登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教版2023-2024年数学九年级第一学期期末扫盲清障复习卷——24.2点和圆、直线和园的位置关系
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·和平期中）已知的半径为，，则点和的位置关系是（ ）
A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为， ，
∴点到圆心的距离大于半径，
∴点A在圆外，
故答案为：B.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此判断即可.
2．（2023九上·义乌期中）平面内，⊙O的半径为3，若点P在⊙O外，则OP的长可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为3且点P在⊙O外，
∴OP的长度大于3.
故答案为：A.
【分析】当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.
3．已知⊙O的半径为3cm，P为圆外一点，则OP的长可能是（ ）．
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，P为圆外一点，
∴OP>3cm，只有D符合.
故答案为：D.
【分析】根据点在圆外，可知这个点到圆心的距离大于半径，从而作出判断.
4．（2023·怀化模拟） 如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质；线段的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC=AP=6，BP=BD
∴BD=BP=AB-AP=4
故答案为：B
【分析】根据切线性质即可求出答案。
5．（2023九下·齐齐哈尔开学考）如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则∠P的度数为（ ）．
A．68° B．104° C．70° D．76°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵PA、PB 是⊙O的两条切线，点A、C为切点，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
∵∠B=52°，
∴∠AOC=2∠B=104°，
∴∠P=360°-90°-90°-104°=76°.
故答案为：D.
【分析】连接OA，OC，根据切线的性质得出∠PAO=∠PCO=90°，根据圆周角定理得出∠AOC=2∠B=104°，再根据四边形内角和为360°即可得出∠P=76°.
6．（2024九上·丰台期中） 雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】如图，观察图象可得，能被雷达监测到的最远点为N，
故答案为B.
【分析】以点P为圆心，5为半径作圆即可得出结论.
7．下列命题不正确的是（ ）
A．过一点有无数个圆
B．过三点能作一个圆
C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
【答案】B
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A、过一点有无数个圆，故A选项是正确的．
B、过不在同一条直线上的三点能作一个圆，故B选项是不正确的．
C、三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，故C选项是正确的．
D、直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边，故D选项是正确的．
故答案为：B.
【分析】由确定圆的条件和三角形外接圆、外心的定义和性质即可判断解答.
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则它的外心与直角顶点的距离是（ ）．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4 ，
∴AB==5，
∵直角三角形的外心是斜边的中点，
∴ 它的外心与直角顶点的距离为AB=2.5，
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出AB的长， 直角三角形它的外心与直角顶点的距离为斜边的一半.
9．如图，P(x，y) 是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点．若P是整点(即x，y为整数)，则这样的点共有（ ）．
A．4个 B．8个 C．12个 D．16个
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解：分两种情况：①若这个点在坐标轴上，则有四个，分别是：（0，5），（5，0），（-5，0），（0，-5）；
②若这个点在象限内，
∵52=32+42，而P是整数点，
∴这样的点有8个，分别是：（3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4），（4，3），(4，-3)，（-4，3），（-4，-3）.
∴这样的点共有12个.
故答案为：C.
【分析】由题意分两种情况：①若这个点在坐标轴上，则有四个；②若这个点在象限内，由52=32+42，可知在每一个象限有2个，综合可得： 这样的点共有12个.
10．（2023七下·青岛期末）如图，在中，，分别作，两边的垂直平分线、，垂足分别是点M、N，以下说法：①；②；③；④点P到点B和点C的距离相等．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵PM⊥AC，PM⊥AB，
∴∠PMA=∠PNA=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠P=360°-∠PMA-∠PNA-∠BAC=360°-90°-90°-120°=60°，故①正确；
∠B+∠C=180°-∠BAC=60°，
∵PM、PN垂直平分AC、AB，
∴CE=AE，AF=BF，
∴∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，
∴∠EAC+∠FAB=∠C+∠B=60°，
∴∠EAF=∠BAC-（∠EAC+∠FAB）=120°-60°=60°，
∴∠EAF=∠C+∠B，故②正确；
∵∠CEM=90°-∠C，∠BFN=90°-∠B，
由∠B与∠C不一定相等，
∴∠CEM不一定等于∠BFN，
∵∠CEM=∠PEF，∠BFN=∠PFE，
∴∠PEF不一定等于∠PFE，故③错误；
∵PM、PN垂直平分AC、AB，
∴点P是△ABC的外心，
∴PB=PC，故④正确；
故答案为：B.
【分析】由垂直的定义可得∠PMA=∠PNA=90°，利用四边形内角和可求出∠P=360°-∠PMA-∠PNA-∠BAC=60°，利用三角形内角和求出∠B+∠C=60°，由PM、PN垂直平分AC、AB，可得∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，点P是△ABC的外心，从而得出∠EAC+∠FAB=60°，PC=PB，即得∠EAF=∠C+∠B，由∠CEM=90°-∠C，∠BFN=90°-∠B，且∠B≠∠C，可得∠CEM≠∠BFN，结合对顶角相等可得∠PEF不一定等于∠PFE，据此逐项判断即可.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·路桥月考）如图，是以原点为圆心，半径为的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；直线与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 为 的切线，
∴，
又∵ 圆的半径为，
∴OQ=2，
∴，
则欲求的最小值 ，只需求的最小值；
又∵为直角三角形，
∴，即，
∴当OP最小时，PQ最小；
由题意，当时，OP最小；
根据直线，可得OB=6，OA=6；
由勾股定理可得，
当时，，
即，
解得，
此时由，可得，解
∴；
故答案为：.
【分析】根据可将 的最小值转化为求的最小值，根据勾股定理和等面积法求的最小值即可.
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= ，则BD的长为
【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，延长BA，CE，交于点M．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAD=∠CAM=90°，∠BEC=∠BEM=90°，
又AB=AC，∠ABD=∠ACM，
∴△ABD≌△ACM，
∴BD=CM．
由∠EBM=∠EBC，BE= BE，∠BEC=∠BEM，得△BEC≌△BEM，
∴EC=EM，
∴BD=CM=2CE=．
【分析】延长BA，CE，交于点M，证明△ABD≌△ACM（ASA），可得BD=CM．再证△BEC≌△BEM（ASA），可得EC=EM，根据BD=CM=2CE即可求解.
13．如图，在直角坐标系中，一圆弧过正方形网格的格点A，B，C．已知点A的坐标为(-3，5)，点B的坐标为(1，5)，点C的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为
【答案】(-1，0)
【知识点】坐标与图形性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解：根据不共线的三点确定一个圆，如图，圆弧的圆心为线段AB和BC的中垂线的交点，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（-1，0）.
故答案为：（-1，0）.
【分析】根据网格图的特征找出AB、BC的垂直平分线的交点即可求解.
14．（2023·青岛）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，为切点，是的直径，则的度数为 °.
【答案】60
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵点A（1，0），P（-1，0），
∴PO=1，OA=1，
∴PA=2，
∵AB是 为的切线，B为切点，BC是的直径，
∴∠ABP=90°，
∵BP=PO=1，
∴BP=
∴∠PAB=30°，
∴∠ABP=60°，
∴∠CPD=60°，
又PC=PD，
∴△PCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°。
故答案为：60.
【分析】首先根据点A，P的坐标，求得PO，OA的长度均为1，从而得到PB=PO=1，再根据切线的性质得出∠ABP=90°，从而得出∠PAB=30°，进一步得出∠CPD=60°，又通过证明△PCD是等边三角形得出∠BCD=60°。
15．（2023·湘西）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示：连接AO，过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=30°，
∵是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4，
∴OA=OB=4，CF⊥AB，
∴∠OBA= ∠OAB=30°，
∴∠OAE=∠OAB=∠BAC=30°，
∵BE ⊥AC，
∴OE=OA=2，
∴BE =EO+BO=2+4=6，
∵PD⊥AB，∠ABE=30°，
∴，
∴，
∴的最小值为CF的长度，
∵△ ABC是等边三角形，BE ⊥AC，CF⊥AB，
∴CF=BE= 6，
∴的最小值为6，
故答案为：6.
【分析】根据等边三角形的性质求出∠ABE=∠CBE=∠ABC=30°，再根据圆内接三角形的性质求出OA=OB=4，CF⊥AB，最后根据含30°角的直角三角形的性质等计算求解即可。
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023九上·通榆期中）如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
【答案】（1）证明：连接AD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
又∵DC＝BD，
∴AD是BC的中垂线．
∴AB＝AC．
（2）证明：连接OD；
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC．
∴∠ODE＝∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°．
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接AD，先证出AD是BC的中垂线，可得AB=AC；
（2）先利用平行线的性质可得∠ODE＝∠CED，再结合DE⊥AC，可得∠ODE＝90°，即OD⊥DE，从而证出DE是⊙O的切线．
17．（2023九上·襄州期中） 如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，AC平分∠BAE，CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接EC，若DE=1，AE=2，求EC的长．
【答案】（1）证明：连接OC．
∵OA= OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠BAE，
∴∠OAC=∠DAC．
∴∠DAC=∠OCA．
∴AD∥OC．
∴∠ADC=∠OCF．
∵CD⊥AE，
∴∠OCF=∠ADF= 90°．
∴OC⊥CD．
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线、
（2）连接BE交OC于点P．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90° ．
∴∠BED=∠ADC=∠OCD=90°．
∴四边形PCDE是矩形．
∴PC=DE=1，∠CPE=90°．
∴OC⊥BE．
∴PE= =PB．
∴EC= BC．
∵OA= OB，
∴OP= AE= 1．
∴OP= PC．
∴BC= OB．
∴EC= OB=OC=2．
【知识点】垂径定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】 (1) 连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ACO，得到AD∥OC，再根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可证明.
(2) 求出∠OEA=∠EOC=60°，再由扇形的面积公式可得出答案.
18．（2023九上·北京市月考）如图在中，，是的角平分线，点在上，以点为圆心，长为半径的圆经过点，交于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
经过为的半径的端点，且，
是的切线．
（2）如图，设的半径为，则，
作于点，则，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
解得，
的半径长为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）先证出，再结合AC经过O的半径的端点，且， 即可得到AC是的切线；
（2）设的半径为，则，再根据，可得，再求出r的值即可.
19．（2023九下·齐齐哈尔开学考）如图所示，已知是的直径，过的中点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，cm，求的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示，
是AB中点，D是BC中点，
，
，
又 ，
，
，
是的切线；
（2）解：连接AD，OD，如图所示，
是的直径，
，
是直角三角形，
，
，
，
在中，，
．
，，，
，
∴，
，
为等边三角形．
（cm）．
的半径为（cm）．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OD，根据三角形中位线定理得出OD∥AC，从而根据平行线的性质得出OD⊥DE，即可证出DE是的切线；
（2）连接AD、OD，根据圆周角定理可得∠BDA=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根据含30°角直角三角形性质可得AD=AC，根据勾股定理求出AD的长，再证出△ODA是等边三角形，得出OD=AD，即可得出的半径.
20．（2023·海淀模拟） 如图，为外一点，，是的切线，，为切点，点在上，连接，，．
（1）求证：；
（2）连接，若，的半径为，，求的长．
【答案】（1）证明：过作于，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，延长交于，
，是的切线，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质求出∠OAP=90°，再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出四边形是矩形， 再利用勾股定理求出OH=4，最后计算求解即可。
21．（2023·西城模拟） 如图，以菱形的边为直径作交于点，连接交于点，是上的一点，且，连接．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线．
【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
即．
四边形是菱形，
，
；
（2）证明：如图，连接，
是的直径，
，
四边形是菱形，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
．
是半径，
是的切线．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；切线的判定
【解析】【分析】
(1)连接AM，根据AD是直径可得AM和BD垂直，根据菱形可知AB=AD，△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可得DM=BM；
(2)连接DE，证明△BED和△BFD全等，得∠BFD=∠BED=90°，结合AD∥BC得AD⊥DF，可证DF是切线。
22．（2023·西山模拟） 如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作半圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且．
（1）求证：是半的切线；
（2）若，，求半的半径．
【答案】证明：过点 作 于点 ． 为半 切线， ， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ， ， 是半 的半径． ， 是半 的切线． 若，，求半的半径．【答案】解： 是半 的切线， ， ． ， ． ， ， ， ．在 中， ， ， 的半径为 ．
（1）证明：过点 作 于点 ．
为半 切线，
，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
，
，
是半 的半径．
，
是半 的切线．
（2）解： 是半 的切线， ，
．
，
．
，
，
，
．
在 中， ，
，
的半径为 ．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】
(1)过O作AC的垂线OF，结合角间关系证明OC平分∠ACB，可证明OF=OB，OF为半径，可得AC是圆O的切线。
(2)根据角间关系推导出∠CAB=30°，得OA=2OF，再结合勾股定理求出OF。
阅卷人 四、综合题
得分
23．（2023·大连）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点．
（1）求的度数；
（2）如图2，过点作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，求的长．
【答案】（1）∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）如图，连接，设，
则，，，
∵是的直径，
∴，
在中，由勾股定理得：
由（1）得：，
∴，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据角平分线的概念可得∠BAC=2∠BAD，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠ODA，结合外角的性质可得∠BOD=∠BAD+∠ODA=2∠BAD，则∠BOD=∠BAC，推出OD∥AC，根据平行线的性质可得∠OEB=∠ACB=90°，据此求解；
（2）连接BD，设OA=OB=OD=r，则OE=r-4，AC=2r-8，AB=2r，由圆周角定理可得∠ADB=90°，根据勾股定理可得BD2=AB2-AD2=BE2+DE2=OB2-OE2+DE2，代入求解可得r的值，进而可得AB、BD的值，由切线的性质可得AF⊥AB，进而得到DG⊥AB，然后利用等面积法进行计算.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 2
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教版2023-2024年数学九年级第一学期期末扫盲清障复习卷——24.2点和圆、直线和园的位置关系
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·和平期中）已知的半径为，，则点和的位置关系是（ ）
A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定
2．（2023九上·义乌期中）平面内，⊙O的半径为3，若点P在⊙O外，则OP的长可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知⊙O的半径为3cm，P为圆外一点，则OP的长可能是（ ）．
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．（2023·怀化模拟） 如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九下·齐齐哈尔开学考）如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则∠P的度数为（ ）．
A．68° B．104° C．70° D．76°
6．（2024九上·丰台期中） 雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
7．下列命题不正确的是（ ）
A．过一点有无数个圆
B．过三点能作一个圆
C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则它的外心与直角顶点的距离是（ ）．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
9．如图，P(x，y) 是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点．若P是整点(即x，y为整数)，则这样的点共有（ ）．
A．4个 B．8个 C．12个 D．16个
10．（2023七下·青岛期末）如图，在中，，分别作，两边的垂直平分线、，垂足分别是点M、N，以下说法：①；②；③；④点P到点B和点C的距离相等．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·路桥月考）如图，是以原点为圆心，半径为的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为 ．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= ，则BD的长为
13．如图，在直角坐标系中，一圆弧过正方形网格的格点A，B，C．已知点A的坐标为(-3，5)，点B的坐标为(1，5)，点C的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为
14．（2023·青岛）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，为切点，是的直径，则的度数为 °.
15．（2023·湘西）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023九上·通榆期中）如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
17．（2023九上·襄州期中） 如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，AC平分∠BAE，CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接EC，若DE=1，AE=2，求EC的长．
18．（2023九上·北京市月考）如图在中，，是的角平分线，点在上，以点为圆心，长为半径的圆经过点，交于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
19．（2023九下·齐齐哈尔开学考）如图所示，已知是的直径，过的中点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，cm，求的半径．
20．（2023·海淀模拟） 如图，为外一点，，是的切线，，为切点，点在上，连接，，．
（1）求证：；
（2）连接，若，的半径为，，求的长．
21．（2023·西城模拟） 如图，以菱形的边为直径作交于点，连接交于点，是上的一点，且，连接．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线．
22．（2023·西山模拟） 如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作半圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且．
（1）求证：是半的切线；
（2）若，，求半的半径．
阅卷人 四、综合题
得分
23．（2023·大连）如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点．
（1）求的度数；
（2）如图2，过点作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为， ，
∴点到圆心的距离大于半径，
∴点A在圆外，
故答案为：B.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此判断即可.
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为3且点P在⊙O外，
∴OP的长度大于3.
故答案为：A.
【分析】当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.
3．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，P为圆外一点，
∴OP>3cm，只有D符合.
故答案为：D.
【分析】根据点在圆外，可知这个点到圆心的距离大于半径，从而作出判断.
4．【答案】B
【知识点】切线的性质；线段的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC=AP=6，BP=BD
∴BD=BP=AB-AP=4
故答案为：B
【分析】根据切线性质即可求出答案。
5．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵PA、PB 是⊙O的两条切线，点A、C为切点，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
∵∠B=52°，
∴∠AOC=2∠B=104°，
∴∠P=360°-90°-90°-104°=76°.
故答案为：D.
【分析】连接OA，OC，根据切线的性质得出∠PAO=∠PCO=90°，根据圆周角定理得出∠AOC=2∠B=104°，再根据四边形内角和为360°即可得出∠P=76°.
6．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】如图，观察图象可得，能被雷达监测到的最远点为N，
故答案为B.
【分析】以点P为圆心，5为半径作圆即可得出结论.
7．【答案】B
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A、过一点有无数个圆，故A选项是正确的．
B、过不在同一条直线上的三点能作一个圆，故B选项是不正确的．
C、三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，故C选项是正确的．
D、直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边，故D选项是正确的．
故答案为：B.
【分析】由确定圆的条件和三角形外接圆、外心的定义和性质即可判断解答.
8．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4 ，
∴AB==5，
∵直角三角形的外心是斜边的中点，
∴ 它的外心与直角顶点的距离为AB=2.5，
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出AB的长， 直角三角形它的外心与直角顶点的距离为斜边的一半.
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解：分两种情况：①若这个点在坐标轴上，则有四个，分别是：（0，5），（5，0），（-5，0），（0，-5）；
②若这个点在象限内，
∵52=32+42，而P是整数点，
∴这样的点有8个，分别是：（3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4），（4，3），(4，-3)，（-4，3），（-4，-3）.
∴这样的点共有12个.
故答案为：C.
【分析】由题意分两种情况：①若这个点在坐标轴上，则有四个；②若这个点在象限内，由52=32+42，可知在每一个象限有2个，综合可得： 这样的点共有12个.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵PM⊥AC，PM⊥AB，
∴∠PMA=∠PNA=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠P=360°-∠PMA-∠PNA-∠BAC=360°-90°-90°-120°=60°，故①正确；
∠B+∠C=180°-∠BAC=60°，
∵PM、PN垂直平分AC、AB，
∴CE=AE，AF=BF，
∴∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，
∴∠EAC+∠FAB=∠C+∠B=60°，
∴∠EAF=∠BAC-（∠EAC+∠FAB）=120°-60°=60°，
∴∠EAF=∠C+∠B，故②正确；
∵∠CEM=90°-∠C，∠BFN=90°-∠B，
由∠B与∠C不一定相等，
∴∠CEM不一定等于∠BFN，
∵∠CEM=∠PEF，∠BFN=∠PFE，
∴∠PEF不一定等于∠PFE，故③错误；
∵PM、PN垂直平分AC、AB，
∴点P是△ABC的外心，
∴PB=PC，故④正确；
故答案为：B.
【分析】由垂直的定义可得∠PMA=∠PNA=90°，利用四边形内角和可求出∠P=360°-∠PMA-∠PNA-∠BAC=60°，利用三角形内角和求出∠B+∠C=60°，由PM、PN垂直平分AC、AB，可得∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，点P是△ABC的外心，从而得出∠EAC+∠FAB=60°，PC=PB，即得∠EAF=∠C+∠B，由∠CEM=90°-∠C，∠BFN=90°-∠B，且∠B≠∠C，可得∠CEM≠∠BFN，结合对顶角相等可得∠PEF不一定等于∠PFE，据此逐项判断即可.
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；直线与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 为 的切线，
∴，
又∵ 圆的半径为，
∴OQ=2，
∴，
则欲求的最小值 ，只需求的最小值；
又∵为直角三角形，
∴，即，
∴当OP最小时，PQ最小；
由题意，当时，OP最小；
根据直线，可得OB=6，OA=6；
由勾股定理可得，
当时，，
即，
解得，
此时由，可得，解
∴；
故答案为：.
【分析】根据可将 的最小值转化为求的最小值，根据勾股定理和等面积法求的最小值即可.
12．【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，延长BA，CE，交于点M．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAD=∠CAM=90°，∠BEC=∠BEM=90°，
又AB=AC，∠ABD=∠ACM，
∴△ABD≌△ACM，
∴BD=CM．
由∠EBM=∠EBC，BE= BE，∠BEC=∠BEM，得△BEC≌△BEM，
∴EC=EM，
∴BD=CM=2CE=．
【分析】延长BA，CE，交于点M，证明△ABD≌△ACM（ASA），可得BD=CM．再证△BEC≌△BEM（ASA），可得EC=EM，根据BD=CM=2CE即可求解.
13．【答案】(-1，0)
【知识点】坐标与图形性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解：根据不共线的三点确定一个圆，如图，圆弧的圆心为线段AB和BC的中垂线的交点，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（-1，0）.
故答案为：（-1，0）.
【分析】根据网格图的特征找出AB、BC的垂直平分线的交点即可求解.
14．【答案】60
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵点A（1，0），P（-1，0），
∴PO=1，OA=1，
∴PA=2，
∵AB是 为的切线，B为切点，BC是的直径，
∴∠ABP=90°，
∵BP=PO=1，
∴BP=
∴∠PAB=30°，
∴∠ABP=60°，
∴∠CPD=60°，
又PC=PD，
∴△PCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°。
故答案为：60.
【分析】首先根据点A，P的坐标，求得PO，OA的长度均为1，从而得到PB=PO=1，再根据切线的性质得出∠ABP=90°，从而得出∠PAB=30°，进一步得出∠CPD=60°，又通过证明△PCD是等边三角形得出∠BCD=60°。
15．【答案】6
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示：连接AO，过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=30°，
∵是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4，
∴OA=OB=4，CF⊥AB，
∴∠OBA= ∠OAB=30°，
∴∠OAE=∠OAB=∠BAC=30°，
∵BE ⊥AC，
∴OE=OA=2，
∴BE =EO+BO=2+4=6，
∵PD⊥AB，∠ABE=30°，
∴，
∴，
∴的最小值为CF的长度，
∵△ ABC是等边三角形，BE ⊥AC，CF⊥AB，
∴CF=BE= 6，
∴的最小值为6，
故答案为：6.
【分析】根据等边三角形的性质求出∠ABE=∠CBE=∠ABC=30°，再根据圆内接三角形的性质求出OA=OB=4，CF⊥AB，最后根据含30°角的直角三角形的性质等计算求解即可。
16．【答案】（1）证明：连接AD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
又∵DC＝BD，
∴AD是BC的中垂线．
∴AB＝AC．
（2）证明：连接OD；
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC．
∴∠ODE＝∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°．
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接AD，先证出AD是BC的中垂线，可得AB=AC；
（2）先利用平行线的性质可得∠ODE＝∠CED，再结合DE⊥AC，可得∠ODE＝90°，即OD⊥DE，从而证出DE是⊙O的切线．
17．【答案】（1）证明：连接OC．
∵OA= OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠BAE，
∴∠OAC=∠DAC．
∴∠DAC=∠OCA．
∴AD∥OC．
∴∠ADC=∠OCF．
∵CD⊥AE，
∴∠OCF=∠ADF= 90°．
∴OC⊥CD．
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线、
（2）连接BE交OC于点P．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90° ．
∴∠BED=∠ADC=∠OCD=90°．
∴四边形PCDE是矩形．
∴PC=DE=1，∠CPE=90°．
∴OC⊥BE．
∴PE= =PB．
∴EC= BC．
∵OA= OB，
∴OP= AE= 1．
∴OP= PC．
∴BC= OB．
∴EC= OB=OC=2．
【知识点】垂径定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】 (1) 连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ACO，得到AD∥OC，再根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可证明.
(2) 求出∠OEA=∠EOC=60°，再由扇形的面积公式可得出答案.
18．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
经过为的半径的端点，且，
是的切线．
（2）如图，设的半径为，则，
作于点，则，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
解得，
的半径长为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）先证出，再结合AC经过O的半径的端点，且， 即可得到AC是的切线；
（2）设的半径为，则，再根据，可得，再求出r的值即可.
19．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示，
是AB中点，D是BC中点，
，
，
又 ，
，
，
是的切线；
（2）解：连接AD，OD，如图所示，
是的直径，
，
是直角三角形，
，
，
，
在中，，
．
，，，
，
∴，
，
为等边三角形．
（cm）．
的半径为（cm）．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接OD，根据三角形中位线定理得出OD∥AC，从而根据平行线的性质得出OD⊥DE，即可证出DE是的切线；
（2）连接AD、OD，根据圆周角定理可得∠BDA=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根据含30°角直角三角形性质可得AD=AC，根据勾股定理求出AD的长，再证出△ODA是等边三角形，得出OD=AD，即可得出的半径.
20．【答案】（1）证明：过作于，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，延长交于，
，是的切线，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质求出∠OAP=90°，再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出四边形是矩形， 再利用勾股定理求出OH=4，最后计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
即．
四边形是菱形，
，
；
（2）证明：如图，连接，
是的直径，
，
四边形是菱形，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
．
是半径，
是的切线．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；切线的判定
【解析】【分析】
(1)连接AM，根据AD是直径可得AM和BD垂直，根据菱形可知AB=AD，△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可得DM=BM；
(2)连接DE，证明△BED和△BFD全等，得∠BFD=∠BED=90°，结合AD∥BC得AD⊥DF，可证DF是切线。
22．【答案】证明：过点 作 于点 ． 为半 切线， ， ， ． ， ， ． ， ， ， ． ， ， 是半 的半径． ， 是半 的切线． 若，，求半的半径．【答案】解： 是半 的切线， ， ． ， ． ， ， ， ．在 中， ， ， 的半径为 ．
（1）证明：过点 作 于点 ．
为半 切线，
，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
，
，
是半 的半径．
，
是半 的切线．
（2）解： 是半 的切线， ，
．
，
．
，
，
，
．
在 中， ，
，
的半径为 ．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】
(1)过O作AC的垂线OF，结合角间关系证明OC平分∠ACB，可证明OF=OB，OF为半径，可得AC是圆O的切线。
(2)根据角间关系推导出∠CAB=30°，得OA=2OF，再结合勾股定理求出OF。
23．【答案】（1）∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）如图，连接，设，
则，，，
∵是的直径，
∴，
在中，由勾股定理得：
由（1）得：，
∴，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，根据角平分线的概念可得∠BAC=2∠BAD，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠ODA，结合外角的性质可得∠BOD=∠BAD+∠ODA=2∠BAD，则∠BOD=∠BAC，推出OD∥AC，根据平行线的性质可得∠OEB=∠ACB=90°，据此求解；
（2）连接BD，设OA=OB=OD=r，则OE=r-4，AC=2r-8，AB=2r，由圆周角定理可得∠ADB=90°，根据勾股定理可得BD2=AB2-AD2=BE2+DE2=OB2-OE2+DE2，代入求解可得r的值，进而可得AB、BD的值，由切线的性质可得AF⊥AB，进而得到DG⊥AB，然后利用等面积法进行计算.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 2
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
