登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教版2023-2024年数学九年级第一学期期末扫盲清障复习卷——22.2二次函数与一元二次方程
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·兰州期中） 根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·怀远期中）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
3．（2023九上·吉林期中）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x=-1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程ax2+bx+c= 0的根为（ ）
A．x1=1，x2=-3 B．x1=-1，x2=3
C．x1=1，x2= D．x1=-1，x2=
4．（2023九上·裕安月考）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2023九上·淮南月考）关于x的一元二次方程a（x+2）（x－1）+b＝0（a＜0，b＜0）的解为x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是
A．-2＜x1＜x2＜1 B．-2＜x1＜1＜x2
C．x1＜-2＜x2＜1 D．x1＜-2＜1＜x2
6．（2023九上·盐山月考）已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·路桥月考）如图，二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的值随值的增大而减小
C．
D．函数值有最小值
8．（2023九上·霍邱月考）如图，抛物线为常数，且关于直线对称，与轴的其中一个交点坐标为下列结论中：；关于的一元二次方程的解是，；；其中不正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·淮南月考）关于的一元二次方程的解为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023九上·路桥月考）三个方程，，的正根分别记为，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2024九上·丰台期中） 二次函数y＝x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点，则c的值为 ．
12．（2023九上·东光月考）如图，抛物线的对称轴为，点是抛物线与轴的一个交点，若点的坐标为，则关于的一元二次方程的解为 ．
13．（2023九上·淮南月考）已知二次函数的对称轴为直线，则方程的根为 ．
14．（2023九上·江油月考）二次函数y＝x2-3x-2与x轴交点坐标分别为（m，0），（n，0），则m2+3n-mn的值是 ．
15．（2023九上·长沙月考）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：
；
；
；
若方程有两个根和，且，则；
若方程有四个根，则这四个根的和为．
其中正确的结论为 ．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023九上·玉环期中）二次函数y=-2x2+8x-6的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程-2x2+8x-6=0的两个根：
（2）当×在什么取值范围时，y>0？
（3）若方程2x2 +8x-6=k有两个不等的实数根，求k的取值范围。
17．（2023九上·肇源月考）已知抛物线．
（1）抛物线经过原点时，求的值．
（2）顶点在轴上时，求的值；
（3）顶点在轴上时，求的值；
18．（2019·通州模拟）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).
（1）求点D的坐标(用含m的代数式表示);
（2）若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.
19．（2023九上·长沙月考）如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）存在正实数，，当时，恰好满足，求，的值．
20．（2019·福田模拟）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
21．已知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
阅卷人 四、综合题
得分
22．（2023·禅城模拟）如图，抛物线与轴交于点，与轴的另一交点为，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）点在抛物线的对称轴上，且满足，求点的坐标．
23．（2022·庆云模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，点，点为抛物线L上任意一点．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）当时，求n的最大值和最小值；
（3）过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合．
①求线段PQ的长；（用含m的代数式表示）
②当时，直接写出线段PQ与抛物线的图象只有一个交点时m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：根据表格中的对应值可知图象经过（3.24，-0.02）和（3.25，0.01），∴抛物线与X轴的一个交点在点（3.24，-0.02）和（3.25，0.01）之间，
∴关于x的方程的一个解x的范围是 3.24＜x＜3.25.
故答案为：B。
【分析】根据抛物线与x轴交点的纵坐标为0，介于-0.02和0.01之间，且抛物线与x轴交点的横坐标的值就是方程的解，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】二次函数的定义；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由题意得且
解得 且 .
故答案为：D.
【分析】根据 二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， 利用判别式且即可得出结论.
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，图象与x轴相交于点（1，0），
∴ 二次函数y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（-3，0）
∴ 方程ax2+bx+c= 0的根为x1=1，x2=-3
故答案为：A.
【分析】本题考查二次函数的图象性质。二次函数与x轴的交点横坐标是其对应方程的根。当抛物线与x轴的两个交点为（x1，0）（x2，0），则其对称轴为x=.
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】根据图象，x=-1是对称轴，
（-3，0）关于x=-1对称的点是（-12-(-3)，0），即（1，0）
关于的一元二次方程的解为
，
故选：D
【分析】熟练应用二次函数图象的性质，图象与x轴的交点是同系数方程的根，两根关于函数的对称轴对称。已知一个点x，关于a的对称点应为2a-x。
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程a（x+2）（x－1）+b＝0（a＜0，b＜0）的解 ，也就是抛物线y=a(x+2)(x-1)与直线y=-b的交点，如下图所示：抛物线与x轴相较于点（-2，0），（1，0），根据图象可以得出：-2＜x1＜x2＜1
.
故答案为：A.
【分析】 关于x的一元二次方程a（x+2）（x－1）+b＝0（a＜0，b＜0）的解 ，也就是抛物线y=a(x+2)(x-1)与直线y=-b的交点，结合函数图象，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可得：关于x的一元二次方程的解就是抛物线与直线y=t的交点的横坐标
∵抛物线的对称轴为直线
∴，解得：m=4
∴抛物线的解析式为：
当x=1时，y=-1+4=3
当x=5时，y=-25+20=-5
由图象可知关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解
直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间，包括y=4
∴
故答案为：D
【分析】关于x的一元二次方程的解就是抛物线与直线y=t的交点的横坐标，结合函数图象即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口方向下，
∴a＜0．A错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-4，0）和原点，且顶点在第二象限，
对称轴，
∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，B正确；
∵y=ax2+bx+1的图象与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，C错误；
∵a＜0，对称轴x=-2，
∴x=-2时，函数值有最大值4a-2b+c，D错误；
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象可得抛物线的开口方向下，推得抛物线的二次项系数小于0；根据抛物线与x 轴的交点可求得抛物线的对称轴x=-2；结合开口方向即可推得当x＞-2时，y随x的增大而减小；结合二次函数与一元二次方程的关系可推得方程ax2+bx+c=0存在两个不相等的实数根，即一元二次方程根的判别式大于0；即当x=-2时，代入求得y的最大值；即可分析得出结果.
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线开口方向向下，
，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，异号，
，
抛物线与轴的交点在正半轴，
，
，
故正确；
抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点的坐标为，
关于的一元二次方程的解是，；
故正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
当时，，即，
，
，
故正确；
时，函数有最大值，，
，
故不正确；
故选：．
【分析】抛物线开口向下，确定a<0，抛物线的对称轴在轴的右侧，利用“左同右异”确定，抛物线与轴的交点在正半轴确定，综合可以判定 ；利用对称性确定抛物线与x轴另一个交点的坐标，能够判定 ；利用对称轴公式可以得到，结合图象确定时，，得到不等式后消去b，能够判定 ；观察图象确定顶点为（1，a+b+c)，顶点是最高点，函数有最大值，即，能够判定 。
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意知关于的一元二次方程 ， 的解就是函数y=a（x+2）（x-1）与y=-b的交点的横坐标，
a<0，
抛物线开口向下，
b<0，
y=-b在x轴的下方，
x1x1<-2<1故答案为：D
【分析】先把的解转化为直线和抛物线的交点，再结合图形即可求解.
10．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设函数解析式为y=（x+1）（x-2），
当，，时，分别对应的方程为：，，，
则，
∵1＞0，
∴函数图象开口向上，对称轴为，顶点为，
在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∵，
∴x1＜x2＜x3，
故答案为：C.
【分析】设函数解析式为y=（x+1）（x-2），根据二次函数与一元二次方程的关系可得当，，时，分别对应的方程为：，，，再根据函数的图象：y=a（x-h）2+k（a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标为（h，k） ，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；二次函数的性质：当a>0，x＜h时，y随x的增大而减小，x>h时，y随x的增大而增大，当a＜0，x＜h时，y随x的增大而增大，x>h时，y随x的增大而减小；即可得出答案.
11．【答案】9
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】二次函数y＝x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点，
解得c=9.
【分析】根据 二次函数y＝x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点，利用根的判别式等于0即可得出结论.
12．【答案】和
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为， 点的坐标为
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0）
∴关于的一元二次方程的解为 4和-2
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点与对称轴的关系，二次函数与一元二次方程的关系。若二次函数（a≠0）与x轴的两个交点为（x1，0）（x2，0），则对称轴=，当二次函数的函数值y=0时，二次函数与x轴的交点横坐标为对应一元二次方程的根。
13．【答案】，
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
对称轴为：，解得：m=-2
∴方程 即为
解方程可得：，
故答案为：，.
【分析】根据二次函数的对称轴性质可得m=-2，代入方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】13
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2-3x-2与x轴交点坐标分别为（m，0），（n，0），
∴m，n是方程x2-3x-2=0的两个根，
∴，即，
由根与系数关系得：，
m2+3n-mn=.
故答案为：13.
【分析】由题意得m，n是方程x2-3x-2=0的两个根，得，由根与系数关系得：，代入式子即可求解.
15．【答案】②③④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为( -2，-9a )，
∴ y=a(x+2)2-9a=ax2+4ax-5a，
∵抛物线的开口向上，
∴ a>0，
∴ b=4a>0，c=-5a<0，
∴ abc<0，所以①错误；
当y=0时，x2+4ax-5a=0，解得x1=-5，x2=1，
∴ 抛物线与x轴交点坐标为( -5，0 )，( 1，0 )，
∴x=2时，y>0，
∴4a+2b+c>0，所以②正确；
∵5a-b+c=5a-4a-5a=-4a，
∴ 9a-b+c=0，所以正确；
∵方程a( x+5 )( x-1 )=-1有两个根x1，x2，
∴ 抛物线y=a( x+5 )( x-1 )与直线y=-1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，
∴ -5∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴ 方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴ 所有根之和为，所以④正确．
综上分析可得，正确的有： ②③④⑤ 。
故答案为： ②③④⑤ 。
【分析】根据开口方向及顶点坐标求出b=4a，c=-5a，可求得①②③，根据图像和根与系数的关系即可判断④⑤。
16．【答案】（1）x1=1，x2=3
（2）解：由图知：当抛物线在x轴的上方时，y＞0，
∴当1＜x＜3时，y＞0；
（3）解：∵ 方程2x2 +8x-6=k有两个不等的实数根，
∴ y=-2x2+8x- 6和y=k有两个交点，
∴k<2．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】（1）由图知：抛物线与x轴相交于点（1，0）和（3，0），
∴方程-2x2+8x-6=0的两个根：x1=1，x2=3；
【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点的横坐标就是方程-2x2+8x-6=0的两个根可求解；
（2）根据抛物线在x轴的上方时，y＞0并结合图象可求解；
（3）根据方程2x2 +8x-6=k有两个不等的实数根可知： y=-2x2+8x- 6和y=k有两个交点，结合图象可求解.
17．【答案】（1）解：抛物线经过原点，
，
解得：；
（2）解：抛物线顶点在轴上，
，
，
解得：或；
（3）解：抛物线顶点在轴上，
，
解得：．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】（1）根据抛物线经过原点，得出当x=0时，y=0，代入得到3k+4=0，计算即可求出答案；
（2）根据顶点在x轴上，得出与x轴的交点只有一个，即b2-4ac=0，代入即可求出答案；
（3）根据顶点在y轴上，得出b=0，代入即可求出答案．
18．【答案】（1）∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2,∴D点的坐标为(m,-m+2).
（2）∵抛物线经过点B(1,m),∴m=1-2m+m2-m+2,解得m=3或m=1.
（3）根据题意,∵A点的坐标为(-3,m),B点的坐标为(1,m),∴线段AB为y=m(-3≤x≤1),与y=x2-2mx+m2-m+2联立得x2-2mx+m2-2m+2=0,令y'=x2-2mx+m2-2m+2,若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点,即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个零点,当x=-3时,y'=m2+4m+11<0,
∵Δ>0,∴此种情况不存在,当x=1时,y'=m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3.
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将抛物线的顶点化为顶点式，写出D点的坐标即可。
（2）根据抛物线过点B，将点B的坐标代入，求出m的值即可。
（3）根据点A和点B的坐标写出线段AB的解析式，根据二者只有一个交点即可得到答案。
19．【答案】（1）解：抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）抛物线，
．
正实数，，
．
当时，恰好满足，
．
，即．
，
抛物线的对称轴是直线，且开口向下，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
又，
．
将整理得：，
，
，
，
或，
解得：或不合题意舍去或，
同理：由解得：不合题意舍去或不合题意舍去或，
综上所述，，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据已知的不等式求出，由二次函数的性质得当x=m时，y最大值=-m2+2m+3，当x=n时，y最小值=-n2+2n+3，再结合题意，即可得解．
20．【答案】（1）解：当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5），
当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）解：①解方程﹣x2+6x﹣5＝0得x1＝1，x2＝5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM AB 4＝2 ，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ＝AM＝2 ，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，
则∠PDQ＝45°，
∴PD PQ 2 4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，解得m1＝1，m2＝4，
当P点在直线BC下方时，
PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m1 ，m2 ，
综上所述，P点的横坐标为4或 或 ；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1，
∴∠AM1B＝2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝NH＝2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（ ， ），
设直线EM1的解析式为y x+b，
把E（ ， ）代入得 b ，解得b ，
∴直线EM1的解析式为y x ，
解方程组 得 ，则M1（ ， ）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3 ，
∴x ，
∴M2（ ， ），
综上所述，点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，将二者的坐标代入抛物线中，即可得到抛物线的解析式。
（2）根据（1）中得到的式子，解出两个根，得到点A和点B和点C三个点的坐标，即可得到三角形OCB为等腰直角三角形，根据新的抛物线公式联立计算出两个点的坐标即可。
21．【答案】解：（1）A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得
，
解得，
∴y=﹣x2+2x+6，
∵y=﹣（x﹣2）2+8，
∴抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）；
（3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，
∵C（0，6），
∴C′（4，6），设直线AC′解析式为y=ax+b，则
，
解得，
∴y=x+2，当x=2时，y=4，
即P（2，4）；
（4）依题意，得AB=8，QB=6﹣m，AQ=m+2，OC=6，则S△ABC=AB×OC=24，
∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，
∴=（）2=（）2，
即S△BDQ=（m﹣6）2，
又S△ACQ=AQ×OC=3m+6，
∴S=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ=24﹣（m﹣6）2﹣（3m+6）=﹣m2+m+=﹣（m﹣2）2+6，
∴当m=2时，S最大．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）解一元二次方程x2﹣4x﹣12=0可求A、B两点坐标；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标；
（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，P点即为所求；
（4）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ，运用二次函数的性质求面积最大时，m的值．
22．【答案】（1）解：把、分别代入，
得：，解得，
抛物线的解析式为，
对称轴为直线，
抛物线对称轴为直线
（2）解：令得：，解得，，
，
，
如图当时，，
，，
，
，
，
在中，，
由勾股定理可得：，
，
，
，
当点在轴的上方时，，
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求得抛物线的解析式；再根据抛物线的对称轴为直线x=可求得抛物线的对称轴；
（2）令抛物线的解析式中y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可得OB=OC ，于是可得∠ABC=45°=∠APB，PA=PB，由三角形内角和定理可得∠MPB=∠MBP，由等角对等边可得MP=MB，在Rt△BMD中，用勾股定理求得BM的值，于是可得点P的坐标，当点P在x轴的上方时，同理可求解.
23．【答案】（1）解：将A（0，﹣），点B（1，），点C（﹣1，﹣），
代入y＝ax2+bx+c得：，解得，，
∴
（2）解：∵＝（x+）2﹣2，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．
∴当x＝﹣ 时，n的最小值为﹣2，
∵2﹣(﹣)＞﹣﹣(﹣2)，
∴当x＝2时，n取最大值22+2﹣＝．
（3）解：①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，
当﹣3m+1＞0时，即m＜时，PQ＝﹣3m+1，
当﹣3m+1＜0时，即m＞时，PQ＝3m﹣1；
②﹣2≤m≤﹣或﹣≤m＜时，PQ与图象交点个数为1．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】(3)②当m＞时，与抛物线L：y＝ax2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象不会有交点．
∴讨论m＜时，
∵0＜PQ≤7，
∴0＜﹣3m+1≤7，
解得﹣2≤m＜．
如图，当x＝﹣时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，
m增大过程中，﹣＜m＜，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，
直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣对称后直线为x＝﹣ ，
∴﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点．
当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，
综上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m＜时，PQ与图象交点个数为1．
【分析】（1）用待定系数法求解
（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解
（3）①点Q的横坐标与点P横坐标作差
②通过数形结合求出m的取值范围
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 2
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教版2023-2024年数学九年级第一学期期末扫盲清障复习卷——22.2二次函数与一元二次方程
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·兰州期中） 根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：根据表格中的对应值可知图象经过（3.24，-0.02）和（3.25，0.01），∴抛物线与X轴的一个交点在点（3.24，-0.02）和（3.25，0.01）之间，
∴关于x的方程的一个解x的范围是 3.24＜x＜3.25.
故答案为：B。
【分析】根据抛物线与x轴交点的纵坐标为0，介于-0.02和0.01之间，且抛物线与x轴交点的横坐标的值就是方程的解，即可得出答案。
2．（2023九上·怀远期中）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【知识点】二次函数的定义；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由题意得且
解得 且 .
故答案为：D.
【分析】根据 二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， 利用判别式且即可得出结论.
3．（2023九上·吉林期中）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x=-1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程ax2+bx+c= 0的根为（ ）
A．x1=1，x2=-3 B．x1=-1，x2=3
C．x1=1，x2= D．x1=-1，x2=
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】
解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，图象与x轴相交于点（1，0），
∴ 二次函数y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（-3，0）
∴ 方程ax2+bx+c= 0的根为x1=1，x2=-3
故答案为：A.
【分析】本题考查二次函数的图象性质。二次函数与x轴的交点横坐标是其对应方程的根。当抛物线与x轴的两个交点为（x1，0）（x2，0），则其对称轴为x=.
4．（2023九上·裕安月考）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】根据图象，x=-1是对称轴，
（-3，0）关于x=-1对称的点是（-12-(-3)，0），即（1，0）
关于的一元二次方程的解为
，
故选：D
【分析】熟练应用二次函数图象的性质，图象与x轴的交点是同系数方程的根，两根关于函数的对称轴对称。已知一个点x，关于a的对称点应为2a-x。
5．（2023九上·淮南月考）关于x的一元二次方程a（x+2）（x－1）+b＝0（a＜0，b＜0）的解为x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是
A．-2＜x1＜x2＜1 B．-2＜x1＜1＜x2
C．x1＜-2＜x2＜1 D．x1＜-2＜1＜x2
【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程a（x+2）（x－1）+b＝0（a＜0，b＜0）的解 ，也就是抛物线y=a(x+2)(x-1)与直线y=-b的交点，如下图所示：抛物线与x轴相较于点（-2，0），（1，0），根据图象可以得出：-2＜x1＜x2＜1
.
故答案为：A.
【分析】 关于x的一元二次方程a（x+2）（x－1）+b＝0（a＜0，b＜0）的解 ，也就是抛物线y=a(x+2)(x-1)与直线y=-b的交点，结合函数图象，即可得出答案。
6．（2023九上·盐山月考）已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可得：关于x的一元二次方程的解就是抛物线与直线y=t的交点的横坐标
∵抛物线的对称轴为直线
∴，解得：m=4
∴抛物线的解析式为：
当x=1时，y=-1+4=3
当x=5时，y=-25+20=-5
由图象可知关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解
直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间，包括y=4
∴
故答案为：D
【分析】关于x的一元二次方程的解就是抛物线与直线y=t的交点的横坐标，结合函数图象即可求出答案.
7．（2023九上·路桥月考）如图，二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的值随值的增大而减小
C．
D．函数值有最小值
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口方向下，
∴a＜0．A错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-4，0）和原点，且顶点在第二象限，
对称轴，
∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，B正确；
∵y=ax2+bx+1的图象与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，C错误；
∵a＜0，对称轴x=-2，
∴x=-2时，函数值有最大值4a-2b+c，D错误；
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象可得抛物线的开口方向下，推得抛物线的二次项系数小于0；根据抛物线与x 轴的交点可求得抛物线的对称轴x=-2；结合开口方向即可推得当x＞-2时，y随x的增大而减小；结合二次函数与一元二次方程的关系可推得方程ax2+bx+c=0存在两个不相等的实数根，即一元二次方程根的判别式大于0；即当x=-2时，代入求得y的最大值；即可分析得出结果.
8．（2023九上·霍邱月考）如图，抛物线为常数，且关于直线对称，与轴的其中一个交点坐标为下列结论中：；关于的一元二次方程的解是，；；其中不正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线开口方向向下，
，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，异号，
，
抛物线与轴的交点在正半轴，
，
，
故正确；
抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点的坐标为，
关于的一元二次方程的解是，；
故正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
当时，，即，
，
，
故正确；
时，函数有最大值，，
，
故不正确；
故选：．
【分析】抛物线开口向下，确定a<0，抛物线的对称轴在轴的右侧，利用“左同右异”确定，抛物线与轴的交点在正半轴确定，综合可以判定 ；利用对称性确定抛物线与x轴另一个交点的坐标，能够判定 ；利用对称轴公式可以得到，结合图象确定时，，得到不等式后消去b，能够判定 ；观察图象确定顶点为（1，a+b+c)，顶点是最高点，函数有最大值，即，能够判定 。
9．（2023九上·淮南月考）关于的一元二次方程的解为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意知关于的一元二次方程 ， 的解就是函数y=a（x+2）（x-1）与y=-b的交点的横坐标，
a<0，
抛物线开口向下，
b<0，
y=-b在x轴的下方，
x1x1<-2<1故答案为：D
【分析】先把的解转化为直线和抛物线的交点，再结合图形即可求解.
10．（2023九上·路桥月考）三个方程，，的正根分别记为，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：设函数解析式为y=（x+1）（x-2），
当，，时，分别对应的方程为：，，，
则，
∵1＞0，
∴函数图象开口向上，对称轴为，顶点为，
在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∵，
∴x1＜x2＜x3，
故答案为：C.
【分析】设函数解析式为y=（x+1）（x-2），根据二次函数与一元二次方程的关系可得当，，时，分别对应的方程为：，，，再根据函数的图象：y=a（x-h）2+k（a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标为（h，k） ，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；二次函数的性质：当a>0，x＜h时，y随x的增大而减小，x>h时，y随x的增大而增大，当a＜0，x＜h时，y随x的增大而增大，x>h时，y随x的增大而减小；即可得出答案.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2024九上·丰台期中） 二次函数y＝x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点，则c的值为 ．
【答案】9
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】二次函数y＝x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点，
解得c=9.
【分析】根据 二次函数y＝x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点，利用根的判别式等于0即可得出结论.
12．（2023九上·东光月考）如图，抛物线的对称轴为，点是抛物线与轴的一个交点，若点的坐标为，则关于的一元二次方程的解为 ．
【答案】和
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为， 点的坐标为
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0）
∴关于的一元二次方程的解为 4和-2
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点与对称轴的关系，二次函数与一元二次方程的关系。若二次函数（a≠0）与x轴的两个交点为（x1，0）（x2，0），则对称轴=，当二次函数的函数值y=0时，二次函数与x轴的交点横坐标为对应一元二次方程的根。
13．（2023九上·淮南月考）已知二次函数的对称轴为直线，则方程的根为 ．
【答案】，
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
对称轴为：，解得：m=-2
∴方程 即为
解方程可得：，
故答案为：，.
【分析】根据二次函数的对称轴性质可得m=-2，代入方程，解方程即可求出答案.
14．（2023九上·江油月考）二次函数y＝x2-3x-2与x轴交点坐标分别为（m，0），（n，0），则m2+3n-mn的值是 ．
【答案】13
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2-3x-2与x轴交点坐标分别为（m，0），（n，0），
∴m，n是方程x2-3x-2=0的两个根，
∴，即，
由根与系数关系得：，
m2+3n-mn=.
故答案为：13.
【分析】由题意得m，n是方程x2-3x-2=0的两个根，得，由根与系数关系得：，代入式子即可求解.
15．（2023九上·长沙月考）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：
；
；
；
若方程有两个根和，且，则；
若方程有四个根，则这四个根的和为．
其中正确的结论为 ．
【答案】②③④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为( -2，-9a )，
∴ y=a(x+2)2-9a=ax2+4ax-5a，
∵抛物线的开口向上，
∴ a>0，
∴ b=4a>0，c=-5a<0，
∴ abc<0，所以①错误；
当y=0时，x2+4ax-5a=0，解得x1=-5，x2=1，
∴ 抛物线与x轴交点坐标为( -5，0 )，( 1，0 )，
∴x=2时，y>0，
∴4a+2b+c>0，所以②正确；
∵5a-b+c=5a-4a-5a=-4a，
∴ 9a-b+c=0，所以正确；
∵方程a( x+5 )( x-1 )=-1有两个根x1，x2，
∴ 抛物线y=a( x+5 )( x-1 )与直线y=-1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，
∴ -5∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴ 方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴ 所有根之和为，所以④正确．
综上分析可得，正确的有： ②③④⑤ 。
故答案为： ②③④⑤ 。
【分析】根据开口方向及顶点坐标求出b=4a，c=-5a，可求得①②③，根据图像和根与系数的关系即可判断④⑤。
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023九上·玉环期中）二次函数y=-2x2+8x-6的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程-2x2+8x-6=0的两个根：
（2）当×在什么取值范围时，y>0？
（3）若方程2x2 +8x-6=k有两个不等的实数根，求k的取值范围。
【答案】（1）x1=1，x2=3
（2）解：由图知：当抛物线在x轴的上方时，y＞0，
∴当1＜x＜3时，y＞0；
（3）解：∵ 方程2x2 +8x-6=k有两个不等的实数根，
∴ y=-2x2+8x- 6和y=k有两个交点，
∴k<2．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】（1）由图知：抛物线与x轴相交于点（1，0）和（3，0），
∴方程-2x2+8x-6=0的两个根：x1=1，x2=3；
【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点的横坐标就是方程-2x2+8x-6=0的两个根可求解；
（2）根据抛物线在x轴的上方时，y＞0并结合图象可求解；
（3）根据方程2x2 +8x-6=k有两个不等的实数根可知： y=-2x2+8x- 6和y=k有两个交点，结合图象可求解.
17．（2023九上·肇源月考）已知抛物线．
（1）抛物线经过原点时，求的值．
（2）顶点在轴上时，求的值；
（3）顶点在轴上时，求的值；
【答案】（1）解：抛物线经过原点，
，
解得：；
（2）解：抛物线顶点在轴上，
，
，
解得：或；
（3）解：抛物线顶点在轴上，
，
解得：．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】（1）根据抛物线经过原点，得出当x=0时，y=0，代入得到3k+4=0，计算即可求出答案；
（2）根据顶点在x轴上，得出与x轴的交点只有一个，即b2-4ac=0，代入即可求出答案；
（3）根据顶点在y轴上，得出b=0，代入即可求出答案．
18．（2019·通州模拟）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).
（1）求点D的坐标(用含m的代数式表示);
（2）若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.
【答案】（1）∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2,∴D点的坐标为(m,-m+2).
（2）∵抛物线经过点B(1,m),∴m=1-2m+m2-m+2,解得m=3或m=1.
（3）根据题意,∵A点的坐标为(-3,m),B点的坐标为(1,m),∴线段AB为y=m(-3≤x≤1),与y=x2-2mx+m2-m+2联立得x2-2mx+m2-2m+2=0,令y'=x2-2mx+m2-2m+2,若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点,即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个零点,当x=-3时,y'=m2+4m+11<0,
∵Δ>0,∴此种情况不存在,当x=1时,y'=m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3.
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）将抛物线的顶点化为顶点式，写出D点的坐标即可。
（2）根据抛物线过点B，将点B的坐标代入，求出m的值即可。
（3）根据点A和点B的坐标写出线段AB的解析式，根据二者只有一个交点即可得到答案。
19．（2023九上·长沙月考）如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）存在正实数，，当时，恰好满足，求，的值．
【答案】（1）解：抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）抛物线，
．
正实数，，
．
当时，恰好满足，
．
，即．
，
抛物线的对称轴是直线，且开口向下，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
又，
．
将整理得：，
，
，
，
或，
解得：或不合题意舍去或，
同理：由解得：不合题意舍去或不合题意舍去或，
综上所述，，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据已知的不等式求出，由二次函数的性质得当x=m时，y最大值=-m2+2m+3，当x=n时，y最小值=-n2+2n+3，再结合题意，即可得解．
20．（2019·福田模拟）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解：当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5），
当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）解：①解方程﹣x2+6x﹣5＝0得x1＝1，x2＝5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM AB 4＝2 ，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ＝AM＝2 ，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，
则∠PDQ＝45°，
∴PD PQ 2 4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，解得m1＝1，m2＝4，
当P点在直线BC下方时，
PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m1 ，m2 ，
综上所述，P点的横坐标为4或 或 ；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1，
∴∠AM1B＝2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝NH＝2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（ ， ），
设直线EM1的解析式为y x+b，
把E（ ， ）代入得 b ，解得b ，
∴直线EM1的解析式为y x ，
解方程组 得 ，则M1（ ， ）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3 ，
∴x ，
∴M2（ ， ），
综上所述，点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，将二者的坐标代入抛物线中，即可得到抛物线的解析式。
（2）根据（1）中得到的式子，解出两个根，得到点A和点B和点C三个点的坐标，即可得到三角形OCB为等腰直角三角形，根据新的抛物线公式联立计算出两个点的坐标即可。
21．已知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
【答案】解：（1）A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得
，
解得，
∴y=﹣x2+2x+6，
∵y=﹣（x﹣2）2+8，
∴抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）；
（3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，
∵C（0，6），
∴C′（4，6），设直线AC′解析式为y=ax+b，则
，
解得，
∴y=x+2，当x=2时，y=4，
即P（2，4）；
（4）依题意，得AB=8，QB=6﹣m，AQ=m+2，OC=6，则S△ABC=AB×OC=24，
∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，
∴=（）2=（）2，
即S△BDQ=（m﹣6）2，
又S△ACQ=AQ×OC=3m+6，
∴S=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ=24﹣（m﹣6）2﹣（3m+6）=﹣m2+m+=﹣（m﹣2）2+6，
∴当m=2时，S最大．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）解一元二次方程x2﹣4x﹣12=0可求A、B两点坐标；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标；
（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，P点即为所求；
（4）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ，运用二次函数的性质求面积最大时，m的值．
阅卷人 四、综合题
得分
22．（2023·禅城模拟）如图，抛物线与轴交于点，与轴的另一交点为，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）点在抛物线的对称轴上，且满足，求点的坐标．
【答案】（1）解：把、分别代入，
得：，解得，
抛物线的解析式为，
对称轴为直线，
抛物线对称轴为直线
（2）解：令得：，解得，，
，
，
如图当时，，
，，
，
，
，
在中，，
由勾股定理可得：，
，
，
，
当点在轴的上方时，，
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求得抛物线的解析式；再根据抛物线的对称轴为直线x=可求得抛物线的对称轴；
（2）令抛物线的解析式中y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可得OB=OC ，于是可得∠ABC=45°=∠APB，PA=PB，由三角形内角和定理可得∠MPB=∠MBP，由等角对等边可得MP=MB，在Rt△BMD中，用勾股定理求得BM的值，于是可得点P的坐标，当点P在x轴的上方时，同理可求解.
23．（2022·庆云模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，点，点为抛物线L上任意一点．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）当时，求n的最大值和最小值；
（3）过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合．
①求线段PQ的长；（用含m的代数式表示）
②当时，直接写出线段PQ与抛物线的图象只有一个交点时m的取值范围．
【答案】（1）解：将A（0，﹣），点B（1，），点C（﹣1，﹣），
代入y＝ax2+bx+c得：，解得，，
∴
（2）解：∵＝（x+）2﹣2，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．
∴当x＝﹣ 时，n的最小值为﹣2，
∵2﹣(﹣)＞﹣﹣(﹣2)，
∴当x＝2时，n取最大值22+2﹣＝．
（3）解：①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，
当﹣3m+1＞0时，即m＜时，PQ＝﹣3m+1，
当﹣3m+1＜0时，即m＞时，PQ＝3m﹣1；
②﹣2≤m≤﹣或﹣≤m＜时，PQ与图象交点个数为1．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】(3)②当m＞时，与抛物线L：y＝ax2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象不会有交点．
∴讨论m＜时，
∵0＜PQ≤7，
∴0＜﹣3m+1≤7，
解得﹣2≤m＜．
如图，当x＝﹣时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，
m增大过程中，﹣＜m＜，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，
直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣对称后直线为x＝﹣ ，
∴﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点．
当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，
综上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m＜时，PQ与图象交点个数为1．
【分析】（1）用待定系数法求解
（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解
（3）①点Q的横坐标与点P横坐标作差
②通过数形结合求出m的取值范围
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 2
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
