第1章勾股定理 期末综合复习题（含答案） 北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》期末综合复习题
一、单选题
1．以下四组数中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．4，5，6 D．6，8，10
2．在中，，，高，则的长是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．若直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的高为（　　　）
A． B． C． D．
4．如图，数轴上点A对应的数为2，于A，且，以原点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（ ）

A． B． C． D．3
5．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，所有三角形都是直角三角形，则正方形D的面积为（ ）

A．8 B．9 C．27 D．45
6．如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为1，，之间的距离为3，则的长是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．17
7．如图，有一条橡皮筋放置在直线上，固定两端和，然后把中点竖直向上拉升至点，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了，则橡皮筋原长的长是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为（ ）

A．8 B．10 C．8 D．12
二、填空题
9．如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．

10．如图，，，且，，，则线段的长为 ．

11．有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米．
12．如图，把一块等腰直角三角形零件（，其中），放置在一凹槽内，三个顶点A、B、C分别落在凹槽内壁上，已知，测得，该三角形零件的面积为 ．

13．如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ．
14．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子的长度为 ．

15．如图，在直角三角形纸片中，，，，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，，连接，则的长为 ．

16．如图，在长方形中，，，为上一点，把沿折叠，使点落在边上的处，则的长为 ．
三、作图题
17．图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C、A．

(1)在图1中，所画的的三边长分别是________，________，________；的而积为________．
(2)在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并计算的面积．
四、计算题
18．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积．
19．我们对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
(1)用不同的方法计算图1的面积，我们能得到等式：_______；
(2)如图2所示，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形可以拼成一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式：______；（结果为最简）
(3)根据上面两个结论，解决下面问题：
①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值．
②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为4，则的面积______．
五、问答题
20．已知：如图，在，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．
(1)求边的长：
(2)当时，求点A、P之间的距离．
(3)当为直角三角形时，求t的值．
21．已知：在等腰直角三角形中，，，点D在直线上，连接，在 的右侧作，．
(1)如图1，
①点D在边上，线段和线段数量关系是______，位置关系是______；
②直接写出线段，，之间的数量关系______．
(2)如图2，点D在B右侧．请写出，，之间的数量关系并说明理由，若，．请求出的长．
六、证明题
22．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．
(1)如图，在中， ，，求证：是“美丽三角形”；
(2)在中，， ，若是“美丽三角形”，求的长．
23．如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．

(1)性质探究：如图1，已知四边形中，，垂足为，求证：；
(2)解决问题：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰．如图2，当，连接，求．
参考答案
1．解：A、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
B、，是正整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
C、，不是勾股数，此选项符合题意；
D、，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意．
故选：C．
2．解：当高在的内部时，如图，
∵边上的高，，
∴，
在中，，根据勾股定理得，，
在中，，根据勾股定理得， ，
∴；
当高在的外部时，如图，
∵边上的高,
∴，
在中，，根据勾股定理得， ，
在中，，根据勾股定理得，
∴，
综上所述，的长为或，
故选：．
3．解：∵直角三角形两直角边长分别为和，
∴斜边长为，
∴斜边上的高为，
故选：D．
4．解：∵数轴上点A对应的数为2，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵原点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴于点C，
∴，
∴点C表示的数为．
故选：A
5．解：由勾股定理得，
设正方形D的面积为x，
∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，
∴，
解得，
故选B．
6．解：如图：作于D，作于E，

∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理，得：，
故选：A．
7．解：由题意得：、、、
设
∵橡皮筋的长度比原长伸长了
∴
中
根据勾股定理，得：,即
解得：，
；
故橡皮筋的长度为．
故选：B．
8．解：如图，根据题意，，

作点Ａ关于直线的对称点Ｇ，连接，则为所求最小值，
则，
过点作，交的延长线于点Ｅ，
则四边形是矩形，
故，
故，
故，
故选Ｂ．
9．解：如图所示，为树，且米，米，为两树距离8米，
过作于E，则，
在直角三角形中，．
答：小鸟至少要飞10米．
故答案为：10．

10．解： ，，，
在中，
，，
在中，
故答案为：．
11．解：在中，为斜边，
已知米，米，
则，
即，
解得：．
故大树顶端触地点距大树的距离为3米．
故答案为：3．

12．解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴该三角形零件的面积为，
故答案为：．
13．解：当时，如图，

，，
，
，
，
由折叠得，，
，
设，
，
在 中，，
，即；
当时，如图，作，
，
，
，
，
，
．
故答案为：5或2．
14．解：由题意知，，，，，
由勾股定理得，，，
∴，即，
解得，，（舍去），
故答案为：10米．
15．解：沿将纸片折叠，使点B落在边上的点处，
，，
折叠纸片，使点与点重合，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
故答案为：．
16．解：在矩形中，，，由折叠的性质可得：
，
∴ ，
∴，
设，则：，，
在中，由勾股定理可得：
，
解得： ，
∴ ，
故答案为：．
17．解：（1）根据题意，得，，，
的面积，
故答案为5，，，．
（2）如图所示，
的面积.

18．解：如图，连接，
在中，，
在中，，
而，
即，
为直角三角形，
，
，
答：空地的面积．
19．（1）解：图1的面积为大正方形的面积，即，
图1的面积也可以看作是2个不同的正方形的面积加上2个相同的长方形的面积，即，
故可得等式：，
故答案为：；
（2）解：图2的面积为直角梯形的面积，即，
图2的面积也可以看作是3个直角三角形的面积和，即，
故可得等式：，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：①∵在直角中，，三边长分别为a、b、c，，，
由（2）可得，即，
∴；
②∵在直角中，，，的周长为4，
∴，
∵在直角中，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴
．
20．（1）解：在中，，，
∴由勾股定理得；
（2）解：当时，，则，
在中，，由勾股定理得，
，
即点A、P之间的距离为．
（3）解：由题意知．
①当时，如图，点P与点C重合，则，
∴；
②当时，如图2，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得．
综上所述，当为直角三角形时，t的值为4或．
21．（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
即，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：，；
②由①得：，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
（2）如图2，连接BE，
∵，
∴，
即，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴＝＝，
故答案为：，；
22．（1）证明：如图，作的中线，
，是的中线，
，，
在中，由勾股定理得，
，
是美丽三角形.
（2）解:①如图，作的中线，是“美丽三角形”,
当 时，则 ,
由勾股定理得
②如图作的中线，是“美丽三角形”,
当时则 ，
，
在中，由勾股定理得 ，
则 ，
解得，
∴
综上：或．
23．（1）证明：，
，
在中，，
在中，，
，
在中，，
在中，，
，
；
（2）解：连接、交于点，如图，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，，，，
，
，
又，
即，
，
，
利用（1）中的结论得，，
即，
．