2024沪科版数学七年级下册--专项素养综合全练(八)关于整式和分式的规律探究（含解析）

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2024沪科版数学七年级下册
第9章　分式
专项素养综合全练(八)
关于整式和分式的规律探究
类型一　整式规律探究
1.(2023安徽淮北月考)观察下列等式:
第1个等式:2×(12-1+1)-1=13;
第2个等式:3×(22-2+1)-1=23;
第3个等式:4×(32-3+1)-1=33;
第4个等式:5×(42-4+1)-1=43;
第5个等式:6×(52-5+1)-1=53;
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第6个等式:　　　　　　　　　　　　　　　　;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明.
2.【新独家原创】观察下列等式:
第1个等式:(4×1)2+1=52-8×1;
第2个等式:(4×2)2+1=92-8×2;
第3个等式:(4×3)2+1=132-8×3;
第4个等式:(4×4)2+1=172-8×4;
……
根据上述规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式:　　　　　　　　　　　　　　;
(2)写出第n个等式(用含n的等式表示),并证明.
3.(2023安徽合肥庐阳中学三模)观察下列等式的规律,并解答问题.
第1个等式:12+22-32=1×a-b;
第2个等式:22+32-42=2×0-b;
第3个等式:32+42-52=3×1-b;
第4个等式:42+52-62=4×2-b;
……
(1)a=　　　,b=　　　;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明.
4.(1)观察下列图形中小圆点的个数与对应等式的关系,并填空:
　　　　……
(2)按照以上规律,写出你猜想的图n对应的等式(用含n的等式表示),并证明.
类型二　分式规律探究
5.(2023安徽合肥二模)观察以下等式:
第1个等式:=+;
第2个等式:=+;
第3个等式:=+;
第4个等式:=+;
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第6个等式:　　　　　　　　　　　　　　;
(2)写出你猜想的第n个等式,并证明你的结论.
6.(2023安徽合肥三模)观察以下等式:
第1个等式:+=1+;
第2个等式:+=1+;
第3个等式:+=1+;
第4个等式:+=1+;
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式:　　　　　　　　　　　　　　;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明.
7.(2023安徽合肥包河三模)观察以下等式:
第1个等式:×(4-1)=;
第2个等式:×(9-1)=8;
第3个等式:×(16-1)=;
第4个等式:×(25-1)=18;
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式:　　　　　　　　;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并证明.
8.(2023安徽合肥期末)观察以下等式:
第1个等式:1-=×;
第2个等式:1-=×;
第3个等式:1-=×;
第4个等式:1-=×;
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第6个等式:　　　　　　　　　　　　;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并说明理由.
第9章　分式
专项素养综合全练(八)
关于整式和分式的规律探究
1.　解析　(1)因为第1个等式:2×(12-1+1)-1=13,
第2个等式:3×(22-2+1)-1=23,
第3个等式:4×(32-3+1)-1=33,
第4个等式:5×(42-4+1)-1=43,
第5个等式:6×(52-5+1)-1=53,
所以第6个等式为7×(62-6+1)-1=63.
故答案为7×(62-6+1)-1=63.
(2)猜想第n个等式为(n+1)×(n2-n+1)-1=n3.
证明:(n+1)×(n2-n+1)-1
=n3-n2+n+n2-n+1-1
=n3+(-n2+n2)+(n-n)+(1-1)
=n3,故等式成立.
2.　解析　(1)(4×5)2+1=212-8×5.
(2)第n个等式:(4n)2+1=(4n+1)2-8n.
证明:因为左边=16n2+1,
右边=16n2+8n+1-8n=16n2+1,
所以左边=右边,所以等式成立.
3.　解析　(1)由题意得a=-1,b=3.
(2)猜想第n个等式为n2+(n+1)2-(n+2)2=n(n-2)-3.
证明:因为左边=n2+(n2+2n+1)-(n2+4n+4)
=n2+n2+2n+1-n2-4n-4=n2-2n-3,
右边=n2-2n-3,
所以左边=右边,所以等式成立.
4.　解析　(1)题图1对应的等式为4×1+12=32-4,
题图2对应的等式为4×2+22=42-4,
所以题图3对应的等式为4×3+32=52-4,
题图4对应的等式为4×4+42=62-4.
故答案为52-4;4×4+42;62-4.
(2)猜想题图n对应的等式为4n+n2=(n+2)2-4.
证明:右边=n2+4n+4-4=n2+4n,
左边=4n+n2,
所以左边=右边,所以等式成立.
5.　解析　(1)=+.
(2)猜想第n个等式为=+.
证明:+==,
故猜想成立.
6.　解析　(1)+=1+.
(2)猜想第n个等式为+=1+.
证明:+=
===
=1+,
所以等式成立.
7.　解析　(1)×(362-1)=.
(2)猜想第n个等式为×[(n+1)2-1]=.
证明:×[(n+1)2-1]=·(n2+2n+1-1)
=·(n2+2n)=·n(n+2)
=,
所以等式成立.
8.　解析　(1)1-=×.
(2)猜想的第n个等式为1-=·.
理由:因为左边==,
右边=,
所以左边=右边,所以等式成立.
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