海南省海口市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）

海口市重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试题卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共22小题，满分150分，考试时间为120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，且，则的值可能为（ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“幂函数在上单调递减”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要
4. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
7. 在同一直角坐标系中，函数（且）的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为 （ ）
A. 20 B. 18 C. 16 D. 14
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列转化结果正确的是（ ）
A. 150°化成弧度是 B. 化成角度是45°
C. -120°化成弧度是 D. 化成角度是30°
10. 下列四个选项中错误的是 （ ）
A. 与互为反函数，其图像关于对称
B. 已知扇形的周长为2，扇形的圆心角为2，则扇形的面积是
C. 已知角的终边经过点，则
D. 2023°角是第三象限角
11. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是.下列结论中正确的是（ ）
A. 当时，二氧化碳处于液态
B. 当时，二氧化碳处于气态
C. 当时，二氧化碳处于固态
D. 当时，二氧化碳处于超临界状态
12. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石·布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 钟表的分针在一个半小时内转过的弧度是______________（以弧度制表示）.
14. 函数的值域为______________.
15. 已知，在区间上有一个零点，则_____________.
若用二分法求的近似值（精确度0.1），则至少需要将区间等分_______________次.
16. 已知函数，若当时，，则的最大值是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）
计算下列各式的值：
（1）求值：
（2）
18.（本小题12分）
已知函数.
（1）若函数在上是减函数，求的取值范围；
（2）当时，设函数的最小值为，最大值为，求函数与的表达式.
19.（本小题12分）
（1）已知，求的最大值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值.
20.（本小题12分）
已知函数.
（1）求的定义域；
（2）是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21.（本小题12分）
海南某橡胶工厂曾被曝光废气排放不达标，经了解，废气需要经过严格的过滤程序后排放.过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果在前消除了20%的污染物，那么
（1）后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少百分之四十至少需要花多少时间（精确到）？（参考数据：）
22.（本小题12分）
已知函数.
（1）证明：为奇函数；
（2）判断单调性并证明；
（3）不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、单选题
1. C 2. B 3. D
【详解】因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，所以“”是“幂函数在上单调递减的”的充要条件.故选：D
4. C 【解析】∵在上单调递增，在上单调递增，
∴函数在上单调递增，
∵，
∴函数的零点所在的区间为.故选：C.
5. D 【详解】∵，∴，因为，∴，
又，∴，∴，故选D.
6. D 【解析】对于函数，解得或，
故函数的定义域为，
内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，外层函数为增函数，因此，函数的单调递增区间为.
7. D 【详解】的图象过点，排除A，C. 与的单调性相异，可排除B.
8. C 【详解】因为，∴或，
根据函数解析式以及偶函数性质作图象，零点个数为，
二、多选题
9. ACD
10. BC 【详解】对于A：根据反函数性质可知与互为反函数，其图像关于对称，正确；对于B：扇形的周长为，又因为扇形的圆心角，所以，则扇形的面积，故B错误；对于C：根据三角函数的定义，角的终边经过点，则，故C错误；对于D：2023°和223°的终边重合，是第三象限角正确.故答案为：BC.
11. CD 【解析】选CD，对于A选项，，略大于，由题图知，处于固态；
对于B选项，略大于，由题图知，处于液态；
对于C选项，略小于，由题图知，处于固态；
对于D选项，大于2小于3，由题图知，处于超临界状态.
12. BCD【解析】分析：根据题中所给定义，只需判断是否有解即可.
【详解】：对于A：当，即时，该方程无解，故A不满足；
对于B：当时，解得或，满足定义，故B满足；
对于C：当时，时，解得或，当时，时，无解，综上C满足；
对于D：当时，解得，故D满足，故选BCD.
三、填空题
13. 14.
15. 1；4；
【详解】在上为减函数，
又，
∴的零点，故.
设至少需等分次，则且，
解得，故至少需等分4次.
16.
当时，由，可得，所以，
当时，由可得，所以，等价于，所以，所以的最大值为.
四、解答题
17.（1）；
（2）0【详解】
（1）原式
（2）
18.【答案】（1）；
（2）；
【详解】（1）因为函数在上是减函数，且其对称轴为，所以；
（2）①当时，函数单调递增，；
②当时，函数先减后增；
③当时，函数单调递减，
故；当时，；当时，
故
19.（1）-1；（2）
【解析】（1）∵，∴，∴，
当且仅当，即时取等号，∴的最大值为-1.
（2）∵是正实数，∴，当且仅当，
即时取“=”号，又，∴，故的最小值为.
20.（1）；（2）存在，.
【解析】（1）要使函数有意义，则，则，得或，
∴函数的定义域为.
（2）假设存在实数，使得为奇函数，因为，，
所以，即，
所以，所以，
即，解得，故存在实数，使得为奇函数.
21.（1）64%；（2）10
【详解】（1）由题意可知，时，污染物含量，
根据在前消除了20%的污染物得，，
∴，∴时，，
故后还剩64%的污染物；
（2）假设污染物减少百分之四十需要花小时，即小时后污染物含量
，∴，又因为，
∴，
∴，，
污染物减少百分之四十至少需要花10小时.
22.（1）为奇函数；（2）在上为增函数，证明见解析；（3）
【解析】（1）因为，
∴为奇函数；
（2）在上为增函数，，
在内任取，令，则，
因为，∴，又因为，故在上为增函数；
（3）因为，又因为在上为增函数，
∴恒成立，对于恒成立，即时，，
解得，即，故实数的取值范围为.