2.1圆的对称性习题(有答案)
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2 圆的对称性
一、选择题（共10小题）
1．形如半圆型的量角器直径为4cm，放在 ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（ ）
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A． （﹣1，） B． （0，） C． （，0） D． （1，）
2．已知⊙O中，弦AB长为，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
3．下列说法：
①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2
②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，
其中正确的个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
4．（2013 邵东县模拟）⊙O的半径为R，若∠AOB=α，则弦AB的长为（ ）
A． B． 2Rsinα C． D． Rsinα
5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（ ）
A． 3＜r＜5 B． 3＜r≤4 C． 4＜r≤5 D． 无法确定
6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（ ）
A． 3cm B． 6cm C． 8cm D． 10cm
7．半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A． 在⊙O内 B． 在⊙O上 C． 在⊙O外 D． 不能确定
8．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A． 2.5 cm或6.5 cm B． 2.5 cm C． 6.5 cm D． 5 cm或13cm
9．如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
10．如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则四边形AODC的面积s的取值范围是（ ）
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A． ≤s≤ B． ＜s≤ C． ≤s≤ D． ＜s＜
二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？
12．一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，则AB= _________ cm．
13．若⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则弦AB的长为 _________ cm．
14．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是 _________ ．
15．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在⊙A _________ ．
16．在下图所列的图形中选出轴对称图形： _________ ．
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17．作圆，使这些圆都经过线段AB的两个端点A和B，这些圆的圆心所组成的图形是 _________ ．
18．以已知点O为圆心，可以画 _________ 个圆．
19．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC= _________ ．
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20．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，则∠D= _________ 度．
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三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
21．已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD．请证明：OA=OB．
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22．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE=BF．
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23．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．
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24．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？
25．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，
求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）
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26．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，
（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．
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27．已知：如图，在⊙O中，∠A=∠C，求证：AB=CD（利用三角函数证明）．
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28．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，求弦AB的长．
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29．已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB=AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB的长．
30．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=7，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长．
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参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2012 江宁区二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（ ）
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A． （﹣1，） B． （0，） C． （，0） D． （1，）
考点： 圆心角、弧、弦的关系；坐标与图形性质；解直角三角形．
分析： 连接OQ、OP，求出∠POQ的度数，得 ( http: / / www.21cnjy.com )出等边三角形POQ，得出PQ=OQ=OP=2，∠OPQ=∠OQP=60°，求出∠AOQ度数，根据三角形的内角和定理求出∠QAO，求出AQ、OA，即可得出答案．
解答： 解：连接OQ、PO， ( http: / / www.21cnjy.com )则∠POQ=120°﹣60°=60，∵PO=OQ，∴△POQ是等边三角形，∴PQ=OP=OQ=×4cm=2cm，∠OPQ=∠OQP=60°，∵∠AOQ=90°﹣60°=30°，∴∠QAO=180°﹣60°﹣30°=90°，∴AQ=OQ=2cm，∵在Rt△AOQ中，由勾股定理得：OA==，∴A的坐标是（0，），故选B．
点评： 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，三角形的内角和定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是构造三角形后求出OA的长，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．
2．已知⊙O中，弦AB长为，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 连接OA，根据垂径定理求出AD，设⊙O的半径是R，则OA=R，OD=R﹣1，在Rt△OAD中，由勾股定理得出方程R2=（R﹣1）2+（）2，求出R即可．
解答： ( http: / / www.21cnjy.com )解：连接OA，∵OC是半径，OC⊥AB，∴AD=BD=AB=，设⊙O的半径是R，则OA=R，OD=R﹣1，在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2=OD2+AD2，即R2=（R﹣1）2+（）2，R=2，故选B．
点评： 本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是构造直角三角形，用了方程思想．
3．下列说法：
①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2
②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，
其中正确的个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
考点： 垂径定理；同位角、内错角、同旁内角；等腰三角形的性质；正方形的判定；等腰梯形的性质．
分析： 根据只有在平行线中，同位角才相等， ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，即可判断①②③④；画出反例图形即可判断⑤．
解答： 解：∵只有在平行线中，同位角才相等，∴①错误；∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，∴②错误；∵对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，∴③错误；∵等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴④正确；如图 ( http: / / www.21cnjy.com )AB是⊙O直径，CD是⊙O弦，AB平分CD，但AB和CD不垂直，∴⑤错误；故选B．
点评： 本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质，同位角，等腰梯形性质，正方形的判定等知识点的应用，主要考查学生的辨析能力．
4．（2013 邵东县模拟）⊙O的半径为R，若∠AOB=α，则弦AB的长为（ ）
A． B． 2Rsinα C． D． Rsinα
考点： 垂径定理；解直角三角形．
分析： 过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得出AB=2AC，根据等腰三角形性质求出∠AOC=∠BOC=∠AOB=，根据sin∠AOC=求出AC=Rsin，即可求出AB．
解答： ( http: / / www.21cnjy.com )解：过O作OC⊥AB于C，则由垂径定理得：AB=2AC=2BC，∵OA=OB，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=，在△AOC中，sin∠AOC=，∴AC=Rsin，∴AB=2AC=2Rsin，故选A．
点评： 本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点，关键是求出AC的长和得出AB=2AC．
5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4， ( http: / / www.21cnjy.com )如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（ ）
A． 3＜r＜5 B． 3＜r≤4 C． 4＜r≤5 D． 无法确定
考点： 点与圆的位置关系．
分析： 四边形ABCD是矩形，则△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC是直角三角形．根据勾股定理得到：AC=5，B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，由题意可知一定是B在圆内，则半径r＞3，一定是点C在圆外，则半径r＜5，所以3＜r＜5．
解答： 解：∵AB=3，AD=4，∴AC=5，∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r的取值范围是：3＜r＜5．故选A．
点评： 本题主要考查了勾股定理，以及点和圆的位置关系，可以通过点到圆心的距离与圆的半径比较大小，判定点和圆的位置关系．
6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（ ）
A． 3cm B． 6cm C． 8cm D． 10cm
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 连接OA，根据垂径定理求出AC=BC，根据勾股定理求出AC即可．
解答： 解：连接OA，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AC=BC，由勾股定理得：AC===3（cm），∴AB=2AC=6（cm）．故选B． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题主要考查对勾股定理，垂径定理等知识点的理解和掌握，能求出AC=BC和AC的长是解此题的关键．
7．半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A． 在⊙O内 B． 在⊙O上 C． 在⊙O外 D． 不能确定
考点： 点与圆的位置关系；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 连接OP，根据勾股定理求出OP，把OP和圆的半径比较即可．
解答： 解：连接OP．∵P（﹣3，4），由勾股定理得：OP==5，∵圆的半径5，∴P在圆O上．故选B． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题主要考查对勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的理解和掌握，能求出OP长和能根据直线与圆的位置关系性质进行判断是解此题的关键．
8．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A． 2.5 cm或6.5 cm B． 2.5 cm C． 6.5 cm D． 5 cm或13cm
考点： 点与圆的位置关系．
分析： 点P应分为位于圆的内部位 ( http: / / www.21cnjy.com )于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
解答： 解：当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm，因而半径是6.5cm；当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．故选A．
点评： 本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
9．（2010 昌平区一模）如图，在半 ( http: / / www.21cnjy.com )径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 动点问题的函数图象；垂径定理．
专题： 压轴题；动点型．
分析： 连接OP，根据条件可判断出PO⊥AB，即AP是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线段．要注意CE的长度是小于1而大于0的．
解答： 解：连接OP，∵OC=OP，∴∠OCP=∠OPC．∵∠OCP=∠DCP，CD⊥AB，∴∠OPC=∠DCP．∴OP∥CD．∴PO⊥AB．∵OA=OP=1，∴AP=y=（0＜x＜1）．故选A． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 解决有关动点问题的函数图象类习题时，关 ( http: / / www.21cnjy.com )键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
10．如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则四边形AODC的面积s的取值范围是（ ）
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A． ≤s≤ B． ＜s≤ C． ≤s≤ D． ＜s＜
考点： 等边三角形的性质；垂径定理．
专题： 压轴题；动点型．
分析： 根据题意，得四边形AODC的最小面积即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC时四边形的面积．要求三角形AOC的面积，作CD⊥AO于D．根据等边三角形的性质以及直角三角形的性质，求得CD=，得其面积是；要求最大面积，只需再进一步求得三角形DOC的面积，即是，则最大面积是．
解答： 解：根据题意，得四边形AODC的面积最小即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC时四边形的面积．作CH⊥AO于H，∵△AOC为等边三角形∴CH=∴S△AOC=；当OD⊥OC时面积最大，∴S△OCD=，则最大面积是+=∴四边形AODC的面积s的取值范围是＜s≤．故选B． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题首先要能够正确分析出要求的四边形的最小面积和最大面积，然后根据等边三角形的性质以及三角形的面积公式进行计算．
二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？
考点： 圆的认识．
分析： 根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合可以得到答案．
解答： 解：可让牛牛站在原地旋转，壮壮拉直牛牛的手臂，绕牛牛走一圈，用脚在沙滩上画出一条曲线，就是一个圆．
点评： 本题考查了圆的认识，了解圆的定义是解决本题的关键．
12．一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，则AB= 2 cm．
考点： 垂径定理．
分析： 根据题意画出图形，作弦的弦心距，根据题意可知，半径OA=5cm，ND=3cm，ON=2cm，利用勾股定理易求得NM=1cm，OM=cm，进一步可求出AM，进而求出AB．
解答： 解：根据题意画出图形，如图示，作OM⊥AB于M，连接OA，∴AM=BM，CD=10cm，ND=3cm，∴ON=2cm，∵∠ONM=60°，OM⊥AB，∴MN=1cm，∴OM=，在Rt△OMA中，AM===，∴AB=2AM=2． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题主要考查了垂径定理，解决与弦有 ( http: / / www.21cnjy.com )关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，设法确定其中两边，进而利用勾股定理确定第三边．
13．若⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则弦AB的长为 24 cm．
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 在△OBD中，利用勾股定理即可求得BD的长，然后根据垂径定理可得：AB=2BD，即可求解．
解答： 解：连接OB，∵在Rt△ODB中，OD=4cm，OB=5cm．由勾股定理得：BD2=OB2﹣OD2=132﹣52=144，∴BD=12，又OD⊥AB，∴AB=2BD=2×12=24cm．故答案是24． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题主要考查垂径定理，圆中有关半径、弦长以及弦心距的计算一般是利用垂径定理转化成解直角三角形．
14．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是 8条 ．
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 推理填空题．
分析： 求出最长弦（直径）和最短弦（垂直于OP的弦），再求出之间的数，得出符合条件的弦，相加即可求出答案．
解答： 解：过P点最长的弦是直径，等于10，最短 ( http: / / www.21cnjy.com )的弦是垂直于PO的弦，根据勾股定理和垂径定理求出是6，10和6之间有7，8，9，每个都有两条弦，关于OP对称，共6条，1+1+6=8，故答案为：8条．
点评： 本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，此题是一道比较容易出错的题目，考虑一定要全面，争取做到不重不漏．
15．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在⊙A 内部 ．
考点： 点与圆的位置关系；坐标与图形性质．
分析： 首先根据两点的坐标求得两点之间的距离，然后利用两点之间的距离和圆A的半径求得点与圆的位置关系．
解答： 解：∵A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），∴AP==2∵⊙A的半径为5，∴5＞2∴点P在⊙A的内部故答案为：内部．
点评： 本题考查了点与圆的位置关系，解题得到关键是根据两点的坐标求得两点之间的距离．
16．在下图所列的图形中选出轴对称图形： ②③④⑥ ．
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考点： 圆的认识；轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形进行判断．
解答： 解：①⑤都不是轴对称图形，②③④⑥是轴对称图形，故答案为：②③④⑥．
点评： 本题主要考查轴对称的知识点，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
17．作圆，使这些圆都经过线段AB的两个端点A和B，这些圆的圆心所组成的图形是 线段AB的垂直平分线 ．
考点： 圆的认识；线段垂直平分线的性质．
分析： 利用圆的性质可以得到圆上的所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到A、B两点的距离相等，从而得到结论．
解答： 解：∵圆上的所有点到圆心的距离相等，∴无论圆心O在哪里，总有OA=OB，即：所有圆心到A、B两点的距离相等，∵到A、B两点的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，故答案为：线段AB的垂直平分线．
点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
18．以已知点O为圆心，可以画 无数 个圆．
考点： 圆的认识．
分析： 圆心固定，半径不确定，可以画出无数个圆，由此选择答案解决问题．
解答： 解：以一点为圆心，以任意长为半径可以画无数个同心圆，故答案为：无数．
点评： 此题考查：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小这一知识．
19．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC= 48° ．
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考点： 圆的认识；平行线的性质．
分析： 根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D=∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．
解答： 解：∵OD=OC，∴∠D=∠A，∵∠AOD=84°，∴∠A=（180°﹣84°）=48°，又∵AD∥OC，∴∠BOC=∠A=48°．故答案为：48°．
点评： 本题考查了有关圆的知识：圆的半径都相等．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．
20．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，则∠D= 25 度．
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考点： 圆的认识；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析： 解答此题要作辅助线OB，根据OA=OB=BD=半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内角的关系解决．
解答： 解：连接OB，∵BD=OA，OA=OB所以△AOB和△BOD为等腰三角形，设∠D=x度，则∠OBA=2x°，因为OB=OA，所以∠A=2x°，在△AOB中，2x+2x+（105﹣x）=180，解得x=25，即∠D=25°． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中．
三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
21．已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD．请证明：OA=OB．
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考点： 垂径定理；线段垂直平分线的性质．
专题： 证明题．
分析： 过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出CE=DE，求出AE=BE，根据线段的垂直平分线定理求出即可．
解答： 证明：过O作OE⊥AB于E，∵OE过圆心O，∴CE=DE，∵AC=BD，∴AE=BE，∵OE⊥AB，∴OA=OB． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了线段的垂直平分线定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．
22．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE=BF．
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考点： 垂径定理．
专题： 证明题．
分析： 过O作OG⊥CD，由垂径定理可知OG垂直平分CD，再由平行线分线段成比例定理即可求解．
解答： 证明：过O作OG⊥CD，由垂径定理可知OG垂直平分CD，则CG=DG，∵CE⊥CD，DF⊥CD，OG⊥CD，∴CE∥OG∥DF，∵CG=DG，∴OE=OF，∵OA=OB，∴AE=BF． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题综合考查了垂径定理和平行线分线段成比例定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出平行线，再利用平行线的性质解答．
23．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．
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考点： 圆心角、弧、弦的关系；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形．
专题： 证明题．
分析： 连接OE，推出DE⊥OC，求出∠EDO=90°，根据OD=OC=OE，求出∠DEO=30°，求出∠EOC，根据OC⊥AB，求出∠AOC=90°，求出∠AOE=30°，即可求出答案．
解答： 证明： ( http: / / www.21cnjy.com )连接OE，∵AB⊥OC，DE∥AB，∴DE⊥OC，∴∠EDO=90°，∵D为OC中点，∴OD=OC=OE，∴∠DEO=30°，∴∠EOC=90°﹣30°=60°，∵OC⊥AB，∴∠AOC=90°，∴∠AOE=90°﹣60°=30°，即∠AOE=30°，∠COE=60°，∴=2（圆心角的度数等于它所对的弧的度数）．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理，平行线 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，综合性比较强．
24．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： （1）连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，求出BC，再根据勾股定理求出OC即可；（2）弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周．
解答： （1）解： ( http: / / www.21cnjy.com )连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AC=BC=AB=8cm，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===4（cm），答：圆心O到弦AB的距离是4cm．（2）解：如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点到圆心O的距离都是4cm，∴如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周．
点评： 本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好，难度适中．
25．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，
求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）
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考点： 圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．
专题： 证明题．
分析： 方法一：连接OB，利用同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等即可证明此题．方法二：连接OE，利用垂径定理可得OE⊥BC，再利用AD⊥BC，可得OE∥AD，然后即可证明．
解答： 证明：（1）连接OB，则∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，∵AD⊥BC，∴∠OAB=（180°﹣∠AOB），=90°﹣∠AOB=90°﹣∠ACB=∠DAC，∵E是弧BC的中点，∴∠EAB=∠EAC，∴∠EAO=∠EAB﹣∠OAB=∠EAC﹣∠DAC=∠EAD．（2）连接OE，∵E是的中点，∴弧BE=弧EC，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OE=OA，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OAE=∠EAD． ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线，方法一：连接OB，方法二：连接OE，属于中档题．
26．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，
（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．
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考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： （1）作OH⊥CD于H，连接OD，求出AB=6cm，半径OD=3cm，在Rt△OHE中，OE=2cm，∠OEH=60°，由勾股定理求出OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD=cm，由垂径定理得出DC=2DH，代入即可；（2）求出OE，∠OEH=45°，根据勾股定理求出OH，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD，由垂径定理得出DC=2DH，代入即可．
解答： 解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )作OH⊥CD于H，连接OD，∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=6cm，半径OD=3cm，∵在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=60°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD=cm，∵OH⊥CD，∴由垂径定理得：DC=2DH=2cm；（2）作OH⊥CD于H，连接OD，∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=cm6，半径OD=3cm，∵若直线CD绕点E顺时针旋转15°，∴∠OEH=60°﹣15°=45°，在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=45°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD==（cm），∵OH⊥CD，∴由垂径定理得：DC=2DH=2cm；即CD=2cm．
点评： 本题考查了垂径定理，勾股定理， ( http: / / www.21cnjy.com )含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
27．已知：如图，在⊙O中，∠A=∠C，求证：AB=CD（利用三角函数证明）．
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考点： 垂径定理；解直角三角形．
专题： 证明题．
分析： 作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，设⊙O半径为R，根据sinA=，、inC=和∠A=∠C求出OE=OF，由勾股定理求出AE=CF，由垂径定理得出DC=2DF，AB=2AE，即可求出答案．
解答： 证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F ( http: / / www.21cnjy.com )设⊙O半径为R，sinA=，sinC=，∴OE=RsinA，OF=RsinC，∵∠A=∠C， ∴sinA=sinC，∴OE=OF，由勾股定理得：CF2=OC2﹣OF2，AE2=OA2﹣OE2，∴AE=CF，由垂径定理得：DC=2DF，AB=2AE，∴AB=CD．
点评： 本题考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识点，主要培养学生运用定理进行推理的能力．
28．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，求弦AB的长．
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考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析： 连接OA，根据等腰三角形性质求出∠D= ( http: / / www.21cnjy.com )∠OAD=30°，求出∠AOH=60°，根据垂径定理求出AB=2AH=2BH，求出∠HAO=30°，推出AO=2OH=C0，求出OH=CH=1cm，AO=2cm，在Rt△AHO中，由勾股定理求出AH即可．
解答： 解： ( http: / / www.21cnjy.com )连接OA，∵OA=OD，∴∠D=∠OAD=30°，∴∠AOH=30°+30°=60°，∵AB⊥DH，∴∠AHO=90°，AB=2AH=2BH，∴∠HAO=30°，∴AO=2OH=C0，∴OH=CH=1cm，∴AO=2cm，在Rt△AHO中，由勾股定理得：AH==cm，∴AB=2cm．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算和推理的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
29．已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB=AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB的长．
考点： 垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： ①连接AD、OB，根据三线合 ( http: / / www.21cnjy.com )一得出AO过D，在Rt△OBD中，根据勾股定理求出BD，在Rt△ADB中，根据勾股定理求出AB即可．②求出BD、AD，根据勾股定理求出AB即可．
解答： 解：①如图，连接AD，连接OB，∵△ABC是等腰三角形，∴根据等腰三角形的性质（三线合一定理）得出，AO⊥BC，AO平分BC，∵OD⊥BC，∴根据垂直定理得：OD平分BC，即A、O、D三点共线，∴AO过D，∵等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，∴OA=6cm，BD=DC，AD⊥BC，在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD===4（cm），在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB===4（cm），②如图：同法求出BD=4cm，AD=6cm﹣2cm=4cm，由勾股定理得：AB===4（cm），答：AB的长是4cm或4cm． ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，勾 ( http: / / www.21cnjy.com )股定理等知识点的应用，关键是正确作辅助线后求出BD的长，题目具有一定的代表性，难度也适中，是一道比较好的题目．注意：分类讨论．
30．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=7，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长．
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考点： 垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 延长AO交BC于D，过O作OE⊥BC于 ( http: / / www.21cnjy.com )E，根据垂径定理求出BC=2BE，根据等边三角形的性质和判定求出AD=BD=AB=12，求出OD的长，根据含30度角的直角三角形性质求出DE即可
解答： 解： ( http: / / www.21cnjy.com )延长AO交BC于D，过O作OE⊥BC于E，∵OE过圆心O，OE⊥BC，∴BC=2CE=2BE（垂径定理），∵∠A=∠B=60°，∴DA=DB，∴△DAB是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形），∴AD=BD=AB=12，∠ADB=60°，∴OD=AD﹣OA=12﹣7=5，∵∠OED=90°，∠ODE=60°，∴∠DOE=30°，∴DE=OD=（在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半），∴BE=12﹣=，∴BC=2BE=19（根据垂径定理已推出，在第三行）．
点评： 本题考查了垂径定理，等边三角形的性质和判 ( http: / / www.21cnjy.com )定，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，关键是正确作辅助线后求出BE的长，题目比较典型，难度适中．
一、选择题（共10小题）
1．形如半圆型的量角器直径为4cm，放在 ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． （﹣1，） B． （0，） C． （，0） D． （1，）
2．已知⊙O中，弦AB长为，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
3．下列说法：
①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2
②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，
其中正确的个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
4．（2013 邵东县模拟）⊙O的半径为R，若∠AOB=α，则弦AB的长为（ ）
A． B． 2Rsinα C． D． Rsinα
5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（ ）
A． 3＜r＜5 B． 3＜r≤4 C． 4＜r≤5 D． 无法确定
6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（ ）
A． 3cm B． 6cm C． 8cm D． 10cm
7．半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A． 在⊙O内 B． 在⊙O上 C． 在⊙O外 D． 不能确定
8．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A． 2.5 cm或6.5 cm B． 2.5 cm C． 6.5 cm D． 5 cm或13cm
9．如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
10．如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则四边形AODC的面积s的取值范围是（ ）
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A． ≤s≤ B． ＜s≤ C． ≤s≤ D． ＜s＜
二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？
12．一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，则AB= _________ cm．
13．若⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则弦AB的长为 _________ cm．
14．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是 _________ ．
15．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在⊙A _________ ．
16．在下图所列的图形中选出轴对称图形： _________ ．
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17．作圆，使这些圆都经过线段AB的两个端点A和B，这些圆的圆心所组成的图形是 _________ ．
18．以已知点O为圆心，可以画 _________ 个圆．
19．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC= _________ ．
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20．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，则∠D= _________ 度．
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三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
21．已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD．请证明：OA=OB．
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22．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE=BF．
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23．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．
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24．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？
25．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，
求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）
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26．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，
（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．
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27．已知：如图，在⊙O中，∠A=∠C，求证：AB=CD（利用三角函数证明）．
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28．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，求弦AB的长．
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29．已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB=AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB的长．
30．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=7，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长．
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参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2012 江宁区二模 ( http: / / www.21cnjy.com )）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． （﹣1，） B． （0，） C． （，0） D． （1，）
考点： 圆心角、弧、弦的关系；坐标与图形性质；解直角三角形．
分析： 连接OQ、OP，求出∠POQ的度数，得 ( http: / / www.21cnjy.com )出等边三角形POQ，得出PQ=OQ=OP=2，∠OPQ=∠OQP=60°，求出∠AOQ度数，根据三角形的内角和定理求出∠QAO，求出AQ、OA，即可得出答案．
解答： 解：连接OQ、PO， ( http: / / www.21cnjy.com )则∠POQ=120°﹣60°=60，∵PO=OQ，∴△POQ是等边三角形，∴PQ=OP=OQ=×4cm=2cm，∠OPQ=∠OQP=60°，∵∠AOQ=90°﹣60°=30°，∴∠QAO=180°﹣60°﹣30°=90°，∴AQ=OQ=2cm，∵在Rt△AOQ中，由勾股定理得：OA==，∴A的坐标是（0，），故选B．
点评： 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，三角形的内角和定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是构造三角形后求出OA的长，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．
2．已知⊙O中，弦AB长为，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 连接OA，根据垂径定理求出AD，设⊙O的半径是R，则OA=R，OD=R﹣1，在Rt△OAD中，由勾股定理得出方程R2=（R﹣1）2+（）2，求出R即可．
解答： ( http: / / www.21cnjy.com )解：连接OA，∵OC是半径，OC⊥AB，∴AD=BD=AB=，设⊙O的半径是R，则OA=R，OD=R﹣1，在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2=OD2+AD2，即R2=（R﹣1）2+（）2，R=2，故选B．
点评： 本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是构造直角三角形，用了方程思想．
3．下列说法：
①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2
②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，
其中正确的个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
考点： 垂径定理；同位角、内错角、同旁内角；等腰三角形的性质；正方形的判定；等腰梯形的性质．
分析： 根据只有在平行线中，同位角才相等， ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，即可判断①②③④；画出反例图形即可判断⑤．
解答： 解：∵只有在平行线中，同位角才相等，∴①错误；∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，∴②错误；∵对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，∴③错误；∵等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴④正确；如图 ( http: / / www.21cnjy.com )AB是⊙O直径，CD是⊙O弦，AB平分CD，但AB和CD不垂直，∴⑤错误；故选B．
点评： 本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质，同位角，等腰梯形性质，正方形的判定等知识点的应用，主要考查学生的辨析能力．
4．（2013 邵东县模拟）⊙O的半径为R，若∠AOB=α，则弦AB的长为（ ）
A． B． 2Rsinα C． D． Rsinα
考点： 垂径定理；解直角三角形．
分析： 过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得出AB=2AC，根据等腰三角形性质求出∠AOC=∠BOC=∠AOB=，根据sin∠AOC=求出AC=Rsin，即可求出AB．
解答： ( http: / / www.21cnjy.com )解：过O作OC⊥AB于C，则由垂径定理得：AB=2AC=2BC，∵OA=OB，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=，在△AOC中，sin∠AOC=，∴AC=Rsin，∴AB=2AC=2Rsin，故选A．
点评： 本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点，关键是求出AC的长和得出AB=2AC．
5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4， ( http: / / www.21cnjy.com )如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（ ）
A． 3＜r＜5 B． 3＜r≤4 C． 4＜r≤5 D． 无法确定
考点： 点与圆的位置关系．
分析： 四边形ABCD是矩形，则△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC是直角三角形．根据勾股定理得到：AC=5，B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，由题意可知一定是B在圆内，则半径r＞3，一定是点C在圆外，则半径r＜5，所以3＜r＜5．
解答： 解：∵AB=3，AD=4，∴AC=5，∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r的取值范围是：3＜r＜5．故选A．
点评： 本题主要考查了勾股定理，以及点和圆的位置关系，可以通过点到圆心的距离与圆的半径比较大小，判定点和圆的位置关系．
6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（ ）
A． 3cm B． 6cm C． 8cm D． 10cm
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 连接OA，根据垂径定理求出AC=BC，根据勾股定理求出AC即可．
解答： 解：连接OA，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AC=BC，由勾股定理得：AC===3（cm），∴AB=2AC=6（cm）．故选B． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题主要考查对勾股定理，垂径定理等知识点的理解和掌握，能求出AC=BC和AC的长是解此题的关键．
7．半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A． 在⊙O内 B． 在⊙O上 C． 在⊙O外 D． 不能确定
考点： 点与圆的位置关系；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 连接OP，根据勾股定理求出OP，把OP和圆的半径比较即可．
解答： 解：连接OP．∵P（﹣3，4），由勾股定理得：OP==5，∵圆的半径5，∴P在圆O上．故选B． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题主要考查对勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的理解和掌握，能求出OP长和能根据直线与圆的位置关系性质进行判断是解此题的关键．
8．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（ ）
A． 2.5 cm或6.5 cm B． 2.5 cm C． 6.5 cm D． 5 cm或13cm
考点： 点与圆的位置关系．
分析： 点P应分为位于圆的内部位 ( http: / / www.21cnjy.com )于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
解答： 解：当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm，因而半径是6.5cm；当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．故选A．
点评： 本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
9．（2010 昌平区一模）如图，在半 ( http: / / www.21cnjy.com )径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 动点问题的函数图象；垂径定理．
专题： 压轴题；动点型．
分析： 连接OP，根据条件可判断出PO⊥AB，即AP是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线段．要注意CE的长度是小于1而大于0的．
解答： 解：连接OP，∵OC=OP，∴∠OCP=∠OPC．∵∠OCP=∠DCP，CD⊥AB，∴∠OPC=∠DCP．∴OP∥CD．∴PO⊥AB．∵OA=OP=1，∴AP=y=（0＜x＜1）．故选A． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 解决有关动点问题的函数图象类习题时，关 ( http: / / www.21cnjy.com )键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
10．如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则四边形AODC的面积s的取值范围是（ ）
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A． ≤s≤ B． ＜s≤ C． ≤s≤ D． ＜s＜
考点： 等边三角形的性质；垂径定理．
专题： 压轴题；动点型．
分析： 根据题意，得四边形AODC的最小面积即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC时四边形的面积．要求三角形AOC的面积，作CD⊥AO于D．根据等边三角形的性质以及直角三角形的性质，求得CD=，得其面积是；要求最大面积，只需再进一步求得三角形DOC的面积，即是，则最大面积是．
解答： 解：根据题意，得四边形AODC的面积最小即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC时四边形的面积．作CH⊥AO于H，∵△AOC为等边三角形∴CH=∴S△AOC=；当OD⊥OC时面积最大，∴S△OCD=，则最大面积是+=∴四边形AODC的面积s的取值范围是＜s≤．故选B． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题首先要能够正确分析出要求的四边形的最小面积和最大面积，然后根据等边三角形的性质以及三角形的面积公式进行计算．
二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？
考点： 圆的认识．
分析： 根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合可以得到答案．
解答： 解：可让牛牛站在原地旋转，壮壮拉直牛牛的手臂，绕牛牛走一圈，用脚在沙滩上画出一条曲线，就是一个圆．
点评： 本题考查了圆的认识，了解圆的定义是解决本题的关键．
12．一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，则AB= 2 cm．
考点： 垂径定理．
分析： 根据题意画出图形，作弦的弦心距，根据题意可知，半径OA=5cm，ND=3cm，ON=2cm，利用勾股定理易求得NM=1cm，OM=cm，进一步可求出AM，进而求出AB．
解答： 解：根据题意画出图形，如图示，作OM⊥AB于M，连接OA，∴AM=BM，CD=10cm，ND=3cm，∴ON=2cm，∵∠ONM=60°，OM⊥AB，∴MN=1cm，∴OM=，在Rt△OMA中，AM===，∴AB=2AM=2． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题主要考查了垂径定理，解决与弦有 ( http: / / www.21cnjy.com )关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，设法确定其中两边，进而利用勾股定理确定第三边．
13．若⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则弦AB的长为 24 cm．
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 在△OBD中，利用勾股定理即可求得BD的长，然后根据垂径定理可得：AB=2BD，即可求解．
解答： 解：连接OB，∵在Rt△ODB中，OD=4cm，OB=5cm．由勾股定理得：BD2=OB2﹣OD2=132﹣52=144，∴BD=12，又OD⊥AB，∴AB=2BD=2×12=24cm．故答案是24． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题主要考查垂径定理，圆中有关半径、弦长以及弦心距的计算一般是利用垂径定理转化成解直角三角形．
14．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是 8条 ．
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 推理填空题．
分析： 求出最长弦（直径）和最短弦（垂直于OP的弦），再求出之间的数，得出符合条件的弦，相加即可求出答案．
解答： 解：过P点最长的弦是直径，等于10，最短 ( http: / / www.21cnjy.com )的弦是垂直于PO的弦，根据勾股定理和垂径定理求出是6，10和6之间有7，8，9，每个都有两条弦，关于OP对称，共6条，1+1+6=8，故答案为：8条．
点评： 本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，此题是一道比较容易出错的题目，考虑一定要全面，争取做到不重不漏．
15．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在⊙A 内部 ．
考点： 点与圆的位置关系；坐标与图形性质．
分析： 首先根据两点的坐标求得两点之间的距离，然后利用两点之间的距离和圆A的半径求得点与圆的位置关系．
解答： 解：∵A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），∴AP==2∵⊙A的半径为5，∴5＞2∴点P在⊙A的内部故答案为：内部．
点评： 本题考查了点与圆的位置关系，解题得到关键是根据两点的坐标求得两点之间的距离．
16．在下图所列的图形中选出轴对称图形： ②③④⑥ ．
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考点： 圆的认识；轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形进行判断．
解答： 解：①⑤都不是轴对称图形，②③④⑥是轴对称图形，故答案为：②③④⑥．
点评： 本题主要考查轴对称的知识点，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
17．作圆，使这些圆都经过线段AB的两个端点A和B，这些圆的圆心所组成的图形是 线段AB的垂直平分线 ．
考点： 圆的认识；线段垂直平分线的性质．
分析： 利用圆的性质可以得到圆上的所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到A、B两点的距离相等，从而得到结论．
解答： 解：∵圆上的所有点到圆心的距离相等，∴无论圆心O在哪里，总有OA=OB，即：所有圆心到A、B两点的距离相等，∵到A、B两点的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，故答案为：线段AB的垂直平分线．
点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
18．以已知点O为圆心，可以画 无数 个圆．
考点： 圆的认识．
分析： 圆心固定，半径不确定，可以画出无数个圆，由此选择答案解决问题．
解答： 解：以一点为圆心，以任意长为半径可以画无数个同心圆，故答案为：无数．
点评： 此题考查：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小这一知识．
19．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC= 48° ．
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考点： 圆的认识；平行线的性质．
分析： 根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D=∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．
解答： 解：∵OD=OC，∴∠D=∠A，∵∠AOD=84°，∴∠A=（180°﹣84°）=48°，又∵AD∥OC，∴∠BOC=∠A=48°．故答案为：48°．
点评： 本题考查了有关圆的知识：圆的半径都相等．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．
20．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，则∠D= 25 度．
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考点： 圆的认识；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析： 解答此题要作辅助线OB，根据OA=OB=BD=半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内角的关系解决．
解答： 解：连接OB，∵BD=OA，OA=OB所以△AOB和△BOD为等腰三角形，设∠D=x度，则∠OBA=2x°，因为OB=OA，所以∠A=2x°，在△AOB中，2x+2x+（105﹣x）=180，解得x=25，即∠D=25°． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中．
三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
21．已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD．请证明：OA=OB．
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考点： 垂径定理；线段垂直平分线的性质．
专题： 证明题．
分析： 过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出CE=DE，求出AE=BE，根据线段的垂直平分线定理求出即可．
解答： 证明：过O作OE⊥AB于E，∵OE过圆心O，∴CE=DE，∵AC=BD，∴AE=BE，∵OE⊥AB，∴OA=OB． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了线段的垂直平分线定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．
22．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE=BF．
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考点： 垂径定理．
专题： 证明题．
分析： 过O作OG⊥CD，由垂径定理可知OG垂直平分CD，再由平行线分线段成比例定理即可求解．
解答： 证明：过O作OG⊥CD，由垂径定理可知OG垂直平分CD，则CG=DG，∵CE⊥CD，DF⊥CD，OG⊥CD，∴CE∥OG∥DF，∵CG=DG，∴OE=OF，∵OA=OB，∴AE=BF． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题综合考查了垂径定理和平行线分线段成比例定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出平行线，再利用平行线的性质解答．
23．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．
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考点： 圆心角、弧、弦的关系；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形．
专题： 证明题．
分析： 连接OE，推出DE⊥OC，求出∠EDO=90°，根据OD=OC=OE，求出∠DEO=30°，求出∠EOC，根据OC⊥AB，求出∠AOC=90°，求出∠AOE=30°，即可求出答案．
解答： 证明： ( http: / / www.21cnjy.com )连接OE，∵AB⊥OC，DE∥AB，∴DE⊥OC，∴∠EDO=90°，∵D为OC中点，∴OD=OC=OE，∴∠DEO=30°，∴∠EOC=90°﹣30°=60°，∵OC⊥AB，∴∠AOC=90°，∴∠AOE=90°﹣60°=30°，即∠AOE=30°，∠COE=60°，∴=2（圆心角的度数等于它所对的弧的度数）．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理，平行线 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，综合性比较强．
24．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： （1）连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，求出BC，再根据勾股定理求出OC即可；（2）弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周．
解答： （1）解： ( http: / / www.21cnjy.com )连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AC=BC=AB=8cm，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===4（cm），答：圆心O到弦AB的距离是4cm．（2）解：如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点到圆心O的距离都是4cm，∴如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周．
点评： 本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好，难度适中．
25．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，
求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）
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考点： 圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．
专题： 证明题．
分析： 方法一：连接OB，利用同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等即可证明此题．方法二：连接OE，利用垂径定理可得OE⊥BC，再利用AD⊥BC，可得OE∥AD，然后即可证明．
解答： 证明：（1）连接OB，则∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，∵AD⊥BC，∴∠OAB=（180°﹣∠AOB），=90°﹣∠AOB=90°﹣∠ACB=∠DAC，∵E是弧BC的中点，∴∠EAB=∠EAC，∴∠EAO=∠EAB﹣∠OAB=∠EAC﹣∠DAC=∠EAD．（2）连接OE，∵E是的中点，∴弧BE=弧EC，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OE=OA，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OAE=∠EAD． ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线，方法一：连接OB，方法二：连接OE，属于中档题．
26．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，
（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．
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考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： （1）作OH⊥CD于H，连接OD，求出AB=6cm，半径OD=3cm，在Rt△OHE中，OE=2cm，∠OEH=60°，由勾股定理求出OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD=cm，由垂径定理得出DC=2DH，代入即可；（2）求出OE，∠OEH=45°，根据勾股定理求出OH，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD，由垂径定理得出DC=2DH，代入即可．
解答： 解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )作OH⊥CD于H，连接OD，∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=6cm，半径OD=3cm，∵在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=60°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD=cm，∵OH⊥CD，∴由垂径定理得：DC=2DH=2cm；（2）作OH⊥CD于H，连接OD，∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=cm6，半径OD=3cm，∵若直线CD绕点E顺时针旋转15°，∴∠OEH=60°﹣15°=45°，在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=45°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD==（cm），∵OH⊥CD，∴由垂径定理得：DC=2DH=2cm；即CD=2cm．
点评： 本题考查了垂径定理，勾股定理， ( http: / / www.21cnjy.com )含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
27．已知：如图，在⊙O中，∠A=∠C，求证：AB=CD（利用三角函数证明）．
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考点： 垂径定理；解直角三角形．
专题： 证明题．
分析： 作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，设⊙O半径为R，根据sinA=，、inC=和∠A=∠C求出OE=OF，由勾股定理求出AE=CF，由垂径定理得出DC=2DF，AB=2AE，即可求出答案．
解答： 证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F ( http: / / www.21cnjy.com )设⊙O半径为R，sinA=，sinC=，∴OE=RsinA，OF=RsinC，∵∠A=∠C， ∴sinA=sinC，∴OE=OF，由勾股定理得：CF2=OC2﹣OF2，AE2=OA2﹣OE2，∴AE=CF，由垂径定理得：DC=2DF，AB=2AE，∴AB=CD．
点评： 本题考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识点，主要培养学生运用定理进行推理的能力．
28．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，求弦AB的长．
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考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析： 连接OA，根据等腰三角形性质求出∠D= ( http: / / www.21cnjy.com )∠OAD=30°，求出∠AOH=60°，根据垂径定理求出AB=2AH=2BH，求出∠HAO=30°，推出AO=2OH=C0，求出OH=CH=1cm，AO=2cm，在Rt△AHO中，由勾股定理求出AH即可．
解答： 解： ( http: / / www.21cnjy.com )连接OA，∵OA=OD，∴∠D=∠OAD=30°，∴∠AOH=30°+30°=60°，∵AB⊥DH，∴∠AHO=90°，AB=2AH=2BH，∴∠HAO=30°，∴AO=2OH=C0，∴OH=CH=1cm，∴AO=2cm，在Rt△AHO中，由勾股定理得：AH==cm，∴AB=2cm．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算和推理的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
29．已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB=AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB的长．
考点： 垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： ①连接AD、OB，根据三线合 ( http: / / www.21cnjy.com )一得出AO过D，在Rt△OBD中，根据勾股定理求出BD，在Rt△ADB中，根据勾股定理求出AB即可．②求出BD、AD，根据勾股定理求出AB即可．
解答： 解：①如图，连接AD，连接OB，∵△ABC是等腰三角形，∴根据等腰三角形的性质（三线合一定理）得出，AO⊥BC，AO平分BC，∵OD⊥BC，∴根据垂直定理得：OD平分BC，即A、O、D三点共线，∴AO过D，∵等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，∴OA=6cm，BD=DC，AD⊥BC，在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD===4（cm），在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB===4（cm），②如图：同法求出BD=4cm，AD=6cm﹣2cm=4cm，由勾股定理得：AB===4（cm），答：AB的长是4cm或4cm． ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，勾 ( http: / / www.21cnjy.com )股定理等知识点的应用，关键是正确作辅助线后求出BD的长，题目具有一定的代表性，难度也适中，是一道比较好的题目．注意：分类讨论．
30．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=7，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长．
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考点： 垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 延长AO交BC于D，过O作OE⊥BC于 ( http: / / www.21cnjy.com )E，根据垂径定理求出BC=2BE，根据等边三角形的性质和判定求出AD=BD=AB=12，求出OD的长，根据含30度角的直角三角形性质求出DE即可
解答： 解： ( http: / / www.21cnjy.com )延长AO交BC于D，过O作OE⊥BC于E，∵OE过圆心O，OE⊥BC，∴BC=2CE=2BE（垂径定理），∵∠A=∠B=60°，∴DA=DB，∴△DAB是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形），∴AD=BD=AB=12，∠ADB=60°，∴OD=AD﹣OA=12﹣7=5，∵∠OED=90°，∠ODE=60°，∴∠DOE=30°，∴DE=OD=（在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半），∴BE=12﹣=，∴BC=2BE=19（根据垂径定理已推出，在第三行）．
点评： 本题考查了垂径定理，等边三角形的性质和判 ( http: / / www.21cnjy.com )定，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，关键是正确作辅助线后求出BE的长，题目比较典型，难度适中．