．
2．A
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义即可解答；理解三角函数的相关定义是解题的关键．
【详解】解：如图:∵，，
∴，
∴．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查的是解直角三角形，旋转的性质等知识．先根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，再利用旋转的性质，结合锐角三角函数，分别求出，，，最后根据，即可求出阴影面积．灵活运用直角三角形的相关性质求出所需线段是解题关键．
【详解】解：如图，
，，
，
，
，
点D为的中点，
，
绕点D逆时针方向旋转得到，
，，，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
故选：B．
4．C
【分析】在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，即可得出结果．本题考查了解直角三角形，熟练掌握好边角之间的关系是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了解直角三角形，根据条件可得，，再根据即可求解．
【详解】解：∵在中，，是边上的高，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
∴．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据余弦的定义得到，然后根据特殊角的三角函数值确定的度数．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据直角三角形斜边上中线的性质得，所以，根据勾股定理得，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】如图，
∵是边上的中线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
8．C
【分析】本题考查正弦的定义，掌握是解题的关键．
【详解】解：∵是边上的高，已知，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
故选C．
9．A
【分析】本题考查了解直角三角形，由图得到，利用的正弦即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键．
【详解】解：由图可得，，
∴，
∴，
故选：．
10．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握反比例函数中的几何意义是解答本题的关键．
过点作轴于点，过点作轴于点，证明，利用相似三角形的判定与性质得出，根据反比例函数的几何意义可得，进而得出答案．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图：
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
经过点的反比例函数图象在第二象限，
过点的反比例函数的比例系数．
故选：．
11．
【详解】∵在 ABCD中，∠D=60°，∴∠ABC=60°，AD∥BC．由作图知BP平分∠ABC，BA=BE，
∴△ABE是等边三角形，∠ABF=∠EBF=∠ABC=30°，
∴BO⊥AE，AO=OE．
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBF=30°，
∴∠AFB=∠ABF=30°，
∴AB=AF．
∵BO⊥AE，
∴∠BAO=∠FAO=(180°-30°-30°)=60°，
∴=tan∠FAO=tan 60°=．
12．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形的折叠问题．根据矩形的性质，图形折叠的性质可证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
13．52
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据坡度的定义求出水平方向走的距离，然后再运用勾股定理解答即可，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
【详解】解：∵坡度为，小明沿该斜坡行走，上升了20米，
∴水平方向走的距离为，
∴行走的路程是米．
故答案为52．
14．20
【分析】本题考查直角三角形的应用，根据坡比等于铅直高比上水平宽，求出的长，勾股定理求出的长即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴，
∴；
故答案为：20．
15．
【分析】将绕点旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，进而得到为等边三角形，得到，进而得到，当四点共线时，的值最小，为的长，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，
则：，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
当四点共线时，的值最小，为的长，
∵，
∴，
过点作轴，则：，
∴，
∴，
∴，即点在轴上；
过点作轴于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即：的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形变换，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．解题的关键是将图形进行旋转，根据两点之间线段最短，确定最小值．本题的难度较大，属于填空题中的压轴题．
16．
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握勾股定理，锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
根据题意，利用网格中小正方形，求出，，的长，得到，由此求出的正切值．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由，平分，，得再结合正方形的性质可证，得，再证，得，进而即可证明结论；
（2）设正方形的边长为，则，，得，结合正方形的性质可证，得，再由等腰三角形的性质得，进而即可求解；
（3）由等腰三角形的性质和正方形的性质可证得，设正方形的边长为，由（2）得，得，则，在中，可知，进而即可求解．
【详解】（1）解：，平分，
，
，
正方形，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
∴，
；
（2）设正方形的边长为，则，
，
，正方形，
，则，，
，
，
，平分，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
，
设正方形的边长为，由（2）得，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，求角的正切值等知识．利用正方形的性质及等腰三角形的性质证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．
18．(1)见解析
(2)①见解析；②．
【分析】（1）利用正方形的性质，垂直的性质，同角的余角相等，得到，利用四边形的内角和，邻补角的定义和同角的补角相等得到，利用相似三角形的判定定理即可得出结论；
（2）①利用直角三角形的边角关系定理和（1）的结论得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等量代换即可得出结论；
②过点作于点，设正方形的边长为，则，，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得，，，再利用相似三角形的判定与性质求得，，最后在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形为正方形，
，．
，
，
，
，
．
四边形的内角和为，，
．
，
，
；
（2）①证明：为中点，
，
，
由（1）知：，
，
，，
，
为的中点，
，
，
，
；
②解：过点作于点，如图，
设正方形的边长为，则，，
，
设，则，
，
，
，，
，
，．
同理求得：，
．
．
，，
∴，
，
，
，，
．
，
，
，
，
，
正方形的边长为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂直的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页