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人教版2023-2024年数学九年级第一学期期末扫盲清障复习卷——22.1二次函数的图像与性质
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·吉林期中）已知，点P1（-3，y1），P2（1，y2），P3（3，y3）均在二次函数y=-x2+4x-c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为y=-x2+4x-c，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵点P3的坐标为（3，y3），
∴点P3关于直线x=2的对称点为P4（1，y3），
∴点P2与P4时同一点，即y3=y2，
∵抛物线的开口向下，
∴当x<2时，y随x的增大而增大，
∵-3<1，
∴y1故答案为：D.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数的性质分析求解即可.
2．（2023九上·吉林期中）二次函数y=2x2+4x-6化成y=a（x-h）2+k的形式为（ ）
A．y=2（x-1）2+8 B．y= 2（x+1）2-4
C．y=2（x+1）2-8 D．y=2（x+2）2-10
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=2x2+4x-6，
∴y=2x2+4x-6=2（x+1）2-8.
故答案为：C.
【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可.
3．（2023九上·和平期中）二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．向下、直线、 B．向下、直线、
C．向下、直线、 D．向上、直线、
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解： ，
，∵a=-5＜0，∴抛物线开口向下，
对称轴为直线x=-2，顶点为（-2，-6），
故答案为：B.
【分析】抛物线（a≠0）的对称轴为直线x=h，顶点为（h，k），a的符号确定a的开口方向，据此判断即可.
4．（2023九上·长春月考）将抛物线y=2（x-1）2-3先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后拋物线的顶点坐标为（ ）
A．（-2，-1） B．（-2，-5） C．（4，-1） D．（4，-5）
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： 抛物线y=2（x-1）2-3先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后拋物线的解析式为：y=2（x-1-3）2-3-2，即y=2（x-4）2-5，
平移后拋物线的顶点坐标为 ：（4，-5）。
故答案为：D.
【分析】抛物线平移的规律是：左加右减自变量，上加下减因变量。
5．（2023九上·吐鲁番期中）已知二次函数在时，函数有最大值1，则a的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数的解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线x=，
将y=1代入，
可得：，
解得：x1=-1，x2=3，
①当1≤a≤x≤a+2时，在x=a+2=3时取得最大值，可得a=1；
②当a≤x≤a+2≤1时，在x=a=-1时取得最大值，可得a=-1；
综上，a的值为±1，
故答案为：A.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再将y=1代入求出x的值，再分类讨论求解即可.
6．（2023九上·吐鲁番期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、根据一次函数的图象可得m<0，n<0，根据二次函数的图象可得m>0，∴A不正确；
B、根据一次函数的图象可得m>0，n>0，根据二次函数的图象可得m>0，n>0，但是二次函数的图象没有过原点，∴B不正确；
C、根据一次函数的图象可得m<0，n>0，根据二次函数的图象可得m<0，n>0，∴C正确；
D、根据一次函数的图象可得m>0，n<0，根据二次函数的图象可得m<0，n<0，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用一次函数的图象和二次函数的图象与系数的关系判断出m、n的正负，再逐项分析判断即可.
7．（2023九上·芜湖期中）已知函数，下列结论错误的是（ ）．
A．当时，随的增大而增大
B．当时，函数图象的顶点坐标是
C．当时，若，则随的增大而减小
D．无论取何值，函数图象不经过同一个点
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、当m=0时，函数解析式为，此时函数值y随x的增大而增大，∴A正确，不符合题意；
B、当时，函数解析式为，∴抛物线的顶点坐标为，∴B正确，不符合题意；
C、当m=-1时，函数解析式为，∴当时，函数值y随x的增大而增大，∴C不正确，符合题意；
D、∵，∴当x=1时，y=0，∴无论取何值，函数图象都经过同一个点（1，0），∴D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将各选项中m的值分别代入，再逐项分析判断即可.
8．（2023九上·怀远期中）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【知识点】二次函数的定义；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由题意得且
解得 且 .
故答案为：D.
【分析】根据 二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， 利用判别式且即可得出结论.
9．（2023九上·铜陵期中）关于二次函数，以下说法正确的是（ ）
A．当时，随增大而减小 B．当时，随增大而增大
C．当时，随增大而增大 D．当时，随增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：a=-1，则开口向下，对称轴为x=2，
则x＞2时，y随x增大而减小，x＜2时y随x增大而增大。
故答案为：D
【分析】根据二次函数解析式判断a值，开口方向，对称轴，则可判断对称性，即可求解。
10．（2023九上·铜陵期中）已知方程可以配方成的形式，那么的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2022
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： 展开得：x2-2px+p2-7=0，结合
则-2p=-6，p2-7=q
解得：p=3，q=2
则 =2022×3-2022×2=2022
故答案为：D
【分析】把 展开，结合 ，可求出q，p的值，代入求解即可。
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·吉林期中）已知二次函数y=a（x-1）2-a+1，当≤k≤2时，函数有最大值2a，则a= ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=a（x-1）2-a+1的对称轴为直线x=1，
①当a<0时，
∴当x=1时，函数值y取到最大值，
∵当≤k≤2时，函数有最大值2a，
∴当x=1时，y=2a，
∴-a+1=2a，
解得：a=（舍）；
②当a>0时，
∴当x=1时，函数值y取到最小值，
∵当≤k≤2时，函数有最大值2a，
∴当x=2时，y=2a，
∴a-a+1=2a，
解得：a=，
综上，a的值为，
故答案为：.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再分类讨论：①当a<0时，②当a>0时，再分别利用当≤k≤2时，函数有最大值2a，列出方程求解即可.
12．（2023九上·普陀期中）抛物线的对称轴是直线，那么b的值为 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】 物线的对称轴是：，
解得：b=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据抛物线的对称轴公式直接求解。
13．（2023九上·禄劝开学考）如果函数是二次函数，那么的值为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：m-3≠0，解得m≠3，，解得m=3或m=-1，综上m=-1
故答案为：-1.
【分析】由二次函数的定义解题即可。
14．（2023九上·吉林期中）已知抛物线y=-x2-6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是
【答案】m<-9
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2-6x+m与x轴没有交点，
∴
∴ 36+4m＜0
∴ m＜-9
则 m的取值范围是 m＜-9
故答案为：m＜-9.
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题。当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点.
15．（2023九上·宁江期中）若点N是点M（4，1）关于抛物线y=x2-2x-2的对称轴的对称点，则点N的坐标是
【答案】（-2，1）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-2x-2的对称轴为直线x=，
∴点M(4，1)关于直线x=1的对称点为（-2，1），
故答案为：（-2，1）.
【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用关于直线x=1对称的点坐标的特征求解即可.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，抛物线与轴交于原点与点，点为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知，将该抛物线向下平移个单位长度，若平移后的拋物线与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线的解析式为
（2）解：的取值范围是
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】（1）将点O（0，0）代入，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
故答案为：；
（2）根据（1）中的函数解析式可得点B的坐标为（2，-2），
当k=0时，抛物线与线段BQ有一个公共点为点B，
将x=-1代入抛物线的函数解析式得：，
∵，
∴将抛物线向下平移2个单位长度时，抛物线与线段BQ的公共点为点Q，
若再向下平移，则线段BQ与抛物线没有公共点，
∴k的取值范围是，
故答案为：.
【分析】（1）将点（0，0）代入解析式求出a的值即可；
（2）根据“ 平移后的拋物线与线段只有一个公共点 ”列出算式求解即可.
17．（2023九上·普陀期中）已知抛物线与x轴交于点，其顶点记作点P．
（1）求此抛物线的顶点P的坐标．
（2）将抛物线向左平移m（）个单位，使其顶点落在直线上，求平移后新抛物线的表达式．
【答案】（1）解：将点代入得
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∴此抛物线的顶点P的坐标为；
（2）解：由题意得平移后的抛物线的表达式为，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
∵顶点落在直线上，
∴，
解得，
∴平移后新抛物线的表达式为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的表达式，再配成顶点式，利用二次函数的性质求解；
（2）利用二次函数图象平移的性质：左加右减自变量，上加下减因变量，结合顶点在直线y=x上求解。
18．（2023九上·怀远期中）已知抛物线，当时，求该函数的最大值.
【答案】解：∵，
∴对称轴为，当时，函数的最小值为，
当时，，当时，，
∴当时，函数的最大值为2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】现将 抛物线化为顶点式，得到对称轴，进而得出最小值为-2，再结合 ，当时，，当时，， 进而得出结论.
19．已知某抛物线与抛物线y=x2-3的形状和开口方向都相同，且顶点坐标为(-2，4)．
（1）求这条抛物线的函数表达式，
（2）给出一种平移方案，使第(1)题中的抛物线平移后经过原点．
【答案】（1）解：由题意得，
抛物线的函数表达式为：y=（x+2）2+4；
（2）解：答案不唯一，向左平移2个单位，或向右平移6个单位，或向下平移3个单位等.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（2）利用 某抛物线与抛物线y=x2-3的形状和开口方向都相同，可知a的值相等，再利用顶点坐标为 (-2，4) ，可得到抛物线的解析式.
（2）利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，再抓住关键已知条件： 使第(1)题中的抛物线平移后经过原点，可得到一种平移的方案.
20．已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过B(-1，0)，C(2，3)两点
（1）求此二次函数的表达式．
（2）如果此二次函数的图象沿y轴平移一次后过点(-2，1)，试确定这次平移的方向和距离．
【答案】（1）解：将点B(-1，0)，C(2，3) 代入二次函数y=-x2+bx+c中得，
，
解得：，
所以此二次函数的表达式为：y=-x2+2x+3；
（2）解：由y=-x2+2x+3得到：y=-（x-1）2+4
设抛物线y=-（x-1）2+4平移后的函数表达式为y=-（x-1）2+4+m，
把(-2，1)代入，得-（-2-1）2+4+m=1，
解得m= 6，
所以将抛物线y=-（x-1）2+4沿y轴向上平移6个单位长度后，即可经过点(-2，1).
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）分别将点B，C的坐标代入函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，即可得到函数解析式.
（2）将函数解析式转化为顶点式，根据题意设平移后的函数表达式为y=-（x-1）2+4+m，将点（-2，1）代入函数解析式，可求出m的值，即可得到这次平移的方向和距离.
21．（2023九上·通州期中） 已知二次函数在和时的函数值相等.
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N.当时，求b的值.
【答案】（1）解：∵二次函数在和时函数值相等，
∴对称轴为直线.
（2）解：∵过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N，
设点M在点N的左侧，
∵对称轴为直线，，
∴点M的坐标为，点N的坐标为
∴，，
∴，
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据 二次函数在和时的函数值相等，利用中点坐标公式，即可求得对称轴；
（2） 过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N， 设点M在点N的左侧， 根据对称轴为 直线，， 即可求得点M、N的坐标，进而求出a、b的值.
阅卷人 四、综合题
得分
22．（2023九上·茶山期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵点A的坐标为（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）．
将（-1，0），（3，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝-x2+2x+3；
（2）解：∵直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为（m，-m2+2m+3），点N的坐标为（m，0），
∴MN＝-m2+2m+3，AN＝m+1，
∴AN+MN＝m+1+（-m2+2m+3）＝-m2+3m+4＝-（m-）2+，
∵-1＜0，且0＜m＜3，
∴当m＝时，AN+MN有最大值，最大值为；
（3）解：∵y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4，
∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y＝-x2+4．
当x＝时，y＝-（）2+2×+3＝，
∴点M的坐标为（，）．
假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，-n2+4）．
①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分，
∴，
解得：n＝-，
∴点Q的坐标为（-，）；
②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分，
∴＝，
解得：n＝-，
∴点Q的坐标为（-，）；
③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分，
∴＝，
解得：n＝，
∴点Q的坐标为（，-）．
综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为（-，）或（-，）或（，-）．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性得出抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），把点 A（-1，0）、B（0，3）和点（3，0）的坐标代入y＝ax2+bx+c，求出a，b，c的值，即可得出答案；
（2）求出点M和点N的坐标，得出MN和AN的值，从而得出AN+MN=-（m-）2+，再根据二次函数的性质即可得出答案；
（3）把m的值代入抛物线的解析式求出y的值，得出点M的坐标；根据平移的规律得出平移后的抛物线的解析式，设点Q的坐标为（n，-n2+4），分三种情况讨论：①当AM为对角线时，②当AP为对角线时，③当AQ为对角线时，根据对角线互相平分分别列出关于n的等式，求出n的值，即可得出答案．
23．（2023九上·宣城月考）已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点，，如图所示.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与轴的另一交点为，抛物线的顶点为，试求出点的坐标和的面积；
（3）是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为2：3的两部分，请直接写出点的坐标.
【答案】（1）解：解方程，得，.
由，有，.
所以点A，B的坐标分别为，.
将，的坐标分别代入，
得解这个方程组，得
所以抛物线的解析式为.
（2）解：由，令，得.
解这个方程，得，.
所以点C的坐标为，由顶点坐标公式计算，得点.
过D作轴的垂线交轴于，如图所示.
则.
，.
所以
（3）或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）设点的坐标为
因为线段过B，C两点，所以所在的直线方程为.
那么，与直线的交点坐标为，与抛物线的交点坐标为.
由题意，得
①，即
解这个方程，得或（舍去）.
②，得.
解这个方程，得或（舍去）.
点的坐标为或.
【分析】（1）根据方程的解析式求出m和n的值，即可得到点A和点B的坐标，代入抛物线解析式求出答案即可；
（2）根据（1）中抛物线的解析式求出点C以及点D的坐标，结合三角形的面积公式，利用作差法求出△BCD的面积即可；
（3）根据待定系数法求出直线BC的解析式，根据等高三角形面积比为底边的比分类讨论，求出p点的坐标。
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题号 一 二 三 四 总分
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第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·吉林期中）已知，点P1（-3，y1），P2（1，y2），P3（3，y3）均在二次函数y=-x2+4x-c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y12．（2023九上·吉林期中）二次函数y=2x2+4x-6化成y=a（x-h）2+k的形式为（ ）
A．y=2（x-1）2+8 B．y= 2（x+1）2-4
C．y=2（x+1）2-8 D．y=2（x+2）2-10
3．（2023九上·和平期中）二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．向下、直线、 B．向下、直线、
C．向下、直线、 D．向上、直线、
4．（2023九上·长春月考）将抛物线y=2（x-1）2-3先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后拋物线的顶点坐标为（ ）
A．（-2，-1） B．（-2，-5） C．（4，-1） D．（4，-5）
5．（2023九上·吐鲁番期中）已知二次函数在时，函数有最大值1，则a的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
6．（2023九上·吐鲁番期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·芜湖期中）已知函数，下列结论错误的是（ ）．
A．当时，随的增大而增大
B．当时，函数图象的顶点坐标是
C．当时，若，则随的增大而减小
D．无论取何值，函数图象不经过同一个点
8．（2023九上·怀远期中）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
9．（2023九上·铜陵期中）关于二次函数，以下说法正确的是（ ）
A．当时，随增大而减小 B．当时，随增大而增大
C．当时，随增大而增大 D．当时，随增大而减小
10．（2023九上·铜陵期中）已知方程可以配方成的形式，那么的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2022
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·吉林期中）已知二次函数y=a（x-1）2-a+1，当≤k≤2时，函数有最大值2a，则a= ．
12．（2023九上·普陀期中）抛物线的对称轴是直线，那么b的值为 ．
13．（2023九上·禄劝开学考）如果函数是二次函数，那么的值为 ．
14．（2023九上·吉林期中）已知抛物线y=-x2-6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是
15．（2023九上·宁江期中）若点N是点M（4，1）关于抛物线y=x2-2x-2的对称轴的对称点，则点N的坐标是
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，抛物线与轴交于原点与点，点为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知，将该抛物线向下平移个单位长度，若平移后的拋物线与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围．
17．（2023九上·普陀期中）已知抛物线与x轴交于点，其顶点记作点P．
（1）求此抛物线的顶点P的坐标．
（2）将抛物线向左平移m（）个单位，使其顶点落在直线上，求平移后新抛物线的表达式．
18．（2023九上·怀远期中）已知抛物线，当时，求该函数的最大值.
19．已知某抛物线与抛物线y=x2-3的形状和开口方向都相同，且顶点坐标为(-2，4)．
（1）求这条抛物线的函数表达式，
（2）给出一种平移方案，使第(1)题中的抛物线平移后经过原点．
20．已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过B(-1，0)，C(2，3)两点
（1）求此二次函数的表达式．
（2）如果此二次函数的图象沿y轴平移一次后过点(-2，1)，试确定这次平移的方向和距离．
21．（2023九上·通州期中） 已知二次函数在和时的函数值相等.
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N.当时，求b的值.
阅卷人 四、综合题
得分
22．（2023九上·茶山期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
23．（2023九上·宣城月考）已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点，，如图所示.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与轴的另一交点为，抛物线的顶点为，试求出点的坐标和的面积；
（3）是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为2：3的两部分，请直接写出点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为y=-x2+4x-c，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵点P3的坐标为（3，y3），
∴点P3关于直线x=2的对称点为P4（1，y3），
∴点P2与P4时同一点，即y3=y2，
∵抛物线的开口向下，
∴当x<2时，y随x的增大而增大，
∵-3<1，
∴y1故答案为：D.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数的性质分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=2x2+4x-6，
∴y=2x2+4x-6=2（x+1）2-8.
故答案为：C.
【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可.
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解： ，
，∵a=-5＜0，∴抛物线开口向下，
对称轴为直线x=-2，顶点为（-2，-6），
故答案为：B.
【分析】抛物线（a≠0）的对称轴为直线x=h，顶点为（h，k），a的符号确定a的开口方向，据此判断即可.
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解： 抛物线y=2（x-1）2-3先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后拋物线的解析式为：y=2（x-1-3）2-3-2，即y=2（x-4）2-5，
平移后拋物线的顶点坐标为 ：（4，-5）。
故答案为：D.
【分析】抛物线平移的规律是：左加右减自变量，上加下减因变量。
5．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数的解析式为，
∴二次函数的对称轴为直线x=，
将y=1代入，
可得：，
解得：x1=-1，x2=3，
①当1≤a≤x≤a+2时，在x=a+2=3时取得最大值，可得a=1；
②当a≤x≤a+2≤1时，在x=a=-1时取得最大值，可得a=-1；
综上，a的值为±1，
故答案为：A.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再将y=1代入求出x的值，再分类讨论求解即可.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、根据一次函数的图象可得m<0，n<0，根据二次函数的图象可得m>0，∴A不正确；
B、根据一次函数的图象可得m>0，n>0，根据二次函数的图象可得m>0，n>0，但是二次函数的图象没有过原点，∴B不正确；
C、根据一次函数的图象可得m<0，n>0，根据二次函数的图象可得m<0，n>0，∴C正确；
D、根据一次函数的图象可得m>0，n<0，根据二次函数的图象可得m<0，n<0，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用一次函数的图象和二次函数的图象与系数的关系判断出m、n的正负，再逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、当m=0时，函数解析式为，此时函数值y随x的增大而增大，∴A正确，不符合题意；
B、当时，函数解析式为，∴抛物线的顶点坐标为，∴B正确，不符合题意；
C、当m=-1时，函数解析式为，∴当时，函数值y随x的增大而增大，∴C不正确，符合题意；
D、∵，∴当x=1时，y=0，∴无论取何值，函数图象都经过同一个点（1，0），∴D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将各选项中m的值分别代入，再逐项分析判断即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的定义；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由题意得且
解得 且 .
故答案为：D.
【分析】根据 二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， 利用判别式且即可得出结论.
9．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：a=-1，则开口向下，对称轴为x=2，
则x＞2时，y随x增大而减小，x＜2时y随x增大而增大。
故答案为：D
【分析】根据二次函数解析式判断a值，开口方向，对称轴，则可判断对称性，即可求解。
10．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： 展开得：x2-2px+p2-7=0，结合
则-2p=-6，p2-7=q
解得：p=3，q=2
则 =2022×3-2022×2=2022
故答案为：D
【分析】把 展开，结合 ，可求出q，p的值，代入求解即可。
11．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=a（x-1）2-a+1的对称轴为直线x=1，
①当a<0时，
∴当x=1时，函数值y取到最大值，
∵当≤k≤2时，函数有最大值2a，
∴当x=1时，y=2a，
∴-a+1=2a，
解得：a=（舍）；
②当a>0时，
∴当x=1时，函数值y取到最小值，
∵当≤k≤2时，函数有最大值2a，
∴当x=2时，y=2a，
∴a-a+1=2a，
解得：a=，
综上，a的值为，
故答案为：.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再分类讨论：①当a<0时，②当a>0时，再分别利用当≤k≤2时，函数有最大值2a，列出方程求解即可.
12．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】 物线的对称轴是：，
解得：b=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据抛物线的对称轴公式直接求解。
13．【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：m-3≠0，解得m≠3，，解得m=3或m=-1，综上m=-1
故答案为：-1.
【分析】由二次函数的定义解题即可。
14．【答案】m<-9
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2-6x+m与x轴没有交点，
∴
∴ 36+4m＜0
∴ m＜-9
则 m的取值范围是 m＜-9
故答案为：m＜-9.
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题。当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点.
15．【答案】（-2，1）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-2x-2的对称轴为直线x=，
∴点M(4，1)关于直线x=1的对称点为（-2，1），
故答案为：（-2，1）.
【分析】先求出抛物线的对称轴，再利用关于直线x=1对称的点坐标的特征求解即可.
16．【答案】（1）解：抛物线的解析式为
（2）解：的取值范围是
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】（1）将点O（0，0）代入，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
故答案为：；
（2）根据（1）中的函数解析式可得点B的坐标为（2，-2），
当k=0时，抛物线与线段BQ有一个公共点为点B，
将x=-1代入抛物线的函数解析式得：，
∵，
∴将抛物线向下平移2个单位长度时，抛物线与线段BQ的公共点为点Q，
若再向下平移，则线段BQ与抛物线没有公共点，
∴k的取值范围是，
故答案为：.
【分析】（1）将点（0，0）代入解析式求出a的值即可；
（2）根据“ 平移后的拋物线与线段只有一个公共点 ”列出算式求解即可.
17．【答案】（1）解：将点代入得
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∴此抛物线的顶点P的坐标为；
（2）解：由题意得平移后的抛物线的表达式为，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
∵顶点落在直线上，
∴，
解得，
∴平移后新抛物线的表达式为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的表达式，再配成顶点式，利用二次函数的性质求解；
（2）利用二次函数图象平移的性质：左加右减自变量，上加下减因变量，结合顶点在直线y=x上求解。
18．【答案】解：∵，
∴对称轴为，当时，函数的最小值为，
当时，，当时，，
∴当时，函数的最大值为2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】现将 抛物线化为顶点式，得到对称轴，进而得出最小值为-2，再结合 ，当时，，当时，， 进而得出结论.
19．【答案】（1）解：由题意得，
抛物线的函数表达式为：y=（x+2）2+4；
（2）解：答案不唯一，向左平移2个单位，或向右平移6个单位，或向下平移3个单位等.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（2）利用 某抛物线与抛物线y=x2-3的形状和开口方向都相同，可知a的值相等，再利用顶点坐标为 (-2，4) ，可得到抛物线的解析式.
（2）利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，再抓住关键已知条件： 使第(1)题中的抛物线平移后经过原点，可得到一种平移的方案.
20．【答案】（1）解：将点B(-1，0)，C(2，3) 代入二次函数y=-x2+bx+c中得，
，
解得：，
所以此二次函数的表达式为：y=-x2+2x+3；
（2）解：由y=-x2+2x+3得到：y=-（x-1）2+4
设抛物线y=-（x-1）2+4平移后的函数表达式为y=-（x-1）2+4+m，
把(-2，1)代入，得-（-2-1）2+4+m=1，
解得m= 6，
所以将抛物线y=-（x-1）2+4沿y轴向上平移6个单位长度后，即可经过点(-2，1).
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）分别将点B，C的坐标代入函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，即可得到函数解析式.
（2）将函数解析式转化为顶点式，根据题意设平移后的函数表达式为y=-（x-1）2+4+m，将点（-2，1）代入函数解析式，可求出m的值，即可得到这次平移的方向和距离.
21．【答案】（1）解：∵二次函数在和时函数值相等，
∴对称轴为直线.
（2）解：∵过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N，
设点M在点N的左侧，
∵对称轴为直线，，
∴点M的坐标为，点N的坐标为
∴，，
∴，
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据 二次函数在和时的函数值相等，利用中点坐标公式，即可求得对称轴；
（2） 过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N， 设点M在点N的左侧， 根据对称轴为 直线，， 即可求得点M、N的坐标，进而求出a、b的值.
22．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵点A的坐标为（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）．
将（-1，0），（3，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝-x2+2x+3；
（2）解：∵直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为（m，-m2+2m+3），点N的坐标为（m，0），
∴MN＝-m2+2m+3，AN＝m+1，
∴AN+MN＝m+1+（-m2+2m+3）＝-m2+3m+4＝-（m-）2+，
∵-1＜0，且0＜m＜3，
∴当m＝时，AN+MN有最大值，最大值为；
（3）解：∵y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4，
∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y＝-x2+4．
当x＝时，y＝-（）2+2×+3＝，
∴点M的坐标为（，）．
假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，-n2+4）．
①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分，
∴，
解得：n＝-，
∴点Q的坐标为（-，）；
②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分，
∴＝，
解得：n＝-，
∴点Q的坐标为（-，）；
③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分，
∴＝，
解得：n＝，
∴点Q的坐标为（，-）．
综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为（-，）或（-，）或（，-）．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性得出抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），把点 A（-1，0）、B（0，3）和点（3，0）的坐标代入y＝ax2+bx+c，求出a，b，c的值，即可得出答案；
（2）求出点M和点N的坐标，得出MN和AN的值，从而得出AN+MN=-（m-）2+，再根据二次函数的性质即可得出答案；
（3）把m的值代入抛物线的解析式求出y的值，得出点M的坐标；根据平移的规律得出平移后的抛物线的解析式，设点Q的坐标为（n，-n2+4），分三种情况讨论：①当AM为对角线时，②当AP为对角线时，③当AQ为对角线时，根据对角线互相平分分别列出关于n的等式，求出n的值，即可得出答案．
23．【答案】（1）解：解方程，得，.
由，有，.
所以点A，B的坐标分别为，.
将，的坐标分别代入，
得解这个方程组，得
所以抛物线的解析式为.
（2）解：由，令，得.
解这个方程，得，.
所以点C的坐标为，由顶点坐标公式计算，得点.
过D作轴的垂线交轴于，如图所示.
则.
，.
所以
（3）或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）设点的坐标为
因为线段过B，C两点，所以所在的直线方程为.
那么，与直线的交点坐标为，与抛物线的交点坐标为.
由题意，得
①，即
解这个方程，得或（舍去）.
②，得.
解这个方程，得或（舍去）.
点的坐标为或.
【分析】（1）根据方程的解析式求出m和n的值，即可得到点A和点B的坐标，代入抛物线解析式求出答案即可；
（2）根据（1）中抛物线的解析式求出点C以及点D的坐标，结合三角形的面积公式，利用作差法求出△BCD的面积即可；
（3）根据待定系数法求出直线BC的解析式，根据等高三角形面积比为底边的比分类讨论，求出p点的坐标。
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