浙江省金华市东阳市2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题卷(含解析)

浙江省金华市东阳市2023-2024学年九年级上学期期中考试
数学试题卷（原卷）
卷Ⅰ
说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 抛物线开口方向是（ ）
A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右
2. 下列成语或词语所反映的事件中，属于随机事件的是（ ）
A 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 缘木求鱼 D. 守株待兔
3. 剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”，如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度不可以是（　　）
A. B. C. D.
4. 已知，则的值是（　　）
A. 3 B. C. D.
5. 如图（1）是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，四边形内接于⊙O，已知点C为的中点，若，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
7. 下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 …
y … 4 0 0 a …
其中，a的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8. 如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（　　）
A. 2 B. 4 C. 4 D. 8
9. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　）
A. AB2＝AP2+BP2 B. BP2＝AP BA
C. D.
10. 已知抛物线顶点坐标为，若关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
卷Ⅱ
说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知⊙半径为，线段OP的长为，则点在⊙___________（填“内”、“外”或“上”）．
12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的大约有______个．
13. 如图，直线与抛物线都经过点和，则不等式的解集是______．
14. 如图，在边长为的正方形网格中，、、、为格点，连接、相交于点，则的长为______．
15. 如图，一张扇形纸片的圆心角为，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为______________．
16. 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．
（1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ________________；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度____________________．
三、解答题（共题共8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17. 有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都想获得这张门票，亲自体验明星演唱会的热烈气氛，小红为他们出了一个主意，方法就是：从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去．
（1）求小明抽到4的概率；
（2）你认这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由．
18. 已知线段a、b、c满足，且．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，把绕点按顺时针方向旋转90°后得到．（每个方格的边长均为1个单位）
（1）画出并直接写出：的坐标为______，的坐标为______；
（2）判断直线与直线的位置关系为______．
20. 如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．
（1）求证：点D为弧的中点；
（2）若，，求的直径．
21. 如图，某位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知两条边，，测得边离地面距离，人与树距离，求树高．
22. 足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线函数表达式；
（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围．
23. 【模型呈现：材料阅读】
如图，点，，在同一直线上，点，在直线的同侧，和均为等边三角形，，交于点，对于上述问题，存在结论（不用证明）：
（1）（2）可以看作是由绕点旋转而成；…
【模型改编：问题解决】
点，在直线的同侧，，，，直线，交于，
如图1：点在直线上，
①求证：； ②求的度数．
如图2：将绕点顺时针旋转一定角度．③补全图形，则的度数为______；
④若将“”改为“”，则的度数为______．（直接写结论）
【模型拓广：问题延伸】
如图3：在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值．
图1 图2 图3
24. 已知，直角中，，，，过，两点作圆交射线于点，交射线于点．
（1）如图1，当点在线段中点时，求的长；
（2）如图2，当点在线段上时，若点为中点，求的长；
（3）如图3，连接，若为等腰三角形，求所有满足条件的的值。
浙江省金华市东阳市2023-2024学年九年级上学期期中考试
数学试题卷（解析卷）
卷Ⅰ
说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 抛物线开口方向是（ ）
A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以解答本题．
【详解】解：∵
∴抛物线的开口向上．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2. 下列成语或词语所反映的事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 缘木求鱼 D. 守株待兔
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查随机事件，随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，据此逐项判断即可．
【详解】解：A，瓜熟蒂落是自然现象，属于一定会发生的事情，是必然事件，不合题意；
B，旭日东升是自然现象，属于一定会发生的事情，是必然事件，不合题意；
C，缘木求鱼是不可能发生的事情，是不可能事件，不合题意；
D，守株待兔可能发生，也可能不发生，是随机事件，符合题意；
故选：D．
3. 剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”，如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度不可以是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用旋转变换的性质判断即可．
【详解】解：由图形知，该图形是旋转对称图形，
则旋转都可以与自身重合，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转对称图形的特征，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
4. 已知，则的值是（　　）
A. 3 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得到，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，是解题的关键．
5. 如图（1）是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】阴影部分面积为扇形AOD的面积与扇形BOC的面积之差．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查与扇形相关的阴影部分面积计算，正确识别阴影部分面积为两个扇形面积之差，以及正确运用扇形面积公式进行计算是解题的关键．
6. 如图，四边形内接于⊙O，已知点C为的中点，若，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据内接四边形的性质得出的度数，再由点C为的中点得出，最后利用等腰三角形的性质得出结果．
【详解】解：∵四边形内接于⊙O，，
∴，
∵点C为中点，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意得出的度数和．
7. 下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 …
y … 4 0 0 a …
其中，a的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据表格可求出该抛物线的对称轴为，从而得出当时，y的值和当时，y的值相等，即得出a的值为4．
【详解】解：∵时，；时，，
∴该二次函数的对称轴为，
∴当时，y的值和当时，y的值相等．
∵当时，，
∴当时，，
∴a的值为4．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的对称性．掌握二次函数图象关于其对称轴对称是解题关键．
8. 如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（　　）
A. 2 B. 4 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】过点O作OC⊥AB于C,交⊙O于D、E两点,连接OA、OB、DA、DB、EA、EB,根据圆周角定理推出△OAB为等腰直角三角形,求得AB=，根据已知条件即可得到结论．
【详解】过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图， ∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=2，
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大， 即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB CD+AB CE=AB （CD+CE）=AB DE=×2×4=4.
【点睛】本题主要考查了平分弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧、圆周角定理以及动点产生最值的问题.在解答这个题目的时候我们一定要明确四边形的面积可以由两个三角形构成，而且两个三角形是同底，只需要满足高最大即可，在圆里面最大的弦长就是直径，根据垂径定理我们就可以得出最大值.
9. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　）
A. AB2＝AP2+BP2 B. BP2＝AP BA
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义分别进行判断．
【详解】解：P为AB的黄金分割点（AP＞PB）可得AP2＝AB PB或．
故选：D．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
10. 已知抛物线的顶点坐标为，若关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与一元二方程的综合应用、二次函数的图像与性质等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．先把顶点坐标代入中求出函数解析式，再根据关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，则与有两个交点，根据二次函数的性质结合函数图像得出结论．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，且其对称轴为，
把代入得：，
解得：，，
抛物线与x轴的交点为：，，
把代入得：，
关于的一元二次方程（为实数）在范围内有两个不同的实数根，
则与有两个交点，
如图所示，
由图像可得：实数的取值范围是．
故选：D．
卷Ⅱ
说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知⊙的半径为，线段OP的长为，则点在⊙___________（填“内”、“外”或“上”）．
【答案】内
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：⊙的半径为，线段的长为，
即点到圆心的距离小于圆的半径，
点在⊙内．
故答案为：内 ．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点P在圆外；点在圆上；点在圆内．
12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的大约有______个．
【答案】8
【解析】
【分析】根据红球的频率稳定在0.4左右，可知摸出红球的概率，由概率公式即可求得红球个数．
【详解】解：∵红球的频率稳定在0.4左右，
∴摸出红球的概率为0.4，
由概率公式得红球个数，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，概率公式等知识，属于基础题．关键掌握用频率估计概率．
13. 如图，直线与抛物线都经过点和，则不等式解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了通过函数图像确定一元二次不等式的解集，解题的关键是学会利用数形结合的思想进行求解．根据函数的图像，求解即可．
【详解】解：由函数图像可得，在A点右侧（含A点），B点的左侧（含B点）时，满足，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在边长为的正方形网格中，、、、为格点，连接、相交于点，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得出 所以∽ ，列出相似比，进而可以求出答案．
【详解】根据题意可知：，，，，
∽，
，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了形似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15. 如图，一张扇形纸片的圆心角为，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为______________．
【答案】
【解析】
【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于弧OD、线段OC和CD所围成的图形的面积，AC＝OC，则OD＝2OC＝6，CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，能进而求出答案．
【详解】解：连接OD，如图，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，
∴OD＝2OC＝6，
∴CD3，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD3×36π，
∴阴影部分的面积为2×（6π）＝93π，
故答案：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠的性质，注意：圆心角是n°，半径为r的扇形的面积S．
16. 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．
（1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ________________；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度____________________．
【答案】 ①. 6 ②.
【解析】
【分析】（1）设点E的坐标为：，则抛物线的表达式为：，则点C的坐标为：，点，再用待定系数法即可求解；
（2）确定直线的表达式为：，求出，，进而求解．
【详解】解：（1）以F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
设点E的坐标为：，则抛物线的表达式为：，
则点C的坐标为：，点，
将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
即抛物线的表达式为：①，
，
故答案为：；
（2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为，
设直线的解析式为，
将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：②，
联立①②并整理得：，
则，，
则，
则，
由的表达式知，其和x轴的夹角为，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
三、解答题（共题共8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17. 有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都想获得这张门票，亲自体验明星演唱会的热烈气氛，小红为他们出了一个主意，方法就是：从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去．
（1）求小明抽到4的概率；
（2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由．
【答案】17.
18. 不公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，游戏公平性的判断．游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
（1）根据概率公式求解，即可得到答案；
（2）分别求出小明去和小亮去的概率，比较大小可得方法不公平，再修改出公平的规则即可．
【小问1详解】
解：从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种，
每种结果出现的概率都相等，其中抽到4的结果有1种．
所以，．
【小问2详解】
解：不公平．
理由如下：从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种，
每种结果出现的概率都相等，其中抽到比4大的结果有3种．
所以，．
所以小明去看演唱会的概率为，小亮去看演唱会的概率为：．
因为，所以，游戏不公平．
18. 已知线段a、b、c满足，且．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值；
（2）由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可．
【小问1详解】
解：设，则，，
∵，所以，解得，
∴，，．
【小问2详解】
∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴，所以（舍负）．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，把绕点按顺时针方向旋转90°后得到．（每个方格的边长均为1个单位）
（1）画出并直接写出：的坐标为______，的坐标为______；
（2）判断直线与直线的位置关系为______．
【答案】（1）图见解析，；
（2）垂直
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质和旋转作图，点的坐标，掌握旋转的作图方法是解题关键．
（1）按照旋转的定义进行旋转即可；由图即可得坐标．
（2）由旋转性质：对应线段所在的直线所交的角等于旋转角度可得结论.
【小问1详解】
解：如图，将点绕点按顺时针方向旋转后得到，将点绕点按顺时针方向旋转后得到，连接，，即为所求．
解：由（1）图可知点坐标为，点坐标为，
故答案为：，．
【小问2详解】
由图可知：直线与直线的位置关系为垂直．
20. 如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．
（1）求证：点D为弧的中点；
（2）若，，求的直径．
【答案】（1）见解析 （2）20
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理、平行线的性质可得，再根据垂径定理即可证明；
（2）根据垂径定理可得，再用勾股定理解即可．
【小问1详解】
证明：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D为的中点；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为20．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，解直角三角形等，解题的关键是熟练运用垂径定理．
21. 如图，某位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知两条边，，测得边离地面距离，人与树距离，求树高．
【答案】树高为．
【解析】
【分析】易证，然后根据相似三角形的性质可求出BC的长，进一步即可求出结果．
【详解】解：由题意，得，
又，
，
，
，，，
，解得：，
，
．
即树高为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22. 足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围．
【答案】（1）
（2）球不能射进球门，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律：
（1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答．
（2）依题意，当时，，即可作答．
（3）依题意，设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
再把点和点分别代入，算出的值，即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【小问1详解】
解： ，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线，把点代入得：，解得，
抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：依题意，当时，，
球不能射进球门．
【小问3详解】
解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得：，
解得（舍去）或，
把点代入得：，
解得：（舍去）或，
即．
23. 【模型呈现：材料阅读】
如图，点，，在同一直线上，点，在直线的同侧，和均为等边三角形，，交于点，对于上述问题，存在结论（不用证明）：
（1）（2）可以看作是由绕点旋转而成；…
【模型改编：问题解决】
点，在直线的同侧，，，，直线，交于，
如图1：点在直线上，
①求证：； ②求的度数．
如图2：将绕点顺时针旋转一定角度．③补全图形，则的度数为______；
④若将“”改为“”，则的度数为______．（直接写结论）
【模型拓广：问题延伸】
如图3：在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值．
图1 图2 图3
【答案】【模型改编：问题解决】①见解析；②；③图见解析，115°；④
【模型拓广：问题延伸】
【解析】
【分析】【模型改编：问题解决】
①先证明，可得，再证明，可得；
②由，可得，再结合三角形的外角可得答案；
③连接并延长交于，同理可得：，，再结合三角形的外角可得答案；
④先求解，结合③的思路可得答案；
【模型拓广：问题延伸】
连接、， 先证明，可得，，证明，可得，可得，从而可得答案．
【详解】【模型改编：问题解决】
①∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②由①知，，
∴，
∴
③补图如下：连接并延长交于，
图2
同理可得：
∴，
∴，
④∵，，
∴，
同理③可得，
故答案为：；
【模型拓广：问题延伸】
连接、，
图3
∵在矩形和矩形中，，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的证明三角形相似是解本题的关键．
24. 已知，直角中，，，，过，两点作圆交射线于点，交射线于点．
（1）如图1，当点在线段中点时，求的长；
（2）如图2，当点在线段上时，若点为中点，求的长；
（3）如图3，连接，若为等腰三角形，求所有满足条件的的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3），，；
【解析】
【分析】（）利用勾股定理和线段中点的性质即可求解；
（）连接，由得是的直径，则，再根据点为中点证明，再通过角平分线性质和等面积法求出，最后由勾股定理即可求解；
（）分当时，当时，当时三种情况讨论即可；
此题考查了圆周角定理，勾股定理和等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴在中，有勾股定理得：，
∵点是线段中点，
∴，
在中，有勾股定理得：，
【小问2详解】
解：连接，
∵，
∴是的直径，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴，
由（）得：，
设，则
∵，
∴，解得：，即，
在中，有勾股定理得：；
【小问3详解】
解：分三种情况，
当时，连接，过作于点，由（）得：，
∴，
∴，
由（）得：，即，
∴
设，则，
∴在中，由勾股定理得：，即，解得：，
∴；
如图，当时，过作于点，
∴，
∴；
如图，当时，连接，过作于点，由（）得：，
∴，
在和中
∵，
∴
∴，
在中，有勾股定理得：；
综上可知：或或。