15.2 线段的垂直平分线 课件(共17张PPT) 沪科版数学八年级上册

(共17张PPT)
第十五章 轴对称图形与等腰三角形
15.2 线段的垂直平分线
市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处才能使得它到三个小区的距离相等
1.能够通过尺规作图作一条已知线段的垂直平分线，
并能证明它的正确性；
2.理解线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理；
任务一：通过尺规作图作一条已知线段的垂直平分线.
活动1：小组合作，完成下列问题.
做一做：
① 在半透明纸上画一条线段AB；
② 折纸使A与B重合，得到的折痕 l 就是线段AB的垂直平分线.
A
B
A
B
l
O
C
A(B)
l
O
想一想：
这样折纸怎么就是垂直平分线呢？
活动2：阅读课本P128尺规作图步骤，完成下列问题.
问题1：画弧的半径为什么要大于 的长？
问题2：为什么这样作出的直线EF，就是线段AB的垂直平分线呢？
问题3：尝试动手画图，作出线段的垂直平分线.
A
B
C
D
问题1：用大于 的长为半径画弧
目的是使两弧有交点.
问题3：
方法总结：我们也可以用这种方法确定线段的中点.
任务二：探索线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理．
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
活动：用刻度尺和三角板画出线段AB的垂直平分线l，在直线l上任取一些点P1，P2，P3，…分别量一量点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离，你有什么发现？
猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
证明猜想：
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
　证明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
　　又 AC =CB，PC =PC，
　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
　　∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
应用格式：∵AC=BC，PC⊥AB，
P是l上任意一点，∴PA=PB．
P
A
B
l
C
活动小结
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
逆
命
题
逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
思考：写出下面定理的逆命题，它是真命题吗？如果是真命题，请给出证明.
证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C．
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
验证命题：
线段垂直平分线的判定：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
应用格式：
∵PA =PB，∴点P 在AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
P
A
B
活动小结
已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.
求证：PA=PB=PC.
证明：连接PA，PB，PC.
∵点P在AB，AC的垂直平分线上，
∴PA=PB，PA=PC，
∴ PB = PC（等式性质）
∴ 点P在BC的垂直平分线上.
B
C
A
P
现在你能回答讲课前提出的问题吗？
你知道购物中心应该建在何处了吗？
三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
活动小结
1.如图，AC=AD，BC=BD，则有（　　）
A. AB与CD互相垂直平分
B. CD垂直平分AB
C. AB垂直平分CD
D. CD平分∠ACB
C
2. 如图，△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，
AB + BC = 16cm，则△BCE的周长是 cm.
16
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
3.已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点．求证：BE=CE
证明：连接BC，∵AB＝AC，DB＝DC，
∴点A、D在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）．
说说本节课你学到了什么？