马街中学2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线的焦点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
2．某社区为迎接2022农历虎年，组织了庆祝活动，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为12：15：13，如果采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个80人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
3．已知两直线，平行，则的值是（ ）
A．7 B．0或7 C． D．7或
4．已知一组数据的平均数是2，那么另一组数据的平均数为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．圆与直线的交点个数是
A．2 B．1 C．0 D．与m有关
6．若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知直线（不同时为0），则（ ）
A．当时，与轴垂直
B．当时，与轴重合
C．当时，过原点
D．当时，的倾斜角为锐角
10．已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知空间中三点、、，则下列结论不正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
12．已知双曲线下焦点为，O为坐标原点，在双曲线的一条渐近线上存在一点M使是以M为直角顶点的等腰直角三角形，若点M与双曲线上顶点的连线交双曲线的下支于点N，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为
C．点N在圆内 D．的大小为45°
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长为 .
14．已知，，人进行射击比赛，且，，一次射击命中环的概率分别为，，，若他们每人射击一次，则至少有人命中环的概率为 .
15．已知直线：12x－5y＝3与圆x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B两点，则|AB|＝ .
16．已知点是椭圆上的动点，点为直线上的动点，对给定的点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.
(1)求平行四边形的顶点的坐标；
(2)在中，求边上的高线所在直线方程.
18．（12分）为了解我市高三学生参加体育活动的情况，市直属某校高三学生500人参加“体育基本素质技能”比赛活动，按某项比赛结果所在区间分组：第1组：，第2组：，第3组：，第4组：，第5组：，得到不完整的人数统计表如下：
比赛结果所在区间
人数 50 50 a 150 b
其频率分布直方图为：
（1）求人数统计表中的a和b的值；
（2）根据频率分布直方图，估计该项比赛结果的中位数；
（3）用分层抽样的方法从第1，2，3组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加上一级比赛活动，求参加上一级比赛活动中至少有1人的比赛结果在第3组的概率.
19．（12分）已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线l与双曲线的一支交于两点，求的取值范围．
20．（12分）如图，在直四棱柱中，，为棱的中点，点在线段上，且．
(1)证明：．
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
21．（12分）椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率.
22．（12分）已知抛物线C：的焦点为，准线与坐标轴的交点为，、是离心率为的椭圆S的焦点.
(1)求椭圆S的标准方程；
(2)设过原点O的两条直线和，，与椭圆S交于A、B两点，与椭圆S交于M、N两点.求证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.马街中学2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题参考答案
1．D 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B 7．B 8．B
9．BC 10．BC 11．ABC 12．BD
13．2 14． 15．4 16．16
17．（1）设线段中点为，则点坐标为，
设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有，解得，所以；
（2）因为直线的斜率为，
所以边上的高线所在直线的斜率为，
又，故边上的高线所在直线的方程为，即为.
18．（1）由频率分布直方图得，比赛结果在内的频率为：，则，
比赛结果在内的频率为：，则，
所以人数统计表中的a和b的值分别为200，50；
（2）由频率分布直方图知，比赛结果在内的频率为0.2，比赛结果在内的频率为0.6，则中位数应在内，所以估计该项比赛结果的中位数为：；
（3）因第1，2，3组的频率分别为0.1，0.1，0.4，则利用分层抽样在第1，2，3组中抽的人数比为，
于是得抽取的6人中，第1组抽取1人，第2组抽取1人，第3组抽取4人，
记第1组抽取的1位同学为A，第2组抽取的1位同学为B，第3组抽取的4位同学为，，，，
则从6位同学中抽两位同学有：，，，，，，，，，
，，，，，，共有15种等可能结果，
其中2人比赛结果都不在第3组的有：，共1种可能，
所以至少有1人比赛结果在第3组的概率为.
19．（1）由渐近线方程为，所以，右顶点为，所以，，
故双曲线的标准方程为．
（2）如右图所示：
根据题意易知，直线斜率存在，并设直线l的方程为，
设，
则联立直线和双曲线消去可得．
因为直线与双曲线一支交于两点，
所以，解得，
因此
．
因为，所以，
所以，所以，故．
20．（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
因为，
所以，
所以，故．
（2）因为，
所以．
设平面的法向量为，
则，令，得．
易得平面的一个法向量为．
，解得（舍去）．故的值为．
21．（1）由题，椭圆焦点在轴上，且，，所以，
又，所以，所以椭圆的方程为.
（2）由题，过点满足题意的直线斜率存在，设，
联立，，消去得，
，
令，解得.
设两点的坐标分别为，则，
因为为直角三角形，则为直角，所以，
即，所以，
所以，解得.
22．（1）化抛物线C：的方程为标准方程，即C：.得抛物线C的焦点，
设椭圆S的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c.则由题意得，，得.
∴，又椭圆S的焦点在y轴上.
∴椭圆S的标准方程为.
（2）证明：由题意知A、O、B共线，M、O、N共线，且，又由椭圆的对称性，知，.
∴四边形AMBN为菱形，且原点O为其中心，AM、BN为一组对边.
∴原点O到直线AM和到直线BN的距离相等
下面求原点O到直线AM的距离.
根据椭圆的对称性，不妨设A在第一象限.
当直线AM的斜率为零或不存在时，四边形AMBN为正方形，直线AB和直线MN的方程分别为和，且轴或轴.
设，则或.
于是，有，得.
原点O到直线AM的距离为.
当直线AM的斜率存在且不等于零时，设AM：.
由，消去并整理得，
且.
设，，则，，
∴
.
由，得，即，
得，满足.
∴原点O到直线AM的距离为.
∴原点O到直线BN的距离也为.
综上所述，原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.
