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人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——13.3等腰三角形
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·北京市期中）如图所示，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
2．（2023九上·中牟开学考）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
若，则点到的距离为；
；
点在的中垂线上；
若，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（2023七下·锦江期末）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023八下·龙岗期中）如图，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N，下列四个结论：①AC＝AN；②EN＝FC；③EN∥BC；④∠ABC＝45°，其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
5．（2023·天河模拟）下列命题中，是真命题的有（ ）．
①全等三角形的对应边相等；②有两个角为的三角形一定是等边三角形；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④等腰三角形的角平分线和中线相互重合．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023八下·渠县月考）如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．（2022八上·余杭月考）如图，在△ABC中，∠BAC =130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（ ）
A．65° B．60° C．70° D．80°
8．（2022八上·京山期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=10cm，DE=4cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．12cm C．14cm D．16cm
9．（2022八上·闵行期中）下列命题中，假命题的是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．面积相等的两个三角形全等
C．等腰三角形的顶角平分线垂直于底边
D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
10．（2022八上·龙湖期中）如图，DE=11，FG=3，BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，DE∥BC．
则BD+CE=（ ）
A．3 B．11 C．7 D．8
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023八下·西安期末）如图在中，，D是上一点，且，F是延长线上一点，，，连接交于E，若，则线段的长为 ．
12．（2023七下·济南期末）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点，连接分别交，于点，，过点作分别交，于点，，则下列结论正确的是 ．
①；②；③；④
13．（2023八上·吉林期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 ．
14．（2023八上·东莞期中）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 cm．
15．（2023八上·青秀月考）如图，，点在射线ON上，点在射线OM上，均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推.若，则 .
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023八上·江源月考）如图，P为等边△ABC内一点，连接BP、PC，延长PC到点D，使CD= PC；延长BC到点E，使CE=BC，连接AE、DE．
（1）求证：BP∥DE；
（2）求∠BAE的度数；
（3）若BP⊥AC，则∠AED= 度．
17．（2023八上·西和期中） 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G，∠CAE＝15°．
（1）求∠ACF的度数；
（2）求证：．
18．（2023八上·北京市期中） 如图，在中，D为边上一点，于F，延长交于E．若．
（1）求证：为等边三角形；
（2）若D是的中点，求的值．
19．（2023八上·铁西期中）如图，已知A（0，-6），B （6，0），D为第一象限内一点，AD交x轴于点C，DE⊥x轴于点E，BF⊥AD垂足为点H，交OD于点F，线段AC上有一动点G，连接OG．
（1）若AC=CD=DB，
①请说明△ACO≌△DCE；
②请求出点C的坐标；
（2）若∠DOG=90°，试探究AD，DG，BF之间的数量关系，说明理由；
20．（2023八上·乾安期中）如图，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
（1）当点E为的中点时，如图1，求证：；
（2）当点E不是的中点时，如图2，与还相等吗？请说明理由．
21．（2021八上·谷城期中）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点.试探索BM和BN的关系，并证明你的结论.
22．（2023八上·舟山月考）如图，点A，B分别在两互相垂直的直线，上．
（1）如图1，在三角形尺子中，，如果点C到直线的距离是5，求的长；
（2）如图2，若，点B在射线上运动时，分别以，为边作与图1中相同形状的，，，连接交射线于点P．
①当时，，求的大小；
②当点B在射线上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．
23．（2018八上·汪清期末）已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6．点P射线BA上一点，点Q是AC的延长线上一点，且BP＝CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】过点P作PE⊥OB于点E，如图所示：
∵，∠PEO=90°，OP=12，
∴OE=OP=6，
∵PM=PN，PE⊥OB，MN=1，
∴ME=NE=MN=0.5，
∴OM=OE-ME=6-0.5=5.5，
故答案为：D.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得OE=OP=6，再利用“三线合一”的性质可得ME=NE=MN=0.5，再利用线段的和差求出OM的长即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可得AD是∠BAC的角平分线，
又∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD，
故若CD=3cm，则DE=3cm，即点D到AB的距离为3cm，故①正确；
在Rt△BDE中，∵∠B=30°，
∴BD=2DE，
∴BD=2CD，故②正确；
∵△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠DAB=∠BAC=30°，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC，
∴S△ABC=S△ACD+S△ABD==3×4=12，故④正确，
综上正确的有①②③④，共4个.
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线上的点到角两边的距离相等可判断①；由含30直角三角形的性质可判断②；由等角对等边可得AD=BD，再根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可判断③；根据三角形的面积计算公式及S△ABC=S△ACD+S△ABD列式计算可判断④.
3．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴EF=FD=ED，CB=AC=BA，∠FED=∠EDF=∠EFD=60°，∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠FDA=∠EFC，
∴△EFC≌△FDA（AAS），
同理可得△DEB≌△EFC≌△FDA，
∴DB=CE=AF=2，
∵的周长为15，
∴AC=CB=BA=5，
∴BE=3，
故答案为：B
【分析】先根据等边三角形的性质即可得到EF=FD=ED，CB=AC=BA，∠FED=∠EDF=∠EFD=60°，∠A=∠B=∠C=60°，进而得到∠FDA=∠EFC，再根据三角形全等的判定与性质证明△EFC≌△FDA（AAS），△DEB≌△EFC≌△FDA，进而即可得到DB=CE=AF=2，再根据题意得到AC=CB=BA=5，进而即可求解。
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接EN，
∵ EF平分∠BAC ，
∴∠CAM=∠MAN，
∵ CM⊥AF ，
∴∠AMC=∠AMN=90°，
∵AM=AM，
∴△CAM≌△NAM（ASA），
∴AC=AN，CM=MN，故①正确；
∴AM垂直平分CN，
∴CE=EN，
在Rt△ACF中，∠CAF+∠CFA=90°，在Rt△AED中，∠EAD+∠AED=90°，
∵∠AED=∠CEF，∠CAM=∠MAN，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=EF，即得EN=FC，故②正确；
∵CM⊥AF ，
∴EM=FM，
∵∠EMN=∠CMF，CM=MN，
∴△CMF≌△NME（SAS），
∴∠FCM=∠ENM，
∴FC∥EN，即BC∥EN，故③正确；
在Rt△ABC中．∠ACB＝90°，
∵AC≠BC，
∴ ∠ABC≠45°， 故④错误；
故答案为：C.
【分析】连接EN，先证△CAM≌△NAM（ASA），可得AC=AN，CM=MN，故①正确；根据余角的性质及对顶角相等可推出∠AED=∠CEF=∠CFE，可得EN=FC=CE，故②正确；再证△CMF≌△NME（SAS），可得∠FCM=∠ENM，从而得出FC∥EN，故③正确；在Rt△ABC中．∠ACB＝90°，由AC≠BC可知∠ABC≠45°， 故④错误.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：全等三角形的对应边相等，故①正确；
有两个角为60°的三角形一定是等边三角形，故②正确；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故③错误；
等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线重合，故④错误.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质可判断①；根据等边三角形的判定定理可判断②；根据平行线的性质可判断③；根据等腰三角形三线合一的性质可判断④.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，∠B=∠ACB=60°，
∵PF∥BC，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴∠AFP=∠APF=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF=PF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD与△QCD中，
∵∠PFD=∠QCD，∠PDF=∠QDC，PF=CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∴EF+FD=AE+CD，
∴DE=AE+CD=AC=.
故答案为：B.
【分析】过点P作PF∥BC，交AC于点F，由等边三角形的性质得∠B=∠ACB=60°，由平行线的性质得∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，推出△APF是等边三角形，得AP=AF=PF，根据等边三角形的三线合一得AE=EF，从而用AAS判断出△PFD≌△QCD，得FD=CD，从而根据线段的和差及等式的性质即可得出DE的长.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-130°=50°；
∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴BE=AE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∴∠EAF=∠BAC-∠BAE-∠CAF=∠BAC-∠B-∠C=130°-50°=80°.
故答案为：D
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C的度数；再利用垂直平分线的性质可证得BE=AE，AF=CF，利用等边对等角可得到∠B=∠BAE，∠C=∠CAF；然后证明∠EAF=∠BAC-∠B-∠C，代入计算求出∠EAF的度数.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，如图，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH=CH，
∵DE=4cm，
∴DF=EF-DE=6cm，
在Rt△DFH中，HF=DF=3，
∴BH=BF-HF=10-3=7（cm），
∴BC=2BH=14cm.
故答案为：C.
【分析】延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，易得△BEF为等边三角形，根据等边三角形的性质得BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，根据等腰三角形的性质得AH⊥BC，BH=CH，在Rt△DFH中，根据含30°角直角三角形的性质得HF=DF=3，据此就不难得出答案.
9．【答案】B
【知识点】垂线的概念；三角形的外角性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，A不合题意；
B．面积相等的两个三角形不一定全等， B是假命题，符合题意；
C．等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，是真命题，C不合题意；
D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，是真命题，D不合题意，
故答案为：B
【分析】根据垂线的性质、三角形全等的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质分别判断即可.
10．【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EGC=∠BCG，
∵BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBF=∠CBF，∠ECG=∠BCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECG=∠EGC，
∴BD=DF，CE=GE，
∴BD+CE=DF+GE=DE-FG=11-3=8.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠DBF=∠DFB，∠ECG=∠EGC，再根据等角对等边得出BD=DF，CE=GE，从而得出BD+CE=DF+GE=DE-FG，即可得出答案.
11．【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点D作于点H，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：8.
【分析】过点D作于点H，根据题意得到，再根据全等三角形的判定得到，推出AE=3CE，即可得到结论.
12．【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】①∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，
∴AC=AB=AD，∠BAC=60°，∠BAD=90°，∠CAD=60°+90°=150°，
∴∴∠BAC=4∠ADC，故①正确，符合题意.
②∵在等腰直角三角形BAD中，AE⊥BD，
∴AE=DE=BE，∵∠BAD=45°，∠ADC=15°，∴∠EDF=45°-15°=30°，
∵∠DAP=90°-∠ADC=75°，∠DAE=∠EAB=45°，∴EAH=75°-45°=30°，
∴在Rt△DEF和Rt△AEH中，∠EDF=∠EAH，AE=DE，∠DEF=∠AEH，∴Rt△DEF≌Rt△AEH（ASA），∴DF=AH，故②正确，符合题意.
③由②可知，EF=EH≠BH，故③错误，不符合题意.
④∵∠DAP=75°，∠BAD=90°，∴∠GAP=90°-75°=15°，∴∠CGB=∠AGP=90°-∠GAP=90°-15°=75°，∴∠DAP=∠CGB，故④正确，符合题意.
故正确的结论为①②④.
【分析】由等边三角形和等腰直角三角形的性质，可以找到相等的线段，相等的角，再利用全等证出其它相等的量，并能结合三角形的内角和定理、余角的性质和特殊角的值求出其它角的大小.
13．【答案】9
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由折叠知EB=EB ，
在△CB E中，
∴EB =2CE，
∵CE=3，∴EB=EB =6，
∴BC=BE+EC=6+3=9
故答案为：9.
【分析】由折叠（轴对称）可知△B ED≌△BED，由全等三角形性质知EB =EB；由已知角C是90度，又 ∠CB'E＝30°， 据含30度直角三角形性质，可知CE和EB 的数量关系，从而求得EB 和EB的长，进而求得BC的长度。
14．【答案】2
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由直尺上下边平行得，∠ACB=∠α=60°，
∵∠A=180°-30°-90°=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=3-1=2cm.
故答案为：2.
【分析】根据二直线平行，同位角相等得∠ACB=∠α=60°，由三角形的内角和定理得∠A=60°，从而根据由两个角等于60°的三角形是等边三角形，判定△ABC为等边三角形，进而根据等边三角形的三边相等即可求出AB长度.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵∠MON=30°，∠OA2B1=∠A1B1A2=60°，
∴∠OB1A2=90°，∠OB1A1=90°-60°=30°，
∴A1B1=OA1=A1A2=1，
即a1=1，
同理可得：a2=OA2=1+1=2=21，
a3=OA3=OA2+2=4=22，
a4=OA4=OA3+4=8=23，
……
an=OAn=2n-1，
∴a2023=OA2023=22022，
故答案为：22022.
【分析】先根据角度，由等角对等边求出a1=1，a2=2=21，a3=4=22，a4=8=23，再根据等比数列找规律得出an=2n-1，即可求出答案.
16．【答案】（1）证明：在△PCB与△DCE中，∵PC = DC，∠PCB =∠DCE，BC = EC，
∴PCB≌△DCE（SAS），∴∠PBC =∠DEC，∴BP∥DE
（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB = 60° ，AC = BC，∴∠ACE= 120°，∵BC = CE，∴AC = CE，∴∠CAE =∠AEC = （180°- 120°） = 30°
∴∠BAE =∠BAC+∠CAE = 60°+ 30°= 90°．
（3）60
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）分别延长AC，ED交于点F
∵BP∥DE，且BP⊥AC
∴ED⊥AC
∴∠F=90°
∵∠FAE=30°
∴∠AED=60°
故答案为：60
【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得 △PCB≌△DCE ，则∠PBC =∠DEC，再根据内错角相等，两直线平行即可求出答案；
（2）根据等边三角形性质和三角形外角性质可得∠ACE= 120°，AC = CE，再根据等边对等角性质，三角形内角和定理可得∠CAE =∠AEC ，再根据∠BAE =∠BAC+∠CAE 即可求出答案；
（3）分别延长AC，ED交于点F，根据直线平行性质可得∠F=90°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：∵∠ABC＝45°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC-∠ABC＝60°-45°＝15°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAE＝∠BAE-∠BAD＝45°-15°＝30°，
∴∠CAF＝∠DAE+∠CAE＝30°+15°＝45°，
∵CF⊥AD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝90°-∠CAF＝45°；
（2）解：证明：由（1）可知，∠DAC＝45°，∠AFG＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠CAF＝45°，
∴AF＝CF，
∵AE⊥CB，
∴∠CEG＝∠AFG＝90°，
∵∠CGE＝∠AGF，
∴∠FAG＝∠FCD，
在△AFG和△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（ASA），
∴GF＝DF，
由（1）可知，∠FAG＝30°，
∵∠AFG＝90°，
∴FG＝AG，
∴DF＝AG．
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证出△ABE是等腰直角三角形，可得∠BAE=45°，再利用角的运算求出∠CAF＝∠DAE+∠CAE＝30°+15°＝45°，再求出∠ACF＝90°-∠CAF＝45°即可；
（2）先利用“ASA”证出△AFG≌△CFD，可得GF=DF，再结合∠FAG＝30°，∠AFG＝90°，可得FG＝AG，再利用等量代换可得DF＝AG．
18．【答案】（1）证明：∵于F，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：连接，如下图，
由（1）得，，，
∵D为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，即．
【知识点】等边三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再结合，可证出为等边三角形；
（2）连接CD，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再求出即可.
19．【答案】（1）解：①∵CD＝DB，DE⊥CB，
∴CE＝EB，
∵AC＝CD，∠AOC＝∠DEC＝90°，∠DCE＝∠ACO，
∴△ACO≌△DCE（AAS），
② 由①知△ACO≌△DCE（AAS），
∴OC＝CE，
∴OC＝CE＝EB，
∵B（6，0），
∴OB＝6，，
∴C（2，0）
（2）解：AD＝DG+BF，理由如下，
∵A（0，-6），B（6，0），
∴OA＝OB＝6，
∵BF⊥AD，
∴∠FHG＝∠BHG＝90°，
又∠AOB＝90°，∠BCH＝∠OCA，
∴∠FBO＝∠GAO，
∵∠DOG＝90°，∠MHG＝90°，
∴∠OFH+∠OGH＝180°，
又∠OGA+∠OGH＝180°，
∴∠OGA＝∠OFB，
∴△OAG≌△OBF（AAS），
∴AG＝FB，
∴AD＝AG+DG＝BF+DG，
即AD＝DG+BF；
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①等边对等角性质可得CE＝EB，再根据全等三角形的判定定理即可求出答案，
②根据全等三角形性质可得OC＝CE＝EB，根据直角坐标系中相等线段的点的坐标即可求出答案；
（2）由A，B点坐标可得OA＝OB＝6，再根据全等三角形判定定理可得△OAG≌△OBF，则AG＝FB，再进行边之间的转换即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵点为的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当点不是的中点时，如图，则，理由：
过点作，交于点，如图，
∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
当点不是的中点时，则．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，，由点为的中点，可得，．再根据等腰三角形性质即可求出答案.
（2）过点作，交于点，根据等边三角形性质可得，．再根据直线平行性质可判定为等边三角形，则，，即可得，再根据各边之间的关系可得，再根据全等三角形性质即可求出答案.
21．【答案】解：BM＝BN，BM⊥BN.理由如下：
在△ABE和△DBC中
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠BAE＝∠BDC，
∴AE＝CD，
∵M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM＝DN，
在△ABM和△DBN中，
，
∴△BAM≌△BDN（SAS），
∴BM＝BN，
∠ABM＝∠DBN，
∵∠ABD＝∠DBC，∠ABD+∠DBC＝180°
∴∠ABD＝∠ABM+∠MBE＝90°，
∴∠MBE+∠DBN＝90°，
即：BM⊥BN，
∴BM＝BN，BM⊥BN.
【知识点】等腰三角形的判定；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】易证△ABE≌△DBC，得到∠BAE＝∠BDC，推出AE＝CD，根据线段中点的概念可得AM＝DN，证明△BAM≌△BDN，得到BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，推出∠MBE+∠DBN＝90°，据此解答.
22．【答案】（1）解：过点C作CD⊥OM，交直线OM于点D，由题意可知：CD=5
∵OM⊥ON，CD⊥OM
∴∠AOB=∠BDC=∠ABC=90°
∴∠BAO＋∠ABO=90°，∠CBD＋∠ABO=90°
∴∠BAO=∠CBD
在△AOB和△BDC中，
∴△AOB≌△BDC
∴OB=CD=5；
（2）解：①∵，
∴∠BAO=∠EAO－∠EAB=30°
∵∠BOA=90°
∴∠ABO=90°－∠BAO=60°
∵∠ABE=90°
∴∠EBP=180°－∠ABO－∠ABE=30°；
②不变，
过点E作EG⊥OM于G，如下图所示
由题意可知：，都是等腰直角三角形
∴∠ABE=∠OBF=90°，BE=AB，OB=FB
∴∠EBG＋∠ABO=180°－∠ABE=90°，∠FBP=180°－∠OBF=90°
∵∠BGE=∠AOB=90°，
∴∠BAO＋∠ABO=90°，
∴∠EBG=∠BAO
在△EBG和△BAO中，
∴△EBG≌△BAO
∴BG=OA=6，EG=OB，
∴EG=FB，
在△EGP和△FBP中，
∴PB=PG
∵PB＋PG=BG
∴PB=BG=3．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥OM，交直线OM于点D，根据垂直的定义得到：利用"AAS"证明即可求出OB的长度；
（2）①根据角的运算求出的度数，进而求出的度数，最后角的运算即可求出的度数；
②过点E作EG⊥OM于G，根据等腰三角形的性质得到利用"AAS"证明得到再利用"AAS"证明得到，最后根据线段间的数量关系，即可知PB是一个定值.
23．【答案】（1）解：过P点作PF∥AC交BC于F，
∵点P为AB的中点，∴BP＝ AB＝3，
∵AB＝AC＝BC，
∴∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵PF∥AC，
∴∠PFB＝∠ACB＝60°，∠BPF＝∠BAC＝60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴BF＝FP＝BP＝3，
∴FC＝BC－BF＝3，
由题意，BP＝CQ，
∴FP＝CQ，
∵PF∥AC，
∴∠DPF＝∠DQC，
又∠PDF＝∠QDC，
∴△PFD≌△QCD，
∴CD＝DF＝ FC＝ ；
（2）解：当点P，Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变，
分两种情况讨论：
①当点P在线段AB上时，
过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB＝PF，
∵PE⊥BC，∴BE＝EF，
由（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF，
∴DE＝EF＋DF＝ BC＝3，
②当点P在BA的延长线上时，同理可得DE＝3，
∴当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）过P点作PF∥AC交BC于F，通过证明得△PBF是等边三角形，通过三角形判定定理得△PFD≌△QCD，得出CD的长度。（2）分点P在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，可得DE的长度是不随P、Q移动而发生变化的。
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人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——13.3等腰三角形
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·北京市期中）如图所示，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】过点P作PE⊥OB于点E，如图所示：
∵，∠PEO=90°，OP=12，
∴OE=OP=6，
∵PM=PN，PE⊥OB，MN=1，
∴ME=NE=MN=0.5，
∴OM=OE-ME=6-0.5=5.5，
故答案为：D.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得OE=OP=6，再利用“三线合一”的性质可得ME=NE=MN=0.5，再利用线段的和差求出OM的长即可.
2．（2023九上·中牟开学考）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
若，则点到的距离为；
；
点在的中垂线上；
若，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可得AD是∠BAC的角平分线，
又∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD，
故若CD=3cm，则DE=3cm，即点D到AB的距离为3cm，故①正确；
在Rt△BDE中，∵∠B=30°，
∴BD=2DE，
∴BD=2CD，故②正确；
∵△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠DAB=∠BAC=30°，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC，
∴S△ABC=S△ACD+S△ABD==3×4=12，故④正确，
综上正确的有①②③④，共4个.
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线上的点到角两边的距离相等可判断①；由含30直角三角形的性质可判断②；由等角对等边可得AD=BD，再根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可判断③；根据三角形的面积计算公式及S△ABC=S△ACD+S△ABD列式计算可判断④.
3．（2023七下·锦江期末）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴EF=FD=ED，CB=AC=BA，∠FED=∠EDF=∠EFD=60°，∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠FDA=∠EFC，
∴△EFC≌△FDA（AAS），
同理可得△DEB≌△EFC≌△FDA，
∴DB=CE=AF=2，
∵的周长为15，
∴AC=CB=BA=5，
∴BE=3，
故答案为：B
【分析】先根据等边三角形的性质即可得到EF=FD=ED，CB=AC=BA，∠FED=∠EDF=∠EFD=60°，∠A=∠B=∠C=60°，进而得到∠FDA=∠EFC，再根据三角形全等的判定与性质证明△EFC≌△FDA（AAS），△DEB≌△EFC≌△FDA，进而即可得到DB=CE=AF=2，再根据题意得到AC=CB=BA=5，进而即可求解。
4．（2023八下·龙岗期中）如图，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N，下列四个结论：①AC＝AN；②EN＝FC；③EN∥BC；④∠ABC＝45°，其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接EN，
∵ EF平分∠BAC ，
∴∠CAM=∠MAN，
∵ CM⊥AF ，
∴∠AMC=∠AMN=90°，
∵AM=AM，
∴△CAM≌△NAM（ASA），
∴AC=AN，CM=MN，故①正确；
∴AM垂直平分CN，
∴CE=EN，
在Rt△ACF中，∠CAF+∠CFA=90°，在Rt△AED中，∠EAD+∠AED=90°，
∵∠AED=∠CEF，∠CAM=∠MAN，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=EF，即得EN=FC，故②正确；
∵CM⊥AF ，
∴EM=FM，
∵∠EMN=∠CMF，CM=MN，
∴△CMF≌△NME（SAS），
∴∠FCM=∠ENM，
∴FC∥EN，即BC∥EN，故③正确；
在Rt△ABC中．∠ACB＝90°，
∵AC≠BC，
∴ ∠ABC≠45°， 故④错误；
故答案为：C.
【分析】连接EN，先证△CAM≌△NAM（ASA），可得AC=AN，CM=MN，故①正确；根据余角的性质及对顶角相等可推出∠AED=∠CEF=∠CFE，可得EN=FC=CE，故②正确；再证△CMF≌△NME（SAS），可得∠FCM=∠ENM，从而得出FC∥EN，故③正确；在Rt△ABC中．∠ACB＝90°，由AC≠BC可知∠ABC≠45°， 故④错误.
5．（2023·天河模拟）下列命题中，是真命题的有（ ）．
①全等三角形的对应边相等；②有两个角为的三角形一定是等边三角形；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④等腰三角形的角平分线和中线相互重合．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：全等三角形的对应边相等，故①正确；
有两个角为60°的三角形一定是等边三角形，故②正确；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故③错误；
等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线重合，故④错误.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质可判断①；根据等边三角形的判定定理可判断②；根据平行线的性质可判断③；根据等腰三角形三线合一的性质可判断④.
6．（2023八下·渠县月考）如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点P作PF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，∠B=∠ACB=60°，
∵PF∥BC，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴∠AFP=∠APF=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF=PF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD与△QCD中，
∵∠PFD=∠QCD，∠PDF=∠QDC，PF=CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∴EF+FD=AE+CD，
∴DE=AE+CD=AC=.
故答案为：B.
【分析】过点P作PF∥BC，交AC于点F，由等边三角形的性质得∠B=∠ACB=60°，由平行线的性质得∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，推出△APF是等边三角形，得AP=AF=PF，根据等边三角形的三线合一得AE=EF，从而用AAS判断出△PFD≌△QCD，得FD=CD，从而根据线段的和差及等式的性质即可得出DE的长.
7．（2022八上·余杭月考）如图，在△ABC中，∠BAC =130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（ ）
A．65° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-130°=50°；
∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴BE=AE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∴∠EAF=∠BAC-∠BAE-∠CAF=∠BAC-∠B-∠C=130°-50°=80°.
故答案为：D
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C的度数；再利用垂直平分线的性质可证得BE=AE，AF=CF，利用等边对等角可得到∠B=∠BAE，∠C=∠CAF；然后证明∠EAF=∠BAC-∠B-∠C，代入计算求出∠EAF的度数.
8．（2022八上·京山期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=10cm，DE=4cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．12cm C．14cm D．16cm
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，如图，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH=CH，
∵DE=4cm，
∴DF=EF-DE=6cm，
在Rt△DFH中，HF=DF=3，
∴BH=BF-HF=10-3=7（cm），
∴BC=2BH=14cm.
故答案为：C.
【分析】延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，易得△BEF为等边三角形，根据等边三角形的性质得BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，根据等腰三角形的性质得AH⊥BC，BH=CH，在Rt△DFH中，根据含30°角直角三角形的性质得HF=DF=3，据此就不难得出答案.
9．（2022八上·闵行期中）下列命题中，假命题的是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．面积相等的两个三角形全等
C．等腰三角形的顶角平分线垂直于底边
D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
【答案】B
【知识点】垂线的概念；三角形的外角性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，A不合题意；
B．面积相等的两个三角形不一定全等， B是假命题，符合题意；
C．等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，是真命题，C不合题意；
D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，是真命题，D不合题意，
故答案为：B
【分析】根据垂线的性质、三角形全等的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质分别判断即可.
10．（2022八上·龙湖期中）如图，DE=11，FG=3，BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，DE∥BC．
则BD+CE=（ ）
A．3 B．11 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EGC=∠BCG，
∵BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBF=∠CBF，∠ECG=∠BCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECG=∠EGC，
∴BD=DF，CE=GE，
∴BD+CE=DF+GE=DE-FG=11-3=8.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠DBF=∠DFB，∠ECG=∠EGC，再根据等角对等边得出BD=DF，CE=GE，从而得出BD+CE=DF+GE=DE-FG，即可得出答案.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023八下·西安期末）如图在中，，D是上一点，且，F是延长线上一点，，，连接交于E，若，则线段的长为 ．
【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点D作于点H，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：8.
【分析】过点D作于点H，根据题意得到，再根据全等三角形的判定得到，推出AE=3CE，即可得到结论.
12．（2023七下·济南期末）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点，连接分别交，于点，，过点作分别交，于点，，则下列结论正确的是 ．
①；②；③；④
【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】①∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，
∴AC=AB=AD，∠BAC=60°，∠BAD=90°，∠CAD=60°+90°=150°，
∴∴∠BAC=4∠ADC，故①正确，符合题意.
②∵在等腰直角三角形BAD中，AE⊥BD，
∴AE=DE=BE，∵∠BAD=45°，∠ADC=15°，∴∠EDF=45°-15°=30°，
∵∠DAP=90°-∠ADC=75°，∠DAE=∠EAB=45°，∴EAH=75°-45°=30°，
∴在Rt△DEF和Rt△AEH中，∠EDF=∠EAH，AE=DE，∠DEF=∠AEH，∴Rt△DEF≌Rt△AEH（ASA），∴DF=AH，故②正确，符合题意.
③由②可知，EF=EH≠BH，故③错误，不符合题意.
④∵∠DAP=75°，∠BAD=90°，∴∠GAP=90°-75°=15°，∴∠CGB=∠AGP=90°-∠GAP=90°-15°=75°，∴∠DAP=∠CGB，故④正确，符合题意.
故正确的结论为①②④.
【分析】由等边三角形和等腰直角三角形的性质，可以找到相等的线段，相等的角，再利用全等证出其它相等的量，并能结合三角形的内角和定理、余角的性质和特殊角的值求出其它角的大小.
13．（2023八上·吉林期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 ．
【答案】9
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由折叠知EB=EB ，
在△CB E中，
∴EB =2CE，
∵CE=3，∴EB=EB =6，
∴BC=BE+EC=6+3=9
故答案为：9.
【分析】由折叠（轴对称）可知△B ED≌△BED，由全等三角形性质知EB =EB；由已知角C是90度，又 ∠CB'E＝30°， 据含30度直角三角形性质，可知CE和EB 的数量关系，从而求得EB 和EB的长，进而求得BC的长度。
14．（2023八上·东莞期中）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 cm．
【答案】2
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由直尺上下边平行得，∠ACB=∠α=60°，
∵∠A=180°-30°-90°=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=3-1=2cm.
故答案为：2.
【分析】根据二直线平行，同位角相等得∠ACB=∠α=60°，由三角形的内角和定理得∠A=60°，从而根据由两个角等于60°的三角形是等边三角形，判定△ABC为等边三角形，进而根据等边三角形的三边相等即可求出AB长度.
15．（2023八上·青秀月考）如图，，点在射线ON上，点在射线OM上，均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推.若，则 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵∠MON=30°，∠OA2B1=∠A1B1A2=60°，
∴∠OB1A2=90°，∠OB1A1=90°-60°=30°，
∴A1B1=OA1=A1A2=1，
即a1=1，
同理可得：a2=OA2=1+1=2=21，
a3=OA3=OA2+2=4=22，
a4=OA4=OA3+4=8=23，
……
an=OAn=2n-1，
∴a2023=OA2023=22022，
故答案为：22022.
【分析】先根据角度，由等角对等边求出a1=1，a2=2=21，a3=4=22，a4=8=23，再根据等比数列找规律得出an=2n-1，即可求出答案.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023八上·江源月考）如图，P为等边△ABC内一点，连接BP、PC，延长PC到点D，使CD= PC；延长BC到点E，使CE=BC，连接AE、DE．
（1）求证：BP∥DE；
（2）求∠BAE的度数；
（3）若BP⊥AC，则∠AED= 度．
【答案】（1）证明：在△PCB与△DCE中，∵PC = DC，∠PCB =∠DCE，BC = EC，
∴PCB≌△DCE（SAS），∴∠PBC =∠DEC，∴BP∥DE
（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB = 60° ，AC = BC，∴∠ACE= 120°，∵BC = CE，∴AC = CE，∴∠CAE =∠AEC = （180°- 120°） = 30°
∴∠BAE =∠BAC+∠CAE = 60°+ 30°= 90°．
（3）60
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）分别延长AC，ED交于点F
∵BP∥DE，且BP⊥AC
∴ED⊥AC
∴∠F=90°
∵∠FAE=30°
∴∠AED=60°
故答案为：60
【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得 △PCB≌△DCE ，则∠PBC =∠DEC，再根据内错角相等，两直线平行即可求出答案；
（2）根据等边三角形性质和三角形外角性质可得∠ACE= 120°，AC = CE，再根据等边对等角性质，三角形内角和定理可得∠CAE =∠AEC ，再根据∠BAE =∠BAC+∠CAE 即可求出答案；
（3）分别延长AC，ED交于点F，根据直线平行性质可得∠F=90°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
17．（2023八上·西和期中） 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G，∠CAE＝15°．
（1）求∠ACF的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵∠ABC＝45°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC-∠ABC＝60°-45°＝15°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAE＝∠BAE-∠BAD＝45°-15°＝30°，
∴∠CAF＝∠DAE+∠CAE＝30°+15°＝45°，
∵CF⊥AD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝90°-∠CAF＝45°；
（2）解：证明：由（1）可知，∠DAC＝45°，∠AFG＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠CAF＝45°，
∴AF＝CF，
∵AE⊥CB，
∴∠CEG＝∠AFG＝90°，
∵∠CGE＝∠AGF，
∴∠FAG＝∠FCD，
在△AFG和△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（ASA），
∴GF＝DF，
由（1）可知，∠FAG＝30°，
∵∠AFG＝90°，
∴FG＝AG，
∴DF＝AG．
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证出△ABE是等腰直角三角形，可得∠BAE=45°，再利用角的运算求出∠CAF＝∠DAE+∠CAE＝30°+15°＝45°，再求出∠ACF＝90°-∠CAF＝45°即可；
（2）先利用“ASA”证出△AFG≌△CFD，可得GF=DF，再结合∠FAG＝30°，∠AFG＝90°，可得FG＝AG，再利用等量代换可得DF＝AG．
18．（2023八上·北京市期中） 如图，在中，D为边上一点，于F，延长交于E．若．
（1）求证：为等边三角形；
（2）若D是的中点，求的值．
【答案】（1）证明：∵于F，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：连接，如下图，
由（1）得，，，
∵D为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，即．
【知识点】等边三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再结合，可证出为等边三角形；
（2）连接CD，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再求出即可.
19．（2023八上·铁西期中）如图，已知A（0，-6），B （6，0），D为第一象限内一点，AD交x轴于点C，DE⊥x轴于点E，BF⊥AD垂足为点H，交OD于点F，线段AC上有一动点G，连接OG．
（1）若AC=CD=DB，
①请说明△ACO≌△DCE；
②请求出点C的坐标；
（2）若∠DOG=90°，试探究AD，DG，BF之间的数量关系，说明理由；
【答案】（1）解：①∵CD＝DB，DE⊥CB，
∴CE＝EB，
∵AC＝CD，∠AOC＝∠DEC＝90°，∠DCE＝∠ACO，
∴△ACO≌△DCE（AAS），
② 由①知△ACO≌△DCE（AAS），
∴OC＝CE，
∴OC＝CE＝EB，
∵B（6，0），
∴OB＝6，，
∴C（2，0）
（2）解：AD＝DG+BF，理由如下，
∵A（0，-6），B（6，0），
∴OA＝OB＝6，
∵BF⊥AD，
∴∠FHG＝∠BHG＝90°，
又∠AOB＝90°，∠BCH＝∠OCA，
∴∠FBO＝∠GAO，
∵∠DOG＝90°，∠MHG＝90°，
∴∠OFH+∠OGH＝180°，
又∠OGA+∠OGH＝180°，
∴∠OGA＝∠OFB，
∴△OAG≌△OBF（AAS），
∴AG＝FB，
∴AD＝AG+DG＝BF+DG，
即AD＝DG+BF；
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①等边对等角性质可得CE＝EB，再根据全等三角形的判定定理即可求出答案，
②根据全等三角形性质可得OC＝CE＝EB，根据直角坐标系中相等线段的点的坐标即可求出答案；
（2）由A，B点坐标可得OA＝OB＝6，再根据全等三角形判定定理可得△OAG≌△OBF，则AG＝FB，再进行边之间的转换即可求出答案.
20．（2023八上·乾安期中）如图，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
（1）当点E为的中点时，如图1，求证：；
（2）当点E不是的中点时，如图2，与还相等吗？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵点为的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当点不是的中点时，如图，则，理由：
过点作，交于点，如图，
∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
当点不是的中点时，则．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，，由点为的中点，可得，．再根据等腰三角形性质即可求出答案.
（2）过点作，交于点，根据等边三角形性质可得，．再根据直线平行性质可判定为等边三角形，则，，即可得，再根据各边之间的关系可得，再根据全等三角形性质即可求出答案.
21．（2021八上·谷城期中）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点.试探索BM和BN的关系，并证明你的结论.
【答案】解：BM＝BN，BM⊥BN.理由如下：
在△ABE和△DBC中
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠BAE＝∠BDC，
∴AE＝CD，
∵M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM＝DN，
在△ABM和△DBN中，
，
∴△BAM≌△BDN（SAS），
∴BM＝BN，
∠ABM＝∠DBN，
∵∠ABD＝∠DBC，∠ABD+∠DBC＝180°
∴∠ABD＝∠ABM+∠MBE＝90°，
∴∠MBE+∠DBN＝90°，
即：BM⊥BN，
∴BM＝BN，BM⊥BN.
【知识点】等腰三角形的判定；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】易证△ABE≌△DBC，得到∠BAE＝∠BDC，推出AE＝CD，根据线段中点的概念可得AM＝DN，证明△BAM≌△BDN，得到BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，推出∠MBE+∠DBN＝90°，据此解答.
22．（2023八上·舟山月考）如图，点A，B分别在两互相垂直的直线，上．
（1）如图1，在三角形尺子中，，如果点C到直线的距离是5，求的长；
（2）如图2，若，点B在射线上运动时，分别以，为边作与图1中相同形状的，，，连接交射线于点P．
①当时，，求的大小；
②当点B在射线上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．
【答案】（1）解：过点C作CD⊥OM，交直线OM于点D，由题意可知：CD=5
∵OM⊥ON，CD⊥OM
∴∠AOB=∠BDC=∠ABC=90°
∴∠BAO＋∠ABO=90°，∠CBD＋∠ABO=90°
∴∠BAO=∠CBD
在△AOB和△BDC中，
∴△AOB≌△BDC
∴OB=CD=5；
（2）解：①∵，
∴∠BAO=∠EAO－∠EAB=30°
∵∠BOA=90°
∴∠ABO=90°－∠BAO=60°
∵∠ABE=90°
∴∠EBP=180°－∠ABO－∠ABE=30°；
②不变，
过点E作EG⊥OM于G，如下图所示
由题意可知：，都是等腰直角三角形
∴∠ABE=∠OBF=90°，BE=AB，OB=FB
∴∠EBG＋∠ABO=180°－∠ABE=90°，∠FBP=180°－∠OBF=90°
∵∠BGE=∠AOB=90°，
∴∠BAO＋∠ABO=90°，
∴∠EBG=∠BAO
在△EBG和△BAO中，
∴△EBG≌△BAO
∴BG=OA=6，EG=OB，
∴EG=FB，
在△EGP和△FBP中，
∴PB=PG
∵PB＋PG=BG
∴PB=BG=3．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥OM，交直线OM于点D，根据垂直的定义得到：利用"AAS"证明即可求出OB的长度；
（2）①根据角的运算求出的度数，进而求出的度数，最后角的运算即可求出的度数；
②过点E作EG⊥OM于G，根据等腰三角形的性质得到利用"AAS"证明得到再利用"AAS"证明得到，最后根据线段间的数量关系，即可知PB是一个定值.
23．（2018八上·汪清期末）已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6．点P射线BA上一点，点Q是AC的延长线上一点，且BP＝CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.
【答案】（1）解：过P点作PF∥AC交BC于F，
∵点P为AB的中点，∴BP＝ AB＝3，
∵AB＝AC＝BC，
∴∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵PF∥AC，
∴∠PFB＝∠ACB＝60°，∠BPF＝∠BAC＝60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴BF＝FP＝BP＝3，
∴FC＝BC－BF＝3，
由题意，BP＝CQ，
∴FP＝CQ，
∵PF∥AC，
∴∠DPF＝∠DQC，
又∠PDF＝∠QDC，
∴△PFD≌△QCD，
∴CD＝DF＝ FC＝ ；
（2）解：当点P，Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变，
分两种情况讨论：
①当点P在线段AB上时，
过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB＝PF，
∵PE⊥BC，∴BE＝EF，
由（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF，
∴DE＝EF＋DF＝ BC＝3，
②当点P在BA的延长线上时，同理可得DE＝3，
∴当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）过P点作PF∥AC交BC于F，通过证明得△PBF是等边三角形，通过三角形判定定理得△PFD≌△QCD，得出CD的长度。（2）分点P在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，可得DE的长度是不随P、Q移动而发生变化的。
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