甘肃省天水市秦安县第二中学2015届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题

甘肃省天水市秦安县第二中学2015届高三下学期第三次模拟考试
数学试题(理科)
（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷 （选择题，50分）
一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x∈R| |x|≤2 }，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于(　　)
A．(－∞，2] B． C． D．
2. 如图，在复平面内，复数对应的向量分别是 则=（ ）
A．2 B.3 C. D.
3．已知双曲线 错误！未找到引用源。的一条渐近线方程是 错误！未找到引用源。，它的一个焦点在抛物线
错误！未找到引用源。的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C．错误！未找到引用源。 D．错误！未找到引用源。
4. 已知向量错误！未找到引用源。等于（ ）
A．1 B．-1 C．错误！未找到引用源。 D．-错误！未找到引用源。
5. 执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是
A. 1 B. 2 C. 4 D. 7
6. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A. B. C. D.
7. 已知直线：与圆:交于
两点且，则
A.2 B. C. D.
8. 若实数a，b满足a2＋b2≤1，则关于x的方程x2－2x＋a＋b＝0有实数根的概率是
A. B． C． D．
（9）在中，的对边分别为，且，，则的面积为 （ ）
A．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C． 错误！未找到引用源。 D． 错误！未找到引用源。
（10）已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ） ( )
A．＋2 B．＋1 C．＋1 D．＋1
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11. 已知(1＋2i) z＝3－i(i为虚数单位)，则复数z =
12. 在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 .
13. 平面向量错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的夹角为60°，错误！未找到引用源。=(2,0)，|错误！未找到引用源。|=1，则|错误！未找到引用源。+2错误！未找到引用源。|＝
14. 设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。的展开式中常数项为
15. △ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且 错误！未找到引用源。 ，BC=1，AC=3，三棱锥O- ABC
的体积为 错误！未找到引用源。，则球O的表面积为__________。
三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
16．（本题满分12分）
已知向量＝(2sin x，cos x)，＝(－sin x,2sin x)，函数f(x)＝·
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝1，c＝1，ab＝2，
且a>b，求a，b的值．
17. （本题满分12分）
（18）（本小题满分12分）
在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．
（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．
18. （本题满分12分）
如图1在中，，D、E分别为线段AB 、AC的中点，．以为折痕，将折起到图2的位置，使平面平面，连接，设F是线段上的动点，满足．
（1）证明：平面；
（2）若二面角的大小为，求的值．
19.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，点均在函数的图象上。
（1）求数列的通项公式；
（2）设是数列的前项和，求使得对所有都成立的实数的范围
20. (本小题满分13分)
20. （本大题满分13分）
设椭圆C：错误！未找到引用源。的左焦点为F，过点F的直线错误！未找到引用源。与椭圆C相交于A，B两点，直线错误！未找到引用源。的倾斜角为60o,错误！未找到引用源。.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）如果|AB|=错误！未找到引用源。，求椭圆C的方程.
21.（本大题满分14分）
已知函数错误！未找到引用源。，函数错误！未找到引用源。在x=1处的切线错误！未找到引用源。与直线错误！未找到引用源。垂直.
（1）求实数错误！未找到引用源。的值；
（2）若函数错误！未找到引用源。存在单调递减区间，求实数错误！未找到引用源。的取值范围；
（3）设错误！未找到引用源。是函数错误！未找到引用源。的两个极值点，若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的最小值.
数学试题(理科)参考答案
一、1.D 2.A 3.C 4.A 5.C 6.A 7.B 8.A 9.C 10.D
二、11. 12. -1 13.错误！未找到引用源。 14 -540 15 错误！未找到引用源。
三、解答题：
16.解:　
(1)f(x)＝－2sin2x＋2sin xcos x
＝－1＋cos 2x＋2sin xcos x
＝sin 2x＋cos 2x－1＝2sin(2x＋)－1 …………………………3分
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间是(k∈Z)．…………………………6分
(2)∵f(C)＝2sin(2C＋)－1＝1，
∴sin(2C＋)＝1，
∵C是三角形的内角，∴2C＋＝，即C＝ …………………………8分
∴cos C＝＝，即a2＋b2＝7.
将ab＝2代入可得a2＋＝7，解得a2＝3或4.
∴a＝或2，∴b＝2或.
∵a>b，∴a＝2，b＝ ……………………………12分.
17解：(1)由三角函数的定义得错误！未找到引用源。=－错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，
则原式=错误！未找到引用源。
=2错误！未找到引用源。2(－错误！未找到引用源。)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
(2)∵错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。=0，∴OP⊥OQ ∴错误！未找到引用源。∴错误！未找到引用源。，
∴错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。.
∴错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。+(－错误！未找到引用源。)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
18.解:
（1）平面平面,
∴平面 ∴
∴ ………………………………2分
在直角三角形中，
∴得∴，又
∴ ………………………………6分
（2）作
设BE交DC于O点，连OF，
由（1）知，为二面角F－BE－C的平面角 …………………7分
由∴
，∴
在 …………10分
得， ………………………………12分
方法2：，设BE交DC于O点，连OF，
则为二面角F－BE－C的平面角 ………………………………7分
又 ∴
由得 ………………………………8分
在直角三角形中，∴
由得从而得， ………12分
方法3：（向量法酌情给分）
以D为坐标原点DB，DE，D分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D（0，0，0），（0，0，2），B（2，0，0），
C（2，，0），E（0，，0）.
（1）
∵∴
∵∴
又，∴平面
又平面
所以平面平面 …………………………………6分
（2）设
设平面BEF的法向量为
，
取 …………………………………8分
又平面BEC的法向量为
∴得
解得，又∵ ∴ ……………12分
19. 解：
（1）点在函数的图象上，
当时， …………………………2分
当时，
…………………………5分
当时，符合
…………………………6分
（2）
……………………………10分
＜
又对所有都成立
故 ………………………………12分
20.解：设错误！未找到引用源。，由题意知错误！未找到引用源。＜0，错误！未找到引用源。＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为 错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。.
联立错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。
解得错误！未找到引用源。
因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.
即 错误！未找到引用源。
得离心率 错误！未找到引用源。. ……6分
（Ⅱ）因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.
由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。.所以错误！未找到引用源。，得a=3，错误！未找到引用源。.
椭圆C的方程为错误！未找到引用源。. ……12分
21. 解： ∵，∴.
∵与直线垂直，∴，∴ .
（2）错误！未找到引用源。由题知错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上有解，错误！未找到引用源。设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，所以只需错误！未找到引用源。故b的取值范围是错误！未找到引用源。. ………8分
错误！未找到引用源。，
故所求的最小值是错误！未找到引用源。
图1
A
D
B
E
C
B
D
E
C
图2
F