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人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——第十四章综合测试
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·长春期中）若a2-b2=4，a-b=-2，则a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C．-0.5 D．-2
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a2-b2=4
∴ （a+b）（a-b）=4
∵ a-b=-2
∴ a+b=-2
故答案为：D.
【分析】本题考查用平方差因式分解的应用。熟悉平方差公式是关键，a2-b2=（a+b）（a-b），代入求值即可。
2．（2023八上·阳泉月考）已知，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】∵ ， ，
∴x2-x-6=x2+mx+n，
∴m=-1，n=-6。
故答案为：D。
【分析】先计算多项式乘以多项式，再比较即可得出m、n的值。（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
3．（2023八上·江油期中）若计算的结果中不含仿项，则的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
∵结果中不含项
∴-6a-4=0
解得：a=
故答案为：C
【分析】根据多项式×单项式法则进行化简，再根据不含x2项，则系数为0，列出方程即可求出答案.
4．（2023八上·五华期中）若3x＝15，3y＝5，则3x﹣y等于（ ）
A．10 B．5 C．15 D．3
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】∵3x＝15，3y＝5，
∴3x﹣y=，
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的除法的计算方法分析求解即可.
5．（2023八上·阳泉月考）如图，在一块长，宽的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路各与长方形的一条边垂直，剩余部分栽种花草美化环境，设道路的宽度为，则栽种花草的面积表示不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：A：，表示正确，不符合题意；
B：，表示正确，不符合题意；
C：，表示正确，不符合题意；
D：，多加了一个x2，表示错误，不符合题意；
故答案为：D。
【分析】 栽种花草的四部分能够拼成一个大的矩形，其长为（15-x)m，宽为(12-x)m，据此判定即可。
6．（2023八上·长春月考）已知，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：C．
【分析】将代数式根据完全平方公式因式分解，再将整体代入，即可求解．
7．（2023八上·临汾月考） 计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=
=
=
=
=
故答案为：C
【分析】根据积的乘方的法则的逆运算：即可求解.
8．（2023八上·灞桥开学考）若满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设x-2022=a，2023-x=b，则a+b=1，ab=0.25；
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2×0.25=1-0.5=0.5.
故答案为：B.
【分析】设x-2022=a，2023-x=b，则a+b=1，ab=0.25，进而根据完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2-2ab，从而整体代入计算可得答案.
9．（2017八上·莒南期末）已知a+ =3，则a2+ 的值是（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+ =3，
∴ ，
∴ ，
∴a2+ =7，
故选B．
【分析】将题目中的式子完全平方再展开，然后变形即可得到所求式子的结果，本题得以解决．
10．（2022八上·凤台期末）若 ，则 A 为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
解得A=
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式展开可得，再利用待定系数法可得，最后求出A的值即可。
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023八上·江源月考）若am= 4，a2m+n= 128，则an=
【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
故答案为：8
【分析】根据同底数幂的性质及幂的乘方即可求出答案.
12．（2024八上·九台期中）若要使4x2+mx+成为一个两数差的完全平方式，则m的值应为
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：根据题意，完全平方式为（2x-）2=4x2-x+或[2x-（-）]2=4x2+x+，
∴m=±
故答案为：±.
【分析】根据完全平方公式的性质，判断m的值即可。
13．（2023八上·吉林期中）若2x+3·3x+3=36x-2，则x=
【答案】7
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵2x+3·3x+3=36x-2，
∴（2×3）x+3=(62)x-2，
∴6x+3=62(x-2)，
∴x+3=2(x-2），
∴x=7.
故答案为：x=7.
【分析】根据积的乘方以及幂的乘方的性质正确进行计算即可。
14．（2023八上·芝罘期中）若是多项式的一个因式，则k的值是 .
【答案】
【知识点】多项式的概念；因式分解的应用
【解析】【解答】解：令x-2=0，解得：x=2
∵x-2是多项式的一个因式
∴x=2是方程的一个根
代入方程即可k=-4
故答案为：-4
【分析】根据多项式因式分解的定义和性质即可求出答案.
15．（2023八上·芝罘期中）已知m、n互为相反数，且满足，则的值是 .
【答案】3
【知识点】代数式求值；平方差公式及应用；实数的相反数
【解析】【解答】解：
解得：m=1
∴n=-1
∴
故答案为：3
【分析】根据相反数的定义将等式转化为关于m的等式，再根据平方差公式求出m的值，可得n的值，再代入代数式即可求出答案.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、计算题
得分
16．（2024八上·长春期中）因式分解．
（1）4a2x-12ax+9x
（2）（2x+y）2-y2
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
=
=
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提公因式x，再利用完全平方公式分解即可.
（2）先利用平方差公式分解，再对每个因式合并化简，最后再提取公因式2即可.
17．（2023八上·南关期中）因式分解：
（1）4ab-2a2b；
（2）25x2-9y2；
（3）2a2b-8ab2+8b3；
（4）x2（x-3）+9（3-x）．
【答案】（1）解：4ab-2a2b＝2ab（2-a）
（2）解：25x2-9y2＝（5x+3y）（5x-3y）
（3）解：2a2b-8ab2+8b3
＝2b（a2-4ab+4b2）
＝2b（a-2b）2；
（4）解：x2（x-3）+9（3-x）
＝（x-3）（x2-9）
＝（x-3）（x-3）（x+3）
＝（x-3）2（x+3）．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提公因式2ab即可分解；
（2）用平方差公式分解；a2-b2=(a+b)(a-b)；
（3）先提公因式2b，再用完全平方公式分解；a2-2ab+b2=(a-b)2。
（4）先提公因式（x-3)，再用平方差公式分解；
阅卷人 四、解答题
得分
18．（2023八上·阳泉月考）观察下列算式特征，并完成相应任务．
；
；
；
．
（1）任务一：发现与表达
请用含字母的算式表示以上算式的一般特征： ．
（2）任务二：问题与解决
如果，其中，，均为整数，则的取值有____ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（3）任务三：拓展与猜想
若，则 ， ．
【答案】（1）
（2）D
（3）；
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）观察可得，左边是两个一次因式的积，一次项的系数都是1，右边是二次三项式，据此写出一般特征： 。
故答案为： 。
（2）ab=8，a、b是整数，
∴a=1，b=8时，m=a+b=1+8=9；
a=-1，b=-8时，m=a+b=-1-8=-9；
a=2，b=4时，m=a+b=2+4=6；
a=-2，b=-4时，m=a+b=-2-4=-6；
综上分析可得，m的值有4个，
故答案为：D。
（3）∵，
∴，
∴，
故答案为：，。
【分析】（1）观察左边两个一次式与右边二次三项式的系数之间的关系，再把这些特征写出来；
（2）根据（1）可得ab=8，，分4种情况求m的值即可；
（3）先用多项式乘多项式计算，再比较即可得出结论。
19．（2023八上·德惠月考） 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式。
例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）图2所表示的数学等式为
（2）利用(1)得到的结论，解决问题：若a+b+c=12，a2+b2+c2=60，求ab+ac+bc的值；
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，D三点在同一直线上，连接AE、EG，若两正方形的边长满足a+b=15，ab=35，求阴影部分面积．
【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：由（1）得： ab+ac+bc =[（a+b+c）2-( a2+b2+c2 )]
=[122-60]=42
（3）解：阴影部分的面积=a2+b2-(a-b)a-b2=(a2+b2+ab)
=[（(a+b）2-ab]
=（152-35）=95
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图象可得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
【分析】（1）根据大正方形的面积=三个正方形的面积+6个矩形的面积即可得出等式；
（2）利用（1）结论变形，再整体代入即可求解；
（3）阴影部分的面积=正方形ABCD的面积+正方形CEFG的面积-△ADE的面积-△EFG的面积，据此解答即可.
20．（2023八上·济南开学考）求（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字．
【答案】解：原式＝（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝264-1+1
＝264；
∵21=2，22=4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，个位数按照2，4，8，6，
而64＝16×4，
∴原式的个位数字为6．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】利用平方差公式求出原式为264，再求出规律21=2，22=4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，个位数按照2，4，8，6循环，最后求解即可。
21．（2020八上·袁州月考）已知 ， ，求 及 的值．
【答案】解：∵（a+b）2=60，（a-b）2=80，
∴a2+b2+2ab=60①，a2+b2-2ab=80②，
∴①+②得：2（a2+b2）=140，
解得：a2+b2=70，
∴70+2ab=60，
解得：ab=-5．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式的展开，再计算即可。
22．（2020八上·钦南月考）对于任意自然数n，(n+7)2-(n-5)2能否被24整除，为什么？
【答案】解：将式子化简，求出最终式是24的倍数，因此可解答.
(n＋7)2－(n－5)2＝[(n＋7)＋(n－5)][(n＋7)－(n－5)]＝(2n＋2)×12＝2(n＋1)×12＝24(n＋1)，∴(n＋7)2－(n－5)2能被24整除.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】利用平方差公式及提取公因式法将原式分解因式得24(n＋1)， 据此即得结论.
23．（2020八上·松江月考）观察下列方程及其解的特征：
⑴ 的解为 ；
⑵ 的解为 ；
⑶ 的解为 ；
请猜想： 的解为 .
并用因式分解法写出解此方程的详细过程；
解：原方程可化为
【答案】 ， ；
解：原方程可化为 ，
∴ ， (5x-1)(x-5)=0，
∴5x-1=0，x-5=0，
∴ ，
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】由所给例子可知， 的解为 ， .
【分析】移项后用因式分解法求解即可.
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数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·长春期中）若a2-b2=4，a-b=-2，则a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C．-0.5 D．-2
2．（2023八上·阳泉月考）已知，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．（2023八上·江油期中）若计算的结果中不含仿项，则的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
4．（2023八上·五华期中）若3x＝15，3y＝5，则3x﹣y等于（ ）
A．10 B．5 C．15 D．3
5．（2023八上·阳泉月考）如图，在一块长，宽的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路两条道路各与长方形的一条边垂直，剩余部分栽种花草美化环境，设道路的宽度为，则栽种花草的面积表示不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八上·长春月考）已知，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·临汾月考） 计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·灞桥开学考）若满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2017八上·莒南期末）已知a+ =3，则a2+ 的值是（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
10．（2022八上·凤台期末）若 ，则 A 为 （ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023八上·江源月考）若am= 4，a2m+n= 128，则an=
12．（2024八上·九台期中）若要使4x2+mx+成为一个两数差的完全平方式，则m的值应为
13．（2023八上·吉林期中）若2x+3·3x+3=36x-2，则x=
14．（2023八上·芝罘期中）若是多项式的一个因式，则k的值是 .
15．（2023八上·芝罘期中）已知m、n互为相反数，且满足，则的值是 .
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、计算题
得分
16．（2024八上·长春期中）因式分解．
（1）4a2x-12ax+9x
（2）（2x+y）2-y2
17．（2023八上·南关期中）因式分解：
（1）4ab-2a2b；
（2）25x2-9y2；
（3）2a2b-8ab2+8b3；
（4）x2（x-3）+9（3-x）．
阅卷人 四、解答题
得分
18．（2023八上·阳泉月考）观察下列算式特征，并完成相应任务．
；
；
；
．
（1）任务一：发现与表达
请用含字母的算式表示以上算式的一般特征： ．
（2）任务二：问题与解决
如果，其中，，均为整数，则的取值有____ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（3）任务三：拓展与猜想
若，则 ， ．
19．（2023八上·德惠月考） 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式。
例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）图2所表示的数学等式为
（2）利用(1)得到的结论，解决问题：若a+b+c=12，a2+b2+c2=60，求ab+ac+bc的值；
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，D三点在同一直线上，连接AE、EG，若两正方形的边长满足a+b=15，ab=35，求阴影部分面积．
20．（2023八上·济南开学考）求（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字．
21．（2020八上·袁州月考）已知 ， ，求 及 的值．
22．（2020八上·钦南月考）对于任意自然数n，(n+7)2-(n-5)2能否被24整除，为什么？
23．（2020八上·松江月考）观察下列方程及其解的特征：
⑴ 的解为 ；
⑵ 的解为 ；
⑶ 的解为 ；
请猜想： 的解为 .
并用因式分解法写出解此方程的详细过程；
解：原方程可化为
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a2-b2=4
∴ （a+b）（a-b）=4
∵ a-b=-2
∴ a+b=-2
故答案为：D.
【分析】本题考查用平方差因式分解的应用。熟悉平方差公式是关键，a2-b2=（a+b）（a-b），代入求值即可。
2．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】∵ ， ，
∴x2-x-6=x2+mx+n，
∴m=-1，n=-6。
故答案为：D。
【分析】先计算多项式乘以多项式，再比较即可得出m、n的值。（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
3．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
∵结果中不含项
∴-6a-4=0
解得：a=
故答案为：C
【分析】根据多项式×单项式法则进行化简，再根据不含x2项，则系数为0，列出方程即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】∵3x＝15，3y＝5，
∴3x﹣y=，
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的除法的计算方法分析求解即可.
5．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：A：，表示正确，不符合题意；
B：，表示正确，不符合题意；
C：，表示正确，不符合题意；
D：，多加了一个x2，表示错误，不符合题意；
故答案为：D。
【分析】 栽种花草的四部分能够拼成一个大的矩形，其长为（15-x)m，宽为(12-x)m，据此判定即可。
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：C．
【分析】将代数式根据完全平方公式因式分解，再将整体代入，即可求解．
7．【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式=
=
=
=
=
故答案为：C
【分析】根据积的乘方的法则的逆运算：即可求解.
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设x-2022=a，2023-x=b，则a+b=1，ab=0.25；
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2×0.25=1-0.5=0.5.
故答案为：B.
【分析】设x-2022=a，2023-x=b，则a+b=1，ab=0.25，进而根据完全平方公式可得a2+b2=(a+b)2-2ab，从而整体代入计算可得答案.
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+ =3，
∴ ，
∴ ，
∴a2+ =7，
故选B．
【分析】将题目中的式子完全平方再展开，然后变形即可得到所求式子的结果，本题得以解决．
10．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
解得A=
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式展开可得，再利用待定系数法可得，最后求出A的值即可。
11．【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
故答案为：8
【分析】根据同底数幂的性质及幂的乘方即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：根据题意，完全平方式为（2x-）2=4x2-x+或[2x-（-）]2=4x2+x+，
∴m=±
故答案为：±.
【分析】根据完全平方公式的性质，判断m的值即可。
13．【答案】7
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵2x+3·3x+3=36x-2，
∴（2×3）x+3=(62)x-2，
∴6x+3=62(x-2)，
∴x+3=2(x-2），
∴x=7.
故答案为：x=7.
【分析】根据积的乘方以及幂的乘方的性质正确进行计算即可。
14．【答案】
【知识点】多项式的概念；因式分解的应用
【解析】【解答】解：令x-2=0，解得：x=2
∵x-2是多项式的一个因式
∴x=2是方程的一个根
代入方程即可k=-4
故答案为：-4
【分析】根据多项式因式分解的定义和性质即可求出答案.
15．【答案】3
【知识点】代数式求值；平方差公式及应用；实数的相反数
【解析】【解答】解：
解得：m=1
∴n=-1
∴
故答案为：3
【分析】根据相反数的定义将等式转化为关于m的等式，再根据平方差公式求出m的值，可得n的值，再代入代数式即可求出答案.
16．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
=
=
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提公因式x，再利用完全平方公式分解即可.
（2）先利用平方差公式分解，再对每个因式合并化简，最后再提取公因式2即可.
17．【答案】（1）解：4ab-2a2b＝2ab（2-a）
（2）解：25x2-9y2＝（5x+3y）（5x-3y）
（3）解：2a2b-8ab2+8b3
＝2b（a2-4ab+4b2）
＝2b（a-2b）2；
（4）解：x2（x-3）+9（3-x）
＝（x-3）（x2-9）
＝（x-3）（x-3）（x+3）
＝（x-3）2（x+3）．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提公因式2ab即可分解；
（2）用平方差公式分解；a2-b2=(a+b)(a-b)；
（3）先提公因式2b，再用完全平方公式分解；a2-2ab+b2=(a-b)2。
（4）先提公因式（x-3)，再用平方差公式分解；
18．【答案】（1）
（2）D
（3）；
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）观察可得，左边是两个一次因式的积，一次项的系数都是1，右边是二次三项式，据此写出一般特征： 。
故答案为： 。
（2）ab=8，a、b是整数，
∴a=1，b=8时，m=a+b=1+8=9；
a=-1，b=-8时，m=a+b=-1-8=-9；
a=2，b=4时，m=a+b=2+4=6；
a=-2，b=-4时，m=a+b=-2-4=-6；
综上分析可得，m的值有4个，
故答案为：D。
（3）∵，
∴，
∴，
故答案为：，。
【分析】（1）观察左边两个一次式与右边二次三项式的系数之间的关系，再把这些特征写出来；
（2）根据（1）可得ab=8，，分4种情况求m的值即可；
（3）先用多项式乘多项式计算，再比较即可得出结论。
19．【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：由（1）得： ab+ac+bc =[（a+b+c）2-( a2+b2+c2 )]
=[122-60]=42
（3）解：阴影部分的面积=a2+b2-(a-b)a-b2=(a2+b2+ab)
=[（(a+b）2-ab]
=（152-35）=95
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图象可得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
【分析】（1）根据大正方形的面积=三个正方形的面积+6个矩形的面积即可得出等式；
（2）利用（1）结论变形，再整体代入即可求解；
（3）阴影部分的面积=正方形ABCD的面积+正方形CEFG的面积-△ADE的面积-△EFG的面积，据此解答即可.
20．【答案】解：原式＝（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝264-1+1
＝264；
∵21=2，22=4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，个位数按照2，4，8，6，
而64＝16×4，
∴原式的个位数字为6．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】利用平方差公式求出原式为264，再求出规律21=2，22=4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，个位数按照2，4，8，6循环，最后求解即可。
21．【答案】解：∵（a+b）2=60，（a-b）2=80，
∴a2+b2+2ab=60①，a2+b2-2ab=80②，
∴①+②得：2（a2+b2）=140，
解得：a2+b2=70，
∴70+2ab=60，
解得：ab=-5．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式的展开，再计算即可。
22．【答案】解：将式子化简，求出最终式是24的倍数，因此可解答.
(n＋7)2－(n－5)2＝[(n＋7)＋(n－5)][(n＋7)－(n－5)]＝(2n＋2)×12＝2(n＋1)×12＝24(n＋1)，∴(n＋7)2－(n－5)2能被24整除.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】利用平方差公式及提取公因式法将原式分解因式得24(n＋1)， 据此即得结论.
23．【答案】 ， ；
解：原方程可化为 ，
∴ ， (5x-1)(x-5)=0，
∴5x-1=0，x-5=0，
∴ ，
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】由所给例子可知， 的解为 ， .
【分析】移项后用因式分解法求解即可.
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