江苏省淮安市两校2023-2024学年高三上学期期中联考数学试题（含答案）

淮安市两校2023-2024学年高三上学期期中联考
数学试题
本卷考试时间：150分钟 总分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）
A.2 B. C.1 D.
3.已知，，若，则的最小值为（ ）
A.2 B.4 C. D.9
4.19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高，约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若（，），则的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5.设是定义域为的偶函数，且，则（ ）
A.0 B.1 C.2023 `D.无法确定
6.设数列是公比为的等比数列，则“”是“存在满足”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.如图，是轮子外边沿上的一点，轮子的半径为0.5（单位：）.若轮子从图中位置向右匀速无滑动滚动，设当滚动的水平距离为（单位：）时，点距离地面的高度为（单位：），则下列说法中正确的是（ ）
A.当时，点恰好位于轮子的最高点
B.，其中
C.当时，点距离地面的高度在下降
D.若，，则的最小值为
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.设，为实数，且，下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，函数（）的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，且满足的面积为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.函数的图象对称中心为，
C.的单调增区间是，
D.将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象
11.在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在底面内运动（含边界），则（ ）
A.若是棱的中点，则平面
B.若在上运动，则
C.若在棱上运动，则四面体的体积为定值
D.若直线，与底面所成的角相等，则点的轨迹长度为
12.设是定义域为的可导函数，若存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，则称函数具有性质.则（ ）
A.若函数具有性质，则也具有性质
B.若具有性质，则
C.若具有性质，且，则
D.若函数（，）具有性质，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）
13.若向量，满足，，且在上的投影向量为，则______.
14.在平面直角坐标系中，已知是第三象限角，是终边上的一点，若，则______.
15.在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：（）相切于点，与圆：（）相交于，两点（异于），若，则______.
16.设定义在上的函数的导函数为，已知，且，若关于的不等式的解集中恰有一个整数，则实数的取值范围是______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
记为数列的前项和，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
18.（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别是，，，已知，.
（1）求角的大小；
（2）若的面积，设点是上靠近点的三等分点，求的值.
19.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
20.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面底面，为中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，且圆与轴交于，两点（在的左侧），若直线：（）与圆相交于，两点.
（1）若，求实数的值；
（2）设直线与直线交于点，记直线，直线，直线的斜率分别为，，，求的值.
22.（本小题满分12分）
已知函数，其中为实数.
（1）若，求函数在区间上的最小值；
（2）若函数在上存在两个极值点，，且，求证：.
高三数学期中联考试卷参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D B A C A B
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 AB AC ACD ABC
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）
13.3 14. 15. 16.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）因为，所以当时，，
两式相减得，当时，，
整理得，即，所以当时，，
所以数列是常数列，且首项，
所以，.
（2）由（1）可知，，故
所以，
由于，所以，所以.
18.（本小题满分12分）
解：（1）因为，结合余弦定理，
可得，整理得，
所以.又，所以.
（2）因为的面积，
所以，即，解得.
在中，据余弦定理可得，
故.
又是上靠近点的三等分点，故，
所以，故.
19.（本小题满分12分）
解：（1），定义域为，
所以，令，得，
①若，即，则，在上单调递减；
②若，即，令，得，故在上单调递增；令，得，故在上单调递减.
综上所述，若，在上单调递减；若，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，故，
要证：，即证：，
即证：.
令，，则
，
当时，，在上单调速减；
当时，，在上单调递增；
所以，
所以当时，，得证.
20.（本小题满分12分）
解：（1）连结交于，连结.
在三棱柱中，四边形是平行四边形，，
所以是的中点.
在中，为中点，故，
又平面，平面，所以平面.
（2）由（1）可知，，又，所以.
在正中，为中点，所以，又因为，，平面，
所以平面.又平面，所以.
又面面，平面，面面，
所以平面.
因为，平面，所以，.
以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，.
显然，是平面的一个法向量，设平面的法向量为，
则即取，所以是平面的一个法向量，
，设二面角的大小为，
据图可知，，所以二面角的余弦值为.
21.（本小题满分12分）
解：（1）设，，
由得，即故.
因为点，在圆上，所以解得：所以，
又，所以.
（2）依题意，，，直线的方程为，
联立方程组整理得：，
所以，，故.
同理可得.
因为，，三点共线，所以，即，
整理可得：，
显然，故.
设，则解得
即，所以，所以.
22.（本小题满分12分）
解：（1）当时，，，，
令，，则，
所以在上单调递增，故，
所以，在上单调递增，所以当时，的最小值为.
（2）依题意，在上存在两个极值点，，且.
所以在上有两个不等的实根，，且.
令，，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
要使得在上有两个不同的零点，必须满足得，
此时，故.
因为，是的两个不等的实根，
所以即
要证：，即证：，只要证：.
下面首先证明：.
要证：，即证：，只要证：，即证：，
令，，则.
所以在上单调递减，，即.
因为，所以.
所以，故.
要证：，只要证：，即证：，
只要证：，即证：，事实上，，显然成立，得证.