第23章旋转 解答题题型分类专题训练（含答案） 2023-2024学年人教版九年级数学上册

2023-2024学年人教版九年级数学上册《第23章旋转》
解答题题型分类专题训练（附答案）
一、作图题
1．如图，三个顶点的坐标分别为，，．画出关于原点成中心对称的，并写出点、的坐标．
2．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上．
(1)画出关于原点对称的；
(2)画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标；
(3)若点为轴上一点，则的最小值为____________．
3．如图，是等边三角形，点E是边上的动点，将线段绕点E顺时针方向旋转得到线段，连接．
【问题解决】
(1)在图中画出线段、；
【问题探究】
(2)试探究的大小；
【拓展延伸】
(3)若等边三角形的边长为1，在点E从点B到点C的运动过程中，试探究点F的运动路径并求出其长度．
二、计算题
4．图，将绕点A逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，求的长．

5．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，且点落在边上，连接，若，求的度数．

6．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接．

(1)若，求的度数；
(2)若,，求的长．
7．（1）【问题原型】小伟遇到这样一个问题：如图①，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数．小伟是这样思考的：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你计算图①中的度数．
（2）【类比迁移】如图②，在正方形内有一点，且，，．的度数．
8．（1）数学兴趣小组同学将制作的和摆放成如图①所示的位置，且，，则AD和BE的数量关系为______；
（2）如图②，在中，，将线段CA绕点C顺时针旋转（），得到线段CD，连接AD、BD．小组同学发现无论为何值，的大小不变，请你计算这个定值，并写出计算过程；
（3）在第（2）问的基础上，在图③中作的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连接BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系；并证明．
三、问答题
9．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点．求出的度数和的长．

10．如图，在中，，以为边作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，．求：
(1)的度数；
(2)的长．
11．（1）如图1，在正方形中，点，分别在边， 上，若，则，，之间的数量关系为：　　；
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，，是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系．

12．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1，在正方形中，点F是上的一点，将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上，则四边形 “直等补”四边形；（填“是”或“不是”）
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，过点C作于点F．试探究线段，和的数量关系，并说明理由；
13．在，，，，将绕着点顺时针旋转得到．

(1)如图1，当点落在边上时，旋转角__________．
(2)如图2，当点与在同一条直线上时，求点，之间的距离．
(3)如图3，当点落在边上时，，分别是，的中点，求的长度．
14．如图1，在中，，，点为边上的一点，将绕点逆时针旋转 得到，易得，连接．
(1)求的度数；
(2)当，时，求、的长；
(3)如图2，取中点，连接，交于点，试探究线段、的数量关系和位置关系，并说明理由．
15．阅读：在同一个三角形中，如果两条边相等，那么它们所对的角也相等，简称“等边对等角”；反之，如果两个角相等，那么它们所对的两条边相等，简称“等角对等边”．
例如：如图，在中，

①若，依据“等边对等角”可得；
②若，依据“等角对等边”可得；
运用上述知识，解决问题：在中，，将绕点A逆时针旋转到（其中点B、C的对应点分别是点D、E）．
(1)如图1，当点C在上时，若，则的度数为______；
(2)如图2，当点E在的延长线上时，延长交于点F，若，，，求的长；
(3)如图3，连结交直线于点G，试探究在旋转过程中，直线是否一定平分？请说明理由．
四、证明题
16．如图，过等边的顶点A作的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接，将线段绕点C逆时针方向旋转得到线段，连接．

(1)求证：；
(2)连接并延长交直线于点D，若．
①试猜想和的数量关系，并证明；
②若，求的长．
17．如图1，在中，，D、E是边上的两点，且满足，以点B为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，若，其他条件不变，探究之间的关系，并证明．
18．点分别是等边三角形的边和上的点，且，连接．

(1)如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证：
①为等边三角形；
②．
(2)如图2，若，设为的中点，连接，求．
19．（1）【探究】如图1，正方形中，、分别在边上，且．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．
求证：．
（2）【拓展】如图2，在四边形中，cm，，， 以为顶点的，、与、边分别交于、两点且，求五边形的周长．

20．我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

【阅读材料】（1）如图2，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是______；
【问题探索】（2）如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图1中与的数量关系，并给予证明；
【拓展运用】（3）如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，若，，试求解的取值范围．
参考答案
1．解：如图所示，即为所求，
点，的坐标分别为，．
2．解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求， ．
（3）作点关于轴的对称点'，连接，交轴于点，连接，

则的最小值为
故答案为：．
3．（1）解：根据旋转的性质得，
如图，线段、即为所求．
（2）在上截取，连接，
∵是等边三角形，线段绕点E顺时针方向旋转得到线段，
，，
，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
．
（3）是等边三角形，
，
，
延长至H，
，
，
∴点F在的平分线上，
∴点F运动路径在外角的平分线上，起点为点C，运动路径长度为．
4．解：∵将绕点A逆时针旋转得到，点和点是对应点，
∴，，
．
5．解：∵，，
∴．
由旋转得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
6．解：（1）在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，
∴；
（2）∵，,，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴在中，．
7．解：（1）【问题原型】将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、，
∴，
∴，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，，
∴，
∴；
（2）【类比迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到，
∴，
∴，，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，，
∴，
∴；
8．解：（1）AD=BE，理由如下：
∵在和中，，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠DCE-∠DCB=∠ACB-∠DCB，即∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE；
（2），过程如下：
由旋转的性质可得，
∵AC=BC，
∴AC=BC=CD，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
如图所示，将△ACE绕点C旋转90度得到△BCM，设，
由（2）得BC=CD，
∴∠EAC=∠MBC，∠ECM=90°，EC=CM，AE=BM，
∵CE平分∠BCD，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，∠EFD=∠EFB=90°，BF=DF，
∵EF=EF，
∴△BFE≌△DFE（SAS）
∵∠ADB=45°，
∴∠EBF=∠EDF=∠BEF=∠DEF=45°，
∴EF=BF=DF，∠BED=90°，
∵∠BEA+∠EAC+∠ACB+∠EBC=360°，
∴∠EAC+∠EBC=180°，
∴∠EBC+∠MBC=180°，即E、B、M三点共线，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
9．解：由图可知，旋转中心为点A，
∵，，
∴，
∵逆时针旋转一定角度后与重合，
∴，，，
∴，
∵点C恰好成为的中点，
∴，
∴．
10．（1）解：由题知：，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴、、在一条直线上，
∴是等边三角形，
∴．
（2）解：∵、、在一条直线上，
∴，
∵绕着点按顺时针方向旋转后得到，
∴，
∴．
11．解：（1），理由如下：
如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，
，
，，，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
；
故答案为：；
（2），理由如下：
是等腰直角三角形，，
，
如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，
，
，，，，

，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
12．解：（1）∵将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴四边形是“直等补”四边形．
故答案为：是
（2）∵四边形是“直等补”四边形，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
13．（1）解：∵，，
∴，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由旋转可知，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
即点，之间的距离为；
（3）连接，

∵，分别是，的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
14．（1）证明：由旋转可知，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，．
由旋转，可知，，
∴，
∴．
过作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）与有如下关系：，．理由如下：
如图，延长到点，使，
∵点为的中点，
∴．
∵，
∴．
∴，，
∴，
∴．
由（1）知，
∴．
又由旋转知，
∴，
∴，，
∴，
∴．
15．解：（1）∵，，
∴．
∵由旋转的性质得，
∴．
∴，
∴．
故答案为：；
（2）如图2，连接，由旋转性质得，，
∴，
∴和是直角三角形，
在和中，，（公共边）
∴，
∴，
设，
∵，，，
∴，
在中，，得
解得，即

（3）如图3，直线一定平分，

理由如下：
过点B作与直线交于点H，
∴
由旋转性质得，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
在和中，，，，
∴，
∴，
∴直线一定平分．
16．（1）证明：在等边中，，，
由旋转可得，，
∴，
∴
即，
∴
∴
（2）①猜想：．
证明：连接，如图：

由旋转，得，，
∴是等边三角形
∵，
∴，
∴是的垂直平分线
∵点B在上，
∴；
②解：由（1）得
∴，，
∴
∵，
∴，
∴
∴．
在中，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
答：的长为
17．（1）证明：∵，
∴，
由旋转得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转，得，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴．
18．（1）①证明：绕着点顺时针旋转，
．
为等边三角形．
②∵等边三角形，
∴，
如图，过作，则，

∴为等边三角形，
∴，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∴，
又，
∴，
．
即．
（2）解：延长至，使得，连接和，

∵是的中点，
∴，
又，
∴，
∴．
，
为等边三角形．
．
过点作，则：，
∴，
19．解：（1）【探究】证明：∵将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．
∴，，，，
∵四边形.是正方形，
∴，，
∴，
∴点、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
；
（2）【拓展】将绕点顺时针旋转，使点与点重合，得到，

，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
∴五边形的周长 ，
∴五边形的周长．
20．解：（1）∵是中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，而，
∴，，，
由三角形三边关系可得：，即，
∴，
（2）；理由如下：
如图1，延长至点E使，连接，

∵是的“旋补中线”，
∴是的中线，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵是的“旋补中线”，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）如图，作于H，作交延长线于F，

∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是的中线，
∵，，
结合（1）的结论可得：，即．