2024北京课改版数学七年级下册--专项素养综合全练(九)以平行线为载体的探索类问题（含解析）

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2024北京课改版数学七年级下册
专项素养综合全练(九)
以平行线为载体的探索类问题
类型一　“拐点”问题
1.【分类讨论思想】(2023浙江宁波江北期末)如图,已知直线l1∥l2,直线l3和直线l1,l2交于点C和点D,点P是直线CD上的一个动点,点A,点B分别是直线l1,直线l2上的定点.
(1)如图1,若点P在线段CD上,∠PAC=30°,∠PBD=45°,则∠APB=　　　　°;
(2)当点P运动到C,D之间时,试探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并说明理由;
(3)当点P在C,D两点的外侧运动时(点P与点C,D不重合),∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系是否发生改变 请说明理由.
图1
备用图
备用图
类型二　“动点(图)”问题
2.(2023北京二中期中)如图,点P为直线AB外一点,过点P作直线CD∥AB.现将一个含30°角的三角板EFG按如图1所示的方式放置,使点F、E分别在直线AB、CD上,且点E在点P的右侧,∠G=90°,∠EFG=30°,设∠GFB=α(0°<α<90°).
(1)填空:∠DEG+∠BFG=　　　　°.
(2)若∠CEF的平分线EH交直线AB于点H,如图2.
①当EH∥FG时,求α的值.
②在①的条件下,将三角板EFG绕点E以每秒1°的转速进行顺时针旋转,同时射线PC绕点P以每秒4°的转速进行顺时针旋转,射线PC旋转一周后停止转动,同时三角板EFG也停止转动,设转动时间为t秒.在旋转过程中,当t=　　　　时,CP∥EG.
图1
图2
备用图
答案全解全析
1.解析　(1)75.
(2)∠APB=∠PAC+∠PBD,
理由:如图1,过点P作PE∥l1,
图1
∴∠APE=∠PAC,
∵l1∥l2,
∴PE∥l2,
∴∠BPE=∠PBD,
∴∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD.
(3)发生改变.
如图2,当点P在CD延长线上时,∠PAC=∠APB+∠PBD.
图2
理由:过点P作PE∥l1,
∴∠APE=∠PAC,
∵l1∥l2,
∴PE∥l2,
∴∠BPE=∠PBD,
∵∠APB=∠APE-∠BPE=∠PAC-∠PBD,
∴∠PAC=∠APB+∠PBD.
如图3,当点P在DC延长线上时,∠PBD=∠PAC+∠APB.
图3
理由:过点P作PE∥l1,
∴∠APE=∠PAC,
∵l1∥l2,
∴PE∥l2,
∴∠BPE=∠PBD,
∵∠APB=∠BPE-∠APE=∠PBD-∠PAC,
∴∠PBD=∠PAC+∠APB.
综上所述,点P在C,D两点的外侧运动时(点P与点C,D不重合),∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系发生改变.
方法归纳　利用平行线的判定与性质求角度是常考题型,但通常会遇到有平行线却找不到相应的“截线”,导致平行线的判定与性质在解题中无法直接运用的题型,此时需要添加辅助线,构造出“三线八角”,常见模型有“铅笔”模型、“猪蹄”模型、“脚丫”模型、“弯折”模型等.
2.解析　(1)90.详解:过点G作AB的平行线GM,如图:
∵CD∥AB,MG∥AB,
∴CD∥MG,∠MGF=∠GFB,
∴∠DEG=∠EGM,
∴∠DEG+∠BFG=∠EGM+∠MGF=∠EGF=90°,
即∠DEG+∠BFG=90°.
(2)①∵EH∥FG,
∴∠GFB=∠EHF=α,
∵EH平分∠CEF,
∴∠CEH=∠FEH=α,
又∵CD∥AB,
∴∠CEF=∠EFB,
∴2α=30°+α,
解得α=30°.
②20或80.
详解:易知0≤t≤90,分情况讨论:
当0≤t≤45时,如图:
当射线PC旋转到PC'时,△EGF旋转至△EG'F',延长G'E至点H,
∵PC'∥G'H,
∴∠CPC'=∠CEH,
∵∠CEH=∠DEG',
∴∠CPC'=∠DEG',
由题意得,∠CPC'=(4t)°,∠DEG'=(60+t)°,
∴4t=60+t,
解得t=20.
当45∵CP∥EG,
∴∠DPC=∠DEG,
∴4t-180=60+t,得t=80.
故t=20或80.
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