福建省宁德市博雅培文学校2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题（含解析）

博雅培文学校2023-2024学年高二上学期第三次月考 数学
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分共40分）
1．已知数列的通项公式为，则数列是（ ）
A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列
C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列
2．直线的斜率与直线的斜率互为倒数，则a等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．已知点是抛物线C：的焦点，点M在抛物线C上，点，且，则点M到y轴的距离为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．过点作圆：的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知圆与直线（，为非零实数）相切，则的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．16
8．已知抛物线的焦点恰为双曲线的右焦点，且两曲线交点的连线过点，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分共20分）
9．对于抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．准线方程为 D．准线方程为
10．下列说法正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程能表示平行轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点的直线方程
11．过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．若圆和圆的交点为、，则（ ）
A．公共弦所在直线的方程为
B．线段的中垂线方程为
C．公共弦的长为
D．与和都相切的两条直线交于点
三、填空题（本大题共4个小题每小题5分共20分）
13．直线的倾斜角的大小为 .
14．函数的图像与坐标轴交于点A，B，C，则过A，B，C三点的圆的方程为 ．
15．为等差数列，，，则 ．
16．已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 .
四、解答题（本大题共6个小题共70分。解答应写出文字说明过程或演算步骤。）
17．（本题10分）已知直线经过点，斜率为2.
(1)求直线的截距式方程.
(2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程.
18．（本题12分）已知的顶点.
(1)求边的中垂线所在直线的方程；
(2)求的面积.
19．（本题12分）已知甲、乙、丙、丁、戊、己等6人.（以下问题用数字作答）
（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的情形？
（2）这6人同时加入6项不同的活动，每项活动限1人，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？
（3）将这6人作为辅导员安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名辅导员；求丁、戊、己恰好被安排在同一项活动中的概率．
20．（本题12分）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点F，试证明B，Q，F三点共线.
21．（本题12分）设点O为坐标原点，P是圆A：上任意一点，点，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)设直线l与曲线C（在y轴右侧）恰有一个公共点，且l与直线分别交于M，N两点，求面积S的最小值．
22．（本题12分）已知椭圆E：的下焦点、上焦点为，离心率为过焦点且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于A，B两点．
(1)求m的值；
(2)求（O为坐标原点）面积的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】由通项公式可知，这是等比数列，然后利用等比数列的定义求出首项和公比即可.
【详解】因为，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.
故选：A
2．D
【分析】由两直线的斜率列式求解，
【详解】由题意得，得，
故选：D
3．B
【分析】由焦点坐标可求出抛物线的方程，由，所以，设，则列方程可求得结果.
【详解】因为点是抛物线C：的焦点，所以，．
又因为，所以，
设，则，
所以，故点M到y轴的距离为8．
故选：B

4．B
【分析】根据抛物线的方程写出焦点坐标，求出直线的方程、点的坐标，最后根据三角形面积公式进行求解即可.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
所以直线的方程为：，
令，解得，因此点的坐标为：，
因为的面积为4，
所以有，即，，
因此抛物线的方程为.
故选：B.
5．B
【分析】利用斜率公式得到方程，解得即可.
【详解】依题意，解得.
故选：B
6．C
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断点在圆上，再求出，即可得到切线的斜率，最后利用点斜式计算可得.
【详解】圆：，即，圆心为，半径，
又，所以点在圆上，且，
所以切线的斜率，所以切线方程为，即.
故选：C
7．D
【分析】先根据直线与圆相切得到的关系式，然后利用“”的妙用结合基本不等式求解出的最小值.
【详解】因为圆与直线相切，
所以，所以，
所以，
取等号时，
所以的最小值为.
故选：D.
8．D
【分析】结合抛物线和双曲线的性质，得到交点坐标，将坐标代入到双曲线中，得到关于的一元二次方程，即可解出离心率.
【详解】由题意，，因为两曲线交点的连线过点，所以连线垂直于轴，
则其中一个交点坐标为，即为，
代入到双曲线方程中，得，
则，，，，
解得，所以D正确.
故选：D.
9．AD
【分析】把抛物线的方程化为标准方程，结合性质可得答案.
【详解】因为，所以抛物线开口向上，焦点为，其准线方程为，结合选项可得A，D正确.
故选：AD
10．BD
【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案.
【详解】对于A，当直线的截距不为零时，截距相等的直线可用方程，当截距是零时，不可用，故A错误；
对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确；
对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误；
对于D，当时，由斜率公式，可得，可整理为；
当时，方程可整理为；故D正确.
故选：BD.
11．BC
【分析】根据题意，分为切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程．
【详解】圆的圆心为，半径，
若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，符合题意；
若切线的斜率存在，设切线方程为，即，
由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，
所以切线方程为，
综上可知，切线方程为或．
故选：BC．
12．ABD
【分析】将两圆方程作差可得出公共弦的方程，可判断A选项；分析可知直线垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；利用三角形相似求出两圆公切线的交点的坐标，可判断D选项.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
则，所以，，
所以，圆、相交，
对于A选项，将两圆方程作差可得，即公共弦所在直线的方程为，A对；
对于B选项，由圆的几何性质可知，直线垂直平分线段，
所以，线段的中垂线所在直线的方程为，B对；
对于C选项，圆心到直线的距离为，
所以，，C错；
对于D选项，设两切线交于点，由圆的对称性可知，点在直线上，
设两切线分别切圆于、两点，分别切圆于点、，
连接、，由切线的几何性质可知，，
又因为，故，
设点，则，所以，，解得，即点，
因此，与和都相切的两条直线交于点，D对.
故选：ABD.
13．
【分析】由斜率与倾斜角的关系可得.
【详解】直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
又，则.
故答案为：.
14．
【分析】用圆的标准方程即可求解.
【详解】函数的图像与坐标轴的交点分别为，，，
则线段的垂直平分线为，线段的垂直平分线为．
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径，
所以所求圆的方程为．
故答案为：.
15．
【分析】根据已知，利用等差数列的性质、求和公式求解.
【详解】在等差数列中，由，有：
两式相加可得，
而由等差数列的性质可得，
故可得，解得，故.
故答案为：99．
16．
【分析】令椭圆右焦点为，根据给定条件，判断四边形为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答.
【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点，

则，由以为直径的圆过原点，得，
则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形，
于是，有，，
因此，当且仅当时取等号，
即有，，则离心率有，而，解得，
所以椭圆离心率的最小值为.
故答案为：
17．(1)；
(2).
【分析】（1）利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再化成直线的截距式方程即得.
（2）求出直线的斜率及方程，再化成直线的截距式方程即可.
【详解】（1）依题意，直线的方程为：，即，
所以直线的截距式方程为.
（2）由直线与垂直，得直线的斜率为，由（1）知，直线在y轴上的截距为，
于是直线的方程为，即，
所以直线的截距式方程为.
18．(1)；
(2)14.
【分析】（1）求出直线的斜率，再由垂直关系得出直线边的中垂线的斜率，最后由点斜式写出所求方程；
（2）求出直线的方程，再求出点到直线的距离以及，最后由三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）直线的斜率为，直线边的中垂线的斜率为，
又的中点为，
边的中垂线所在直线的方程为：，即；
（2）直线的方程为：，即，
点到直线的距离，
，
故的面积为.
19．（1）63；（2）504；（3）.
【分析】（1）根据组合数的概念求解即得；
（2）利用排除法即得；
（3）利用排列组合知识结合概率公式即得.
【详解】（1）邀请这6人去参加一项活动，必须有人去，可去1,2,3,4,5,6个人，
所以共有种安排方法；
（2）利用排除法，6人同时加入6项不同的活动，每项活动限1人，共有种方法，
甲参加第一项活动的方法数为，乙参加第三项活动方法数为，
甲参加第一项活动同时乙参加第三项活动的方法数为，
所以甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有种不同的安排方法；
（3）这6人作为辅导员安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名辅导员共有种方法，
其中丁、戊、己恰好被安排在同一项活动中的方法数为，
故丙、戊恰好被安排在一项活动中的概率为.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用条件，建立的关系，直接求出即可求出结果；（2）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可直接求出B，Q，F三点的坐标，从而可利用向量判断出是否共线；当斜率存在时，设出直线方程，联立方程得到，利用韦达定理得到间的关系，再求出点，再利用向量共线得到点共线即可得到证明.
【详解】（1）依题意有，解得，所以椭圆C的标准方程是.
（2）（i）当直线的斜率不存在，易知，，或，，
当，时，直线PA的方程为：，所以点，
此时，，，显然B，Q，F三点共线，
同理，时，B，Q，F三点共线；
（ii）当直线的斜率存在时，显然斜率，设直线的方程：，
设，，
由整理可得：，
，，
由（1）可得左右顶点分别为，，
直线PA的方程为，又因为直线与交于F，所以，
所以，，
因为
，
又
，
所以，所以，所以B，Q，F三点共线；
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据几何知识得到Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线，然后求轨迹方程即可；
（2）设直线的方程，联立直线与双曲线的方程，根据恰有一个公共点得到，联立直线与渐近线方程，利用韦达定理求三角形面积的最小值即可.
【详解】（1）
，
则Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线，
设方程为，则，，，
所以Q的轨迹方程为．
（2）
设l：，代入曲线C的方程得，
由已知得且，即，
将l：，代入得，
设，，则，，
直线l与x轴交点为，
则
由得，即，
则当时，S最小值为．
22．(1)；
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率的公式进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合换元法、对钩函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由题意可得，，，
因为离心率，所以，
又，所以，解得；
（2）由（1）知，椭圆E：的上焦点为，
设，，直线l：，联立，
整理得：，
则，且，，
所以，
所以，
所以
．
令，函数在时，单调递增，
所以有
即，因此，
因此
所以面积的取值范围是．