第2章实数 解答题题型分类专题训练（含答案） 北师大版八年级数学上册

2023-2024学年北师大版八年级数学上册《第2章实数》
解答题题型分类专题训练（附答案）
一、计算题
1．（1）已知的平方根为，的立方根为2，求的算术平方根．
（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：．
2．计算：求下列等式中未知数的值：
（1）；
（2）．
3．（1）计算：；
（2）已知，，且，求的算术平方根．
4．计算：
(1)；
(2)．
5．计算
(1)
(2)
(3)
(4)
6．（1）计算 ；
（2）若，求 的值．
7．如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果．
8．化简求值：
(1)已知求的值．
(2)先化简，再求值其中
9．观察下列式子：
第1个式子：，
第2个式子：，
第3个式子：，…
(1)仿照写出计算过程：；
(2)根据上述规律求的值：．
二、问答题
10．0，，，2023，，（两个1之间依次增加一个2）
正数集合：{ …}
负数集合：{ …}
有理数集合：{ …}
无理数集合：{ …}
11．已知：的平方根是与，且的算术平方根是3．
(1)求的值；
(2)求的立方根．
12．已知，，求的值．
13．如图，某学校劳动实践基地有一块正方形空地，七、八年级分别在空地上开垦出两块面积为和的正方形区域进行种植试验．求这块正方形空地（正方形）的面积．

14．观察下列各式：
第1个算式：；
第2个算式：；
第3个算式：；
……
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)第5个算式为__________．
(2)第n个算式为___________．（请用含n的式子表示）
(3)求的值．
15．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：
(2)已知是正整数，，，，求；
(3)已知，求的值．
三、作图题
16．在数轴上表示下列各数，再用“”号把它们连接起来．
，，，，
17．观察图1，每个小正方形的边长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1
(1)图中阴影正方形的面积为___________，阴影正方形的边长为____________．
(2)阴影正方形的边长介于两个相邻整数________和________之间．
(3)利用图1，在下面数轴上准确地表示出阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数．

(4)请在图2的的方格内作出边长为的正方形．
18．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可把它剪开拼成一个正方形.
(1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？
(2)如图所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是多少？点表示的数的相反数是多少？
(3)你能把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长是多少？
19．【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件．
【感知探索】补全下面两个问题的解答过程：
（）已知，化简．
解：原式，
∵（显性条件），
请进一步完成的化简．
（）三角形的三边长分别为，化简．
解：∵三角形的三边长分别为，
∴的取值范围是______．（隐含条件）
化简．
【拓展应用】解方程：．
四、证明题
20．观察下列各式：
①；②；③．
请回答下面的探究问题：
（1）探究1：请回答上面各式是否成立；
（2）探究2：猜想__________，并验证你的猜想；
（3）探究3：用含有n的式子将规律表示出来，说明n的取值范围，并用数学知识证明你所写式子的正确性．
拓展：，，，…
根据观察上面各式的结构特点，归纳一个猜想，并验证你的猜想．
21．小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律，
特例：
特例：
特例：
特例：______填写一个符合上述运算特征的例子；
(2)观察、归纳，得出猜想.
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______；
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律化简：______.
22．阅读下面一段材料，并解答材料后的问题：
我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑：，的整数部分为3，小数部分为．再如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
(1)若的整数部分为m，小数部分为n，则__________，__________；
(2)已知．
①若x是整数，且，求的值；
②若x，y分别是一张长方形纸片的长和宽，将该纸片按如下图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知．求证：．

参考答案
1．解：（1） 的平方根为，的立方根为2，
，
，
的算术平方根为；
（2）由图可得：，，
，，
．
2．解：（1）2（x-1）2=8，
方程整理得：（x-1）2=4，
开方得：x-1=2或x-1=-2，
解得：x1=3，x2=-1；
（2）（x+1）3=125，
开立方得：x+1=5，
解得：x=4．
3．解：（1）
（2）由题意得：，，
∵，
∴，．
∴的算术平方根为
4．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
5．（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
6．（）解：原式 ，
，
；
（）∵，
∴，
∴，整理得：
∴，
则，
∴．
7．解：观察数轴得：，
．
8．（1）解：∵，，
，
∴．
（2）解：
，
∵，
∴．
9．解：（1）；
（2）原式
．
10．解：正数集合：{，，2023…}；
负数集合：{，（两个1之间依次增加一个2）…}．
有理数集合：{0，，2023，，…}；
无理数集合：{，（两个1之间依次增加一个2）…}；
11．（1）解：的平方根是与，且的算术平方根是3，
，，
解得：，；
（2）解：，，
，
的立方根是2．
12．解：由于 ，
则
；
答：的值为13．
13．解：
答：这块正方形空地的面积为．
解法二：
答：这块正方形空地的面积为．
14．（1）解：由题意，得：第5个算式为；
故答案为：；
（2）∵第1个算式：；
第2个算式：；
第3个算式：；
……
∴第n个算式：，
故答案为：；
（3）
．
15．（1）解：原式，
，
，
；
（2）解：∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：设，，
则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，（不符合题意，舍去），
∴．
16．解：，，
将各数表示在数轴上如图：
由图知：
17．（1）解：阴影部分面积为：
，
阴影部分正方形的边长；
故答案为：10；．
（2）解：，
，
∴正方形的边长的值在整数3和4之间；
故答案为：3；4．
（3）解：如图，点表示数的点，点Q表示数为．

（4）解：如图所示，正方形即为所求．

18．（1）解：∵拼成的正方形的面积等于原来5个小正方形面积之和，
∴拼接成的正方形面积为5，
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴拼接成的正方形的边长即为面积的算术平方根，为；
（2）解：设点A表示的数为x，则由题意可得：，
∴，
又∵，
∴点A表示的数是 ，点A表示的数的相反数是；
（3）解：如图，可以按如下方式把十个小正方形组成的图形纸剪拼成正方形，由题意可知其边长为10的算术平方根，即．
19．解：（）原式，
∵（显性条件），
由题意得（隐含条件），
∴，
∴，
∴原式，
；
（）∵三角形的三边长分别为，
∴，
∴的取值范围是，（隐含条件）
∴原式
，
，
故答案为：；
【拓展应用】由题意得，
∴（隐含条件），
∴原方程可化为：，
解得，符合题意．
20．解：探究：
（1）成立；理由如下：
①；
②；
③；
（2）；
故答案为：．
（3）用含有n的式子表示为：
，
证明：∵
；
∴；
拓展：∵，，，…
∴猜想，
验证：当时，；
当时，．
21．（1）解：由题意得：，
故答案为：；
（2）解：特例
特例
特例
用含的式子表示为：，
故答案为：；
（3）解：等式左边右边，
故猜想成立；
（4）解：
.
故答案为：.
22．解：（1），
，
的整数部分为4，小数部分为，
即，
故答案为：；
（2）①，即，
的整数部分为1，小数部分为，
∴，
∵x是整数，且，
∴，
∴；
②由题意得，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．