第2章轴对称图形 期末复习解答题专题提升训练（含答案) 2023—2024学年苏科版八年级数学上册

2023-2024学年苏科版八年级数学上册《第2章轴对称图形》
期末复习解答题专题提升训练（附答案）
1．已知，如图，是的角平分线，、分别是和的高．求证：垂直平分．

2．如图，在中，，平分，垂直平分，交的延长线于点，于点，求证：．
3．如图，中，，点分别在边上，，与互为补角，连接．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
4．如图，在中，为边上的中线，为上的一点，交于点，已知，求证：．

5．如图，在中，平分交于点E，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的大小．
6．已知：如图，在中，，点D在上，且．

(1)求证：；
(2)若，求∠C的度数．
7．如图，已知是平分线上的一点，，，垂足分别是点，，与交于点．

求证：
(1)；
(2)是的垂直平分线．
8．如图，在中，是上的一点，，过点作的垂线交于点交于点．

(1)求证：垂直平分；
(2)若点是的中点，求证：是等边三角形．
9．已知：如图中，，，，．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
10．如图，点D，E，F，在等边的边上，并且．

(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
11．如图，在中，为角平分线，，，垂足为E，点F在边上，且．

(1)求证；
(2)连接，求证垂直平分；
(3)若，，求的长．
12．如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点D，，垂足分别为点E、F．

(1)求证：；
(2)求证：．
13．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．

(1)求证：平分；
(2)若，求的面积．
14．如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)求的大小；
(3)求证：．
15．如图1，中，于点，以为直角顶点，分别以、为直角边，向外作等腰和等腰，过点，作射线的垂线，垂足分别为、．

(1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若连接交的延长线于，由（1）中的结论你能判断与的大小关系吗？并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，．请直接写出______．
16．如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点H．
(1)求证：；
(2)求的大小；
(3)连接，求证：平分．
17．如图，点D是线段的中点，，点P是线段上的一点，射线交边于点E，于点H，过B作于点F．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
18．（1）如图1， ，点D在上，且，求的大小；

（2）如图2，是的角平分线，于E，于F，连接交于点H．
①求证：垂直平分线段；
②若的面积为8，，，求的长．
19．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．

(1)如图①，若是等边三角形，且，点在线段上．
①求证：；
②当四边形的周长取最小值时，求的长．
(2)若，当点在线段的延长线上移动时，如图②，则和之间有怎样的数量关系？并说明理由．
20．在中，，点是射线上的一动点不与点、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接．

(1)如图，当点在线段上，且时，证明；
(2)设，．
①如图，当点在线段上，时，请你直接写出与之间的数量关系；（无需证明）
②如图，当点在线段的延长线上，时，请将图补充完整，写出此时与之间的数量关系并证明．
参考答案
1．证明：设、的交点为，
平分，，，
．
，，
，
在和中，
，
，
．
是的角平分线，
，，
是线段的垂直平分线．
2．证明：连接和，
是的垂直平分线，
，
平分，，
，，
在和中，
，
，
．
3．解:（1）如图，证明：过点作于点
∴，
∵，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴点在的平分线上，
∴平分
（2）由（）得：，，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴．
4．证明：延长到，使得，连接，

在和中 ，
，
∴，
∴ 且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
5．（1）证明：∵平分，
，
∵，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：∵，
，
，
∵，
．
6．（1）证明：∵，
∴，
∴，
，
∴，
，
∴；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
解得：，
．
7．解:（1）理由：是的平分线，
且，，
，
；
（2）是的垂直平分线．
理由：，
在和中，
，
，
，
由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点，
从而是线段的垂直平分线．
8．（1）证明：，且，
，
在和中，
，
∴，
，
，
是等腰三角形，
，，
垂直平分．
（2）证明：是的中点，，
，
又，
，
是等边三角形．
9．（1）证明：，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2） ，，，
，
，，
，
．
10．（1）证明：∵是等边三角形,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴是等边三角形；
（2）由（1）可知：是等边三角形，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
在中
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
∴．
11．（1）证明：∵为角平分线，，，
∴，．
在与中，
∴，
∴；
（2）如图，

由（1）知，．
在与中，
∴，
∴，
∵，，
∴点A，D都在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分；
（3）解：由（1）、（2）可知，，
∵，
∴，
∴，解得，
即的长为5．
12．（1）证明：连接，

垂直平分，
，
平分，，
，
在和中，
，
∴，
；
（2）证明：在和中，
，
∴，
，
，
，
．
13．（1）证明：如图，过点E作于G，于H，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
14．（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，由（1）可得
∴，
由三角形的外角性质得：
，
∴；

（3）证明：作于G，于H，如图所示：

∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．
15．（1）解：，证明如下：
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴；
（2）结论：，证明如下：
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）∵，，，
∴，，，
∴
．
故答案为：60．
16．解：（1）∵与均为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即
∴
∴；
（2）设与交于点B，
∵
∴
又∵
∴；
；
（3）如图所示，连接，过点D作，，
∵，，
∴
∴平分．
17．（1）证明：∵点D是线段的中点，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
18．解：（1）设，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）①∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分线段．
②∵的面积为8，，，，
∴的面积的面积，
∴，
∴，
解得：，
∴的长为2．
19．（1）①证明：是等边三角形，
，
，
，
又，，
，
．
;
②解：，
，
四边形的周长，
当最短时，四边形的周长最小，
即时，周长最小，
，
，
（2）解：，理由如下：
如图2，记，的交点为，

，
．
又，，
．
，
，
．
，，
．
20．（1）证明：∵，，
∴
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）同理可得，
∴，即，
∵，
∴；
②和（1）同理可得，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴．