厦门市杏南中学 2023-2024学年学年上学期第三阶段测试卷
高二年 数学
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．二次函数 = 2 ≠ 0 的图像为抛物线，其准线方程为（ ）
A 1 1 ． = B． = C． = D． =
4 4 4 4
2．设平面 的法向量为(2, 4, )，平面 的法向量为(1, , 2)，若 ∥ ，则 + =（ ）
A．2 B．3 C． 2 D． 3
3．若圆 : 2 + 2 = 4 与圆 : 2 + 2 = 1 仅有一条公切线，则实数 a的值为（ ）
A．3 B．±1 C．±3 D．1
4．已知数列 为等差数列， 1 + 4 + 7 = 10， 2 + 5 + 8 = 30则 3 + 6 + 9 =（ ）
A．90 B．70 C．50 D．40
5．如图所示，在平行六面体 1 1 1 1中， = ， = ， 1 = ，M是 1 1
的中点，N是线段 1上的点，且 : 1 = 1: 4，用 ， ，
表示向量 的结果是（ ）
A 4． 4 3 B 1 1 4． +
5 5 10 5 5 5
C 1． 3 1 D 1． + +
5 10 5 2
2 26．已知双曲线 C： 2 2 = 1 > 0, > 0 的渐近线方程为 ± 2 = 0，且 C过点 4,1 ，
则 C的方程为（ ）
2 2 2 2 2 2
A 2 = 1 B ． ． = 1 C ． 2 = 1 D ． = 1
4 12 3 8 16 4
7．已知 a sin 60 ， b cos 60 ， 是 a、b的等差中项，正数 G是 a、 b的等比中项，
那么 a、 b、A、 G的从小到大的顺序关系是（ ）
A．b A G a B．b a G A C．b a A G D．b G A a
(高二数学试卷) 第 1 页 共 4 页
{#{QQABTQQQggCgAgAAARhCQQl4CkKQkACCCKoORBAAIAAAARFABAA=}#}
x2 y2
8．如图所示，已知 F1,F2是椭圆 : 1的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过 F4 3 2
作 F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为 Q，则点 Q的轨
迹方程为（ ）
x2 y2
A. x2 y2 4 B． 1
3 4
x2 y2
C． 1 D 2． y 4x
4 3
二、选择题多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，
有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分。
9．下列说法正确的是（ ）
x y
A．截距相等的直线都可以用方程 1表示
a a
B．方程mx y 2m 1 0 m R 能表示平行于 x轴的直线
C．经过点 P 1,1 ，倾斜角为 的直线方程为 y 1 tan x 1
D．经过两点 P1 x1 , y1 ,P2 x2 , y2 的直线方程为 y2 y1 x x1 x2 x1 y y1 0
10．下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．在数列 1， 2， 3，2， 5，…中，第 8个数可能是 2 2
B．数列 的通项公式为 = + 1 ，则 110是该数列的第 10项
C．数列 2021，0，4与数列 4，0， 2021是同一个数列
D．数列 3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 = 2 + 1
2 2
11 x y．已知双曲线C： 1和点 A 0,12 ， F1， F2分别为双曲线的左、右焦点， P为9 16
双曲线上在第一象限内的点，点 I 为△PF1F2的内心，则下列说法正确的是（ ）
S 5
A． PA PF
△IF F
25 B 1 21 的最小值为 ． S△PIF S 31 △PIF2
(高二数学试卷) 第 2 页 共 4 页
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3 2
C． S△IF F 0, 20 D．若 PF1 PF2 ， PI xPF1 yPF2 ，则 y x 1 2 2 9
12．已知数列 中， 1 = 1， 2 = 1， = 1 + 2（ ≥ 3， ∈ N ），则下列说法
正确的是（ ）
A． 3 + 6 = 4 + 5 B． 2 + +2 = 3
C． 1 + 3 + 5 + + 2021 = 2022 D． 2 + 4 + 6 + + 2020 = 2021
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
2 2
13.若点 是双曲线 : = 1 上一点， ， 分别为 的左、右焦点， = 9，则
4 12 1 2 1
2 = ．
14.已知空间向量 = 1,0,1 ， = 2,2,1 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是 ．
15 2 2 2．已知抛物线C：x 4y的焦点为 F，平行于 y轴的直线 l与圆 ：x y 1 1交
于 A，B两点（点 A在点 B的上方）， l与 C交于点 D，则 ADF 周长的取值范围
是 ．
x2 y2
16 2．抛物线C：y 2px( p 0)与椭圆 E： 2 2 1(a b 0)有相同的焦点 F，两条a b
曲线在第一象限内的交点为 A，直线 OA的斜率为 2，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（5+5=10分）
已知数列 是等差数列，且 2 = 25，2 3 + 5 = 50．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，求 及其最小值．
(高二数学试卷) 第 3 页 共 4 页
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18.（6+6=12分）
已知圆 过点 0,0 , 1, 7 和 8, 4 ．
(1)求圆 的方程；
(2)求与 垂直且被圆 截得弦长等于 的直线 的方程。
19.（6+6=12分）
已知四棱锥 M﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝
90°，MD⊥底面 ABCD，且 MD＝DC＝AD＝2AB＝2，P 是
MC的中点．
（1）证明：BP∥平面 MAD；
（2）求直线 MB与平面 DBP所成角的正弦值．
20.（5+7=12分）
平面上的动点 ( , )到定点 (0,1)的距离等于点 P到直线 = 1的距离，记动点 P的轨迹
为曲线 C.
(1)求曲线 C的方程；
(2)直线 : = + 与曲线 C相交于 A，B两点，线段 AB的中点为 M.是否存在这样的直
线 l，使得 ⊥ ，若存在，求实数 m的值，若不存在，请说明理由.
21.（6+6=12分）
已知数列 的前 项和为 ，满足 = 2 1 .
(1)求 ；
(2)将 中满足log4 = ∈ + 的第 项 取出，并按原顺序组成一个新的数列 ，
求 的前 20项和 20.
22.（4+8=12分）
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1 > > 0 的焦距为 4 3，且点 2, 3 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 、 、 是椭圆 上的三点，且直线 与 轴不垂直，点 为坐标原点， = +
，则当△ 的面积最大时，求 2 + 2的值.
(高二数学试卷) 第 4 页 共 4 页
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高二年 数学参考答案
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．二次函数 = 2 ≠ 0 的图像为抛物线，其准线方程为（ C ）
A． = 1 B = ． C． = 1 D． =
4 4 4 4
2．设平面 的法向量为(2, 4, )，平面 的法向量为(1, , 2)，若 ∥ ，则 + =（ A ）
A．2 B．3 C． 2 D． 3
3．若圆 : 2 + 2 = 4 2与圆 : 2 + = 1 仅有一条公切线，则实数 a的值为（ B ）
A．3 B．±1 C．±3 D．1
4．已知数列 为等差数列， 1 + 4 + 7 = 10， 2 + 5 + 8 = 30则 3 + 6 + 9 =（ C ）
A．90 B．70 C．50 D．40
5．如图所示，在平行六面体 1 1 1 1中， = ， = ， 1 =
，M是 1 1的中点，N是线段 1上的点，且 : 1 = 1: 4，用 ， ，
表示向量 的结果是（ A ）
A 4． 4 3 B 1 1． + 4 C 1． 3 1 D 1． + +
5 5 10 5 5 5 5 10 5 2
2 2
6 ．已知双曲线 C： 2 2 = 1 > 0, > 0 的渐近线方程为 ± 2 = 0，且 C过点 4,1 ，则
C的方程为（ B ）
A
2 2 2 2 2 2
． 2 = 1 B． = 1 C． 2 = 1 D ． = 1
4 12 3 8 16 4
7．已知 a sin 60 ， b cos 60 ， 是 a、b的等差中项，正数 G是 a、 b的等比中项，
那么 a、 b、A、 G的从小到大的顺序关系是（ D ）
A．b A G a B．b a G A C．b a A G D．b G A a
2 2
8． 如图所示，已知 F1,F
x y
2是椭圆 : 1的左右焦点，P是椭圆4 3
上任意一点，过 F2作 F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为 Q，则
点 Q的轨迹方程为（ A ）
x2 y2 x2 y2
A. x2 y2 4 B． 1 C 2． 1 D．y 4x
3 4 4 3
二、选择题多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，
有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分。
(高二数学试卷) 第 1 页 共 6 页
{#{QQABTQQQggCgAgAAARhCQQl4CkKQkACCCKoORBAAIAAAARFABAA=}#}
9．下列说法正确的是（ BD ）
x y
A．截距相等的直线都可以用方程 1表示
a a
B．方程mx y 2m 1 0 m R 能表示平行于 x轴的直线
C．经过点 P 1,1 ，倾斜角为 的直线方程为 y 1 tan x 1
D．经过两点P1 x1 , y1 ,P2 x2 , y2 的直线方程为 y2 y1 x x1 x2 x1 y y1 0
10．下列有关数列的说法正确的是（ ABD ）
A．在数列 1， 2， 3，2， 5，…中，第 8 个数可能是 2 2
B．数列 的通项公式为 = + 1 ，则 110 是该数列的第 10 项
C．数列 2021，0，4 与数列 4，0， 2021是同一个数列
D．数列 3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 = 2 + 1
x2 y211．已知双曲线C： 1和点 A 0,12 ，F1， F2分别为双曲线的左、右焦点， P为双9 16
曲线上在第一象限内的点，点 I 为△PF1F2的内心，则下列说法正确的是（ BC ）
S
PA PF △IF F
5
A． 1 的最小值为 25 B
1 2
． S△PIF S1 △PIF 32
3 S 0, 20 2C． △IF F D．若 PF1 PF2 ，PI xPF1 yPF2 ，则 y x 1 2 2 9
12．已知数列 中， 1 = 1， 2 = 1， = 1 + 2（ ≥ 3， ∈ N ），则下列说法正
确的是（ BC ）
A． 3 + 6 = 4 + 5 B． 2 + +2 = 3
C． 1 + 3 + 5 + + 2021 = 2022 D． 2 + 4 + 6 + + 2020 = 2021
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
2 2
13. 若点 是双曲线 : = 1 上一点， 1， 2分别为 的左、右焦点， = 9，则 =4 12 1 2
5 或 13 ．
14.；已知空间向量 = 1,0,1 ， = 2,2,1 ，则向量 2 2 1在向量 上的投影向量的坐标是 , ,
3 3 3
．答案
15 2．已知抛物线C：x2 4y 2的焦点为 F，平行于 y轴的直线 l与圆 ：x y 1 1交于
A，B两点（点 A在点 B的上方），l与 C交于点 D，则 ADF 周长的取值范围是 （3,4） ．
(高二数学试卷) 第 2 页 共 6 页
{#{QQABTQQQggCgAgAAARhCQQl4CkKQkACCCKoORBAAIAAAARFABAA=}#}
x22 y216．抛物线C：y 2px( p 0)与椭圆 E： 2 2 1(a b 0)有相同的焦点 F，两条曲a b
线在第一象限内的交点为 A，直线 OA的斜率为 2，则椭圆的离心率为 2 1 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（5+5=10分）
已知数列 是等差数列，且 2 = 25，2 3 + 5 = 50．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，求 及其最小值．
= + = 25
【详解】（1）设 的公差为 ，则
2 1
2 3 + 5 = 2 1 + 2 + 1 + 4 = 50
，
1 = 30解得 = 5 ，
所以 = 1 + 1 = 5 35．
2 1 = 30+5 35 = 5 13
2
845（ ）由（ ）可得 ，2 2 2 8
所以当 = 6 或 = 7 时， 取得最小值，最小值为 105．
18.（6+6=12分）已知圆 过点 0,0 , 1, 7 和 8, 4 ．
(1)求圆 的方程；
(2)求与 垂直且被圆 截得弦长等于 的直线 的方程．
【详解】（1）设圆的一般方程为： 2 + 2 + + + = 0，
分别代入点 0,0 , 1, 7 和 8, 4 .
= 0 = 0
1 + 49 7 + = 0 ，解得 = 6 ,
64 + 16 + 8 4 + = 0 = 8
故圆的方程为： 2 + 2 6 + 8 = 0.
（2）因为 1, 7 、 8, 4
所以直线 的方程为： 3 20 = 0，
故设直线 的方程为：3 + + = 0.
由题意可知，圆心 3, 4 ，被圆 截得弦长等于
3 3× 4 20 = 3×3 1× 4 + 则可知到直线 与直线 的距离相等，故有 ，
2
1+ 3 2 1+3
解得 = 0 或 = 10，所以直线 的方程：3 + = 0 或 3 + 10 = 0
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19.（6+6=12分）
已知四棱锥 M﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，MD
⊥底面 ABCD，且 MD＝DC＝AD＝2AB＝2，P是 MC的中点．
（1）证明：BP∥平面 MAD；
（2）求直线 MB与平面 DBP所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图所示，以点 D为坐标原点，建立空间直角
坐标系，
则 B（2，1，0），P（0，1，1），则直线 BP的方向向量 ，
平面 MAD的一个法向量为 y轴的单位向量 ，
由于 ，故 BP∥平面 MAD；
（2）由于 M（0，0，2），B（2，1，0），则直线 BM 的方向向量
，
由于 D（0，0，0），B（2，1，0），P（0，1，1），设平面 BDP的法
向量 ，
则 ，据此可得 ，
故直线 MB与平面 DBP所成角的正弦值为： ．
20.（5+7=12分）平面上的动点 ( , )到定点 (0,1)的距离等于点 P到直线 = 1的距离，
记动点 P的轨迹为曲线 C.
(1)求曲线 C的方程；
(2)直线 : = + 与曲线 C相交于 A，B两点，线段 AB的中点为 M.是否存在这样的直线 l，
使得 ⊥ ，若存在，求实数 m的值，若不存在，请说明理由.
【详解】（1）由题意，动点 P的轨迹是以 (0,1)为焦点， = 1
为准线的抛物线，故 = 2，
所以曲线 C的方程为 2 = 4 .
2
（2）设 ( 1, 1), ( 2, 2), (
= 4 2
0, 0)，联立 = + ，得 4
4 = 0，
且Δ = 16 + 16 > 0，则 > 1，故 1 + 2 = 4, 1 2 = 4 ，所
以 1 + 2 = 4 + 2 ，
所以 (2,2 + )，又 ⊥ +1，即 × 1 = 1 = 3，不满足 > 1，
2
所以不存在满足要求的直线 l.
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21.（6+6=12分）
已知数列 的前 项和为 ，满足 = 2 1 .
(1)求 ；
(2)将 中满足log4 = ∈ + 的第 项 取出，并按原顺序组成一个新的数列 ，
求 的前 20 项和 20.
21.【详解】（1）因为数列 满足 = 2 1 ①，
当 = 1 时， 1 = 2 1 1 ，解得 1 = 2；
当 ≥ 2时， 1 = 2 1 1 ，②
①-②得 = 2 1 2 1 1 ，即 = 2 1
因 1 = 2，所以 > 0，从而 = 2， 1
所以数列 是以 1 = 2 为首项， = 2 为公比的等比数列.
所以 = 1 1 = 2 .故数列 的通项公式为 = 2 .
（2）根据题意可知log42 = ，故 = 2 ， ∈ +，所以取出的项就是原数列的偶数项，
4× 1 4
20 4
所以 20 是以 4 为首项，4 为公比的等比数列，所以 20 = = 4 1 .1 4 3
22.（4+8=12分）
2 2
已知椭圆 ：
2
+ = 1 > > 0 的焦距为 4 3，且点 2, 3 在椭圆 上.
2
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 、 、 是椭圆 上的三点，且直线 与 轴不垂直，点 为坐标原点， = + ，
则当△ 的面积最大时，求 2 + 2的值.
2 = 4 3 2 = 16
4 3
【详解】（1）由题意得， 2 + 2 = 1 ，解之得 2 = 4 ，
2 2 = 2 = 2 3
2 2
故椭圆 的方程为 + = 1；
16 4
（2） 设 1, 1 ， 2, 2 ， 0, 0 ，直线 的方程为 = + .
2 2
将 = + 代入 + = 1，整理得 1 + 4 2 2 + 8 + 4 2 16 = 0，
16 4
Δ = (8 )2 4 1 + 4 2 4 2 16 > 0，即 16 2 + 4 2 > 0，
2
则 + = 8 4 161 2 2， = ，1+4 1 2 1+4 2
2 2
故 = 1 + 2 1 22 = 1 + 1 +
2 4 = 1 + 2 4 16 +42 1 2 .1+4 2
又原点 到直线 的距离为 = ，
1+ 2
1 1 4 16 2 2+4
所以 △ = × = 1 + 2 2 2 1+4 2 1+ 2
= 2 16
2 2+4 2 ≤ 16
2+4
2 = 4，1+4 1+4 2
当且仅当 16 2 2 + 4 = 2，即 2 + 8 2 = 2（*）时，等号成立.
= + 0 = 由 ，得 1
+ 2,
0 = 1 +
，
2
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{#{QQABTQQQggCgAgAAARhCQQl4CkKQkACCCKoORBAAIAAAARFABAA=}#}
2 2 2 2 2 2
代入 0 + 0 = 1，整理得 2 1 + 1 + 2 2 + 2 + 2 1 2 + 1 2 = 1，
16 4 16 4 16 4 16 4
即 2 + 2 + 2 1 2 + 1 2 = 1（**）.
16 4
1 2 2而 2 + 1 2 = 1 2 + 1+ 2+ = 1+4 1 2+4 1+ 2 +4
16 4 16 4 16
2
1+4 2 ×4 16+4 × 8 +4 2 2 2
= 1+4 2 1+4 2 = 2 8 ，
16 2 1+4 2
由（*）可知 1 2 + 1 2 = 0，代入（**）式得 2 + 2 = 1.
16 4
故 2 + 2 = 1 的值为 1.
(高二数学试卷) 第 6 页 共 6 页
{#{QQABTQQQggCgAgAAARhCQQl4CkKQkACCCKoORBAAIAAAARFABAA=}#}
