第六章 整式的运算单元素养综合检测试题（含解析）

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2024北京课改版数学七年级下册
第六章　素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.计算a·a-1(a≠0)的结果为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.-a
2.(2023安徽中考)下列计算正确的是(　　)
A.a4+a4=a8 B.a4·a4=a16
C.(a4)4=a16 D.a8÷a4=a2
3.(2021北京海淀期中)若式子(x-2)0有意义,则有理数x的取值范围是(　　)
A.x≠2 B.x=2 C.x≠0 D.x=0
4.【新独家原创】下列式子:①(a-3)(-a+3);②(2x+y)(2x-y);③(a+2b+c)(a-2b+c);④(-x+y)(x+y);⑤(n-m)(-m+n);⑥(a2-b)(a-b2).其中可运用平方差公式计算的有(　　)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
5.下列计算中错误的是(　　)
A.4a5b3c2÷(-2a2bc)2=ab
B.(a+1)(a-1)(a2+1)=a4-1
C.4x2y·÷4x2y2=-
D.25×=x2-x+1
6.(2023北京十三中模拟)如果x2+2x-2=0,那么代数式x(x+2)+(x+1)2的值是(　　)
A.-5 B.5 C.3 D.-3
7.(2023北京八中期中)某中学要举行校庆活动,现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台.已知广场中心有一座边长为b的正方形花坛,学生会提出两个方案:
方案一:如图1,绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台(阴影部分),面积为S1;
方案二:如图2,在花坛的三面搭建“凹”字形舞台(阴影部分),面积为S2.
具体数据如图所示,则S1与S2的大小关系为(　　)
图1
图2
A.S1=S2 B.S1C.S1>S2 D.以上结论都不对
8.【北京常考·动手操作题】如图,将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形,利用等面积法可证明某些乘法公式,在给出的4种拼法中,能够验证平方差公式的有(　　)
①
②
③
④
A.①②③④ B.①②③
C.①③ D.③④
二、填空题(每小题3分,共18分)
9.(2023湖南常德中考)计算:(a2b)3=　　　　.
10.【新独家原创】计算(x2+2x+2)(x-2)-x(x2-1),并把结果按照字母x升幂排列:　　　　.
11.【新独家原创】【跨学科·物理】太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率为3.8×1023千瓦,利用新型太阳能电池板可以将其中的50亿分之一转化为电能,按照一个家庭一年用电量1 000千瓦时,能满足一个中等城市760 000个家庭使用　　　　年.
12.(2022四川德阳中考)已知(x+y)2=25,(x-y)2=9,则xy=　　　.
13.(2021山东潍坊期末)若多项式A除以(2x2-3),得到的商式为3x-4,余式为5x+2,则A=　　　　　　　　　.
14.(2022北京昌平一中期中)观察下列各式及其展开式:
(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5;
……
由此猜想(a+b)10的展开式中第三项的系数是　　　　.
三、解答题(共58分)
15.(2023北京顺义期末)(6分)计算:
(1)(1-a)(1+a)+(a-a3)÷a;
(2)(2x2)3·x-8x4·x3.
16.(6分)用乘法公式计算:
(1)100×99;(2).
17.(2023北京平谷期末)(5分)已知x2-5x-4=0,求2x2-3(x2-2+x)-2的值.
18.(2023北京通州期中)(6分)某校有一块长为3a+b,宽为2a+b的长方形土地,计划将阴影部分进行绿化,空白正方形部分修建一座雕像,其中a>b>0.请用含a,b的代数式表示绿化部分的面积(结果化为最简形式).
19.(2022北京昌平一中期中)(7分)逆向运用幂的运算可以得到am+n=am·an,am-n=am÷an,amn=(am)n,ambm=(ab)m,在解题过程中,根据算式的结构特征,逆向运用幂的运算法则常可化繁为简,化难为易,使问题巧妙得解.
(1)52 021×=　　　　;
(2)若3×9m×27m=311,求m的值.
20.(8分)已知多项式A=(x+2)2+x(x-2)-(x+3)(x-3).
(1)化简多项式A时,小明的结果与其他同学的不同,请你检查小明同学的解题过程.
解:A=(x+2)2+x(x-2)-(x+3)(x-3) =x2+4+x2-x2=x2-5.
在标出①②③的三项中,出现错误的是　　　(填序号),请写出正确的解答过程.
(2)小亮说:“只要给出x2+2x+1的合理的值,即可求出多项式A的值.”小明给出x2+2x+1的值为4,请你求出此时A的值.
21.(2023北京东城期末)(10分)给出定义如下:我们称使等式a-b=ab+1成立的一对有理数a,b为“相伴有理数对”,记为(a,b).
(1)数对,中,是“相伴有理数对”的是　　　　;
(2)若(x+1,5)是“相伴有理数对”,则x的值是　　　　;
(3)若(a,b)是“相伴有理数对”,求3ab-a+(a+b-5ab)+1的值.
22.【数形结合思想】(2022四川成都实验学校期中)(10分)[知识生成]通常,用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式.
例如:图1是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图2的方式拼成一个正方形.请解答下列问题:
(1)观察图2,请你写出(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系:　　　　　　　　.
(2)根据(1)中的等量关系解决下列问题:
若x+y=6,xy=,求(x-y)2的值.
[知识迁移]
类似地,用两种不同的方法计算同一几何体的体积也可以得到一个恒等式.
(3)根据图3,写出一个代数恒等式:　　　　　　　　　　　　.
(4)已知a+b=3,ab=1,利用(3)中的式子求的值.
图1
图2
图3
答案全解全析
1.C　a·a-1=a1-1=a0=1.
2.C　(a4)4=a16.故选C.
3.A　∵式子(x-2)0有意义,∴x-2≠0,解得x≠2.故选A.
4.B　(2x+y)(2x-y)、(a+2b+c)(a-2b+c)和(-x+y)(x+y)中,既有符号相同的项又有符号相反的项,符合平方差公式的特点,可运用平方差公式计算.故选B.
5.D　4a5b3c2÷(-2a2bc)2=4a5b3c2÷4a4b2c2=ab,故选项A计算正确;(a+1)(a-1)(a2+1)=(a2-1)·(a2+1)=a4-1,故选项B计算正确;4x2y·÷4x2y2=-,故选项C计算正确;25×=x2-x+25,故选项D计算错误,符合题意.故选D.
6.B　x(x+2)+(x+1)2=x2+2x+x2+2x+1=2x2+4x+1,
∵x2+2x-2=0,∴x2+2x=2,
∴原式=2(x2+2x)+1=2×2+1=5,
故选B.
7.C　∵题图2中由花坛和阴影组成的长方形的长是a×2+b=a+b,宽是a-b,
∴S2=(a+b)(a-b)-b2=a2-2b2,
∵S1=a2-b2,
∴S1>S2.
故选C.
8.C　①可以验证的等式为a2-b2=(a+b)(a-b),可以验证平方差公式;②可以验证的等式为a2=(a-b)2+b2+2b(a-b),不能验证平方差公式;③可以验证的等式为a2-b2=(a+b)(a-b),可以验证平方差公式;④可以验证的等式为(a+b)2=(a-b)2+4ab,不能验证平方差公式.所以能够验证平方差公式的是①③.故选C.
9.答案　a6b3
解析　(a2b)3=(a2)3b3=a6b3.
10.答案　-4-x
解析　原式=x3-2x2+2x2-4x+2x-4-x3+x=-4-x.
11.答案　100 000
解析　3.8×1023÷(5×109)÷(103)÷(7.6×105)=105=100 000.
12.答案　4
解析　∵(x+y)2=x2+y2+2xy=25,(x-y)2=x2+y2-2xy=9,∴(x+y)2-(x-y)2=4xy=16,∴xy=4.
13.答案　6x3-8x2-4x+14
解析　∵多项式A除以(2x2-3),得到的商式为3x-4,余式为5x+2,
∴A=(2x2-3)(3x-4)+(5x+2)=6x3-8x2-9x+12+5x+2=6x3-8x2-4x+14.
14.答案　45
解析　(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5;
(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6;
(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7;
(a+b)8的展开式的系数分别为1,8,28,56,70,56,28,8,1;
(a+b)9的展开式的系数分别为1,9,36,84,126,126,84,36,9,1;
(a+b)10的展开式的系数分别为1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1,
则(a+b)10的展开式中第三项的系数为45.
15.解析　(1)(1-a)(1+a)+(a-a3)÷a
=1-a2+1-a2
=2-2a2.
(2)(2x2)3·x-8x4·x3
=8x6·x-8x7
=8x7-8x7
=0.
16.解析　(1)100×99=×=1002-=9 999.
(2)==202+2×20×+=413.
17.解析　∵x2-5x-4=0,
∴x2-5x=4,
∴2x2-3(x2-2+x)-2
=2x2-3x2+6-3x-2x+2x2-1
=x2-5x+5
=4+5
=9.
18.解析　由题意得,绿化部分的面积=(3a+b)(2a+b)-(a+2b)2=6a2+3ab+2ab+b2-a2-4b2-4ab=5a2+ab-3b2.
19.解析　(1)52 021×
=
=1.
(2)∵3×9m×27m=311,
∴3×32m×33m=311,
∴31+2m+3m=311,
∴1+2m+3m=11,
解得m=2.
20.解析　(1)A=(x+2)2+x(x-2)-(x+3)(x-3)
=x2+4x+4+x2-2x-x2+9
=x2+2x+13,
故出现错误的是①③.
(2)∵x2+2x+1=4,
∴x2+2x=3,∴A=x2+2x+13=3+13=16.
21解析　(1)当a=-2,b=时,
a-b=-2-=-,
ab+1=-2×+1=,
则a-b≠ab+1,
所以不是“相伴有理数对”.
当a=-,b=-3时,
a-b=--(-3)=-+3=,
ab+1=-×(-3)+1=,
则a-b=ab+1,
所以是“相伴有理数对”.
(2)∵(x+1,5)是“相伴有理数对”,
∴x+1-5=(x+1)×5+1,
解得x=-.
(3)3ab-a+(a+b-5ab)+1
=3ab-a+a+b-ab+1
=ab-a+b+1
=ab-(a-b)+1,
∵a-b=ab+1,
∴原式=ab-(ab+1)+1
=ab-ab-+1
=.
22.解析　(1)(a+b)2-(a-b)2=4ab(答案不唯一).
(2)由(1)可知(x+y)2-(x-y)2=4xy,
∵x+y=6,xy=,
∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=36-4×=14.
(3)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
(4)由(3)可知a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2=(a+b)3-3ab(a+b),
把a+b=3,ab=1代入得a3+b3=33-3×1×3=18.
∴=9.
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