2024华东师大版数学七年级下册--专项素养综合全练(八)新定义试题（含解析）

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2024华东师大版数学七年级下册
专项素养综合全练(八)
新定义试题
类型一　运算类新定义
1.(2023甘肃定西陇县崇文中学模拟)定义a b=2a+b,则方程3 x=4 2的解为(　　)
A.x=4　　　　　　B.x=-4　　　　　　C.x=2　　　　　　D.x=-2
2.(2023陕西榆林绥德期末)定义“*”运算为a*b=ab+2a,若(3*x)+(x*3)=22,则x的值为(　　)
A.1　　　　　　B.-1　　　　　　C.-2　　　　　　D.2
3.(2023河南南阳西峡期末)定义新运算:a b=2a-b+3.例如,5 4=2×5-4+3,则不等式组的解集为(　　)
A.x>3　　　 B.3C.无解　　　D.-14.(2023四川巴中巴州棠湖外语实验学校模拟)已知a,b,c,d为有理数,现规定一种新的运算=ad-bc,那么当=18时,x的值是　　　　.
5.【新独家原创】规定一种运算“@”:对任意有理数m、n,有m@n=(n-m)-2m,如2@5=×(5-2)-2×2=-3.若(-3x)@(2-x)<-2,则x的取值范围是　　　　.
6.(2022湖北十堰郧西期中)定义一种运算:a*b=则不等式(2x+1)*(2-x)>3的解集是　　　　　　.
7.(2023福建泉州鲤城科技中学期中)对于有理数x,y定义新运算:x*y=ax+by-5,其中a,b为常数,已知1*2=-9,(-3)*3=-2,则a-b=　　　　.
8.(2023山东德州夏津二模)定义新运算“ ”,规定:a b=a-2b,若关于x的不等式组的解集为x>6,则a的取值范围是　　　　.
9.(2023广东清远英德期中)规定一种新运算:x*y=x2-2xy.
(1)求(-3)*1的值;
(2)若2*(t+1)=8,求(1-t)*t的值.
10.(2023河北秦皇岛海港一模)定义新运算:对于任意有理数a,b(a≠0)都有a*b=-a+b,等式右边是通常的加、减、除运算,比如2*1=.
(1)求4*5的值;
(2)若2*(x+2)不大于4,求x的取值范围,并在如图所示的数轴上表示出来.
类型二　概念类新定义
11.(2023江苏南通期末)定义:若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”,若方程12-x=x,11+x=3x+1都是关于x的不等式组的“相伴方程”,则m的取值范围为　　　　.
12.(2023河南南阳桐柏期中)若一元一次方程的解在一元一次不等式(组)解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式(组)的“子方程”,这个解在数轴上对应的点称为该不等式(组)的“子点”.
(1)在方程①x+1=0,②x-(3x+1)=-5,③3x-1=0中,不等式<1的“子方程”为　　　　(填序号);
(2)如图,M、N都是关于x的不等式组的“子点”,求m的取值范围;
(3)不等式4x-m<0的所有“子方程”的解中有且只有2个正整数,求m的取值范围.
13.(2023吉林长春八十七中月考)定义:如果两个一元一次方程的解互为相反数,我们就称这两个方程为“关联方程”.如方程2x=4和3x+6=0为“关联方程”.
(1)若关于x的方程5x+a=0与方程2x-4=x+1是“关联方程”,求a的值;
(2)若两个方程为“关联方程”,它们的解的差为8,且它们的解分别为m、n,求m、n的值;
(3)若关于x的方程2x+3b-2=0和3x-5b+4=0是“关联方程”,求b的值.
类型三　图形类新定义
14.(2022安徽六安金安轻工中学期中)定义:当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时,我们称此三角形为“倍角三角形”,其中α称为“倍角”,如果一个“倍角三角形”的一个内角为90°,那么“倍角”α的度数是(　　)
A.30°或45°　　　B.30°或60°
C.45°或90°　　　D.60°或90°
15.(2023上海嘉定期末)在一个三角形中,如果一个角是另一个角的3倍,这样的三角形我们称之为“灵动三角形”.例如,三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”,三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”.如图,∠MON=60°,在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C(规定0°<∠OAC<90°).
(1)∠ABO的度数为　　　°,△AOB　　　　(填“是”或“不是”)“灵动三角形”;
(2)若∠BAC=70°,则△AOC　　　　(填“是”或“不是”)“灵动三角形”;
(3)当△ABC为“灵动三角形”时,求∠OAC的度数.
答案全解全析
1.A　根据题中的新定义得3 x=2×3+x,4 2=2×4+2,∵3 x=4 2,∴2×3+x=2×4+2,解得x=4.故选A.
2.D　根据题中的新定义得3x+6+3x+2x=22,移项、合并同类项得8x=16,解得x=2,故选D.
3.B　由0.5 x>-2得1-x+3>-2,解得x<6,由2x 5>3x+1得4x-5+3>3x+1,解得x>3,则不等式组的解集为34.
解析　根据题中的新定义得3×5x-4(2-x)=18,去括号得15x-8+4x=18,移项、合并同类项得19x=26,解得x=.故答案为.
5.x<-
解析　根据题意,得[(2-x)-(-3x)]-2×(-3x)<-2,解得x<-.
6.x>1或x<-1
解析　由新定义得解得x>1或x<-1.
7.-1
解析　根据题意得1*2=a+2b-5=-9,(-3)*3=-3a+3b-5=-2,整理得①+②得3b=-3,即b=-1,把b=-1代入②得a=-2,则a-b=-2+1=-1,故答案为-1.
8.a≤2
解析　根据新定义知关于x的不等式组解不等式①可得x>6,解不等式②可得x>3a,因为该不等式组的解集为x>6,∴3a≤6,解得a≤2.故答案为a≤2.
9.解析　(1)由题意可得(-3)*1=(-3)2-2×(-3)×1=9+6=15.
(2)由题意得22-2(t+1)×2=8,解得t=-2,∴(1-t)*t=3*(-2)=32-2×3×(-2)=21.
10.解析　(1)根据题意得4*5=.
(2)根据题意得-2+(x+2)≤4,
解得x≤2,在数轴上表示如图.
11.3≤m<5
解析　解方程12-x=x,得x=6,解方程11+x=3x+1,得x=5,由x+m<2x,得x>m,由x-3≤m,得x≤m+3,∵x=5、x=6在不等式组的解集范围内,∴m<5且m+3≥6,∴3≤m<5.故答案为3≤m<5.
12.解析　(1)方程①x+1=0的解为x=-,方程②x-(3x+1)=-5的解为x=2,方程③3x-1=0的解为x=,解不等式<1得x>,∴不等式<1的“子方程”是②③,故答案为②③.
(2)解不等式组,得m(3)解不等式,得x<,由题意可得2<≤3,解得8∴m的取值范围为813.解析　(1)解方程2x-4=x+1得x=5,将x=5代入方程5x+a=0得5×5+a=0,解得a=-25.
(2)由题意得
(3)解方程2x+3b-2=0得x=,解方程3x-5b+4=0得x=,
∵方程2x+3b-2=0和3x-5b+4=0是关于x的“关联方程”,
∴=0,
解得b=2.
14.D　若90°的角为“倍角”,则“倍角”α=90°,若另外两个内角中较大角为“倍角”,则较小内角为α,∵三角形内角和为180°,∴α+α+90°=180°,解得α=60°.综上,“倍角”α的度数是90°或60°.故选D.
15.解析　(1)∵AB⊥OM,∴∠BAO=90°,∵∠AOB=60°,∴∠ABO=90°-60°=30°,∵90°=3×30°,∴△AOB是“灵动三角形”.
故答案为30;是.
(2)∵∠OAB=90°,∠BAC=70°,∴∠OAC=20°,∵∠AOC=60°=3×20°,∴△AOC是“灵动三角形”.故答案为是.
(3)当△ABC为“灵动三角形”时,有以下3种情况:
①当∠ACB=3∠ABC时,∠ACB=90°,∴∠CAB=60°,∴∠OAC=30°;
②当∠ABC=3∠CAB时,∠CAB=10°,∴∠OAC=80°;
③当∠ACB=3∠CAB时,∠CAB=37.5°,可得∠OAC=52.5°.
综上所述,∠OAC的度数为30°或52.5°或80°.
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