2024沪科版数学七年级下册--专项素养综合全练(九)平行线中的“拐点”问题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024沪科版数学七年级下册--专项素养综合全练(九)平行线中的“拐点”问题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 366.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-29 08:38:44 | ||
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文档简介
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2024沪科版数学七年级下册
第10章 相交线、平行线与平移
专项素养综合全练(九)
平行线中的“拐点”问题
类型一 “M”型图
1.如图,∠E=∠B+∠D,猜想AB与CD有怎样的位置关系,并说明理由.
类型二 双“M”型图
2.(2023云南昭通昭阳月考)如图,AB∥CD,∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F.
(1)如图1,若∠E=80°,求∠BFD的度数;
(2)如图2,∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系,并证明.
图1 图2
类型三 “Z”型图
3.如图,已知AB∥DE,∠BCD=30°,∠CDE=138°.求∠ABC的度数.
类型四 双“Z”型图
4.(2023贵州贵阳期末)如图,已知AB⊥BD,AB⊥AC,∠1=∠2,请判断AE与BF的位置关系,并说明理由.
5.(2023江苏苏州期中)如图,∠E=∠F,∠1=∠2,那么AB与CD平行吗 为什么
类型五 “U”型图
6.(2023江西南昌期中)如图,AE交BC于E,ED⊥EA,∠BAE+∠EDC=90°.
(1)试说明:AB∥DC;
(2)M、N分别在BA、CD的延长线上,∠EAM和∠EDN的平分线相交于F,求∠F的度数.
类型六 “铅笔”型图
7.(2023河南信阳平桥期末)综合与实践活动课上,孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动.如图1,∠EFH=90°,点A、C分别在射线FE、FH上,AB∥CD.
(1)若∠FAB=150°,则∠HCD= °.探究中小聪同学发现,过点F作FG∥AB即可得到∠HCD的度数,请直接写出∠HCD的度数.
(2)小明同学发现,无论∠FAB如何变化,∠FAB-∠HCD的值始终为定值,并给出了一种证明该发现的辅助线作法:如图2,过点A作AM∥FH,交CD于点M,请你根据小明同学提供的辅助线,确定该定值,并说明理由.
(3)如图3,把“∠EFH=90°”改为“∠EFH=α”(0°<α<180°),其他条件保持不变,猜想∠FAB与∠HCD的数量关系,并说明理由.
图1 图2 图3
第10章 相交线、平行线与平移
专项素养综合全练(九)
平行线中的“拐点”问题
1. 解析 AB∥CD.
理由:如图,过点E作EF∥AB,则∠B=∠BEF.
因为∠BED=∠B+∠D,所以∠D=∠DEF,
所以CD∥EF,所以AB∥CD.
2. 解析 (1)如图,过E作EG∥AB,过F作FH∥AB.
因为AB∥CD,所以EG∥AB∥FH∥CD,
所以∠ABF=∠BFH,∠CDF=∠DFH,∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠CDE=180°,
所以∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°.
因为∠BED=∠BEG+∠DEG=80°,
所以∠ABE+∠CDE=280°.
因为∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F,
所以∠ABF+∠CDF=140°,
所以∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°.
(2)6∠M+∠E=360°.
证明:因为∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,
所以∠ABF=3∠ABM,∠CDF=3∠CDM.
因为∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F,
所以∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,
所以6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°.
因为∠M=∠ABM+∠CDM,
所以6∠M+∠E=360°.
3. 解析 如图,过点C作CF∥AB.
因为AB∥DE,所以DE∥CF,
所以∠DCF=180°-∠CDE=180°-138°=42°,
所以∠BCF=∠BCD+∠DCF=30°+42°=72°,
因为AB∥CF,
所以∠ABC=∠BCF=72°.
4. 解析 AE∥BF.理由如下:
因为AB⊥BD,AB⊥AC,
所以∠ABD=90°,∠BAC=90°,
所以∠2+∠4=90°,∠1+∠3=90°.
因为∠1=∠2,
所以∠3=∠4,
所以AE∥BF.
5. 解析 AB与CD平行.
理由如下:
因为∠E=∠F,
所以BE∥CF,
所以∠EBC=∠FCB,
因为∠1=∠2,
所以∠EBC+∠1=∠FCB+∠2,
即∠ABC=∠DCB,
所以AB∥CD.
6. 解析 (1)如图,过E作EG∥AB,则∠1=∠3.
因为ED⊥EA,
所以∠3+∠4=90°.
因为∠1+∠2=90°,
所以∠4=∠2,
所以EG∥CD,
所以AB∥DC.
(2)如图,过F作FH∥AB,则∠5=∠7,
因为AB∥DC,
所以FH∥DC,
所以∠6=∠8,
所以∠AFD=∠5+∠6.
因为AF平分∠MAE,DF平分∠NDE,∠1+∠2=90°,
所以∠5+∠6=(360°-∠1-∠2)=135°,
所以∠AFD=∠5+∠6=135°.
7. 解析 (1)因为FG∥AB,
所以∠AFG+∠FAB=180°,
所以∠AFG=180°-∠FAB=180°-150°=30°,
因为∠EFH=90°,
所以∠CFG=∠EFH-∠AFG=90°-30°=60°.
因为AB∥CD,
所以FG∥AB,所以FG∥CD,
所以∠HCD=∠CFG=60°.
(2)该定值为90°.理由如下:
因为AM∥FH,
所以∠EFH+∠FAM=180°,∠HCD=∠AMC,
所以∠FAM=180°-∠EFH=180°-90°=90°,
因为AB∥CD,
所以∠BAM=∠AMC,
所以∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAM=∠FAM=90°,
所以无论∠FAB如何变化,∠FAB-∠HCD的值始终为定值,该定值为90°.
(3)∠FAB-∠HCD=180°-α.
理由如下:
如图,过点A作AN∥FH,交CD于点N,
所以∠EFH+∠FAN=180°,∠HCD=∠ANC,
所以∠FAN=180°-∠EFH=180°-α,
因为AB∥CD,所以∠BAN=∠ANC,
所以∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAN=∠FAN=180°-α.
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2024沪科版数学七年级下册
第10章 相交线、平行线与平移
专项素养综合全练(九)
平行线中的“拐点”问题
类型一 “M”型图
1.如图,∠E=∠B+∠D,猜想AB与CD有怎样的位置关系,并说明理由.
类型二 双“M”型图
2.(2023云南昭通昭阳月考)如图,AB∥CD,∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F.
(1)如图1,若∠E=80°,求∠BFD的度数;
(2)如图2,∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系,并证明.
图1 图2
类型三 “Z”型图
3.如图,已知AB∥DE,∠BCD=30°,∠CDE=138°.求∠ABC的度数.
类型四 双“Z”型图
4.(2023贵州贵阳期末)如图,已知AB⊥BD,AB⊥AC,∠1=∠2,请判断AE与BF的位置关系,并说明理由.
5.(2023江苏苏州期中)如图,∠E=∠F,∠1=∠2,那么AB与CD平行吗 为什么
类型五 “U”型图
6.(2023江西南昌期中)如图,AE交BC于E,ED⊥EA,∠BAE+∠EDC=90°.
(1)试说明:AB∥DC;
(2)M、N分别在BA、CD的延长线上,∠EAM和∠EDN的平分线相交于F,求∠F的度数.
类型六 “铅笔”型图
7.(2023河南信阳平桥期末)综合与实践活动课上,孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动.如图1,∠EFH=90°,点A、C分别在射线FE、FH上,AB∥CD.
(1)若∠FAB=150°,则∠HCD= °.探究中小聪同学发现,过点F作FG∥AB即可得到∠HCD的度数,请直接写出∠HCD的度数.
(2)小明同学发现,无论∠FAB如何变化,∠FAB-∠HCD的值始终为定值,并给出了一种证明该发现的辅助线作法:如图2,过点A作AM∥FH,交CD于点M,请你根据小明同学提供的辅助线,确定该定值,并说明理由.
(3)如图3,把“∠EFH=90°”改为“∠EFH=α”(0°<α<180°),其他条件保持不变,猜想∠FAB与∠HCD的数量关系,并说明理由.
图1 图2 图3
第10章 相交线、平行线与平移
专项素养综合全练(九)
平行线中的“拐点”问题
1. 解析 AB∥CD.
理由:如图,过点E作EF∥AB,则∠B=∠BEF.
因为∠BED=∠B+∠D,所以∠D=∠DEF,
所以CD∥EF,所以AB∥CD.
2. 解析 (1)如图,过E作EG∥AB,过F作FH∥AB.
因为AB∥CD,所以EG∥AB∥FH∥CD,
所以∠ABF=∠BFH,∠CDF=∠DFH,∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠CDE=180°,
所以∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°.
因为∠BED=∠BEG+∠DEG=80°,
所以∠ABE+∠CDE=280°.
因为∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F,
所以∠ABF+∠CDF=140°,
所以∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°.
(2)6∠M+∠E=360°.
证明:因为∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,
所以∠ABF=3∠ABM,∠CDF=3∠CDM.
因为∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F,
所以∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,
所以6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°.
因为∠M=∠ABM+∠CDM,
所以6∠M+∠E=360°.
3. 解析 如图,过点C作CF∥AB.
因为AB∥DE,所以DE∥CF,
所以∠DCF=180°-∠CDE=180°-138°=42°,
所以∠BCF=∠BCD+∠DCF=30°+42°=72°,
因为AB∥CF,
所以∠ABC=∠BCF=72°.
4. 解析 AE∥BF.理由如下:
因为AB⊥BD,AB⊥AC,
所以∠ABD=90°,∠BAC=90°,
所以∠2+∠4=90°,∠1+∠3=90°.
因为∠1=∠2,
所以∠3=∠4,
所以AE∥BF.
5. 解析 AB与CD平行.
理由如下:
因为∠E=∠F,
所以BE∥CF,
所以∠EBC=∠FCB,
因为∠1=∠2,
所以∠EBC+∠1=∠FCB+∠2,
即∠ABC=∠DCB,
所以AB∥CD.
6. 解析 (1)如图,过E作EG∥AB,则∠1=∠3.
因为ED⊥EA,
所以∠3+∠4=90°.
因为∠1+∠2=90°,
所以∠4=∠2,
所以EG∥CD,
所以AB∥DC.
(2)如图,过F作FH∥AB,则∠5=∠7,
因为AB∥DC,
所以FH∥DC,
所以∠6=∠8,
所以∠AFD=∠5+∠6.
因为AF平分∠MAE,DF平分∠NDE,∠1+∠2=90°,
所以∠5+∠6=(360°-∠1-∠2)=135°,
所以∠AFD=∠5+∠6=135°.
7. 解析 (1)因为FG∥AB,
所以∠AFG+∠FAB=180°,
所以∠AFG=180°-∠FAB=180°-150°=30°,
因为∠EFH=90°,
所以∠CFG=∠EFH-∠AFG=90°-30°=60°.
因为AB∥CD,
所以FG∥AB,所以FG∥CD,
所以∠HCD=∠CFG=60°.
(2)该定值为90°.理由如下:
因为AM∥FH,
所以∠EFH+∠FAM=180°,∠HCD=∠AMC,
所以∠FAM=180°-∠EFH=180°-90°=90°,
因为AB∥CD,
所以∠BAM=∠AMC,
所以∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAM=∠FAM=90°,
所以无论∠FAB如何变化,∠FAB-∠HCD的值始终为定值,该定值为90°.
(3)∠FAB-∠HCD=180°-α.
理由如下:
如图,过点A作AN∥FH,交CD于点N,
所以∠EFH+∠FAN=180°,∠HCD=∠ANC,
所以∠FAN=180°-∠EFH=180°-α,
因为AB∥CD,所以∠BAN=∠ANC,
所以∠FAB-∠HCD=∠FAB-∠BAN=∠FAN=180°-α.
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