1.2.1任意角的三角函数(1) 教案

『高中数学·必修4』人教A版·数学4_§1.2.1任意角的三角函数（1）
课题：§1.2.1 任意角的三角函数（1）
一．教学任务分析:
1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦，余弦，正切）的定义;
2. 能利用任意角的正弦、余弦、正切的定义求三角函数值;
3.初步应用定义分析和解决与三角函数有关的一些简单问题.
二．教学重点与难点：
教学重点：任意角的三角函数（正弦，余弦，正切）的定义.
教学难点：用单位圆上的点的坐标刻画三角函数.
三．教学基本流程:
锐角三角函数的定义(直角三角形中定义三角函数,直角坐标系终边上点的坐标表示锐角三角函数,在直角坐标系在锐角三角函数)
↓
在直角坐标系中利用单位圆定义任意角的三角函数
↓
利用定义求角的三角函数值
↓
巩固练习，小结,作业
四.教学情境设计:
1．创设情景，揭示课题
在初中我们学习了锐角三角函数,那么锐角三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦，余弦，正切依次为： ．
锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数
思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义.
你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗
如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.
则;
;
.
思考2：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？为什么
根据相似三角形的知识，对于确定的角，三个比值不以点P在的终边上的位置的改变而改变大小.
我们可以将点P取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
;
;
.
单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.
上述P点就是的终边与单位圆的交点, 锐角的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.
2.任意角的三角函数的定义
结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢
显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.
如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦(sine),记做,
即 ；
（2）叫做的余弦(cossine),记做,
即；
（3）叫做的正切(tangent),记做,
即.
思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么 对应关系有什么特点,函数值是什么
说明:(1)当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以与无意义,除此情况外，对于确定的值，上述三各值都是唯一确定的实数.
(2)当是锐角时，此定义与初中定义相同；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.
(3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.
3.利用定义求角的三角函数值
例1.求的正弦,余弦和正切值.
例2．已知角的终边过点，求角的正弦,余弦和正切值.
学生思考解答
4.课堂练习:
课本P17练习1，2，3。
5.课外作业：
<随堂导练>P5-6.
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