山东省淄博市高青县2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（含答案）

高青县2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D.
2．符合条件的集合的个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．8
3．关于的方程和的解集分别为，，且，则（ ）．
A．21 B．8 C．7 D．6
4．设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
6．若正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
7．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于克 B．小于克
C．大于等于克 D．小于等于克
二、多选题（每小题5分，共20分；部分选对得2分，选错不得分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的必要条件.
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
10．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
11．给定数集M，若对于任意a，，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）
A．集合为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合为闭集合，则为闭集合
12．下列结论中，所有正确的结论是（ ）.
A．当时， 的最小值为2.
B．当时，的最大值是.
C．当时的最小值为.
D．当时，的最大值是.
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知集合有且仅有两个子集，则实数 .
14．若，，，则，的大小关系是 .
15．“，”是假命题，则实数的取值范围为 .
16．正数，满足，则的取值范围是 .
四、解答题（共70分，17题10分，其余每小题12分）
17．解下列不等式：
(1)；
(2)；
18．已知集合，，
(1)求，
(2)求
(3) 求 A)B)
19．解答下列各题．
（1）若，求的最小值．
（2）已知，，且，求的最小值.
20．已知命题，，命题，．
(1)若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
21．已知全集，集合，
(1)当时，求;
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
22．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
参考答案：
1．A 2．C 3．A
4．A【详解】因集合，
若，有，解得，此时，于是得，
若，因或，则由得：，解得：，
综上得：，所以实数的取值范围为.故选：A
5．B【详解】由，得．
由，得．∵是的一个必要不充分条件，∴，即.故选B
6．A【详解】因为正数满足，
所以.所以,
当且仅当，即时，取等号，
当时，取得的最小值为.故选：A.
7．D【详解】因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为3.因为当时，不等式恒成立，所以.故选：D.
8．C 设天平左、右两边臂长分别为，小明、小芳放入的药品的克数分别为，，
则由杠杆原理得：，于是，
故，当且仅当时取等号.
9．BD
【详解】对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项错误；
对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；
对于C选项，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；
对于D选项，关于x的方程有一正一负根，则，解得，则“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D选项正确. 10．ABD
【详解】由于不等式的解集为，
所以和是的两个实数根，
所以，故，，故AB正确，
对于C,不等式为，故，故C错误，
对于D, 不等式可变形为，
解得，故D正确，故选：ABD
11．ABD
【详解】选项A：当集合时，，而，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；
选项C：当时，设，
则，所以集合M是闭集合，C选项正确；
选项D：设，由C可知，集合为闭集合，，而，故不为闭集合，D选项错误．
故选：ABD．
12．BCD
【详解】A. 当时，，当时等号成立，但，故等号不成立，所以，故A错误；
B. 当时，，当，得（1舍去）时等等号成立， C. 当时，，，当时，即（舍去）等号成立，故C正确；
D. 当时，，
，
当，即（舍去）时，等号成立，故D正确.故选：BCD
13．1或
【详解】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，
①当时，，满足题意；②当时，，所以，
综上所述，或.故答案为：1或.
14．
由,有，，则，,
15．
【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题，
即“，”是真命题，
当时，，不等式显然成立，
当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，
综上，实数的取值范围为.故答案为：.
16．
【详解】正数、满足，，当且仅当时取等号，
，解得或（舍去），
则，当且仅当时取等号，即的取值范围是.故答案为：．
17．(1) (2)
【详解】（1）由，得，解得，故不等式的解集为.
（3）由，得，即，解得，故解集为.
18．(1) (2) (3)或
19．（1）8；（2）9;
【详解】解：（1）因为，则，
，
当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为8；
（2）由题意，，又，，
，
当且仅当，即是等号成立，
结合，知时，有最小值为.
20．(1) 2)
【详解】（1）解：若命题为真命题，即命，，所以，所以，
若命题为真命题，即，，所以，解得，
因为命题和命题有且只有一个为假命题，
当命题为假，命题为真时，解得；
当命题为真，命题为假时，所以；
所以；
（2）解：若命题和命题都为假命题，则，即；
因为命题和命题至少有一个为真命题，所以或，即；
21．【详解】（1）因为，当时，，
因为全集，则或，或，
因此，或.
（2）易知集合为非空集合，
因为是的必要不充分条件，则 ，所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
22．（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米.
【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得.
因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得.
又，所以.所以宽的最大值为16米.
（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得
（平方米）
当且仅当米时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为平方米.