第9章 分式单元素养综合检测试题（含答案）

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2024沪科版数学七年级下册
第9章　分式
第9章　素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2023安徽滁州月考改编)下列式子:(1-x),,,,,其中分式共有(　　)
A.2个　B.3个　C.4个　D.5个
2.(2023山东青岛期末)当x=1时,下列分式无意义的是(　　)
A.　B.　C.　D.
3.(2023安徽蚌埠蚌山期末)下列分式中,是最简分式的是(　　)
A.　B.　C.　D.
4.(2023安徽合肥包河期末)下列式子从左到右变形正确的是(　　)
A.=　B.=　C.=5　D.=
5.(2023湖南岳阳期末)计算÷a·的结果为(　　)
A.　B.　C.a2　D.b2
6.【新考向·代数推理】【新独家原创】若ab+2ac=3bc,a≠0,b≠0,c≠0,则下列结论正确的是(　　)
A.--=0　 B.+-=0
C.++=3　D.+-=0
7.【数学文化】(2022湖北襄阳中考)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目,其译文为:一份文件,若用慢马送到900里远的城市,所需时间比规定时间多1天;若改为快马派送,则所需时间比规定时间少3天,已知快马的速度是慢马的2倍,求规定时间.设规定时间为x天,则可列出正确的方程为(　　)
A.=2×　B.=2×
C.=2×　D.=2×
8.(2023安徽淮北月考)若关于x的不等式组的解集为x≥1,关于y的分式方程+=1有整数解,则满足条件的整数a的个数是(　　)
A.1　B.2　C.3　D.4
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.(2023江苏南京鼓楼期中)分式和的最简公分母是　　　　　　.
10.(2023湖北武汉模拟)计算-的结果是　　　.
11.【跨学科·音乐】(2023湖南娄底模拟)数学的美无处不在,数学家们研究发现,弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度,如三根弦的长之比为15∶12∶10,把它们绷得一样紧,用同样的力度弹拨,它们将分别发出“调和”的乐声:do,mi,so.研究15,12,10这三个数的倒数发现:-=-,此时我们称15,12,10为一组调和数,现有三个数:6,4,x(x>4),若要组成调和数,则x的值为　　　　　.
12.【新独家原创】已知关于y的分式方程+=,完成下列任务:
(1)若该分式方程的根为y=2,则a的值为　　　　　;
(2)若该分式方程有增根,则a的值为　　　　　　.
三、解答题(共60分)
13.(2023安徽淮南期末)(8分)计算:÷.
14.(2022青海中考)(8分)解方程:
-1=.
15.(2023山东菏泽中考)(8分)先化简,再求值:÷,其中x,y满足2x+y-3=0.
16.(2023安徽马鞍山二模)(10分)观察以下等式:第1个等式:-=;第2个等式:-=;第3个等式:-=;第4个等式:-=;……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明.
17.【新考法】(2023辽宁大连甘井子汇文中学期中)(12分)如图,A小麦试验田是边长为a米的正方形中减去一个边长为b米的正方形后余下的部分,B小麦试验田是边长为(a+b)米的正方形.
(1)设两块试验田都收获了m kg小麦,求A,B两块小麦试验田单位面积产量的比.
(2)当a=2b时,A,B两块小麦试验田单位面积产量哪个较大
(3)若A,B两块小麦试验田单位面积产量相同,求a,b满足的关系式.
18.【真实情境】(2023山东泰安新泰三模)(14分)2023年5月,搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心发射成功.飞船模型深受大家的喜欢.某商家两次购进飞船模型进行销售,第一次用22 000元,很快销售一空,第二次用48 000元购进同款飞船模型,所购进数量是第一次的2倍,但单价贵了10元.
(1)求该商家第一次购进飞船模型多少个;
(2)若所有飞船模型都按相同的标价销售,要求两次购进的飞船模型全部销售完后的利润率不低于20%(不考虑其他因素),那么每个飞船模型的标价至少为多少元
第9章　分式
第9章　素养综合检测
1.A　(1-x),,的分母中均不含有字母,所以是整式,不是分式.,的分母中含有字母,所以是分式,所以分式共有2个.
2.C　当x=1时,分式的分母为0,故该分式无意义.
3.C　选项A,该分式的分子和分母中含有公因数2,不是最简分式;
选项B,该分式的分子和分母中含有公因式a,不是最简分式;
选项C,该分式的分子和分母除1外没有其他的公因式,是最简分式;
选项D,该分式的分子和分母中含有公因式a-1,不是最简分式.
4.D　因为≠,≠,≠5,=,
所以选项D正确.
5.B　原式=··=.
6.A　因为a≠0,b≠0,c≠0,所以abc≠0.
整理ab+2ac=3bc,得ab+2ac-3bc=0,
等式两边同时除以abc,得+-=0,
即--=0.
7.B　因为规定时间为x天,
所以慢马送到所需时间为(x+1)天,快马送到所需时间为(x-3)天,
又因为快马的速度是慢马的2倍,两地间的路程为900里,所以可列方程为=2×.
8.B　解不等式3x-a>2(1-x),得x>,
解不等式≥-1,得x≥1,
因为不等式组的解集为x≥1,
所以<1,即a<3.
解关于y的分式方程+=1,得y=-=-=-=-1-,
因为分式方程的解为整数,
所以为整数,且-≠±1,a-1≠0,即a≠0,a≠1,
所以所有满足条件的整数a为2,-1,共2个.
9.　答案　12x2y2z
解析　因为分式和的分母分别是4x2yz,6xy2,其中系数的最小公倍数是12,字母的最高次幂的积是x2y2z,所以最简公分母是12x2y2z.
10.　答案　
解析　原式=+
==.
11.　答案　12或
解析　根据题中的新定义分两种情况考虑:
①-=-,解得x=12,经检验,x=12是分式方程的解,且符合题意;
②-=-,解得x=,经检验,x=是分式方程的解,且符合题意.
综上,x的值为12或.
12.　答案　(1)-2　(2)6或-6
解析　(1)把y=2代入方程,得2+=1,解得a=-2.
(2)去分母,得2(y+2)+ay=4(y-1),
去括号,得2y+4+ay=4y-4,
移项、合并同类项,得(a-2)y=-8,
系数化为1,得y=.
因为分式方程有增根,
所以y=1或y=-2,
当y=1时,=1,解得a=-6;
当y=-2时,=-2,解得a=6.
综上所述,a的值为6或-6.
13.　解析　原式=·
=·=.
14.　解析　去分母得x(x-2)-(x-2)2=4,
解得x=4,
检验:当x=4时,(x-2)2≠0,
所以x=4是原方程的根.
15.　解析　原式=·
=·=2(2x+y),
因为2x+y-3=0,所以2x+y=3,
所以原式=2×3=6.
16.　解析　(1)-=.
(2)猜想第n个等式是-=.
证明:-
=-
=-
=
=
=
=,
故等式成立.
17.　解析　本题将分式运算与实际问题巧妙结合起来,体现了应用意识和创新意识的核心素养.
(1)根据题意得A小麦试验田单位面积产量为 kg/m2,
B小麦试验田单位面积产量为 kg/m2,
则A,B两块小麦试验田单位面积产量的比为∶=·=.
(2)把a=2b代入,得==,
把a=2b代入,得=,
因为m>0,b>0,所以<,
所以B小麦试验田单位面积产量较大.
(3)根据题意得=,
整理得4a2-4b2=(a+b)2,
所以4(a+b)(a-b)=(a+b)2,
因为a+b≠0,
所以4(a-b)=a+b,
所以3a=5b.
18.　解析　(1)设第一次购进飞船模型x个,
则第二次购进飞船模型2x个,
根据题意,得=-10,解得x=200,
经检验,x=200是原方程的解,且符合题意.
答:该商家第一次购进飞船模型200个.
(2)由(1)可得,第二次购进飞船模型的数量为400个.
设每个飞船模型的标价为a元,根据题意,得
(200+400)a≥(1+20%)(22 000+48 000),
解得a≥140.
答:每个飞船模型的标价至少为140元.
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