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人教版2023-2024年数学九年级第一学期期末扫盲清障复习卷——23.1图形的旋转
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·景县期中）如图，将绕点O旋转后得到，ED是的中位线，旋转后为线段．已知，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1.5
【答案】A
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ ED是的中位线，
∴，
∵ 将绕点O旋转后得到，
∴E'D'=ED=2，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的中位线求出，再根据旋转的性质计算求解即可。
2．（2023九上·六安期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，，
分别作这两条线段的垂直平分线，如图所示：
则交点D即为旋转中心，
故答案为：D.
【分析】根据垂直平分线的性质可得，旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上．
3．（2023九上·丰台期中）图中的五角星图案，绕着它的中心旋转后，能与自身重合，则的值至少是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】由图可知，该图形被平均分成五部分，
∵一周角是360度，
∴360÷5=72°，即旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，
∴旋转的度数至少72°。
故答案为：C
【分析】首先需要确定旋转角度，观察五角星是图案，可以看成由五个基本图形组成，被平均分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合。
4．（2023九上·江源月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，已知点A的坐标为（2，-1）．则点A'的坐标是．（ ）
A．（- 2，1） B．（-2，3） C．（-2，-1） D．（-2，2）
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意，点 A与 A'关于点C成中心对称，
设点 A' 的坐标为（x，y），
则
解得x=-2，y=3，
故答案为：B.
【分析】设点 A' 的坐标为（x，y），利用旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再利用中点坐标公式列式即可求解.
5．（2023七上·兴隆期中）如图，在的方格纸中，A，B两点在格点上，线段AB绕某点（旋转中心）逆时针旋转角后得到线段，点与A对应，则旋转中心是（ ）
A．点B B．点G C．点E D．点F
【答案】C
【知识点】图形的旋转；旋转对称图形
【解析】【解答】如图所示：
连接BB'，AA'，再分别作出BB'和AA'的垂直平分线，垂直平分线的交点E即是旋转中心，
故答案为：C.
【分析】连接BB'，AA'，再分别作出BB'和AA'的垂直平分线，垂直平分线的交点E即是旋转中心.
6．（2023九上·芜湖期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角度（）得到，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ADE是由△ABC旋转得到的，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠C=∠E=20°，
∵DE//AB，
∴∠BAE=∠E=20°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=20°+55°=75°，
∴旋转角的度数为75°，
故答案为：A.
【分析】利用旋转的性质可得∠C=∠E=20°，利用平行线的性质可得∠BAE=∠E=20°，再利用角的运算求出∠EAC=∠EAB+∠BAC=20°+55°=75°即可.
7．（2023九上·和平期中）如图，是绕点顺时针旋转得到的，延长与相交于点、若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=45°，∠DCB=12°，
∴∠DCA=∠ACB-∠DCB=33°，
∵是绕点顺时针旋转得到的 ，
∴∠AFD=∠DCA=33°，
故答案为：A.
【分析】易求∠DCA=∠ACB-∠DCB=33°，根据旋转的性质可得∠AFD=∠DCA=33°.
8．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，△ABC中，∠BAC=135°，把△ABC绕着点C顺时针旋转得到△DEC，若点D、A、B恰好在一条直线上，则下列结论错误的是 （ ）
A．ED⊥BD B．△ABC≌△DEC
C． D．BD＝CE+DE
【答案】D
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC ，B选项正确；
∴CD=AC，CE=BC，DE=AB， ∠CDE=∠CAB，
∵∠BAC＝135°，
∴∠CDE=135°，∠DAC=45°，
∵CD=AC，
∴∠CDA=∠DAC=45°，
∴∠EDB=∠CDE-∠CDA=90°，
∴D⊥BD ，A选项正确；
在△ACD中，∠ACD=180°-45°-45°=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴ ，C选项正确；
BD=AD+AB=AD+DE，D选项错误。
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质，结合等腰直角三角形的判定和性质逐一分析判定。
9．（2024九上·丰台期中） 两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，将三角板A'B'C'绕直角顶点C'按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），如图所示．以下结论错误的是（ ）
A．当α＝30°时，A'C与AB的交点恰好为AB中点
B．当α＝60°时，A'B'恰好经过点B
C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'＝BB'
D．在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB'
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，
当α＝30°时，A'C与AB的交点与点B，点C构成等边三角形，A'C与AB的交点为AB中点，故A正确，不符合题意；
当α＝60°时，A'B'恰好经过点B，故B正确，不符合题意；
在旋转过程中，故C错误，符合题意；
的夹角为在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB' ，故D正确，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的性质可得再根据旋转角求出等边三角形，可以判断A、B正确，求证利用相似三角形的对应边成比例进一步得判断C错误，利用四边形的内角和为求出的夹角为判断D正确，进而得出结论.
10．（2023九上·期末）如图，将△ABC绕点A旋转到△AB1C1，有下列说法：
①AC=AB；②BC=B1C1；③∠BAC=∠B1AC1；④∠CAC1=∠BAB1．
其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据图形旋转的性质可知， △ABC≌ △AB1C1，所以AC =AC1，故 ① 错误；
因为△ABC≌ △AB1C1，所以BC= B1C1，故 ② 正确；
因为△ABC≌ △AB1C1，所以∠BAC=∠B1AC1，故 ③ 正确；
因为△ABC≌ △AB1C1，所以∠CAB=∠C1AB1. 因为∠CAB + ∠BAC1=∠C1AB1+ ∠BAC1，所以∠CAC1=∠BAB1，故④正确. 综上所述，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】根据图形旋转的性质：旋转前后的对应边相等，对应角相等进行解答.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·通榆期中）如图，E是正方形ABCD内一点，将△ABE绕点B顺时针旋转与△CBF重合，若BE= ，则EF＝ ．
【答案】2
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABE绕点B顺时针旋转与△CBF重合，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，
∵∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC=90°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴EF=BE，
∵BE=，
∴EF=BE=×=2，
故答案为：2.
【分析】利用旋转的性质及全等的性质证出△EBF是等腰直角三角形，可得EF=BE，再结合BE=，求出EF的长即可.
12．如图，将左边的长方形绕点B按顺时针方向旋转一定角度后，位置如右边的长方形，则∠CBA的度数是
【答案】90°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ 将左边的长方形绕点B按顺时针方向旋转一定角度后，位置如右边的长方形，
∴FB旋转90°得到BH，
∴∠ABC=90°.
故答案为：90°.
【分析】利用旋转的性质：旋转过程中，旋转角度不变，可得答案.
13．（2023九上·宿州月考）如图，正方形ABCD中，AB＝12，E是BC边上一点，CE＝7，F是正方形内部一点，且EF＝3，连接EF，DE，DF，并将△DEF绕点D逆时针旋转90°得到△DMN（点M、N分别为点E、F的对应点），连接CN，则CN长度的最小值为 ．
【答案】10
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】
解：过点M作MPCD，垂足为P，连接CM，
由旋转可得：DE=DM，EF=MN=3，EDM=90，
∵EDM=90，
∴EDC+CDM=90，
又EDC+DEC=90，
∴DEC=CDM，
在EDC和DMP中，
∴△EDC≌△DMP(AAS)，
∴CD=MP=12，CE=DP=7，
∴CP=CD-DP=5，
∴MC===13，
∵C，M位置固定，
∴CN+MNCM，即CN+313，
∴CN10，即CN的最小值为10，
故答案为：10.
【分析】过点M作MP⊥CD，垂足为P，连接CM，由旋转的性质得到DE = DM，EF= MN = 3，∠EDM=90 °， 根据正方形的性质求出CE，证明△EDC≌△DMP(AAS)，得到CD= MP= 12，DP= CE= 7，利用勾股定 理求出CM，根据CN + MN≥CM即可求出CN的最小值.
14．（2023九上·长沙月考）如图，中，，，，为线段上一动点，为延长线上的动点，始终保持．连接和，将绕点逆时针旋转到，连接，为中点，当从点运动到点时，点所经过的路径长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：在 中，，，，
连接AG、CG，过点G作交CE的延长线于点H，于点N，如图，
， ，，
四边形CHGN是矩形，
AF=AE，G是EF的中点，
AG=GE，
又
NG=GH，
四边形CHGN是正方形，
CG平分∠ACH，
点G在∠ACH的角平分线上运动，
当点D从点C运动到点A时，G点所经过的路径长是以AC为边的正方形的对角线长度的一半，
【分析】根据等腰直角三角形的性质先求得连接AG、CG，过点G作交CE的延长线于点H，于点N，可证明四边形CHGN是矩形，进一步得到AG=GE，利用四边形的内角和进一步求得再结合已知条件可证明利用三角形全等的性质进一步证明四边形CHGN是正方形，即证明了CG是∠ACH的角平分线，进一步得当点D从点C运动到点A时，G点所经过的路径长是以AC为边的正方形的对角线长度的一半，从而求解.
15．（2023九上·菏泽月考）如图，正方形边长为，点在边上，不与，重合，将沿直线折叠，点落在处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，给出下列四个结论：
≌； ；
点是直线上动点，则的最小值为；
当时，的面积为，
其中正确的结论是 填写序号
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【解析】【解答】解：四边形为正方形，
，，
由旋转知，，，
，
≌，
故正确；
过作于，如图所示，
由折叠知，，
是等腰三角形，
平分，
又，
，
，
故正确；
连接、、，由对称性知，
，当、、共线时取最小值，最小值为的长度，
由勾股定理可得，
即的最小值为，
故错误；
过点作于，如图所示，
，
，
由折叠可知，
，
即，
，
，
，
由折叠知，，
，
，
，
的面积为，
故正确，
故答案为：．
【分析】①根据正方形性质，旋转性质可得，再根据全等三角形判定定理即可判断正误；②过作于，由折叠性质可得是等腰三角形，再根据角平分线性质即可判断正误；③连接、、，根据对称性质，当、、共线时取最小值，最小值为的长度，再根据勾股定理即可判断正误；④过点作于，由折叠性质，勾股定理可得，则，由折叠知，，则，再根据勾股定理，三角形面积公式即可判断正误.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、作图题
得分
16．（2023九上·通榆期中）如图，A，B，C三点的坐标分别为（﹣4，1），（﹣3，3），（﹣1，﹣1）．
⑴将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后所得到的△DEF（点D，E，F分别对应点A，B，C）．
⑵画出△DEF关于原点对称的图形△PMN（点P，M，N分别对应点D，E，F）．
⑶直接写出△PMN的面积．
【答案】解：⑴如图，△DEF．
⑵如图，△PMN．
⑶4
【知识点】中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（3）S△PMN=4×3-×1×2-×2×4-×2×3=12-1-4-3=4，
故答案为：4.
【分析】（1）利用旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用关于原点对称的点坐标的特征找出点D、E、F的对应点，再连接即可；
（3）利用割补法求出三角形的面积即可.
17．如图，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC．
（1）画出将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P'CB．
（2）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长．
【答案】（1）解：如图，△P′CB为所作；
（2）解：连接PP'，如图：
∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P'CB，
∴BP=BP'=4，PA=P'C=2，∠PBP'=90°，
∴△BPP'是等腰直角三角形，
则∠PP'B=45°，；
则∠PP'C=∠APB-∠PP'B=135°-45°=90°，
∴.
【知识点】勾股定理；旋转的性质；作图﹣旋转；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，BP的长为半径，在BC下方画弧；以点C为圆心，AP的长为半径，在BC的下方画弧；两弧交于点P′，连接BP′和CP′，即为所求；
（2）先根据旋转的性质得BP=BP'=4，PA=P'C=2，∠PBP'=90°；根据有两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形可得△BPP'是等腰直角三角形；根据等腰直角三角形两底角是45°可得∠PP'B=45°；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得PP′的值；求得∠PP′C=90°；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得PC的长．
阅卷人 四、解答题
得分
18．（2023九上·涪城期中）某学校活动小组探究了如下问题，请你帮助他们完成解答过程：
（1）操作发现：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为边BC上的一点，连接AD，作∠FAD＝90°，并截取FA＝AD，连接DF．求证：BD2+CD2＝DF2；
（2）灵活运用：如图2，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ACD＝90°
∵∠FAD＝90°，
∴∠BAC-∠DAC＝∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵AB＝AC，DA＝FA，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD＝CF，∠B＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACD＝90°，
∴∠DCF＝90°，
∴DC2+CF2＝DF2，
∴BD2+CD2＝DF2；
（2）解：以CD为边在CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，
∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝∠CDE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE＝5，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
∴DE＝＝＝4，
∴DE＝DC＝4，
∴CD的长为4．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）利用旋转性全等证明△ABD≌△ACF（SAS），从而得BD＝CF，∠B＝∠ACF，进而得到∠DCF＝90°，再利用勾股定理计算即可求解；
（2）以CD为边在CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，利用旋转性全等证明△BCD≌△ACE（SAS），从而得到BD＝AE＝5，然后再求出 ∠ADE＝90°，利用勾股定理即可求出DE的值，得出结论.
19．（2020八上·北京市期中） 已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．
（1）如图1所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；
（2）如图2所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF的位置，连接AF交ED于点N，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：AE＝DB，AE⊥DB，
理由如下：延长DB交AE于H，
∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，
在Rt△BCD和Rt△ACE中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE（SAS），
∴AE＝BD，∠AEC＝∠BDC，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DHE＝90°，
∴AE⊥DB；
（2）解：DE＝AF，DE⊥AF，
理由如下：∵将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF的位置，
∴DB＝DF，∠BDF＝90°，
∵CD＝CE，AC＝BC，
∴BE＝AD，
∵∠EBD＝∠C+∠BDC＝90°+∠BDC，
∠ADF＝∠BDF+∠BDC＝90°+∠BDC，
∴∠EBD＝∠ADF，
在△EBD和△ADF中，
，
∴△EBD≌△ADF（SAS），
∴DE＝AF，∠E＝∠FAD，
∵∠E＝45°，∠EDC＝45°，
∴∠FAD＝45°，
∴∠AND＝90°，即DE⊥AF．
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）延长DB交AE于H，先利用“SAS”证出Rt△BCD≌Rt△ACE，可得AE＝BD，∠AEC＝∠BDC，再求出∠DHE＝90°，可证出AE⊥DB即可；
（2）先利用角的运算求出∠EBD＝∠ADF，再利用“SAS”证出△EBD≌△ADF，可得DE＝AF，∠E＝∠FAD，再利用角的运算求出∠AND＝90°，即可得到DE＝AF，DE⊥AF.
20．（2023九上·长沙月考）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．
【答案】（1）解：如图1，
∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°- 30°）＝75°，
∴∠ADE＝90°- 75°＝15°；
（2）证明：如图2，
∵点F是边AC中点，
∴BF＝AC，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，∠CAB＝60°
∴BF＝AB，
∴△BAF为等边三角形，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，
∴DE＝BF，△BCE为等边三角形，
∴BE＝CB，
易证得△CFD≌△ABC，
∴DF＝BC，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，旋转后出现了等腰三角形，已知顶角，底角可求；旋转前后的图形全等，对应角相等，故问题中角度可求；（2）根据旋转性质易证明四边形的两组对边分别相等，由此证明该四边形是平行四边形。
21．（2023九上·南昌期中）将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在上，所在直线交直线于点F．
（1）求证：；
（2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时、与之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）证明：如图1，连接．
．
，
（2）解：，理由如下：
如图，连接．
由（1）知
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）从问题入手，证明线段相等通常考虑证明线段所在三角形全等，故尝试连接BF制造出这样的三角形，已知全等的2个三角形对应边角相等，由此可判断 ，进而CF=EF；
（2）此时条件下（1）的结论仍然成立，根据旋转的性质，仍然可得到全等三角形，对应边相等，等量代换可得AF=DE+EF的结论。
22．（2023九上·和平期中）已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G．
（1）如图①；当时，连接，求的长；
（2）如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长；
（3）连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ．
【答案】（1）解：连接、，
∵是矩形，
∴，
又∵，，
∴，
由旋转可得，
∴；
（2）解：如图，连接，
由题意可知，在 中，，
根据勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3）连接，交于点O，连接，，
∵是矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，
根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：，
故答案为：．
【分析】（1） 连接、，由勾股定理求出AC=， 由旋转可得， 再利用勾股定理求出CF即可；
（2）连接，由勾股定理求出ED的长，再求出，从而得出DP=DA=5，利用PE=PD-DE计算即可；
（3）连接，交于点O，连接，，易得是的中位线，可得，解得点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，求出此时MB的长即可.
23．（2023九上·乾安期中）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则，试说明理由．
（1）思路梳理
，
把绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合．
，
，点F、D、G共线．
根据 ，易证 ，得．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，，，点E、F分别在边BC、CD上，，若、都不是直角，则当与满足等量关系 时，仍有．
（3）联想拓展
如图3，在中，，，点D、E均在边BC上，且．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
【答案】（1）180°；SAS；△AFG
（2）∠B+∠D=180°
（3）解：猜想：DE2=BD2+EC2
证明如下：把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接DE′，
∴△AEC≌△ABE′.∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB.
在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°.
∴∠ABC+∠ABE′=90°.即∠E′BD=90°.∴E′B2+BD2=E′D2.
又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°.∴∠E′AB+∠BAD=45°.即∠E′AD=45°.
在△AE′D和△AED中，
，∴△AE′D≌△AED（SAS）.
∴DE=DE′.∴DE2=BD2+EC2．
【知识点】全等三角形的应用；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1），
∴把绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合．
∵，
，点F、D、G共线．
根据SAS，易证，
得．
故答案为： 180° ； SAS； △AFG.
（2）类比引申
∠ABC+∠ADC=180°时，EF=BE+DF.
理由如下：
∵AB=AD，
把△AFD绕点A顺时针旋转90°至△ABG，可使AB与AD重合，如图所示：
∴∠DAF=∠BAG，BG =DF，AF=AG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠ BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠EAG，
∵∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠EBG=180°，点E、B、G共线，
在△AFE和△AGE中，
∴△AFE≌△AGE ( SAS)，
∴EF=EG，
∵EG=BE+BG，
∴EF=BE+DF，
故答案为：∠ABC+∠ADC=180°.
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，从而和180°，得点F、D、G共线，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案.
（2）把△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AGE，根据全等三角形的性质得出EF=EG，即可得出答案.
( 3 ) 把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接DE′，证明 △AE′D≌△AED（SAS），则DE'=DE，∠C=∠ABE'=45°，△BDE'是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断.
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人教版2023-2024年数学九年级第一学期期末扫盲清障复习卷——23.1图形的旋转
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·景县期中）如图，将绕点O旋转后得到，ED是的中位线，旋转后为线段．已知，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1.5
2．（2023九上·六安期中）如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．（2023九上·丰台期中）图中的五角星图案，绕着它的中心旋转后，能与自身重合，则的值至少是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·江源月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，已知点A的坐标为（2，-1）．则点A'的坐标是．（ ）
A．（- 2，1） B．（-2，3） C．（-2，-1） D．（-2，2）
5．（2023七上·兴隆期中）如图，在的方格纸中，A，B两点在格点上，线段AB绕某点（旋转中心）逆时针旋转角后得到线段，点与A对应，则旋转中心是（ ）
A．点B B．点G C．点E D．点F
6．（2023九上·芜湖期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角度（）得到，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·和平期中）如图，是绕点顺时针旋转得到的，延长与相交于点、若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，△ABC中，∠BAC=135°，把△ABC绕着点C顺时针旋转得到△DEC，若点D、A、B恰好在一条直线上，则下列结论错误的是 （ ）
A．ED⊥BD B．△ABC≌△DEC
C． D．BD＝CE+DE
9．（2024九上·丰台期中） 两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，将三角板A'B'C'绕直角顶点C'按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），如图所示．以下结论错误的是（ ）
A．当α＝30°时，A'C与AB的交点恰好为AB中点
B．当α＝60°时，A'B'恰好经过点B
C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'＝BB'
D．在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB'
10．（2023九上·期末）如图，将△ABC绕点A旋转到△AB1C1，有下列说法：
①AC=AB；②BC=B1C1；③∠BAC=∠B1AC1；④∠CAC1=∠BAB1．
其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·通榆期中）如图，E是正方形ABCD内一点，将△ABE绕点B顺时针旋转与△CBF重合，若BE= ，则EF＝ ．
12．如图，将左边的长方形绕点B按顺时针方向旋转一定角度后，位置如右边的长方形，则∠CBA的度数是
13．（2023九上·宿州月考）如图，正方形ABCD中，AB＝12，E是BC边上一点，CE＝7，F是正方形内部一点，且EF＝3，连接EF，DE，DF，并将△DEF绕点D逆时针旋转90°得到△DMN（点M、N分别为点E、F的对应点），连接CN，则CN长度的最小值为 ．
14．（2023九上·长沙月考）如图，中，，，，为线段上一动点，为延长线上的动点，始终保持．连接和，将绕点逆时针旋转到，连接，为中点，当从点运动到点时，点所经过的路径长为 ．
15．（2023九上·菏泽月考）如图，正方形边长为，点在边上，不与，重合，将沿直线折叠，点落在处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，给出下列四个结论：
≌； ；
点是直线上动点，则的最小值为；
当时，的面积为，
其中正确的结论是 填写序号
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、作图题
得分
16．（2023九上·通榆期中）如图，A，B，C三点的坐标分别为（﹣4，1），（﹣3，3），（﹣1，﹣1）．
⑴将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后所得到的△DEF（点D，E，F分别对应点A，B，C）．
⑵画出△DEF关于原点对称的图形△PMN（点P，M，N分别对应点D，E，F）．
⑶直接写出△PMN的面积．
17．如图，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC．
（1）画出将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P'CB．
（2）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长．
阅卷人 四、解答题
得分
18．（2023九上·涪城期中）某学校活动小组探究了如下问题，请你帮助他们完成解答过程：
（1）操作发现：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为边BC上的一点，连接AD，作∠FAD＝90°，并截取FA＝AD，连接DF．求证：BD2+CD2＝DF2；
（2）灵活运用：如图2，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．
19．（2020八上·北京市期中） 已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．
（1）如图1所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；
（2）如图2所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF的位置，连接AF交ED于点N，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．
20．（2023九上·长沙月考）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．
21．（2023九上·南昌期中）将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在上，所在直线交直线于点F．
（1）求证：；
（2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时、与之间的数量关系，并加以证明．
22．（2023九上·和平期中）已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G．
（1）如图①；当时，连接，求的长；
（2）如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长；
（3）连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ．
23．（2023九上·乾安期中）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则，试说明理由．
（1）思路梳理
，
把绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合．
，
，点F、D、G共线．
根据 ，易证 ，得．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，，，点E、F分别在边BC、CD上，，若、都不是直角，则当与满足等量关系 时，仍有．
（3）联想拓展
如图3，在中，，，点D、E均在边BC上，且．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ ED是的中位线，
∴，
∵ 将绕点O旋转后得到，
∴E'D'=ED=2，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的中位线求出，再根据旋转的性质计算求解即可。
2．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，，
分别作这两条线段的垂直平分线，如图所示：
则交点D即为旋转中心，
故答案为：D.
【分析】根据垂直平分线的性质可得，旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上．
3．【答案】C
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】由图可知，该图形被平均分成五部分，
∵一周角是360度，
∴360÷5=72°，即旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，
∴旋转的度数至少72°。
故答案为：C
【分析】首先需要确定旋转角度，观察五角星是图案，可以看成由五个基本图形组成，被平均分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合。
4．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意，点 A与 A'关于点C成中心对称，
设点 A' 的坐标为（x，y），
则
解得x=-2，y=3，
故答案为：B.
【分析】设点 A' 的坐标为（x，y），利用旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再利用中点坐标公式列式即可求解.
5．【答案】C
【知识点】图形的旋转；旋转对称图形
【解析】【解答】如图所示：
连接BB'，AA'，再分别作出BB'和AA'的垂直平分线，垂直平分线的交点E即是旋转中心，
故答案为：C.
【分析】连接BB'，AA'，再分别作出BB'和AA'的垂直平分线，垂直平分线的交点E即是旋转中心.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ADE是由△ABC旋转得到的，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠C=∠E=20°，
∵DE//AB，
∴∠BAE=∠E=20°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=20°+55°=75°，
∴旋转角的度数为75°，
故答案为：A.
【分析】利用旋转的性质可得∠C=∠E=20°，利用平行线的性质可得∠BAE=∠E=20°，再利用角的运算求出∠EAC=∠EAB+∠BAC=20°+55°=75°即可.
7．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=45°，∠DCB=12°，
∴∠DCA=∠ACB-∠DCB=33°，
∵是绕点顺时针旋转得到的 ，
∴∠AFD=∠DCA=33°，
故答案为：A.
【分析】易求∠DCA=∠ACB-∠DCB=33°，根据旋转的性质可得∠AFD=∠DCA=33°.
8．【答案】D
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC ，B选项正确；
∴CD=AC，CE=BC，DE=AB， ∠CDE=∠CAB，
∵∠BAC＝135°，
∴∠CDE=135°，∠DAC=45°，
∵CD=AC，
∴∠CDA=∠DAC=45°，
∴∠EDB=∠CDE-∠CDA=90°，
∴D⊥BD ，A选项正确；
在△ACD中，∠ACD=180°-45°-45°=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴ ，C选项正确；
BD=AD+AB=AD+DE，D选项错误。
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质，结合等腰直角三角形的判定和性质逐一分析判定。
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，
当α＝30°时，A'C与AB的交点与点B，点C构成等边三角形，A'C与AB的交点为AB中点，故A正确，不符合题意；
当α＝60°时，A'B'恰好经过点B，故B正确，不符合题意；
在旋转过程中，故C错误，符合题意；
的夹角为在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB' ，故D正确，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的性质可得再根据旋转角求出等边三角形，可以判断A、B正确，求证利用相似三角形的对应边成比例进一步得判断C错误，利用四边形的内角和为求出的夹角为判断D正确，进而得出结论.
10．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据图形旋转的性质可知， △ABC≌ △AB1C1，所以AC =AC1，故 ① 错误；
因为△ABC≌ △AB1C1，所以BC= B1C1，故 ② 正确；
因为△ABC≌ △AB1C1，所以∠BAC=∠B1AC1，故 ③ 正确；
因为△ABC≌ △AB1C1，所以∠CAB=∠C1AB1. 因为∠CAB + ∠BAC1=∠C1AB1+ ∠BAC1，所以∠CAC1=∠BAB1，故④正确. 综上所述，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】根据图形旋转的性质：旋转前后的对应边相等，对应角相等进行解答.
11．【答案】2
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABE绕点B顺时针旋转与△CBF重合，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，
∵∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC=90°，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴EF=BE，
∵BE=，
∴EF=BE=×=2，
故答案为：2.
【分析】利用旋转的性质及全等的性质证出△EBF是等腰直角三角形，可得EF=BE，再结合BE=，求出EF的长即可.
12．【答案】90°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ 将左边的长方形绕点B按顺时针方向旋转一定角度后，位置如右边的长方形，
∴FB旋转90°得到BH，
∴∠ABC=90°.
故答案为：90°.
【分析】利用旋转的性质：旋转过程中，旋转角度不变，可得答案.
13．【答案】10
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】
解：过点M作MPCD，垂足为P，连接CM，
由旋转可得：DE=DM，EF=MN=3，EDM=90，
∵EDM=90，
∴EDC+CDM=90，
又EDC+DEC=90，
∴DEC=CDM，
在EDC和DMP中，
∴△EDC≌△DMP(AAS)，
∴CD=MP=12，CE=DP=7，
∴CP=CD-DP=5，
∴MC===13，
∵C，M位置固定，
∴CN+MNCM，即CN+313，
∴CN10，即CN的最小值为10，
故答案为：10.
【分析】过点M作MP⊥CD，垂足为P，连接CM，由旋转的性质得到DE = DM，EF= MN = 3，∠EDM=90 °， 根据正方形的性质求出CE，证明△EDC≌△DMP(AAS)，得到CD= MP= 12，DP= CE= 7，利用勾股定 理求出CM，根据CN + MN≥CM即可求出CN的最小值.
14．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：在 中，，，，
连接AG、CG，过点G作交CE的延长线于点H，于点N，如图，
， ，，
四边形CHGN是矩形，
AF=AE，G是EF的中点，
AG=GE，
又
NG=GH，
四边形CHGN是正方形，
CG平分∠ACH，
点G在∠ACH的角平分线上运动，
当点D从点C运动到点A时，G点所经过的路径长是以AC为边的正方形的对角线长度的一半，
【分析】根据等腰直角三角形的性质先求得连接AG、CG，过点G作交CE的延长线于点H，于点N，可证明四边形CHGN是矩形，进一步得到AG=GE，利用四边形的内角和进一步求得再结合已知条件可证明利用三角形全等的性质进一步证明四边形CHGN是正方形，即证明了CG是∠ACH的角平分线，进一步得当点D从点C运动到点A时，G点所经过的路径长是以AC为边的正方形的对角线长度的一半，从而求解.
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质
【解析】【解答】解：四边形为正方形，
，，
由旋转知，，，
，
≌，
故正确；
过作于，如图所示，
由折叠知，，
是等腰三角形，
平分，
又，
，
，
故正确；
连接、、，由对称性知，
，当、、共线时取最小值，最小值为的长度，
由勾股定理可得，
即的最小值为，
故错误；
过点作于，如图所示，
，
，
由折叠可知，
，
即，
，
，
，
由折叠知，，
，
，
，
的面积为，
故正确，
故答案为：．
【分析】①根据正方形性质，旋转性质可得，再根据全等三角形判定定理即可判断正误；②过作于，由折叠性质可得是等腰三角形，再根据角平分线性质即可判断正误；③连接、、，根据对称性质，当、、共线时取最小值，最小值为的长度，再根据勾股定理即可判断正误；④过点作于，由折叠性质，勾股定理可得，则，由折叠知，，则，再根据勾股定理，三角形面积公式即可判断正误.
16．【答案】解：⑴如图，△DEF．
⑵如图，△PMN．
⑶4
【知识点】中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（3）S△PMN=4×3-×1×2-×2×4-×2×3=12-1-4-3=4，
故答案为：4.
【分析】（1）利用旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用关于原点对称的点坐标的特征找出点D、E、F的对应点，再连接即可；
（3）利用割补法求出三角形的面积即可.
17．【答案】（1）解：如图，△P′CB为所作；
（2）解：连接PP'，如图：
∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P'CB，
∴BP=BP'=4，PA=P'C=2，∠PBP'=90°，
∴△BPP'是等腰直角三角形，
则∠PP'B=45°，；
则∠PP'C=∠APB-∠PP'B=135°-45°=90°，
∴.
【知识点】勾股定理；旋转的性质；作图﹣旋转；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，BP的长为半径，在BC下方画弧；以点C为圆心，AP的长为半径，在BC的下方画弧；两弧交于点P′，连接BP′和CP′，即为所求；
（2）先根据旋转的性质得BP=BP'=4，PA=P'C=2，∠PBP'=90°；根据有两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形可得△BPP'是等腰直角三角形；根据等腰直角三角形两底角是45°可得∠PP'B=45°；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得PP′的值；求得∠PP′C=90°；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得PC的长．
18．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ACD＝90°
∵∠FAD＝90°，
∴∠BAC-∠DAC＝∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵AB＝AC，DA＝FA，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD＝CF，∠B＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACD＝90°，
∴∠DCF＝90°，
∴DC2+CF2＝DF2，
∴BD2+CD2＝DF2；
（2）解：以CD为边在CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，
∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝∠CDE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE＝5，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
∴DE＝＝＝4，
∴DE＝DC＝4，
∴CD的长为4．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）利用旋转性全等证明△ABD≌△ACF（SAS），从而得BD＝CF，∠B＝∠ACF，进而得到∠DCF＝90°，再利用勾股定理计算即可求解；
（2）以CD为边在CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，利用旋转性全等证明△BCD≌△ACE（SAS），从而得到BD＝AE＝5，然后再求出 ∠ADE＝90°，利用勾股定理即可求出DE的值，得出结论.
19．【答案】（1）解：AE＝DB，AE⊥DB，
理由如下：延长DB交AE于H，
∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，
在Rt△BCD和Rt△ACE中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE（SAS），
∴AE＝BD，∠AEC＝∠BDC，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DHE＝90°，
∴AE⊥DB；
（2）解：DE＝AF，DE⊥AF，
理由如下：∵将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF的位置，
∴DB＝DF，∠BDF＝90°，
∵CD＝CE，AC＝BC，
∴BE＝AD，
∵∠EBD＝∠C+∠BDC＝90°+∠BDC，
∠ADF＝∠BDF+∠BDC＝90°+∠BDC，
∴∠EBD＝∠ADF，
在△EBD和△ADF中，
，
∴△EBD≌△ADF（SAS），
∴DE＝AF，∠E＝∠FAD，
∵∠E＝45°，∠EDC＝45°，
∴∠FAD＝45°，
∴∠AND＝90°，即DE⊥AF．
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）延长DB交AE于H，先利用“SAS”证出Rt△BCD≌Rt△ACE，可得AE＝BD，∠AEC＝∠BDC，再求出∠DHE＝90°，可证出AE⊥DB即可；
（2）先利用角的运算求出∠EBD＝∠ADF，再利用“SAS”证出△EBD≌△ADF，可得DE＝AF，∠E＝∠FAD，再利用角的运算求出∠AND＝90°，即可得到DE＝AF，DE⊥AF.
20．【答案】（1）解：如图1，
∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°- 30°）＝75°，
∴∠ADE＝90°- 75°＝15°；
（2）证明：如图2，
∵点F是边AC中点，
∴BF＝AC，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，∠CAB＝60°
∴BF＝AB，
∴△BAF为等边三角形，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，
∴DE＝BF，△BCE为等边三角形，
∴BE＝CB，
易证得△CFD≌△ABC，
∴DF＝BC，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，旋转后出现了等腰三角形，已知顶角，底角可求；旋转前后的图形全等，对应角相等，故问题中角度可求；（2）根据旋转性质易证明四边形的两组对边分别相等，由此证明该四边形是平行四边形。
21．【答案】（1）证明：如图1，连接．
．
，
（2）解：，理由如下：
如图，连接．
由（1）知
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）从问题入手，证明线段相等通常考虑证明线段所在三角形全等，故尝试连接BF制造出这样的三角形，已知全等的2个三角形对应边角相等，由此可判断 ，进而CF=EF；
（2）此时条件下（1）的结论仍然成立，根据旋转的性质，仍然可得到全等三角形，对应边相等，等量代换可得AF=DE+EF的结论。
22．【答案】（1）解：连接、，
∵是矩形，
∴，
又∵，，
∴，
由旋转可得，
∴；
（2）解：如图，连接，
由题意可知，在 中，，
根据勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3）连接，交于点O，连接，，
∵是矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，
根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：，
故答案为：．
【分析】（1） 连接、，由勾股定理求出AC=， 由旋转可得， 再利用勾股定理求出CF即可；
（2）连接，由勾股定理求出ED的长，再求出，从而得出DP=DA=5，利用PE=PD-DE计算即可；
（3）连接，交于点O，连接，，易得是的中位线，可得，解得点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，求出此时MB的长即可.
23．【答案】（1）180°；SAS；△AFG
（2）∠B+∠D=180°
（3）解：猜想：DE2=BD2+EC2
证明如下：把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接DE′，
∴△AEC≌△ABE′.∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB.
在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°.
∴∠ABC+∠ABE′=90°.即∠E′BD=90°.∴E′B2+BD2=E′D2.
又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°.∴∠E′AB+∠BAD=45°.即∠E′AD=45°.
在△AE′D和△AED中，
，∴△AE′D≌△AED（SAS）.
∴DE=DE′.∴DE2=BD2+EC2．
【知识点】全等三角形的应用；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1），
∴把绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合．
∵，
，点F、D、G共线．
根据SAS，易证，
得．
故答案为： 180° ； SAS； △AFG.
（2）类比引申
∠ABC+∠ADC=180°时，EF=BE+DF.
理由如下：
∵AB=AD，
把△AFD绕点A顺时针旋转90°至△ABG，可使AB与AD重合，如图所示：
∴∠DAF=∠BAG，BG =DF，AF=AG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠ BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠EAG，
∵∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠EBG=180°，点E、B、G共线，
在△AFE和△AGE中，
∴△AFE≌△AGE ( SAS)，
∴EF=EG，
∵EG=BE+BG，
∴EF=BE+DF，
故答案为：∠ABC+∠ADC=180°.
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，从而和180°，得点F、D、G共线，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案.
（2）把△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AGE，根据全等三角形的性质得出EF=EG，即可得出答案.
( 3 ) 把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接DE′，证明 △AE′D≌△AED（SAS），则DE'=DE，∠C=∠ABE'=45°，△BDE'是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断.
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