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人教版2023-2024年数学九年级第一学期期末扫盲清障复习卷——24.1圆的性质
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·吉林期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（ ）
A． B．3 C．9 D．6
2．（2023九上·江源月考）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=50°，连接AO、OC．过点O作OD⊥BC 于点D．若∠OCD=40°，则∠AOD的度数为（ ）．
A．120° B．135° C．140° D．150°
3．（2023九上·六安期中）如图，AB为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长DE交于点F．若，，则的直径长为（ ）
A． B．8 C．10 D．
4．（2023九上·和平期中）如图，是的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线与相交于C，D两点，若，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
5．（2023九上·和平期中）如图，都是的半径，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023九上·通榆期中）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若∠ECF=60°，则∠DCF的大小是 （ ）
A．30° B．48° C．54° D．60°
7．如图，在⊙O中，=．有下列结论：
①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=．
其中正确的有（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③
8．下列说法不正确的是（ ）
A．直径所对的圆周角是直角 B．圆的两条平行弦所夹的弧相等
C．相等的圆周角所对的弧相等 D．相等的弧所对的圆周角相等
9．（2023九上·玉环期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE，BC=CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE=6，EG=4，则AB的长为（ ）
A． B． C．13 D．14
10．（2023九上·柯桥月考）如图，已知是的直径，点C是弧的中点，点D在的延长线上，连接交⊙O于点E，若，则（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
阅卷人 二、填空题
得分
11．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为
12．如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则的度数为
13．如图，MN是⊙O的直径，MN=2．点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P为直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为
14．（2023九上·路桥月考）如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于，则的度数为 ．
15．如图，AB 是⊙O的直径，C，D是上两点．若∠ADC=120°，则∠BAC的度数是
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023九上·六安期中）如图，等腰内接于，AC的垂直平分线交边BC于点E，交于F，垂足为D，连接AF并延长交BC的延长线于点P．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
17．（2023九上·铜陵期中）已知外接圆，，，求证：．
18．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2求此圆半径的长
19．如图，AB是⊙O的直径，弦AC=，D是的中点，且CD∥AB．求CD的长．
20．已知：如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB=CD，M，N分别是AB，CD的中点．求证：∠AMN=∠CNM．
21．如图，点A，B，C，D，E，F都在⊙O上，且AB=BC=CD=DE=EF=AF．若⊙O的半径为6，求AE的长．
22．
（1）如图①，过⊙O上一点P作两条弦PA，PB．若PA=PB，则PO平分∠APB．为什么？
（2）如图②，若点P在⊙O内，过点P的两条弦AC，DB相等，则PO平分∠APB吗？为什么？
（3）如图③，若点P在⊙O外，过点P作PA，PB，分别交⊙O于点A，C和B，D，且AC=BD，则PO平分∠APB吗？为什么？
23．（2023九上·玉环期中）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）若∠ACO=25°，求∠BCD的度数．
（2）若EB=4cm，CD=16cm，求⊙O的半径．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆的相关概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°， 点D恰好为线段AB的中点，
∴AB=2CD，
∵AC=CD=3，
∴AB=2×3=6，
故答案为：D.
【分析】连接CD，利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2CD，再结合AC=CD=3，求出AB的长即可.
2．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=50°，
OD⊥BC ， ∠OCD=40°，
故答案为：D.
【分析】根据 A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=50°， 利用圆周角定理可得到再根据OD⊥BC ， ∠OCD=40°，可得进而得出结论.
3．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，，
解得，x=4，
AB=2x=8.
故答案为：B.
【分析】连接OF，根据圆心角定理和垂径定理得到EF的长度，再根据勾股定理建立方程求解。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接OC，设AB和CD交于点P，
由作图可知：CD垂直平分OB，
∵AB=4，
∴OP=OB==1，OC=AB=2，CP=PD，
∴CP==，
∴CD=2CP=.
故答案为：C.
【分析】连接OC，设AB和CD交于点P，由垂直平分线的性质及垂径定理可得OP=OB==1，OC=AB=2，CP=PD，利用勾股定理求出CP的长，利用CD=2CP即可求解.
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，取弧AB的中点，连接AD、BD，
∵，
∴，
∴，
∴AD=BD=BC，
∵AD+BD＞AB，即2BC＞AB，A错误，故A符合题意；
∵∠AOB=2∠BOC，OA=OB，
∴∠ABO=×（180°-∠AOB）=×（180°-2∠COB）=90°-∠COB，
即 ，B正确，故B不符合题意；
∵∠AOB=2∠BOC=2∠ACB，
∴∠BOC=∠ACB，
∵∠BOC=2∠CAB，
∴∠ACB=2∠BAC，则C、D正确，故C、D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】取弧AB的中点，连接AD、BD，由可得，即得AD=BD=BC，利用三角形三边关系可得2BC＞AB，据此判断A；根据等腰三角形的性质及三角形内角和可得，据此判断B；由圆周角定理可得∠BOC=∠ACB，继而得出∠ACB=2∠BAC，据此判断C、D.
6．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，
∴∠BCD=180°-∠BAD=72°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠DCE=72°，
∴∠DCE=180°-72°=108°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ECF=108°-60°=48°，
故答案为：B.
【分析】利用圆内接四边形的性质可得∠DCE=180°-72°=108°，再利用角的运算求出∠DCF=∠DCE-∠ECF=108°-60°=48°即可.
7．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在⊙O中，，
∴AB=CD，①正确；
∵为公共弧，
∴，
即，④正确；
∴AC=BD，②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确．
故答案为：B.
【分析】根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AB=CD；结合题意可得；根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AC=BD，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：A．直径所对的圆周角是直角，正确，A不符合题意；
B．圆的两条平行弦所夹的弧相等，正确，B不符合题意；
C．只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，此选项错误，C符合题意；
D．相等的弧所对的圆周角相等，正确，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角可判断A选项说法正确；根据两直线平行，内错角相等可得圆的两条平行弦所夹的弧所对的圆周角相等，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等即可判断B选项说法正确；根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可判断C选项说法错误；根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可判断D选项说法正确；即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CD，
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（ASA）
∴EB=EC
∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠ACB=∠EBC=∠BEC=60°，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，∠EGF=30°，
∵EG=4，
∴EF=EG=2，
∵AE=6，
∴AF=AE+EF=6+2=8，
∴BC=CE=CF+EF=AF+EF=8+2=10，
过B作BH⊥AC于H，
∴∠EBH=∠EBC=30°，
∴CH=CE=5，
∴BH=，
而AH=AE+EH=6+5=11，
在Rt△ABH中，
AB=
故答案为：D.
【分析】连接CD，过B作BH⊥AC于H，由题意用角边角可证△ABC≌△DCB，则EB=EC，结合已知可得三角形EBC是等边三角形，则∠ACB=∠EBC=∠BEC=60°，在直角三角形EFG中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=EG，由线段的构成AF=AE+EF、BC=CE=CF+EF=AF+EF求出AF、BC的值，在直角三角形CBH中，同理可求得BH的值，由线段的构成AH=AE+EH求出AH的值，然后在直角三角形ABH中，用勾股定理可求解.
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OE，OC，如下图：
∵点C是弧的中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】连接OE，OC，根据垂径定理得到：进而得到：根据角的运算得到：根据等腰三角形的性质得到：最后根据三角形内角和定理列方程即可求出∠D的度数.
11．【答案】28°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，则∠AOB= 86°-30° =56°，
∴∠ACB=∠AOB=28°，
故答案为：28°，
【分析】连接OA、OB，可得∠AOB= 86°-30° =56°，再利用圆周角定理即可求解.
12．【答案】90°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°，
∴的度数= 90°，
故答案为：90°.
【分析】先求出圆周角定理求出∠DOE的度数，利用弧的度数等于它所对圆周角的度数即可求解.
13．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，连接OB，则P点就是所求作的点．此时PA+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=60°，
∵
∴∠AOB=∠BON=30°，
∵MN⊥BC，
∴，
∴∠CON=∠NOB=30°，
则∠AOC=90°，又OA=OC=1，
则AC=．
故答案为：.
【分析】 首先利用“将军饮马”的几何模型，作图确定点P的位置如图所示，然后根据题意求出∠AOC=90°从而得出△AOC是等腰直角三角形，由勾股定理可求出AC的长即可解答．
14．【答案】
【知识点】角平分线的性质；垂径定理的实际应用；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形是的内接四边形，
∴，
即
又∵
∴由垂径定理可知OC平分，
∴，
∴，
又∵平分 ，
∴
故答案为：.
【分析】由圆的内接四边形的对角互补求出∠BCD，再由垂径定理求出，进而根据直角三角形两锐角互余求出∠CDB，最后根据 平分 求出.
15．【答案】30°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，
∵∠ADC=120°，∴∠B=60°，
∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-60°=30°.
故答案为：30°.
【分析】由圆内接四边形的性质可得∠ADC+∠B=180°，结合已知求出∠B的度数，然后根据直径所对的圆周角是直角可得三角形ABC是直角三角形，最后根据直角三角形两锐角互余可求解.
16．【答案】（1）证明：如图，连接BF．
∵AC的垂直平分线交边BC于点E，交于F，且圆是轴对称图形，∴O，E，F三点共线，∴，∴，
∴，∵，∴
（2）解：如图，连接CF，设，则，
∵，∴，，
∵，∴，，
∴，，∴．
∵，∴，即，
易证（SAS），∴，
∵，∴，∴，∴，解得，
∴，
∴的度数为108°．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连接BF，先根据圆是轴对称图形，证明点O，E，F三点共线，再根据垂径定理，圆周角定理求证；
（2）连接CF， 根据圆心角定理和等腰三角形的判定和性质证BF=PF，现根据SAS证明 ，利用全等三角形的对应角相等，结合直角三角形的性质求解。
17．【答案】解：设
与都是所对的圆周角，
又，，，
又，
证
由中垂直线定理（或其它的方法）得
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等，进而证明 即可求解。
18．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°-90°＝90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°
∵BD⊥AC，
∴，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠FBC+∠ABC＝180°，
∴∠FBC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝2BF＝4，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴，即BD=2BC=8，
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得 ∠ADB＝∠CDB ，根据圆的内接四边的性质可得 ∠ABC+∠ADC＝180° ，结合四边形的内角和计算；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出∠F＝90°，△ACD是等边三角形，进而得出∠BDC＝30°，由BD是直径得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求解。
19．【答案】解：连接OD，与AC交于点E，如图：
∵D是的中点，
∴OD垂直平分AC，
即AE=CE，∠AEO=∠CED=90°；
∵CD∥AB ，
∴∠OAC=∠ECD，
∴△AOE≌△CDE，
∴OE=DE，OA=CD，
∴OA=2OE，
在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，
即，
解得：OE=4，
则OA=8，
∴CD=8.
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】连接OD，与AC交于点E；根据垂径定理可得AE=CE，∠AEO=∠CED=90°；根据两直线平行，内错角相等可得∠OAC=∠ECD；根据两角及其夹边对应相等的三角形全等可得△AOE≌△CDE；根据全等三角形的对应边相等可得OE=DE，OA=CD；推得OA=2OE；根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可求出OE的值，即可求解.
20．【答案】证明：连接OM、ON，
∵M、N分别为弦AB、CD的中点，点O是⊙O的圆心，
∴OM⊥AB，ON⊥CD．
∵AB=CD，
∴OM=ON．
∴∠OMN=∠ONM．
∵∠AMN=90°-∠OMN，
∵∠CNM=90°-∠ONM，
∴∠AMN=∠CNM．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据垂径定理的推论OM⊥AB，ON⊥CD；结合题意可得OM=ON；在根据圆心角、弧、弦心距的关系可得OM=ON；根据有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等可得∠OMN=∠ONM，即可证明．
21．【答案】解：连接AO， FO， EO， FO与AE交于点M，则∠AOF=∠EOF=60°.
∵ OA=OF= OE，
∴△AOF，△EOF都是等边三角形，
∴FO垂直平分AE，
在Rt△AOM中，∠AOF=60°，
则∠OAM=30°，
又∵OA=6，∴
∴AE=2AM=.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】分析题意，连接AO， FO， EO， FO与AE交于点M，由此证明△AOF，△EOF都是等边三角形，进而得到FO垂直平分AE；接下来在Rt△AOM中，由∠AOF=60°可得∠OAM=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得OM，进而根据勾股定理，可求解.
22．【答案】（1）解：如图，作直径PQ，
∵PA=PB，
∴，
∴，
∴∠APQ=∠BPQ，
∴PO平分∠APB；
（2）解：PO平分∠APB．理由如下：
作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON，如图，
∵OM⊥AC，ON⊥BD，
∴，，
∵AC=DB，
故AM=BN，
在Rt△AOM中，OM2=OA2-AM2，
在Rt△BON中，ON2=OB2-BN2，
故OM=ON，
∴PO平分∠APB.
（3）解： PO平分∠APB．理由如下：
作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON，如图：
∵OM⊥AC，ON⊥BD，
∴，，
∵AC=DB，
故AM=BN，
在Rt△AOM中，OM2=OA2-AM2，
在Rt△BON中，ON2=OB2-BN2，
故OM=ON，
∴PO平分∠APB.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）如图，作直径PQ，根据圆心角、弧、弦的关系，由PA=PB得到，所以，则根据圆周角定理得∠APQ=∠BPQ；
（2）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON；结合题意根据垂直于弦的直径平分这条弦可得AM=BN；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可推得OM=ON，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上可得PO是∠APB的角平分线；
（3）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON；结合题意根据垂直于弦的直径平分这条弦可得AM=BN；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可推得OM=ON，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上可得PO是∠APB的角平分线.
23．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，CB= BD，
∴∠BCD=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO=25° ，
∴∠BCD=25° ；
（2）解：设⊙O的半径为Rcm， ．
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，CD=16cm，
∴CE=CD=×16=8 (cm)，在Rt△CEB中，EB2=BC2-CE2，EB=4cm，
∴OE= (R-4) cm，
在Rt△CEO中，OC2=OE2+CE2，
∴R2= (R-4) 2+82，
∴R=10，∴⊙O的半径为10cm
【知识点】圆的相关概念；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质可求解；
（2）设⊙O的半径为Rcm，在Rt△CEO中，用勾股定理可得关于R的方程，解方程可求解.
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考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
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1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
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第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·吉林期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（ ）
A． B．3 C．9 D．6
【答案】D
【知识点】圆的相关概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°， 点D恰好为线段AB的中点，
∴AB=2CD，
∵AC=CD=3，
∴AB=2×3=6，
故答案为：D.
【分析】连接CD，利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2CD，再结合AC=CD=3，求出AB的长即可.
2．（2023九上·江源月考）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=50°，连接AO、OC．过点O作OD⊥BC 于点D．若∠OCD=40°，则∠AOD的度数为（ ）．
A．120° B．135° C．140° D．150°
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=50°，
OD⊥BC ， ∠OCD=40°，
故答案为：D.
【分析】根据 A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC=50°， 利用圆周角定理可得到再根据OD⊥BC ， ∠OCD=40°，可得进而得出结论.
3．（2023九上·六安期中）如图，AB为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长DE交于点F．若，，则的直径长为（ ）
A． B．8 C．10 D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，，
解得，x=4，
AB=2x=8.
故答案为：B.
【分析】连接OF，根据圆心角定理和垂径定理得到EF的长度，再根据勾股定理建立方程求解。
4．（2023九上·和平期中）如图，是的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线与相交于C，D两点，若，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接OC，设AB和CD交于点P，
由作图可知：CD垂直平分OB，
∵AB=4，
∴OP=OB==1，OC=AB=2，CP=PD，
∴CP==，
∴CD=2CP=.
故答案为：C.
【分析】连接OC，设AB和CD交于点P，由垂直平分线的性质及垂径定理可得OP=OB==1，OC=AB=2，CP=PD，利用勾股定理求出CP的长，利用CD=2CP即可求解.
5．（2023九上·和平期中）如图，都是的半径，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，取弧AB的中点，连接AD、BD，
∵，
∴，
∴，
∴AD=BD=BC，
∵AD+BD＞AB，即2BC＞AB，A错误，故A符合题意；
∵∠AOB=2∠BOC，OA=OB，
∴∠ABO=×（180°-∠AOB）=×（180°-2∠COB）=90°-∠COB，
即 ，B正确，故B不符合题意；
∵∠AOB=2∠BOC=2∠ACB，
∴∠BOC=∠ACB，
∵∠BOC=2∠CAB，
∴∠ACB=2∠BAC，则C、D正确，故C、D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】取弧AB的中点，连接AD、BD，由可得，即得AD=BD=BC，利用三角形三边关系可得2BC＞AB，据此判断A；根据等腰三角形的性质及三角形内角和可得，据此判断B；由圆周角定理可得∠BOC=∠ACB，继而得出∠ACB=2∠BAC，据此判断C、D.
6．（2023九上·通榆期中）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若∠ECF=60°，则∠DCF的大小是 （ ）
A．30° B．48° C．54° D．60°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，
∴∠BCD=180°-∠BAD=72°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠DCE=72°，
∴∠DCE=180°-72°=108°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ECF=108°-60°=48°，
故答案为：B.
【分析】利用圆内接四边形的性质可得∠DCE=180°-72°=108°，再利用角的运算求出∠DCF=∠DCE-∠ECF=108°-60°=48°即可.
7．如图，在⊙O中，=．有下列结论：
①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=．
其中正确的有（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在⊙O中，，
∴AB=CD，①正确；
∵为公共弧，
∴，
即，④正确；
∴AC=BD，②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确．
故答案为：B.
【分析】根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AB=CD；结合题意可得；根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AC=BD，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，即可得出答案.
8．下列说法不正确的是（ ）
A．直径所对的圆周角是直角 B．圆的两条平行弦所夹的弧相等
C．相等的圆周角所对的弧相等 D．相等的弧所对的圆周角相等
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：A．直径所对的圆周角是直角，正确，A不符合题意；
B．圆的两条平行弦所夹的弧相等，正确，B不符合题意；
C．只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，此选项错误，C符合题意；
D．相等的弧所对的圆周角相等，正确，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角可判断A选项说法正确；根据两直线平行，内错角相等可得圆的两条平行弦所夹的弧所对的圆周角相等，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等即可判断B选项说法正确；根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可判断C选项说法错误；根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可判断D选项说法正确；即可得出答案.
9．（2023九上·玉环期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE，BC=CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE=6，EG=4，则AB的长为（ ）
A． B． C．13 D．14
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CD，
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（ASA）
∴EB=EC
∵BC=CE，
∴BE=CE=BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠ACB=∠EBC=∠BEC=60°，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，∠EGF=30°，
∵EG=4，
∴EF=EG=2，
∵AE=6，
∴AF=AE+EF=6+2=8，
∴BC=CE=CF+EF=AF+EF=8+2=10，
过B作BH⊥AC于H，
∴∠EBH=∠EBC=30°，
∴CH=CE=5，
∴BH=，
而AH=AE+EH=6+5=11，
在Rt△ABH中，
AB=
故答案为：D.
【分析】连接CD，过B作BH⊥AC于H，由题意用角边角可证△ABC≌△DCB，则EB=EC，结合已知可得三角形EBC是等边三角形，则∠ACB=∠EBC=∠BEC=60°，在直角三角形EFG中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=EG，由线段的构成AF=AE+EF、BC=CE=CF+EF=AF+EF求出AF、BC的值，在直角三角形CBH中，同理可求得BH的值，由线段的构成AH=AE+EH求出AH的值，然后在直角三角形ABH中，用勾股定理可求解.
10．（2023九上·柯桥月考）如图，已知是的直径，点C是弧的中点，点D在的延长线上，连接交⊙O于点E，若，则（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OE，OC，如下图：
∵点C是弧的中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】连接OE，OC，根据垂径定理得到：进而得到：根据角的运算得到：根据等腰三角形的性质得到：最后根据三角形内角和定理列方程即可求出∠D的度数.
阅卷人 二、填空题
得分
11．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为
【答案】28°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，则∠AOB= 86°-30° =56°，
∴∠ACB=∠AOB=28°，
故答案为：28°，
【分析】连接OA、OB，可得∠AOB= 86°-30° =56°，再利用圆周角定理即可求解.
12．如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则的度数为
【答案】90°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°，
∴的度数= 90°，
故答案为：90°.
【分析】先求出圆周角定理求出∠DOE的度数，利用弧的度数等于它所对圆周角的度数即可求解.
13．如图，MN是⊙O的直径，MN=2．点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P为直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，连接OB，则P点就是所求作的点．此时PA+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=60°，
∵
∴∠AOB=∠BON=30°，
∵MN⊥BC，
∴，
∴∠CON=∠NOB=30°，
则∠AOC=90°，又OA=OC=1，
则AC=．
故答案为：.
【分析】 首先利用“将军饮马”的几何模型，作图确定点P的位置如图所示，然后根据题意求出∠AOC=90°从而得出△AOC是等腰直角三角形，由勾股定理可求出AC的长即可解答．
14．（2023九上·路桥月考）如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；垂径定理的实际应用；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形是的内接四边形，
∴，
即
又∵
∴由垂径定理可知OC平分，
∴，
∴，
又∵平分 ，
∴
故答案为：.
【分析】由圆的内接四边形的对角互补求出∠BCD，再由垂径定理求出，进而根据直角三角形两锐角互余求出∠CDB，最后根据 平分 求出.
15．如图，AB 是⊙O的直径，C，D是上两点．若∠ADC=120°，则∠BAC的度数是
【答案】30°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，
∵∠ADC=120°，∴∠B=60°，
∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-60°=30°.
故答案为：30°.
【分析】由圆内接四边形的性质可得∠ADC+∠B=180°，结合已知求出∠B的度数，然后根据直径所对的圆周角是直角可得三角形ABC是直角三角形，最后根据直角三角形两锐角互余可求解.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023九上·六安期中）如图，等腰内接于，AC的垂直平分线交边BC于点E，交于F，垂足为D，连接AF并延长交BC的延长线于点P．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，连接BF．
∵AC的垂直平分线交边BC于点E，交于F，且圆是轴对称图形，∴O，E，F三点共线，∴，∴，
∴，∵，∴
（2）解：如图，连接CF，设，则，
∵，∴，，
∵，∴，，
∴，，∴．
∵，∴，即，
易证（SAS），∴，
∵，∴，∴，∴，解得，
∴，
∴的度数为108°．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连接BF，先根据圆是轴对称图形，证明点O，E，F三点共线，再根据垂径定理，圆周角定理求证；
（2）连接CF， 根据圆心角定理和等腰三角形的判定和性质证BF=PF，现根据SAS证明 ，利用全等三角形的对应角相等，结合直角三角形的性质求解。
17．（2023九上·铜陵期中）已知外接圆，，，求证：．
【答案】解：设
与都是所对的圆周角，
又，，，
又，
证
由中垂直线定理（或其它的方法）得
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等，进而证明 即可求解。
18．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2求此圆半径的长
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°-90°＝90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°
∵BD⊥AC，
∴，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠FBC+∠ABC＝180°，
∴∠FBC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝2BF＝4，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴，即BD=2BC=8，
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得 ∠ADB＝∠CDB ，根据圆的内接四边的性质可得 ∠ABC+∠ADC＝180° ，结合四边形的内角和计算；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出∠F＝90°，△ACD是等边三角形，进而得出∠BDC＝30°，由BD是直径得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求解。
19．如图，AB是⊙O的直径，弦AC=，D是的中点，且CD∥AB．求CD的长．
【答案】解：连接OD，与AC交于点E，如图：
∵D是的中点，
∴OD垂直平分AC，
即AE=CE，∠AEO=∠CED=90°；
∵CD∥AB ，
∴∠OAC=∠ECD，
∴△AOE≌△CDE，
∴OE=DE，OA=CD，
∴OA=2OE，
在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，
即，
解得：OE=4，
则OA=8，
∴CD=8.
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】连接OD，与AC交于点E；根据垂径定理可得AE=CE，∠AEO=∠CED=90°；根据两直线平行，内错角相等可得∠OAC=∠ECD；根据两角及其夹边对应相等的三角形全等可得△AOE≌△CDE；根据全等三角形的对应边相等可得OE=DE，OA=CD；推得OA=2OE；根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可求出OE的值，即可求解.
20．已知：如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB=CD，M，N分别是AB，CD的中点．求证：∠AMN=∠CNM．
【答案】证明：连接OM、ON，
∵M、N分别为弦AB、CD的中点，点O是⊙O的圆心，
∴OM⊥AB，ON⊥CD．
∵AB=CD，
∴OM=ON．
∴∠OMN=∠ONM．
∵∠AMN=90°-∠OMN，
∵∠CNM=90°-∠ONM，
∴∠AMN=∠CNM．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据垂径定理的推论OM⊥AB，ON⊥CD；结合题意可得OM=ON；在根据圆心角、弧、弦心距的关系可得OM=ON；根据有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等可得∠OMN=∠ONM，即可证明．
21．如图，点A，B，C，D，E，F都在⊙O上，且AB=BC=CD=DE=EF=AF．若⊙O的半径为6，求AE的长．
【答案】解：连接AO， FO， EO， FO与AE交于点M，则∠AOF=∠EOF=60°.
∵ OA=OF= OE，
∴△AOF，△EOF都是等边三角形，
∴FO垂直平分AE，
在Rt△AOM中，∠AOF=60°，
则∠OAM=30°，
又∵OA=6，∴
∴AE=2AM=.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】分析题意，连接AO， FO， EO， FO与AE交于点M，由此证明△AOF，△EOF都是等边三角形，进而得到FO垂直平分AE；接下来在Rt△AOM中，由∠AOF=60°可得∠OAM=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得OM，进而根据勾股定理，可求解.
22．
（1）如图①，过⊙O上一点P作两条弦PA，PB．若PA=PB，则PO平分∠APB．为什么？
（2）如图②，若点P在⊙O内，过点P的两条弦AC，DB相等，则PO平分∠APB吗？为什么？
（3）如图③，若点P在⊙O外，过点P作PA，PB，分别交⊙O于点A，C和B，D，且AC=BD，则PO平分∠APB吗？为什么？
【答案】（1）解：如图，作直径PQ，
∵PA=PB，
∴，
∴，
∴∠APQ=∠BPQ，
∴PO平分∠APB；
（2）解：PO平分∠APB．理由如下：
作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON，如图，
∵OM⊥AC，ON⊥BD，
∴，，
∵AC=DB，
故AM=BN，
在Rt△AOM中，OM2=OA2-AM2，
在Rt△BON中，ON2=OB2-BN2，
故OM=ON，
∴PO平分∠APB.
（3）解： PO平分∠APB．理由如下：
作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON，如图：
∵OM⊥AC，ON⊥BD，
∴，，
∵AC=DB，
故AM=BN，
在Rt△AOM中，OM2=OA2-AM2，
在Rt△BON中，ON2=OB2-BN2，
故OM=ON，
∴PO平分∠APB.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）如图，作直径PQ，根据圆心角、弧、弦的关系，由PA=PB得到，所以，则根据圆周角定理得∠APQ=∠BPQ；
（2）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON；结合题意根据垂直于弦的直径平分这条弦可得AM=BN；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可推得OM=ON，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上可得PO是∠APB的角平分线；
（3）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON；结合题意根据垂直于弦的直径平分这条弦可得AM=BN；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可推得OM=ON，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上可得PO是∠APB的角平分线.
23．（2023九上·玉环期中）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）若∠ACO=25°，求∠BCD的度数．
（2）若EB=4cm，CD=16cm，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，CB= BD，
∴∠BCD=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO=25° ，
∴∠BCD=25° ；
（2）解：设⊙O的半径为Rcm， ．
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，CD=16cm，
∴CE=CD=×16=8 (cm)，在Rt△CEB中，EB2=BC2-CE2，EB=4cm，
∴OE= (R-4) cm，
在Rt△CEO中，OC2=OE2+CE2，
∴R2= (R-4) 2+82，
∴R=10，∴⊙O的半径为10cm
【知识点】圆的相关概念；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质可求解；
（2）设⊙O的半径为Rcm，在Rt△CEO中，用勾股定理可得关于R的方程，解方程可求解.
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