2015年中考数学易错题赏析：(六)三角形（2）

（六）三角形（2）
易错题赏析
易错点8：直角三角形的性质与判定，特别注意的两条性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
易错题9：如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，则CH的长为……………………………………………………………（ ）
A.2.5 B. C. D.2
错解：D
正解：B
赏析：本题由于不能准确找到直角三角形并利用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的性质而造成错解.21·cn·jy·com
正确的解法是：如图，连接AC、CF，∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴由勾股定理或三角函数可得AC＝，CF＝3，又∵∠ACD＝∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF＝＝＝2，又∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝.不善于添加辅助线来求解问题也是造成错解的主要原因之一.2·1·c·n·j·y
易错点9：勾股定理及其逆定理的综合应用，在运用勾股定理及其逆定理计算或证明有关问题时面积法的运用.
易错题10：如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为_______________.【来源：21·世纪·教育·网】
错解：3
正解：3或
赏析：本题只考虑了∠B′EC＝90°的一种情况而造成错解.
本题应分三种情况讨论求解：当∠B′EC＝90°时，如图1，∴∠BEB′＝90°，又由折叠可得∠BEA＝∠B′EA,∴∠BEA＝∠B′EA＝45°，∴△ABE、△AB′E均为等腰直角三角形，∴四边形ABEB′为正方形，点B′落在AD上，∴BE＝3；当∠EB′C＝90°时，如图2，∵由折叠可得∠B＝∠AB′E＝90°，∴点B′恰好落在AC上，∴AB＝AB′＝3，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝5，∴CB′＝AC－AB′＝5－3＝2，由折叠得BE＝B′E,设BE＝B′E＝x，则EC＝BC－BE＝4－x，在Rt△EB′C中，由勾股定理得x2＋22＝(4－x)2，解得x＝＝BE；当∠ECB′＝90°时，则点B′落在CD上，则∠BCA＝∠B′CA＝45°，这与已知四边形ABCD为矩形相矛盾，∴此种情况不存在.故BE的长为3或.21·世纪*教育网

易错点11：锐角三角函数的定义以及运用特殊角的三角函数值的计算易出错.
易错题12：如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB于点D.已知cos∠ACD＝，BC＝4，则AC的长为…………………………………（ ）
A.1 B. C.3 D.
错解：B
正解：D
赏析：本题主要对锐角的三种三角函数正弦、余弦及正切的概念理解不清造成错解.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则sinA＝，cosA＝，tanA＝.www-2-1-cnjy-com
本题正确的解法是：∵AB是半圆⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴cos∠ACD＝cos∠B＝,在Rt△ABC中，cos∠B＝，∴＝，解得AB＝，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝.（也可用∠B的正弦或正切求解）
易错点12：解直角三角形的应用，特别要注意通过作辅助线将图形转化为直角三角形的方法.
易错题13：为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米，宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出_______个这样的停车位.（＝1.4）2-1-c-n-j-y
错解：18
正解：17
赏析：本题可能对题意没有理解清楚，不知怎样求每个车位所占路段长而导致错解，也可能是计算出错导致错解.　　21*cnjy*com
正确的解法是：首先计算右侧第一个车位所占路段长：如图1，由题意，得△ACB、△EDB均为等腰直角三角形，在△EDB中，cos∠EBD＝,∴BD＝BE cos∠EBD＝2.2×＝1.1×1.4＝1.54，同理，CB＝AB cos∠ABC＝5×＝2.5×1.4＝3.5，∴CD＝CB＋BD＝1.54＋3.5＝5.04（米），即第一个车位所占路段长；再计算每增加一个车位所需路段长：如图2，由题意，得△ABC为等腰直角三角形，∵cos∠CAB＝,∴AB＝＝2.2×＝2.2×1.4＝3.08（米），即每增加一个车位所需路段长；接下来，可设可以划出x个车位，由题意，得5.04＋3.08(x－1)≤56，解得x≤≈17.5，∵x取最大整数，∴x＝17.注意：本题结果取近似值时应采用去尾法，只舍不入，这也是造成本题错解的可能原因之一.【来源：21cnj*y.co*m】
易错点13：相似三角形的性质，三角形相似的判定.
易错题14：如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，其内部放置边长分别为3,4，x的三个正方形，则x的值为…………………………………………………………………（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
错解：A
正解：C
赏析：本题图形中，相似三角形比较多，由于不能准确找出哪两个相似三角形来求解，从而造成错解.
本题应找出能够用3,4，x或含x的式子表示出三边的两个相似三角形，然后利用相似三角形的性质来求解，如图，∵∠C＝90°，∴∠CFG＋∠CGF＝90°，又∵∠EFG＝90°，∴∠DFE＋∠CFG＝90°，∴∠DFE＝∠CGF，又∵FG∥HM，∴∠CGF＝∠GMH，∴∠DFE＝∠GMH，又∵∠DEG＝∠GHM＝90°，∴△DFE∽△GMH，∴,∵DE＝3，GH＝x－4，FE＝x－3，MH＝4，∴，化简得x2－7x＝0，∴x1＝0，x2＝7，∵x＞0，∴x＝7.21世纪教育网版权所有
易错点14：相似三角形面积之比等于相似比的平方.
易错题15：如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则＝_______.
错解：
正解：
赏析：本题可能以为相似三角形的面积之比等于相似比而造成错解，相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
正确的解法应是：∵S△ADE＝S四边形DBCE，∴设S△ADE＝x，则S四边形DBCE＝x，∴S△ABC＝x＋x＝2x，∴，又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴.【出处：21教育名师】
易错点15：相似与全等的综合运用；相似与锐角三角函数的综合运用.
易错题16：如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为AB上一点，AE＝1，M为射线AD上一动点，AM＝a(a为大于0的常数)，直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于点G.【版权所有：21教育】
（1）若M为边AD的中点，求证：△EFG是等腰三角形；
（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；
（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值.
错解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠MDF＝90°，∵M为边AD的中点，∴MA＝MD，在△MAE和△MDF中，∵,∴△MAE≌△MDF（AAS），∴EM＝FM，又∵MG⊥EM，∴EG＝FG，∴△EFG是等腰三角形；
（2）解：如图2，∵AB＝3，AD＝4，AE＝1，AM＝a，∴BE＝AB－AE＝3－1＝2，BC＝AD＝4，在Rt△EAM中，∵EM2＝AE2＋AM2，∴EM2＝1＋a2，在Rt△EBC中，∵EC2＝BE2＋BC2，∴EC2＝22＋42＝4＋16＝20. 在Rt△EMC中，∵EM2＝EC2＋EM2，∴CM2＝20＋(1＋a2)＝20＋1＋a2＝21＋a2，∴CM＝.∵点G与点C重合，∴GM＝.
（3）如图3，∵AB＝3，AD＝4，AE＝1，AM＝a，∴MD＝AD－AM＝4－a，在Rt△EAM中，∵EM2＝AE2＋AM2，∴EM＝.∵∠A＝∠MDF＝90°，∠AME＝∠DMF，∴△MAE∽△MDF，∴,∴,∴FM＝，∴EF＝EM+FM＝+＝.由（2）得，MG＝，∴△EFG的面积S＝×EF×MG＝××＝，∴当a＝2时，S最小，为S＝＝. 21教育名师原创作品

正解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠MDF＝90°，
∵M为边AD的中点，
∴MA＝MD，
在△MAE和△MDF中，∵,
∴△MAE≌△MDF（ASA），
∴EM＝FM，
又∵MG⊥EM，
∴EG＝FG，
∴△EFG是等腰三角形；
（2）解：如图2，∵AB＝3，AD＝4，AE＝1，AM＝a，
∴BE＝AB－AE＝3－1＝2，BC＝AD＝4，
在Rt△EAM中，∵EM2＝AE2＋AM2，
∴EM2＝1＋a2，
在Rt△EBC中，∵EC2＝BE2＋BC2，
∴EC2＝22＋42＝4＋16＝20.
在Rt△EMC中，∵EM2＝EC2－EM2，
∴CM2＝20－(1＋a2)＝20－1－a2＝19－a2，
∴CM＝.
∵点G与点C重合，
∴GM＝.
（3）如图4，过点M作MN⊥BC于点N，
∵AB＝3，AD＝4，AE＝1，AM＝a，
∴MD＝AD－AM＝4－a，
在Rt△EAM中，∵EM2＝AE2＋AM2，
∴EM＝.
∵∠A＝∠MDF＝90°，∠AME＝∠DMF，
∴△MAE∽△MDF，
∴,
∴,
∴FM＝，
∴EF＝EM+FM＝+＝.
∵AD∥BC，
∴∠MGN＝∠DMG，
∵∠AME＋∠AEM＝90°，∠AME＋∠DMG＝90°，
∴∠AEM＝∠DMG，
∴∠MGN＝∠AEM，
∵∠MNG＝∠MAE＝90°，
∴△MNG∽△MAE，
∴,
∴,
∴MG＝，
∴△EFG的面积S＝×EF×MG＝××＝，
∵a2越大，S就越小，且S为最小整数值，
∴当a2＝6，即a＝时，S有最小整数值，为S＝1＋6＝7.
赏析：第一小题错在对全等的两种判定方法ASA和AAS没有分清楚，第二小题错在第三次运用勾股定理时出现了错误，第三小题错在把第二小题的结论拿到这里来用，因为条件变了，不能拿来用，应另求高MG的值.本题综合了全等三角形，等腰三角形，直角三角形和相似三角形的有关内容，且涉及函数的最值问题，是一道非常好的三角形综合题，需要同学们具有较高的分析问题、解决问题的能力.www.21-cn-jy.com
易错练
1. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB，若DG=3，EC=1，则DE的长为……………………（ ）
A.2 B.2 C. D.

2.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为15米，斜面坡度为1︰3，则斜坡AB的长为…………………………………………………………………………………………（ ）
A.5米 B.5米 C.10米 D.30米
3.如图，在□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEF＝1，则S四边形ABFE＝________________.21cnjy.com
4.小明坐于堤边垂钓，河堤AC的坡角为30°，AC长米.钓竿AO的倾斜角是60°，其长度为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离.
5.在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上.21教育网
（1）如图1，AC︰AB＝1︰2，EF⊥CB于点F.求证：EF＝CD.
（2）如图2，AC︰AB＝1︰，EF⊥CE于点E.求EF︰EG的值.

参考答案
2.C 解析：过点B作BE⊥AD于点E，
由题意得AE＝15，,解得BE＝5，
∴在Rt△AEB中，由勾股定理得AB＝(米).
∵S△DEF＝1，
∴S△CBF＝4，
又∵，
∴S△CDF＝2，
∴S△BCD＝S△CBF＋S△CDF＝2＋4＝6，
∴S△ADB＝S△BCD＝6，
∴S四边形ABFE＝S△ADB－S△DEF＝6－1＝5.
4.解：延长OA交BC于点D，
∵AO的倾斜角是60°，
∴∠ODB＝60°，
∵∠ACD＝30°，
∴∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°.
5.解：（1）证明：∵AC︰AB＝1︰2，点E为AB的中点，
∴AC＝BE.
∵∠CAB＝90°，AD⊥BC，
∴∠B＝∠DAC.
∵AD⊥BC，EF⊥CB，
∴∠ADC＝∠EFB＝90°，
∴△EFB≌△CDA，
∴EF＝CD.
（2）解：如图3，过点E作EM⊥BD于点M，EN⊥AD于点N.
∵AD⊥BC，
∴四边形DNEM为矩形，∴∠NEM＝90°.
又EF⊥CE，∴∠NEG＝∠MEF，∵∠ENG＝∠EMF＝90°，
∴△EMF∽△ENG，∴.
∵AD⊥BC，∴tan∠B＝,∵AC︰AB＝1︰，
∴tan∠B＝1︰＝，∴∠B＝30°，∴∠NAE＝60°，
∴sin∠NAE＝,∴EN＝AE，