天津市蓟州区下营中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷（含解析）

天津市蓟州区名校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，使得”的否定形式是（ ）
A．, 使得
B．, 使得
C．，使得
D．，使得
3．若：，：则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中，既是奇函数且在区间上又是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数为幂函数，则（ ）
A．或2 B．2 C． D．1
7．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．函数零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．弧度制与角度制的换算公式： ．
11．已知扇形的面积为4，半径为2，则扇形的圆心角为 弧度.
12．是第 象限角．
13．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
14．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 .
三、解答题
15．已知集合,集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
16．设函数.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围。
17．（1）；
(2)；
(3).
18．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，；
(1)已知函数的部分图象如图所示，

请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递减区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若关于x的方程有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．（只需写出结论）
19．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，求实数m的取值范围.
20．已知函数是定义域上的奇函数，且．
(1)判断并证明函数在上的单调性；
(2)令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】解出集合，再根据交集含义即可.
【详解】因为，所以．
故选：C.
2．D
【分析】特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出命题的否定形式即可.
【详解】命题“，使得”的否定形式为“，使得”.
故选：D.
3．D
【分析】解出命题为真时的的范围，进一步分析即可判定.
【详解】由，得，
由，得，
根据变量范围可知，是的既不充分也不必要条件，
故选：D.
4．C
【分析】判断函数为奇函数，排除B，D，取特值可排除A，得解.
【详解】，定义域为，
又，
所以函数为奇函数，排除B，D，
又，，
，所以函数在上不是单调递增，排除A；
故选：C.
5．D
【分析】根据幂函数，指数函数，对数函数的单调性和奇偶性逐一判断即可.
【详解】对于A，因为，所以函数为偶函数，故A不符题意；
对于B，函数为非奇非偶函数，故B不符题意；
对于C，函数为非奇非偶函数，故C不符题意；
对于D，，所以函数为奇函数，
又函数在区间上又是增函数，故D符合题意.
故选：D.
6．A
【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出的值.
【详解】由题意得，解得或.
故选：A
7．A
【分析】根据“分段法”求得正确答案.
【详解】，
，
，
所以.
故选：A
8．B
【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理求得正确答案.
【详解】在上单调递减，
，
，所以零点所在的区间是.
故选：B
9．B
【分析】根据解析式画出草图，将问题化为的图象与直线，共有5个交点，数形结合有的图象与直线有1个交点，即可求参数范围.
【详解】作出函数的图象如图所示，

函数，且有5个零点，
等价于有5个解，即或共有5个解，
等价于的图象与直线，共有5个交点.
由图得的图象与直线在4个交点，
所以的图象与直线有1个交点，则直线应位于直线下方，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：B
10．/
【分析】利用弧度制与角度制的换算公式即可得出结果.
【详解】.
故答案为：.
11．2
【分析】根据扇形的面积公式求解即可.
【详解】设扇形的圆心角为，
由题意得，，解得，
所以扇形的圆心角为2弧度.
故答案为：2.
12．一
【分析】写成终边相同的角的形式即可.
【详解】，
是第一象限角.
故答案为：一.
13．
【分析】根据二次函数的性质，结合已知单调区间求参数范围即可.
【详解】由解析式知：的开口向上且对称轴为，
又函数在区间上单调递增，故.
故答案为：
14．
【分析】根据基本不等式及一元二次不等式的解法计算即可.
【详解】若不等式 有解, 即即可,
由题意可知：
，
当且仅当 , 即时, 等号成立,
可得, 即, 解得或,
所以实数 的取值范围是.
故答案为：
15．(1)；
(2).
【分析】（1）利用分式不等式的解法和集合的交集定义即可求得；
（2）由题设可得两个集合的包含关系，对于含参的不等式一般先考虑空集情况，再借助于数轴即得参数范围.
【详解】（1）当时, ,集合中，由可得，则，
故.
（2）由可得，即，则有，
解得，即实数的取值范围是.
16．（1）；（2）或.
【分析】（1）根据函数解析式，由内到外，逐步代入，即可得出结果；
（2）分，两种情况讨论，解对应不等式，即可得出结果.
【详解】（1）因为，所以，
因此；
（2）当时，由可得：，即，解得，所以；
当时，由可得：，即，解得：，所以；
综上，实数的取值范围是或.
【点睛】本题主要考查求函数值，以及解分段函数对应的不等式，熟记分段函数的性质，以及函数单调性即可，属于常考题型.
17．【详解】（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
20．(1)作图见解析，函数 f (x) 的单调递减区间为和．
(2)
(3)．
【分析】（1）利用奇函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；
（2）利用函数是奇函数，求函数的解析式；
（3）利用数形结合，转化为与的图象有3个交点，从而得解.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，

结合图象可知，函数 f (x) 的单调递减区间为和．
（2）因为当时，，
所以当时， ，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以当 时，，
故的解析式为.
（3）因为有3个不相等的实数根，等价于与的图象有3个交点，
结合（1）中的图象可知，当时，与的图象有3个交点，
所以.
21．(1)奇函数；
(2).
【分析】（1）先求定义域，然后判断与的关系即可；
（2）根据单调性的性质判断函数的单调性，然后结合奇偶性和定义域去掉函数符号即可求解.
【详解】（1）由解得，即的定义域为，
又，
所以，函数为奇函数.
（2）由（1）知，函数为奇函数，
所以，
易知均为增函数，所以单调递增，
又的定义域为，
所以，，解得，
即实数m的取值范围为.
22．(1)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式，然后利用定义法，可判断并证明函数在上的单调性；
（2）由函数在上有两个零点，整理得方程在上有两个不相等的实数根，进而可得到，求解即可；
【详解】（1），且是奇函数，，
，解得，
，
检验，由解析式可知，函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，满足要求；
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
，且，
，，
∴，
，即，
函数在上单调递减.
同理可证明函数在上单调递增．
（2）函数在上有两个零点，
即方程在上有两个不相等的实数根，
所以在上有两个不相等的实数根，
则，解得，即实数的取值范围为.