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人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——第十三章综合测试
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023七上·莱芜期中）下列图案或文字中，是轴对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023八上·西和期中） 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝75°，BD是AC边上的高，则∠ABD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
3．（2023八上·红桥期中）如图，在中，，，分别以、为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点，连接BD，则的周长为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．8
4．（2023八上·五华期中）如图，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F，若∠EPF=110°，则∠AOB的度数是 （ ）
A．35° B．40° C．70° D．80°
5．（2023八上·大岭山期中）下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形
6．（2023九上·邵阳月考）关于点，下列说法正确的个数有（ ）
①点到轴的距离为；
②点到轴的距离为；
③点在第四象限；
④点到原点的距离为；
⑤点关于轴的对称点的坐标是．
A．个 B．个 C．个 D．个
7．（2023八上·聊城月考）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
8．（2023八上·通榆月考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，BE＝CF，则下列说法中正确的有（ ）
①AD平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；③BD＝CD；④AD⊥BC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023八上·海淀开学考）如图，在中，，，平分交于点，交于点，下列四个结论：
；
点在的垂直平分线上；
图中共有个等腰三角形；
≌；
其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．（2023八上·三台期中） 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下四个结论：①AD＝BE；②∠AOB＝60°；③AP＝BQ；④连接CO，则AO＝BO+CO．恒成立的结论有（ ）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．①②③④
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023八上·莎车期中）点A（3，-1）关于y轴对称的点的坐标是 ．
12．（2023八上·吉林月考）如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，若△ABD的周长为12cm，
则AB+AC= cm．
13．（2023七上·莱芜期中）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点D在BC边上，且CD＝5，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为 ．
14．（2023八上·柯桥期中）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠A＝ °．
15．（2023八上·吴兴期中）如图，OP是∠MON的平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB=10，CA=4，则 OBC面积为 .
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023八上·吉林月考）如图，在中，于点D.
（1）求证：
（2）若 AF 平分分别交CD、BC于 点E、F，求证：是等腰三角形.
17．（2023八上·吉林期中）在边长为9cm的等边三角形ABC中，点Q是BC边上的一点，动点P以1cm/s的速度从点A沿AB向点B运动，设运动时间为t（s）．
（1）如图①，若BQ=6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图②，若点P从点A向点B运动的同时，点Q以2cm/s的速度从点B沿BC-CA向点A运动，求t为何值时，OAPQ是等边三角形；
（3）如图③，将边长为9cm的等边三角形ABC变换为以AB、AC为腰、BC为底的等腰三角形，且AB=AC=10cm，BC=8cm，点P运动到AB的中点处停止．点P停止运动后，点M以1cm/s的速度从点B沿BC向点C运动，同时点N以acm/s的速度从点C沿CA向点A运动，当△BPM与△CNM全等时，直接写出a的值．
18．（2023八上·铁西期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，且OP=OC．
（1）请直接写出线段OB和OP之间的数量关系：
（2）请说明：∠APO+∠DCO=30° ；
（3）请说明：△POC是等边三角形；
（4）请直接写出线段AB、OA、AP之间的数量关系．
19．（2023八上·聊城月考）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-4，1），B（-3，3），C（-1，2）．
⑴作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出C′的坐标；
⑵求出△A′B′C′的面积；
⑶在x轴上画出点P，使PA+PC最小，并写出点P的坐标．（不写作法，保留作图痕迹）
20．（2023八上·宝鸡月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，若的周长为，的周长为．
（1）求线段的长；
（2）连接，求线段的长；
（3）若，求的度数．
21．（2023七下·丹东期末）
（1）如图，两个等腰三角形和中，，，，连接，则≌ ，此时线段和线段的数量关系是 ；
（2）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和线段的关系，并说明理由；
（3）如图，分别以的两边，为边向外作等边和等边，连接，，两线交于点请直接写出线段和线段的数量关系及的度数．
22．（2023八上·海淀月考）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE=BD，连接AE交BC于点F，交BD于点H．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：H是AF的中点．
23．（2023七下·于洪期末）在中，，，过点作使点，，按顺时针的顺序排列，过点作直线直线，垂足为点，直线交直线于点，连接．
（1）如图，若，的边都在的内部，作点关于的对称点．
▲ ， ▲ ；填“”“”或“”
求证：．
（2）如图，若，的边都在的外部，当，，的面积为时，请直接写出的长；
（3）若，有一条边在的内部，请直接写出线段，，之间的等量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】∵第一幅图是轴对称图形；第二幅图不是轴对称图形；第三幅图不是轴对称图形；第四幅图是轴对称图形；第五幅图是轴对称图形；
∴共有3个轴对称图形，
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可。
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，∠ABC=75°，
∴∠C=∠ABC=75°，
在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠C=30°，
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴在△ABD中，∠ABD=180°-∠A-∠ADB=60°，
故答案为：C.
【分析】先利用等边对等角的性质及三角形的内角和求出∠A的度数，再利用三角形的内角和求出∠ABD的度数即可.
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：
D在AB的垂直平分线上
∴AD=BD
∵△ABC中，AB=AC=7，BC=4
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=11
故答案为：B
【分析】由作图可得D在AB的垂直平分线上，则AD=BD，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】连接诶OP，OM，ON，如图所示：
∵点M、N分别是点P关于直线OA和OB的对称点，
∴OP=OM=ON，∠OPE=∠OME，∠OPF=∠ONF，∠POE=∠MOE，∠POF=∠NOF，
∴∠OME+∠ONF=∠OPE+∠OPF=∠EPF=110°，
∴∠MON=180°-（∠OME+∠ONF）=70°，
∵∠MON=2∠AOB，
∴∠AOB=∠MON=×70°=35°，
故答案为：A.
【分析】利用轴对称的性质可得OP=OM=ON，∠OPE=∠OME，∠OPF=∠ONF，∠POE=∠MOE，∠POF=∠NOF，再利用角的运算求出∠MON=180°-（∠OME+∠ONF）=70°，再结合∠MON=2∠AOB，求出∠AOB的度数即可.
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有两个内角和是60°的三角形是等边三角形， A不符合题意；
B、有一个角是的等腰三角形， B不符合题意；
C、腰和底相等的等腰三角形， C不符合题意；
D、有两个角相等的等腰三角形，D符合题意；
故答案为D.
【分析】由三角形的定义可知：有两个内角是60°、有一个内角为60°且两边相等的等腰三角形或三边相等的三角形是等边三角形，对应A、B、C选项.
6．【答案】B
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】①∵点P的坐标为（-3，4），∴点到轴的距离为，∴①正确，符合题意；
②∵点P的坐标为（-3，4），∴点到轴的距离为3，∴②不正确，不符合题意；
③∵点P的坐标为（-3，4），∴点在第四象限，∴③不正确，不符合题意；
④∵点P的坐标为（-3，4），∴点到原点的距离为，∴④正确，符合题意；
⑤∵点P的坐标为（-3，4），∴点关于轴的对称点的坐标是，∴⑤正确，符合题意；
综上，正确的结论是①④⑤，共3个，
故答案为：B.
【分析】利用点坐标的定义及点坐标与象限的关系逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】连接PC，
∵EF垂直平分BC，
∴BP=PC，
当A、P、C三点共线时，
AP+PC长度最短为4，
此时△ABP周长的最小值是4+3=7，
故选：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得BP=PC，当A、P、C三点共线时长度最短，求出三角形的周长的最小值即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为△ABC为等腰三角形，AD为角平分线，所以∠B=∠C，BD=CD且AD⊥BC
因为BE=CF，所以△EBD≌△FCD，即②选项正确，③选项正确，④选项正确；
因为∠EAD=∠FAD，AD=DA，AE=AF
所以△AED≌△AFD，所以∠EDA=∠FDA，即AD为∠EDF的平分线，①选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质，即可判断③和④正确，继而由SAS证明△EBD≌△FCD，判断②正确，随后根据SAS证明△AED≌△AFD，由全等三角形的性质判断①选项正确。
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
正确
∴点在的垂直平分线上
正确
都是等腰三角形
正确
在△AED和△BCD中
∴≌
正确
故答案为：A
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理，角平分线性质，直线平行性质，垂线段平分线定理的逆定理，全等三角形的判定定理进行计算求证，即可求出答案。
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴180°-∠ECD＝180°-∠ACB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①小题正确；
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠BPO＝∠APC，
∴∠AOB＝∠ACB＝60°，故②小题正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠DAC，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
在△CQB和△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴AP＝BQ，故③正确；
在AP上截取AH＝OC，
连接BH，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAO＝∠CBO，
∵∠CBO+∠CEB＝∠ACB＝60°，
∴∠CAO+∠CEO＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝60°＝∠ABC，
∵∠APB＝∠CPO，
∴∠BAH＝∠OCB，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△BCO（SAS），
∴BH＝BO，
∵∠AOB＝60°，
∴△BHO是等边三角形，
∴OH＝OB，
∵AO＝AH+OH，
∴AO＝BO+CO．故④正确．
故选：D．
【分析】 根据等边三角形性质可得，全等三角形判定定理可得△ACD≌△BCE，则AD＝BE，故①小题正确；由全等三角形性质可得∠AOB＝∠ACB＝60°，故②小题正确；根据全等三角形判定定理可得△CQB≌△CPA，则AP＝BQ，故③正确；在AP上截取AH＝OC，连接BH，根据全等三角形性质可得∠AOE＝120°，再根据角平分线性质可得∠BAH＝∠OCB，根据全等三角形判定定理可得△ABH≌△BCO，则BH＝BO，可得△BHO是等边三角形，再根据等边三角形性质即可求出答案.
11．【答案】（-3，-1）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】∵点A的坐标为（3，-1），
∴点A关于y轴对称的点坐标为（-3，-1），
故答案为：（-3，-1）.
【分析】根据关于y轴对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变可得答案.
12．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵DE为线段BC的垂直平分线
∴BD=DC
∵△ABD的周长为AB+BD+AD=12
∴AB+DC+AD=AB+AC=12
故答案为：12
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD=DC，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
13．【答案】18
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，连接AM，
∵EF垂直平分线段AC，
∴MA＝MC，
∴DM+MC＝AM+MD，
∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，
∵等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝10，AH＝＝12，
∴DH＝CH-CD＝5，
∴AD＝＝＝13，
∴DM+MC的最小值为13，
∴△CDM周长的最小值＝13+5＝18，
故答案为18．
【分析】作AH⊥BC于H，连接AM，利用轴对称的性质可得DM+MC＝AM+MD，当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，再利用勾股定理求出AD的长，可得DM+MC的最小值为13，最后利用三角形的周长公式求出答案即可.
14．【答案】45o
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠ECF=x，
∵ EC＝EF ，
∴∠EFC=∠ECF=x，
∴∠GEF=∠EFC+∠ECF=2x，
∵ EF＝FG ，
∴∠EGF=∠GEF=2x，
∴∠GFD=∠EGF+∠ACF=3x，
∵ FG＝DG ，
∴∠GDF=∠GFD=3x，
∴∠AGD=∠GDC+∠GCD=4x，
∵ DG＝DA ，
∴∠A=∠AGD=4x，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=5x，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠ACD+∠BCD=5x+x=6x，
∴∠A+∠B+∠ACB=6x+6x+4x=180°，
解得：4x=45°，
∴∠A=45°.
故答案为：45°.
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质进行解答即可.
15．【答案】20
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥OM于点F，
∵BE是线段OA的垂直平分线，
∴OB=AB=10.
∵OP平分∠MON，
∴CF=AC=4，
∴S△OBC=×OB·CF=×10×4=20.
故答案为：20.
【分析】过点C作CF⊥OM于点F，由线段垂直平分线的性质可得OB=AB=10，根据角平分线的性质可得CF=AC=4，然后利用三角形的面积公式进行计算.
16．【答案】（1）证明： 于点
（2）证明：在 Rt 中， ， 同理在 Rt 中， ， 又 平分 ，
又 是等腰三角形。
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用角的运算可得，再利用等角的余角相等可得
（2）先利用角的运算求出，再结合，可得∠CEF=∠CFE，利用等角对等边的性质可得CE=CF，即可得到是等腰三角形.
17．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP=∠C=60°，∠BPQ=∠A=60°，
∵∠B=60°，∴∠B=∠BQP=∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，
∴BP=BQ．由题意可知AP=t，则BP=9-t，∴9-t=6，解得t= 3
（2）解：当点Q在边BC上时，△APQ不可能是等边三角形
当点Q在边AC上时，若△APQ是等边三角形，则AP= AQ．
由题意可知AP=t，BC+OQ=2t，∴AQ=BC+AC-(BC+OQ)=9+9-2t=18-2t，即18-2t=t，解得t= 6，
∴当t=6时，△APQ是等边三角形．
（3）解：a的值为1或
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（3）由题意可得：
BM=t，CN=at，
则CM=BC-BM=8-t
若△PBM≌△NCM
则，即
解得：
若△PBM≌△MCN
则，即
解得：
综上所述，a的值为1或
故答案为：a的值为1或
【分析】（1）根据等边三角形性质，直线平行性质可得∠BQP=∠C=60°，∠BPQ=∠A=60°，则可判定△BPQ是等边三角形， 再根据等边三角形性质即可求出答案.
（2）根据等边三角形的判定定理及性质可得当点Q在边AC上时，若△APQ是等边三角形，则AP= AQ，根据题意求出各边长，根据等边三角形性质即可求出答案.
（3）分△PBM≌△NCM，△PBM≌△MCN，根据全等三角形性质列出方程组，解方程组即可求出答案.
18．【答案】（1）OB＝OP
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°-∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°
（3）解：∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°-（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△POC是等边三角形
（4）解：AB＝OA+AP
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
∵AD⊥BC于D，点O是线段AD上一点
∴OB=OC
∵OP=OC
∴OB=OP
故答案为：OB=OP
（4）在AB上截取BH=AP，连接OH
在△OBH和△OPA中
∴△OBH≌△OPA（SAS）
∴OH=OA
∵∠BAO=60°
∴△AOH是等边三角形
∴AH=AO
∴AB=BH+AH=AP+AO
故答案为：AB＝OA+AP
【分析】（1）根据题意可得OB=OC，由OP=OC可得OB=OP，即可求出答案；
（2）根据等边等对角性质可得BD＝CD，∠BAD＝60°，则OB＝OC，∠ABC＝30°，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案；
（3）根据三角形内角和定理可得∠OPC+∠OCP＝120°，再根据等边三角形判定定理即可求出答案；
（4）根据全等三角形判定定理可得△OBH≌△OPA，则OH=OA，再根据等边三角形判定定理可得△AOH是等边三角形，则AH=AO，即可求出答案.
19．【答案】解：⑴如图，△A′B′C′即为所求，C′的坐标（1，2）；
⑵S△A′B′C′＝2×3- ×1×2- ×1×2- ×1×3＝ ；
⑶如图，点P即为所求，点P的坐标（-3，0）．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】 ⑴ 根据图示写出坐标．
⑵ 用长方形的面积减去三个三角形的面积就是 △A′B′C′的面积．
⑶ 根据图示写出坐标即可．
20．【答案】（1）解：是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，
的周长为，
；
（2）解：连接，如图：
是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，，
；
（3）解：，
，
，，
，，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得DA=DB，EA=EC，推得BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA，即可求解；
（2）连接OA，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=OB，OA=OC，根据题意即可求解；
（3）根据三角形的内角和是180度可求得∠ABC+∠ACB=80°，根据等腰三角形的两个底角度数相等可得∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，即可求解.
21．【答案】（1）；
（2）解：且；
理由如下：，
．
即．
在和中，
，
≌，
，，
，
，
即，
，
，
综上所述：且；
（3）解：如图所示，，，理由如下：
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴，
即
在和中
∴
∴，
故答案为：，.
【分析】（1）由已知条件推出再利用“SAS”证明，即可得出结论；
（2）同理推根据“SAS”证明，得：进而求出，即可得出结论；
（3）根据等边三角形的性质推出，再利用“SAS”证明得：进而求最后利用三角形外角的性质，即可得出结论.
22．【答案】（1）证明：∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABD与Rt△CAE中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴CE＝AD；
（2）证明：由（1）知，CE＝AD，
∵AD＝CF，
∴CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ACE-∠ACB＝90°-45°＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝（180°-45°）＝67.5°，
∴∠AFB＝∠CFE＝67.5°，
∵∠AFB＝∠ACB+∠CAE＝45°+∠CAE，
∴∠CAE＝22.5°，
∴∠BAF＝90°-∠CAE＝67.5°，
∴∠BAF＝∠BFA＝67.5°，
∴BA＝BF，
由（1）知，∠CAE＝∠ABD＝22.5°，
∴∠FBD＝45°-22.5°＝22.5°，
∴∠ABD＝∠FBD，
∴AH＝FH，
∴H是AF的中点．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）从问题入手，线段相等通常证明线段所在三角形全等，按照这个思路找全等条件；直角三角形中，已知有2组边对应相等，可以应用HL定理；（2）要证明H是AF的中点，尝试证明三角形ABF是等腰三角形，试证BH是顶角平分线，则根据三线合一定理就可以证明H是AF的中点；根据已知线段相等的条件，等量代换，可求∠AFB＝∠CFE＝∠CEF＝67.5°根据同角的余角相等可求∠BAF＝67.5°，故可证明AB=AF，根据（1）全等的结论对应角相等也可证BH是顶角平分线，至此整理思路、书写证明过程。
23．【答案】（1）；=；
解：证明：点和点关于对称，
，
由得：，
；
（2）解：如图，
作点关于的对称点，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
可设，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
当在的内部时，
作点关于的对称点，
，
同理得：≌，
，
，
当在的内部时，
作点关于的对称点，
同理可得：≌，
，
综上所述：．
【知识点】轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）连接AC ，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠CAE+∠BAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°；
∵点C和点C 关于直线AE成轴对称，
∴AC=AC ，∠CAM=∠C AM，
∴∠C AM+∠BAF=45°，
∵AB=AC，∴AB=AC ，
∵∠C AM+∠C AN=45°，∴∠BAF+∠C AN=45°，
∴△BAN≌△C AN（SAS），
BN=C N；
故答案为：第一空：45°；第二空：=
【分析】（1）连接AC ，由角的构成和轴对称的性质可得∠CAE+∠BAF=45°；结合已知用边角边可证△BAN≌△C AN，于是可得BN=C N；
（2）作点C关于AE的对称点D，连接AD，由题意用边角边可证△ADN≌△BAN，于是DN=BN=CM+MN，结合已知可设BN=11k，MN=4k，根据三角形ACN的面积可求得CN的值，然后根据CM=CN+MN=6+4k=BNB可得关于k的方程，解方程求出k的值，则CM的值可求解；
（3）由题意分两种情况：
当AF在∠BAC的内部时，作点C关于AE的对称点D，结合（2）的结论可得：BN=MN+CM；
当AE在∠BAC的内部时，作点C关于AE的对称点D，同理可求解.
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人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——第十三章综合测试
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023七上·莱芜期中）下列图案或文字中，是轴对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】∵第一幅图是轴对称图形；第二幅图不是轴对称图形；第三幅图不是轴对称图形；第四幅图是轴对称图形；第五幅图是轴对称图形；
∴共有3个轴对称图形，
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可。
2．（2023八上·西和期中） 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝75°，BD是AC边上的高，则∠ABD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB=AC，∠ABC=75°，
∴∠C=∠ABC=75°，
在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠C=30°，
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴在△ABD中，∠ABD=180°-∠A-∠ADB=60°，
故答案为：C.
【分析】先利用等边对等角的性质及三角形的内角和求出∠A的度数，再利用三角形的内角和求出∠ABD的度数即可.
3．（2023八上·红桥期中）如图，在中，，，分别以、为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点，连接BD，则的周长为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．8
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：
D在AB的垂直平分线上
∴AD=BD
∵△ABC中，AB=AC=7，BC=4
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=11
故答案为：B
【分析】由作图可得D在AB的垂直平分线上，则AD=BD，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
4．（2023八上·五华期中）如图，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F，若∠EPF=110°，则∠AOB的度数是 （ ）
A．35° B．40° C．70° D．80°
【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】连接诶OP，OM，ON，如图所示：
∵点M、N分别是点P关于直线OA和OB的对称点，
∴OP=OM=ON，∠OPE=∠OME，∠OPF=∠ONF，∠POE=∠MOE，∠POF=∠NOF，
∴∠OME+∠ONF=∠OPE+∠OPF=∠EPF=110°，
∴∠MON=180°-（∠OME+∠ONF）=70°，
∵∠MON=2∠AOB，
∴∠AOB=∠MON=×70°=35°，
故答案为：A.
【分析】利用轴对称的性质可得OP=OM=ON，∠OPE=∠OME，∠OPF=∠ONF，∠POE=∠MOE，∠POF=∠NOF，再利用角的运算求出∠MON=180°-（∠OME+∠ONF）=70°，再结合∠MON=2∠AOB，求出∠AOB的度数即可.
5．（2023八上·大岭山期中）下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有两个内角和是60°的三角形是等边三角形， A不符合题意；
B、有一个角是的等腰三角形， B不符合题意；
C、腰和底相等的等腰三角形， C不符合题意；
D、有两个角相等的等腰三角形，D符合题意；
故答案为D.
【分析】由三角形的定义可知：有两个内角是60°、有一个内角为60°且两边相等的等腰三角形或三边相等的三角形是等边三角形，对应A、B、C选项.
6．（2023九上·邵阳月考）关于点，下列说法正确的个数有（ ）
①点到轴的距离为；
②点到轴的距离为；
③点在第四象限；
④点到原点的距离为；
⑤点关于轴的对称点的坐标是．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】点的坐标；关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】①∵点P的坐标为（-3，4），∴点到轴的距离为，∴①正确，符合题意；
②∵点P的坐标为（-3，4），∴点到轴的距离为3，∴②不正确，不符合题意；
③∵点P的坐标为（-3，4），∴点在第四象限，∴③不正确，不符合题意；
④∵点P的坐标为（-3，4），∴点到原点的距离为，∴④正确，符合题意；
⑤∵点P的坐标为（-3，4），∴点关于轴的对称点的坐标是，∴⑤正确，符合题意；
综上，正确的结论是①④⑤，共3个，
故答案为：B.
【分析】利用点坐标的定义及点坐标与象限的关系逐项分析判断即可.
7．（2023八上·聊城月考）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】连接PC，
∵EF垂直平分BC，
∴BP=PC，
当A、P、C三点共线时，
AP+PC长度最短为4，
此时△ABP周长的最小值是4+3=7，
故选：C.
【分析】根据垂直平分线的性质可得BP=PC，当A、P、C三点共线时长度最短，求出三角形的周长的最小值即可.
8．（2023八上·通榆月考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，BE＝CF，则下列说法中正确的有（ ）
①AD平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；③BD＝CD；④AD⊥BC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为△ABC为等腰三角形，AD为角平分线，所以∠B=∠C，BD=CD且AD⊥BC
因为BE=CF，所以△EBD≌△FCD，即②选项正确，③选项正确，④选项正确；
因为∠EAD=∠FAD，AD=DA，AE=AF
所以△AED≌△AFD，所以∠EDA=∠FDA，即AD为∠EDF的平分线，①选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质，即可判断③和④正确，继而由SAS证明△EBD≌△FCD，判断②正确，随后根据SAS证明△AED≌△AFD，由全等三角形的性质判断①选项正确。
9．（2023八上·海淀开学考）如图，在中，，，平分交于点，交于点，下列四个结论：
；
点在的垂直平分线上；
图中共有个等腰三角形；
≌；
其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
正确
∴点在的垂直平分线上
正确
都是等腰三角形
正确
在△AED和△BCD中
∴≌
正确
故答案为：A
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理，角平分线性质，直线平行性质，垂线段平分线定理的逆定理，全等三角形的判定定理进行计算求证，即可求出答案。
10．（2023八上·三台期中） 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下四个结论：①AD＝BE；②∠AOB＝60°；③AP＝BQ；④连接CO，则AO＝BO+CO．恒成立的结论有（ ）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴180°-∠ECD＝180°-∠ACB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①小题正确；
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠BPO＝∠APC，
∴∠AOB＝∠ACB＝60°，故②小题正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠DAC，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
在△CQB和△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴AP＝BQ，故③正确；
在AP上截取AH＝OC，
连接BH，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAO＝∠CBO，
∵∠CBO+∠CEB＝∠ACB＝60°，
∴∠CAO+∠CEO＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝60°＝∠ABC，
∵∠APB＝∠CPO，
∴∠BAH＝∠OCB，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△BCO（SAS），
∴BH＝BO，
∵∠AOB＝60°，
∴△BHO是等边三角形，
∴OH＝OB，
∵AO＝AH+OH，
∴AO＝BO+CO．故④正确．
故选：D．
【分析】 根据等边三角形性质可得，全等三角形判定定理可得△ACD≌△BCE，则AD＝BE，故①小题正确；由全等三角形性质可得∠AOB＝∠ACB＝60°，故②小题正确；根据全等三角形判定定理可得△CQB≌△CPA，则AP＝BQ，故③正确；在AP上截取AH＝OC，连接BH，根据全等三角形性质可得∠AOE＝120°，再根据角平分线性质可得∠BAH＝∠OCB，根据全等三角形判定定理可得△ABH≌△BCO，则BH＝BO，可得△BHO是等边三角形，再根据等边三角形性质即可求出答案.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023八上·莎车期中）点A（3，-1）关于y轴对称的点的坐标是 ．
【答案】（-3，-1）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】∵点A的坐标为（3，-1），
∴点A关于y轴对称的点坐标为（-3，-1），
故答案为：（-3，-1）.
【分析】根据关于y轴对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变可得答案.
12．（2023八上·吉林月考）如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，若△ABD的周长为12cm，
则AB+AC= cm．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵DE为线段BC的垂直平分线
∴BD=DC
∵△ABD的周长为AB+BD+AD=12
∴AB+DC+AD=AB+AC=12
故答案为：12
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD=DC，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
13．（2023七上·莱芜期中）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点D在BC边上，且CD＝5，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为 ．
【答案】18
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，连接AM，
∵EF垂直平分线段AC，
∴MA＝MC，
∴DM+MC＝AM+MD，
∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，
∵等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝10，AH＝＝12，
∴DH＝CH-CD＝5，
∴AD＝＝＝13，
∴DM+MC的最小值为13，
∴△CDM周长的最小值＝13+5＝18，
故答案为18．
【分析】作AH⊥BC于H，连接AM，利用轴对称的性质可得DM+MC＝AM+MD，当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，再利用勾股定理求出AD的长，可得DM+MC的最小值为13，最后利用三角形的周长公式求出答案即可.
14．（2023八上·柯桥期中）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠A＝ °．
【答案】45o
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠ECF=x，
∵ EC＝EF ，
∴∠EFC=∠ECF=x，
∴∠GEF=∠EFC+∠ECF=2x，
∵ EF＝FG ，
∴∠EGF=∠GEF=2x，
∴∠GFD=∠EGF+∠ACF=3x，
∵ FG＝DG ，
∴∠GDF=∠GFD=3x，
∴∠AGD=∠GDC+∠GCD=4x，
∵ DG＝DA ，
∴∠A=∠AGD=4x，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=5x，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠ACD+∠BCD=5x+x=6x，
∴∠A+∠B+∠ACB=6x+6x+4x=180°，
解得：4x=45°，
∴∠A=45°.
故答案为：45°.
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质进行解答即可.
15．（2023八上·吴兴期中）如图，OP是∠MON的平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB=10，CA=4，则 OBC面积为 .
【答案】20
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥OM于点F，
∵BE是线段OA的垂直平分线，
∴OB=AB=10.
∵OP平分∠MON，
∴CF=AC=4，
∴S△OBC=×OB·CF=×10×4=20.
故答案为：20.
【分析】过点C作CF⊥OM于点F，由线段垂直平分线的性质可得OB=AB=10，根据角平分线的性质可得CF=AC=4，然后利用三角形的面积公式进行计算.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023八上·吉林月考）如图，在中，于点D.
（1）求证：
（2）若 AF 平分分别交CD、BC于 点E、F，求证：是等腰三角形.
【答案】（1）证明： 于点
（2）证明：在 Rt 中， ， 同理在 Rt 中， ， 又 平分 ，
又 是等腰三角形。
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用角的运算可得，再利用等角的余角相等可得
（2）先利用角的运算求出，再结合，可得∠CEF=∠CFE，利用等角对等边的性质可得CE=CF，即可得到是等腰三角形.
17．（2023八上·吉林期中）在边长为9cm的等边三角形ABC中，点Q是BC边上的一点，动点P以1cm/s的速度从点A沿AB向点B运动，设运动时间为t（s）．
（1）如图①，若BQ=6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图②，若点P从点A向点B运动的同时，点Q以2cm/s的速度从点B沿BC-CA向点A运动，求t为何值时，OAPQ是等边三角形；
（3）如图③，将边长为9cm的等边三角形ABC变换为以AB、AC为腰、BC为底的等腰三角形，且AB=AC=10cm，BC=8cm，点P运动到AB的中点处停止．点P停止运动后，点M以1cm/s的速度从点B沿BC向点C运动，同时点N以acm/s的速度从点C沿CA向点A运动，当△BPM与△CNM全等时，直接写出a的值．
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP=∠C=60°，∠BPQ=∠A=60°，
∵∠B=60°，∴∠B=∠BQP=∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，
∴BP=BQ．由题意可知AP=t，则BP=9-t，∴9-t=6，解得t= 3
（2）解：当点Q在边BC上时，△APQ不可能是等边三角形
当点Q在边AC上时，若△APQ是等边三角形，则AP= AQ．
由题意可知AP=t，BC+OQ=2t，∴AQ=BC+AC-(BC+OQ)=9+9-2t=18-2t，即18-2t=t，解得t= 6，
∴当t=6时，△APQ是等边三角形．
（3）解：a的值为1或
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（3）由题意可得：
BM=t，CN=at，
则CM=BC-BM=8-t
若△PBM≌△NCM
则，即
解得：
若△PBM≌△MCN
则，即
解得：
综上所述，a的值为1或
故答案为：a的值为1或
【分析】（1）根据等边三角形性质，直线平行性质可得∠BQP=∠C=60°，∠BPQ=∠A=60°，则可判定△BPQ是等边三角形， 再根据等边三角形性质即可求出答案.
（2）根据等边三角形的判定定理及性质可得当点Q在边AC上时，若△APQ是等边三角形，则AP= AQ，根据题意求出各边长，根据等边三角形性质即可求出答案.
（3）分△PBM≌△NCM，△PBM≌△MCN，根据全等三角形性质列出方程组，解方程组即可求出答案.
18．（2023八上·铁西期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，且OP=OC．
（1）请直接写出线段OB和OP之间的数量关系：
（2）请说明：∠APO+∠DCO=30° ；
（3）请说明：△POC是等边三角形；
（4）请直接写出线段AB、OA、AP之间的数量关系．
【答案】（1）OB＝OP
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°-∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°
（3）解：∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°-（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△POC是等边三角形
（4）解：AB＝OA+AP
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
∵AD⊥BC于D，点O是线段AD上一点
∴OB=OC
∵OP=OC
∴OB=OP
故答案为：OB=OP
（4）在AB上截取BH=AP，连接OH
在△OBH和△OPA中
∴△OBH≌△OPA（SAS）
∴OH=OA
∵∠BAO=60°
∴△AOH是等边三角形
∴AH=AO
∴AB=BH+AH=AP+AO
故答案为：AB＝OA+AP
【分析】（1）根据题意可得OB=OC，由OP=OC可得OB=OP，即可求出答案；
（2）根据等边等对角性质可得BD＝CD，∠BAD＝60°，则OB＝OC，∠ABC＝30°，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案；
（3）根据三角形内角和定理可得∠OPC+∠OCP＝120°，再根据等边三角形判定定理即可求出答案；
（4）根据全等三角形判定定理可得△OBH≌△OPA，则OH=OA，再根据等边三角形判定定理可得△AOH是等边三角形，则AH=AO，即可求出答案.
19．（2023八上·聊城月考）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-4，1），B（-3，3），C（-1，2）．
⑴作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出C′的坐标；
⑵求出△A′B′C′的面积；
⑶在x轴上画出点P，使PA+PC最小，并写出点P的坐标．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：⑴如图，△A′B′C′即为所求，C′的坐标（1，2）；
⑵S△A′B′C′＝2×3- ×1×2- ×1×2- ×1×3＝ ；
⑶如图，点P即为所求，点P的坐标（-3，0）．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】 ⑴ 根据图示写出坐标．
⑵ 用长方形的面积减去三个三角形的面积就是 △A′B′C′的面积．
⑶ 根据图示写出坐标即可．
20．（2023八上·宝鸡月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，若的周长为，的周长为．
（1）求线段的长；
（2）连接，求线段的长；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）解：是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，
的周长为，
；
（2）解：连接，如图：
是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
，，
；
（3）解：，
，
，，
，，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得DA=DB，EA=EC，推得BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA，即可求解；
（2）连接OA，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=OB，OA=OC，根据题意即可求解；
（3）根据三角形的内角和是180度可求得∠ABC+∠ACB=80°，根据等腰三角形的两个底角度数相等可得∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，即可求解.
21．（2023七下·丹东期末）
（1）如图，两个等腰三角形和中，，，，连接，则≌ ，此时线段和线段的数量关系是 ；
（2）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和线段的关系，并说明理由；
（3）如图，分别以的两边，为边向外作等边和等边，连接，，两线交于点请直接写出线段和线段的数量关系及的度数．
【答案】（1）；
（2）解：且；
理由如下：，
．
即．
在和中，
，
≌，
，，
，
，
即，
，
，
综上所述：且；
（3）解：如图所示，，，理由如下：
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴，
即
在和中
∴
∴，
故答案为：，.
【分析】（1）由已知条件推出再利用“SAS”证明，即可得出结论；
（2）同理推根据“SAS”证明，得：进而求出，即可得出结论；
（3）根据等边三角形的性质推出，再利用“SAS”证明得：进而求最后利用三角形外角的性质，即可得出结论.
22．（2023八上·海淀月考）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE=BD，连接AE交BC于点F，交BD于点H．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当AD＝CF时，求证：H是AF的中点．
【答案】（1）证明：∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABD与Rt△CAE中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴CE＝AD；
（2）证明：由（1）知，CE＝AD，
∵AD＝CF，
∴CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ACE-∠ACB＝90°-45°＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝（180°-45°）＝67.5°，
∴∠AFB＝∠CFE＝67.5°，
∵∠AFB＝∠ACB+∠CAE＝45°+∠CAE，
∴∠CAE＝22.5°，
∴∠BAF＝90°-∠CAE＝67.5°，
∴∠BAF＝∠BFA＝67.5°，
∴BA＝BF，
由（1）知，∠CAE＝∠ABD＝22.5°，
∴∠FBD＝45°-22.5°＝22.5°，
∴∠ABD＝∠FBD，
∴AH＝FH，
∴H是AF的中点．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）从问题入手，线段相等通常证明线段所在三角形全等，按照这个思路找全等条件；直角三角形中，已知有2组边对应相等，可以应用HL定理；（2）要证明H是AF的中点，尝试证明三角形ABF是等腰三角形，试证BH是顶角平分线，则根据三线合一定理就可以证明H是AF的中点；根据已知线段相等的条件，等量代换，可求∠AFB＝∠CFE＝∠CEF＝67.5°根据同角的余角相等可求∠BAF＝67.5°，故可证明AB=AF，根据（1）全等的结论对应角相等也可证BH是顶角平分线，至此整理思路、书写证明过程。
23．（2023七下·于洪期末）在中，，，过点作使点，，按顺时针的顺序排列，过点作直线直线，垂足为点，直线交直线于点，连接．
（1）如图，若，的边都在的内部，作点关于的对称点．
▲ ， ▲ ；填“”“”或“”
求证：．
（2）如图，若，的边都在的外部，当，，的面积为时，请直接写出的长；
（3）若，有一条边在的内部，请直接写出线段，，之间的等量关系．
【答案】（1）；=；
解：证明：点和点关于对称，
，
由得：，
；
（2）解：如图，
作点关于的对称点，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
可设，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
当在的内部时，
作点关于的对称点，
，
同理得：≌，
，
，
当在的内部时，
作点关于的对称点，
同理可得：≌，
，
综上所述：．
【知识点】轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）连接AC ，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠CAE+∠BAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°；
∵点C和点C 关于直线AE成轴对称，
∴AC=AC ，∠CAM=∠C AM，
∴∠C AM+∠BAF=45°，
∵AB=AC，∴AB=AC ，
∵∠C AM+∠C AN=45°，∴∠BAF+∠C AN=45°，
∴△BAN≌△C AN（SAS），
BN=C N；
故答案为：第一空：45°；第二空：=
【分析】（1）连接AC ，由角的构成和轴对称的性质可得∠CAE+∠BAF=45°；结合已知用边角边可证△BAN≌△C AN，于是可得BN=C N；
（2）作点C关于AE的对称点D，连接AD，由题意用边角边可证△ADN≌△BAN，于是DN=BN=CM+MN，结合已知可设BN=11k，MN=4k，根据三角形ACN的面积可求得CN的值，然后根据CM=CN+MN=6+4k=BNB可得关于k的方程，解方程求出k的值，则CM的值可求解；
（3）由题意分两种情况：
当AF在∠BAC的内部时，作点C关于AE的对称点D，结合（2）的结论可得：BN=MN+CM；
当AE在∠BAC的内部时，作点C关于AE的对称点D，同理可求解.
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