八年级数学期末复习大串讲+练专题七 全等三角形的常见辅助线（二）

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八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题七 全等三角形的常见辅助线（二）
类型四 倍长中线法构造全等三角形
方法点拨：已知线段中点或三角形的中线，将中线延长，使所得线段长度为原来的2倍。构造8字型全等三角形解决问题。
1.倍长中线模型
延长AD到点E，使DE=AD，连接CE 条件：△ABC，AD=BD结论：△ABD≌△CED(SAS) ①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围 ②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题
2 .倍长中线模型的变形——“倍长中线类”模型：
基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境
延长AD交直线l2于点E， 条件：l1∥l2，CD=BD结论：△ABD≌△ECD(AAS) 与含有平行元素的几何图形结合考察全等三角形的判定
典例剖析4
【例4-1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是　 　
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【方法感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．
【例4-2】（1）阅读理解：

如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　 　；则中线的取值范围是 　 　；
（2）问题解决：
如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系
针对练习4
1 .【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使
请根据小明的方法思考：

（1）求得的取值范围是___________；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题
如图，已知，，，为的中点．

（2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；
（3）如图2，若，，不共线，求证：；
（4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）．
2 .阅读下面文字并填空：数学课上张老师出了这样一道题：“如图，在中，，是中线，点为的中点，连接.求证：”

张老师给出了如下简要分析：“要证，就是要证线段的倍分问题，所以有两个思路，思路一：找，故取的中点，连接，只要证即可.这就将证明线段倍分问题______为证明线段相等问题，只要证出______，则结论成立.思路二：变为，因为需要找到，于是延长至点，使，只要证______即可.连接，若证出____________则结论成立.”你认为在现阶段可以用思路______来完成这个证明.
3 .（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是　 　；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．
类型五 截长补短证全等
截长补短模型
基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境
在AC上截取AE=AD，连接PE 条件：AP平分∠BAC，结论：△APD≌△APE(SAS) ①截长补短类辅助线经常和角平分线同步考察②截长补短类全等的目的通常是为了等价线段
因为截长补短常得线段相等，所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系，如AD=BC+EF
【例5-1】如图所示，在，，平分交于点，延长至点，使，连接．求证：．
【例5-2】如图，已知，是的角平分线，且交于点P．
(1)直接写出___________°；

(2)求证：；
(3)探究的数量关系．
针对练习5
1 .在四边形中，点E在边上，，分别平分，．
(1)在边上找出点B关于直线的对称点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）．
(2)在（1）的基础上，当时，
①若，求的大小；
②直接写出与的数量关系．
2 .点E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；
（2）如图1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度数；
（3）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD．
3 .如图，在中，，是的角平分线交于，过作于点，点在上，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求线段的长，
类型六 旋转构造全等三角形
旋转模型
通过辅助线利用旋转构造全等三角形解决问题
【例6-1】如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
【例6-2】Rt中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为△ABC外一点，且∠CEA＝45°．求证：AE⊥BE．
针对练习6
1.正方形 ，点E为平面内一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到 ，连接，．已知点M为的中点，连接．
(1)如图1，①若点E为边边上一点，补全图形；
②判断并证明线段和的数量关系．
(2)如图2，若点E是的内部一点，（1）中线段和的数量关系是否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
2 .已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗 若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；
3 .在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点
（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）如图1，若AB＝4，则四边形AEDF的面积为 　　（直接写出结果）；
（3）如图2，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，则△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题七 全等三角形的常见辅助线（二）（解析版）
类型四 倍长中线法构造全等三角形
方法点拨：已知线段中点或三角形的中线，将中线延长，使所得线段长度为原来的2倍。构造8字型全等三角形解决问题。
1.倍长中线模型
延长AD到点E，使DE=AD，连接CE 条件：△ABC，AD=BD结论：△ABD≌△CED(SAS) ①倍长中线常和△三边关系结合，考察中线长的取值范围 ②倍长中线也可以和其他几何图形结合，考察几何图形的面积问题
2 .倍长中线模型的变形——“倍长中线类”模型：
基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境
延长AD交直线l2于点E， 条件：l1∥l2，CD=BD结论：△ABD≌△ECD(AAS) 与含有平行元素的几何图形结合考察全等三角形的判定
典例剖析1
【例4-1】【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是　 　
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【方法感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．
【思路引领】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AE到F，使EF＝AE，连接DF，可证明△ABE≌△FDE，则∠BAE＝∠EFD，∠B＝∠EDF，再由外角的性质得出∠ADF＝∠ADC，则△ADF≌△ADC（SAS），则∠AFD＝∠C，从而得出∠C＝∠BAE．
（1）解：∵在△ADC和△EDB中，，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：C．
（3）证明：如图，延长AE到F，使EF＝AE，连接DF，
∵AE是△ABD的中线
∴BE＝ED，
在△ABE与△FDE中，，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，
∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，
∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，
∴∠ADF＝∠ADC，
∵AB＝DC，
∴DF＝DC，
在△ADF与△ADC中，，
∴△ADF≌△ADC（SAS）
∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
【例4-2】（1）阅读理解：

如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　 　；则中线的取值范围是 　 　；
（2）问题解决：
如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系
【答案】（1）；（2），见解析；（3）
【分析】（1）延长到点使，再连接，证明，可得，再由三角形三角关系可得，；
（2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，，即；
（3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出．
【详解】解：（1）延长到点使，再连接，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：，；
（2）延长至，使，连接，

，，，
，
，
连接，
，，
是等腰三角形，
，
在中，，即；
（3）延长至使，连接，

，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，三角形三边关系是解题的关键．
针对练习4
1 .【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使
请根据小明的方法思考：

（1）求得的取值范围是___________；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题
如图，已知，，，为的中点．

（2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；
（3）如图2，若，，不共线，求证：；
（4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）
【分析】（1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；
（2）延长交延长线于点，证即可；
（3）延长至点，使得，连接、、，证即可；
（4）过点作交于点，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可．
【详解】（1）为边上的中线，
，
在和中
，
，
，
，
即，
，
，
，
故答案为：
（2）如下图，交延长线于点

，
（同旁内角互补，两直线平行），
，，
为的中点
，
，
，，
又，
，即，
在和中
，
（全等三角形的对应角相等），即平分
（3）延长至点，使得，连接、、

由（1）同理易知，
，，
，且，
，
，，
，
，
，
，
（4）过点作交于点，由（3）可得，，，，

，
，
和互余，，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：
2 .阅读下面文字并填空：数学课上张老师出了这样一道题：“如图，在中，，是中线，点为的中点，连接.求证：”

张老师给出了如下简要分析：“要证，就是要证线段的倍分问题，所以有两个思路，思路一：找，故取的中点，连接，只要证即可.这就将证明线段倍分问题______为证明线段相等问题，只要证出______，则结论成立.思路二：变为，因为需要找到，于是延长至点，使，只要证______即可.连接，若证出____________则结论成立.”你认为在现阶段可以用思路______来完成这个证明.
【答案】转化；；, , ；二
证明过程见详解
【分析】按照张老师的思路即可填出答案，利用全等三角形的判定及性质来证明，从而有，从而结论可证.所以思路二可以证明.
【详解】转化；；, , ；二
证明：延长至点，使
∵点为的中点
∴
在和中，
∵，是中线
在和中，
∴
∴
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
3 .（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是　 　；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）先判断出BD＝CD，由“SAS”可证△MDB≌△ADC，得出BQ＝AC＝6，最后用三角形三边关系即可得出结论；
（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出△BDM≌△CDA，则BM＝AC，进而判断出∠ABM＝∠EAF，进而判断出△ABM≌△EAF，得出AM＝EF，∠BAM＝∠AEF，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
【点评】条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中解题的关键是正确做出作辅助线，构造全等三角形．
类型五 截长补短证全等
截长补短模型
基本图形 辅助线 条件与结论 应用环境
在AC上截取AE=AD，连接PE 条件：AP平分∠BAC，结论：△APD≌△APE(SAS) ①截长补短类辅助线经常和角平分线同步考察②截长补短类全等的目的通常是为了等价线段
因为截长补短常得线段相等，所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系，如AD=BC+EF
【例5-1】如图所示，在，，平分交于点，延长至点，使，连接．求证：．
【答案】见解析
【分析】在上取一点F使得，连接，证明，得到，进一步证明，得到，即可证明．
【详解】证明：如图所示，在上取一点F使得，连接，
∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【例5-2】如图，已知，是的角平分线，且交于点P．
(1)直接写出___________°；

(2)求证：；
(3)探究的数量关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据角平分线平分线以及三角形的内角和定理，求出的度数，对顶角相等，即可得到的度数；
（2）过点作，证明≌，即可得证；
（3）在上截取，证明≌，≌即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）证明：过点作，

则：，
∵是的角平分线，且交于点P，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴≌，
∴；
（3）解：在上截取，

∵平分，
∴，
∵，
∴≌，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又，
∴≌，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全等．
针对练习5
1 .在四边形中，点E在边上，，分别平分，．
(1)在边上找出点B关于直线的对称点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）．
(2)在（1）的基础上，当时，
①若，求的大小；
②直接写出与的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据对称的性质，在上取即可，可证明，得到，，即可证明对称；
（2）①连接，在上找一点G，使，连接，，根据和，得到，，，根据，等量代换得到，再根据等边对等角以及外角的性质即可求出；②根据①中结论可得，根据平角的定义代换得到，根据，再次代换并化简可得．
【详解】（1）解：如图，点F即为所求；
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴垂直平分，即F为B关于的对称点；
（2）①连接，在上找一点G，使，连接，，
∵，
∴，，
同（1）可证：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
化简得：．
2 .点E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；
（2）如图1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度数；
（3）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD．
【答案】（1）证明见解析；
（2）35°；
（3）证明见解析．
【思路引领】（1）延长DE交AB的延长线于F，判定△CDE≌△BFE（AAS），即可得出DE＝FE，再判定等腰三角形ADF，即可得到结论；
（2）根据平行线的判定和性质解答即可；
（3）在DA上截取DF＝DC，连接EF，判定△CDE≌△FDE（SAS），即可得出CE＝FE，∠CED＝∠FED，再判定△AEF≌△AEB（SAS），可得AF＝AB，进而得出AD＝AF+DF＝AB+CD．
（1）证明：如图1，延长DE交AB的延长线于F，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
又∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DE＝FE，即E为DF的中点，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F，
∴AD＝AF，
∴AE平分∠DAB；
（2）解：由（1）得AE平分∠DAB，
∴∠EAB∠DAB，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠DEC＝35°，
∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠CDE＝110°，
∴∠DAB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠EAB＝35°；
（3）证明：如图2，在DA上截取DF＝DC，连接EF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠FDE，
又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△FDE（SAS），
∴CE＝FE，∠CED＝∠FED，
又∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴FE＝BE，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠AEF＝∠AEB，
又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的综合运用；解题的关键是作辅助线，灵活运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点来分析、解决．
3 .如图，在中，，是的角平分线交于，过作于点，点在上，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求线段的长，
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的长为4．
【分析】（1）根据已知条件，利用AAS证明即可；
（2）设，在上截取，连接，证明，进而证明，再证明，根据即可求证；
（3）由（2）可得,,根据即可求得的长．
【详解】证明：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（2）设，
∵，
在中，，
在中，，
∵，
在上截取，连接，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，
在中，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
类型六 旋转构造全等三角形
旋转模型
通过辅助线利用旋转构造全等三角形解决问题
【例6-1】如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由见解析；（2）不变，理由见解析；（3）①BD＝AC，理由见解析；②能，60°或120°．
【分析】（1）延长BD交AC于F，根据“”判定，根据全等三角形的性质，即可求证；
（2）根据“”判定，根据全等三角形的性质，即可求证；
（3）①根据“”判定，根据全等三角形的性质，即可求证；②设与交于点，根据全等三角形的性质，即可求证．
【详解】（1）BD＝AC，BD⊥AC，
理由：延长BD交AC于F．
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在△BED和△AEC中
∴，
∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，
∵∠BED＝90°，
∴∠EBD+∠BDE＝90°，
∵∠BDE＝∠ADF，
∴∠ADF+∠CAE＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）
不发生变化，
理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，
∵∠DEC＝90°，
∴∠ACE+∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF＝90°，
∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（3）①∵∠BEA＝∠DEC＝90°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴BD＝AC，
②能．设与交于点，如下图：
理由：∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴∠BDE＝∠ACE，BD＝AC．
∴
，
即BD与AC所成的角的度数为60°或120°．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质．
【例6-2】Rt中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为△ABC外一点，且∠CEA＝45°．求证：AE⊥BE．
【答案】见分析
【分析】首先过点作交的延长线于，易证得，即可得，继而证得．
解：证明：过点作交的延长线于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线构造旋转全等模型．
针对练习6
1.正方形 ，点E为平面内一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到 ，连接，．已知点M为的中点，连接．
(1)如图1，①若点E为边边上一点，补全图形；
②判断并证明线段和的数量关系．
(2)如图2，若点E是的内部一点，（1）中线段和的数量关系是否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】(1)①见分析，②，见分析；(2)成立，见分析
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②用证明，可得，而，即知；
（2）延长到N，使，连接，由，可得，，即知，由绕点B顺时针旋转得到，有，，得，故，即得，故，从而．
解：（1）①补全图形，如图：
②．
∵四边形是正方形，
∴，，
∵将绕点B顺时针旋转90°得到，
∴F在上，，
∴，
∴，
∵M为斜辺的中点，
∴，
∴；
（2）（1）中线段和的数量关系仍然成立，证明如下：
延长到N，使，连接，如图：
∵M为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴
∵绕点B顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判断与性质，直角三角形斜边上的中线等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形。
2 .已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗 若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数；
【答案】(1)见解析
(2)①②；的度数会变化，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案；
（2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案；
②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出．
【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E，，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．
3 .在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点
（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）如图1，若AB＝4，则四边形AEDF的面积为 　　（直接写出结果）；
（3）如图2，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，则△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
【考点】四边形综合题．版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）4；
（3）仍为等腰直角三角形；理由见解答．
【思路引领】（1）题要通过构建全等三角形来求解．连接AD，可通过证△ADF和△BDE全等来求本题的结论．
（2）题可把将四边形AEDF的面积分成△ADF和ADE的面积和求解，由（1）证得△ADF和△BDE全等，因此四边形AEDF的面积可转化为△ABD的面积，由此得证．
（3）与（1）题的思路和解法一样．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点，
∴ADBD＝CD，
且AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
即：∠EDF＝90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．
（2）解：∵由（1）可知，△AFD≌△BED，
∴S△BDE＝S△ADF，
而S四边形AEDF＝S△AED+S△ADF＝S△AED+S△BDE＝S△ABD，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝2，
∴S四边形AEDF4．
故答案为：4．
（3）解：仍为等腰直角三角形．
理由：∵△AFD≌△BED，
∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE，
∵∠ADF+∠FDB＝90°，
∴∠BDE+∠FDB＝90°，
即：∠EDF＝90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．
【总结提升】本题综合考查了等腰三角形的性质及判定、全等三角形的判定和性质等知识，难度较大．
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