2024北京课改版数学七年级下册--专项素养综合全练(七)乘法公式的灵活应用（含解析）

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2024北京课改版数学七年级下册
专项素养综合全练(七)
乘法公式的灵活应用
类型一　灵活应用乘法公式进行简便计算
1.计算:(1)31.52-3×31.5+1.52-100;
(2)(1+3)×(1+32)×(1+34)×(1+38).
类型二　灵活应用乘法公式求式子的值
2.【一题多变·已知a+b和a2+b2求ab】已知x+y=8,x2+y2=40,求xy的值.
[变式1·已知a2+b2和ab求a+b]已知4a2+b2=57,ab=6,求2a+b的值.
[变式2·已知ab和a+b求a2+b2]已知(20-x)(x-30)=10,求(20-x)2+(x-30)2的值.
类型三　灵活应用乘法公式解决规律探究性问题
3.(2023山东青岛即墨期末)
(1)计算并观察下列各式:
第1个:(a-b)(a+b)=　　　　;
第2个:(a-b)(a2+ab+b2)=　　　　;
第3个:(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=　　　　;
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律.
(2)猜想:若n为大于1的正整数,则(a-b)·(an-1+an-2b+an-3b2+…+a2bn-3+abn-2+bn-1)=　　　　.
(3)利用(2)的猜想计算:2n-1+2n-2+2n-3+…+23+22+2+1=　　　　.
(4)扩展与应用:3n-1+3n-2+3n-3+…+33+32+3+1=　　　　.
4.阅读下面的材料并填空:
①×=1-,反过来,得1-=×=×;
②×=1-,反过来,得1-=×=　　　　×　　　　;
③×=1-,反过来,得1-=　　　　　　　=×.
利用上面材料中的方法和结论计算下题:
×××…×××.
答案全解全析
1.解析　(1)原式=(31.5-1.5)2-100=302-100=800.
(2)原式=[(3-1)×(3+1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)]×=×(316-1)=.
2.解析　∵x+y=8,x2+y2=40,∴xy=[(x+y)2-(x2+y2)]×=(82-40)×=12.
[变式1]　解析　∵4a2+b2=57,ab=6,∴(2a+b)2=4a2+b2+4ab=57+4×6=81,∴2a+b=±9.
[变式2]　解析　设a=20-x,b=x-30,
则ab=(20-x)(x-30)=10,
a+b=(20-x)+(x-30)=-10,
∴(20-x)2+(x-30)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=(-10)2-2×10=80.
3.答案　(1)a2-b2;a3-b3;a4-b4　(2)an-bn
(3)2n-1　(4)
解析　(1)第1个:(a-b)(a+b)=a2-b2.
第2个:(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3.
第3个:(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4.
(2)an-bn.
(3)原式=(2-1)(2n-1+2n-2+2n-3+…+23+22+2+1)=2n-1.
(4)原式=×(3-1)(3n-1+3n-2+3n-3+…+33+32+3+1)
=×(3n-1)
=.
4.解析　②1-=,1+=,
故答案为;.
③根据题意得1-=×,
故答案为×.
原式=××××××…××××××=××××××…××××××
=×
=.
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