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人教版2023-2024年数学九年级第一学期期末扫盲清障复习卷——24.3正多边形和圆
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数是（ ）．
A．45° B．50° C．60° D．75°
2．如图，延长圆内接四边形ABCD的边AB，DC，相交于点E，延长边AD，BC，相交于点F．若∠E=30°，∠F=50° ，则∠A的度数为（ ）．
A．20° B．30° C．50° D．60°
3．如图所示，正六边形ABCDE的边长为6，以顶点为圆心、AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）.
A． B． C． D．
4．（2023九上·通榆期中）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若∠ECF=60°，则∠DCF的大小是 （ ）
A．30° B．48° C．54° D．60°
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若∠A：∠B：∠D=4：3：3，则∠DCE的度数是（ ）
A．100°． B．105°． C．110°． D．120°．
6．（2023九上·雨花月考）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·天津市期中）如图，是的直径，内接于，延长在外相交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC内接于⊙O，D，E为圆上的点，连结AD，BD，AE，CE．若∠BAC=50°，则∠D与∠E的和为（ ）
A．220° B．230° C．240° D．250°
9．如图所示，四边形ABCD是的内接四边形，BE是的直径，连结AE.若，则的度数是（ ）.
A． B． C． D．
10．（2023九上·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S正方形PQRS：S正方形ABCD等于( )．
A．1 ：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·路桥月考）如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于，则的度数为 ．
12．（2023九上·南京开学考）如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝66°，那么∠θ＝ ．
13．（2023九上·温州期末）如图，在中，是的中点，作点关于弦的对称点，连接并延长交于点，过点作于点，若，则等于 度．
14．（2022九上·顺庆月考）如图，A，B，C三点都在⊙O上，已知∠AOC＝138°，则∠OAB+∠OCB＝ °．
15．（2023九上·韩城期末）如图，四边形ABCD内接于，BC为的直径，.若，则的度数为 °.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2求此圆半径的长
17．如图，⊙C经过原点O，且与两坐标轴分别交于点A(0，3)和点B．M是劣弧OB上一点，∠BMO=120°．求⊙C的半径长．
18．如图所示，四边形ABCD内接于为的直径，.
（1）试判断的形状，并给出证明.
（2）若，求CD的长度.
19．（2017九上·东丽期末）如图，⊙ 是△ 的外接圆， 为直径，弦 ， 交 的延长线于点 ，求证：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） 是⊙ 的切线．
20．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．
（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．
阅卷人 四、综合题
得分
21．（2023九上·嵊州期末）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点，，且.
（1）求证：.
（2）若，点为的中点，求的半径.
22．（2023九上·诸暨期末）如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由.
23．（2022九上·鹿城期末）已知钝角三角形内接于分别为的中点，连接.
（1）如图1，当点在同一条直线上时，求证：.
（2）如图2，当不在同一条直线上时，取的中点，连接交于点，当时.
①求证：是等腰三角形；
②如图3，连并延长交于点，连接.求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠AOC=∠ABC，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
而∠ADC=∠AOC，
∴2∠ADC+∠ADC=180°，解得：∠ADC=60°.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的对角相等可得∠AOC=∠ABC，由圆圆内接四边形的对角互补可得∠ADC+∠ABC=180°然后根据圆周角定理可得关于∠ADC的方程，解方程可求解.
2．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ADC分别是三角形BCE、三角形DCF的外角，
∴∠ABC=∠E+∠BCE，∠ADC=∠F+∠DCF，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABCE+∠ADC=180°，
∴∠E+∠BCE+∠F+∠DCF=180°，
而∠BCE=∠DCF，∠E=30°，∠F=50°，
∴2∠BCE+30°+50°=180°，解得：∠BCE=50°，
∴∠A=∠BCE=50°.
故答案为：C.
【分析】由三角形外角的性质可得∠ABC=∠E+∠BCE，∠ADC=∠F+∠DCF，由圆内接四边形的对角互补可得关于∠BCE的方程，解方程求出∠BCE的度数，然后根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可求解.
3．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A=，
又∵AB=6，
∴S阴影=.
故答案为：D.
【分析】由多边形的内角和公式及正多边形的性质可求出∠A=120°，进而根据扇形面积计算公式“”计算可得答案.
4．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，
∴∠BCD=180°-∠BAD=72°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠DCE=72°，
∴∠DCE=180°-72°=108°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ECF=108°-60°=48°，
故答案为：B.
【分析】利用圆内接四边形的性质可得∠DCE=180°-72°=108°，再利用角的运算求出∠DCF=∠DCE-∠ECF=108°-60°=48°即可.
5．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，∠A+∠BCD=180°，
∵ ∠A：∠B：∠D=4：3：3 ，
∴∠B=∠D=90°，
∴∠A=120°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴ ∠DCE= ∠A=120°，
故答案为：D.
【分析】根据圆内接四边形内角互补进行解答即可.
6．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，交BF于点P，如图所示：
∵正六边形
∴，
在Rt △APF中，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接OA，交BF于点P，构造的直角三形，利用正六边形的性质和角的直角三角形的性质求解。
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接BD ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABD=180°-∠ACD=80° ∵AB直径∴BD⊥AD ∵ OC⊥AD ，则∠DCO= =50° ∴ BD∥OC ∴∠EDB=∠DCO=50° ∴ ∠E=∠DBA-∠BDE=80°-50°=30°
故答案为：B .
【分析】连接BD，根据圆内接四边形得出∠ABD=180°-∠ACD=80° ， 根据AB直径得出BD⊥AD BD∥OC ，根据垂径定理得出∠DCO= =50° 根据平行线的性质以及三角形的外角的性质既可求解。
8．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵∠ABC+∠E=180°，∠ACB+∠D=180°，
∴∠E=180°-∠ABC，∠D=180°-∠ACB，
∴∠D+∠E=180°-∠ABC+（180°-∠ACB）=360°-130°=230°.
故答案为：B.
【分析】由三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，由圆内接四边形的性质可将∠E和∠D表示出来，两式相加即可求解.
9．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
是的直径，
，
.
故答案为：A.
【分析】圆内接四边形的对角互补，半圆(或直径)所对的圆周角是直角.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，过点O作OF⊥SR，连接OD，OR.
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，
∴OD = OR，DE =OE =CD，OF= RS = 2FR.
在Rt△ODE中，OD2=DE2 +OE2=2DE2 =CD2，即CD2=2OD2；
在Rt△OFR中，OR2=FR2 +OF2=OF2 +OF2=OF2，即OF2=OR2.
∴S正方形PQRS：S正方形ABCD =OF2：CD2=OR2：2OD2=2：5.
故答案为：D.
【分析】以圆的半径为突破点，并利用勾股定理，将S正方形PQRS和S正方形ABCD表示为关于圆的半径的关系式即可得到答案.
11．【答案】
【知识点】角平分线的性质；垂径定理的应用；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形是的内接四边形，
∴，
即
又∵
∴由垂径定理可知OC平分，
∴，
∴，
又∵平分 ，
∴
故答案为：.
【分析】由圆的内接四边形的对角互补求出∠BCD，再由垂径定理求出，进而根据直角三角形两锐角互余求出∠CDB，最后根据 平分 求出.
12．【答案】16°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接DE，
∵过A、C、D三点的圆的圆心为点E，
∴，
∵过B、E、F三点的圆的圆心为D，
∴DE=BD，
∴∠BED=∠B=∠θ，
∴∠AED=180°-∠θ，
∴
∵∠A+∠C+∠B= 180°，
∴ 66° +90°+∠θ+∠θ= 180° ，
解得：∠θ=16°.
故答案为：16°.
【分析】首先连接DE，由过A、 C、D三点的圆的圆心为点E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，根据圆的内接四边形的性质可得：， 求得，又由三角形内角和定理，即可求得答案.
13．【答案】18
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图：连接AC、BC、DC
设∠EBF＝x，则∠BAE＝2x，
∴BF⊥AE，
∴∠E＝90° x，
∵C点和D点关于AB对称，
∴AD＝AC，AB垂直平分CD，
∴AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB＝2x，
∵C是 的中点，
∴∠ABC＝∠CAB＝2x，
∴∠ACB＝180° 4x，
∵∠ACB＋∠AEB＝180°，
∴180° 4x＋90° x＝180°，解得x＝18°，
即∠EBF等于18度．
故答案为：18．
【分析】设∠EBF＝x，则∠BAE＝2x，∠E＝90° x，根据对称的性质得AD＝AC，AB垂直平分CD，则可判断AB平分∠CAD，则∠CAB＝∠DAB＝2x，根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CAB＝2x，根据三角形的内角和定理得∠ACB＝180° 4x，利用圆内接四边形的性质得180° 4x＋90° x＝180°，然后解方程即可．
14．【答案】111
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，CD，
∵，
∴∠D=∠AOC=69°，
∵四边形ABCD内接与圆O，
∴∠B=180°-∠D=180°-69°=111°，
∴∠OAB+∠OCB=360°-∠B-∠AOC=360°-111°-138°=111°
故答案为：111°
【分析】连接AD，CD，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠D的度数；再利用圆内接四边形的性质可求出∠B的度数；然后利用四边形的内角和为360°，可求出∠OAB+∠OCB的度数.
15．【答案】140
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=70°，
∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×70°=40°，
∵OA∥CD，
∴∠AOB=∠C=40°；
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠BAD=180°-∠C=180°-40°=140°.
故答案为：140
【分析】利用等边对等角可求出∠OAB的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠AOB的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，可求出∠BAD的度数.
16．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°-90°＝90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°
∵BD⊥AC，
∴，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠FBC+∠ABC＝180°，
∴∠FBC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝2BF＝4，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴，即BD=2BC=8，
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得 ∠ADB＝∠CDB ，根据圆的内接四边的性质可得 ∠ABC+∠ADC＝180° ，结合四边形的内角和计算；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出∠F＝90°，△ACD是等边三角形，进而得出∠BDC＝30°，由BD是直径得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求解。
17．【答案】解：∵四边形ABMO是⊙C的内接四边形，∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°．
∵AB 是⊙C的直径，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=90°∠BAO=90°-60°= 30°．
∵点A的坐标为(0，3)，
∴OA=3，
∴AB=2OA=6，
∴⊙C的半径长为3．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAO的度数，然后根据直径所对的圆周角为直角，进而求出∠ABO的度数，根据点的坐标得到相关线段的长度，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出圆的半径.
18．【答案】（1）解：△ABC是等腰直角三角形，证明如下，
为的直径
是等腰直角三角形
（2）解：，，
为的直径
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】(1)由圆周角定理和圆心角定理可证得AB=BC，，进而得到是等腰直角三角形.
(2)利用勾股定理求得AC的长度后，进而得到CD的长度.
19．【答案】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ECB=∠BAD．（Ⅱ）连结OB，OD，在△ABO和△DBO中， ，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切线
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得结论；
（2）连结OB，OD.易证出△ABO≌△DBO，可得∠DBO=∠ABO，根据半径相等和圆周角定理可得∠ABO=∠OAB=∠BDC，则∠DBO=∠BDC，再由平行线的判定可得OB∥ED，再由BE⊥ED可得证.
20．【答案】解：（1）∵∠ADB=∠ACB，∠BAD=∠BFC，
∴∠ABD=∠FBC，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠CBF=∠BCF，
∵∠BFC=2∠DFC=80°，
∴∠CBF==50°；
（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°﹣2α，
又∵AB=AD，
∴∠ACD=∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α，
∴∠CFD+∠FCD=α+（90°﹣α）=90°，
∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据已知和三角形内角和定理求出∠CBF的度数；
（2）设∠CFD=α，根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理求出∠CDF=90°，得到答案．
21．【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
（2）解：如图，连接
∵，
∴是的直径，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在中，，
∴的半径为
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，由邻补角的性质可得∠BCD+∠DCE=180°，则∠A=∠DCE，由等腰三角形的性质可得∠E=∠DCE，据此证明；
（2）连接AC，则AC为直径，由圆周角定理可得∠ABC=90°，根据∠A=∠AEB可得AB=BE=8，由中点的概念可得BC的值，然后利用勾股定理进行计算即可.
22．【答案】（1）解：∵，，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BCD=∠BAD=10°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+10°=70°
（2）解：当γ=2（α+β）时，AD=CD，
∵，，
∴∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=α°+β°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∵，
∴∠CAD=∠CBD=∠ACD，
∵∠DBA+∠ACD=180°，∠EBD+∠DBA=180°，
∴∠ACD=∠EBD，
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=2∠ACD=γ°，
∴γ=2（α+β）
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠ACB，∠BCD的度数，再根据∠ACD=∠ACB+∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.
（2）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，可得到∠ACD=α°+β°，利用等边对等角可证得∠ACD=∠DAC，再利用圆周角定理可得到∠CAD=∠CBD=∠ACD，利用圆内接四边形的性质可得到∠ACD=∠EBD，由此可推出∠EBC=2∠ACD，即可证得结论.
23．【答案】（1）证明：∵是的中点，点在同一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴.
（2）证明：①∵分别为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形.
②延长交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆内接四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据垂径定理证明AB＝AC，然后根据三角形的中位线解答即可；
（2）①由中位线的性质和中点的定义可得AB＝2DE，AC＝2AE，从而得到AE＋DE＝AG，由图知：AE＋EG＝AG，可证DE＝EG；
②延长HO交⊙O于点N，连接OB，OC，BN，CN，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠EGD＝∠AED，由平行线的性质和圆内接四边形的性质可证∠AED＝∠BNC，进而可证∠CAH＝∠EGD，利用平行线判定定理即可证得结论．
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得分
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数是（ ）．
A．45° B．50° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠AOC=∠ABC，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
而∠ADC=∠AOC，
∴2∠ADC+∠ADC=180°，解得：∠ADC=60°.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的对角相等可得∠AOC=∠ABC，由圆圆内接四边形的对角互补可得∠ADC+∠ABC=180°然后根据圆周角定理可得关于∠ADC的方程，解方程可求解.
2．如图，延长圆内接四边形ABCD的边AB，DC，相交于点E，延长边AD，BC，相交于点F．若∠E=30°，∠F=50° ，则∠A的度数为（ ）．
A．20° B．30° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ADC分别是三角形BCE、三角形DCF的外角，
∴∠ABC=∠E+∠BCE，∠ADC=∠F+∠DCF，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABCE+∠ADC=180°，
∴∠E+∠BCE+∠F+∠DCF=180°，
而∠BCE=∠DCF，∠E=30°，∠F=50°，
∴2∠BCE+30°+50°=180°，解得：∠BCE=50°，
∴∠A=∠BCE=50°.
故答案为：C.
【分析】由三角形外角的性质可得∠ABC=∠E+∠BCE，∠ADC=∠F+∠DCF，由圆内接四边形的对角互补可得关于∠BCE的方程，解方程求出∠BCE的度数，然后根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可求解.
3．如图所示，正六边形ABCDE的边长为6，以顶点为圆心、AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A=，
又∵AB=6，
∴S阴影=.
故答案为：D.
【分析】由多边形的内角和公式及正多边形的性质可求出∠A=120°，进而根据扇形面积计算公式“”计算可得答案.
4．（2023九上·通榆期中）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若∠ECF=60°，则∠DCF的大小是 （ ）
A．30° B．48° C．54° D．60°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，
∴∠BCD=180°-∠BAD=72°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠DCE=72°，
∴∠DCE=180°-72°=108°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ECF=108°-60°=48°，
故答案为：B.
【分析】利用圆内接四边形的性质可得∠DCE=180°-72°=108°，再利用角的运算求出∠DCF=∠DCE-∠ECF=108°-60°=48°即可.
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若∠A：∠B：∠D=4：3：3，则∠DCE的度数是（ ）
A．100°． B．105°． C．110°． D．120°．
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，∠A+∠BCD=180°，
∵ ∠A：∠B：∠D=4：3：3 ，
∴∠B=∠D=90°，
∴∠A=120°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴ ∠DCE= ∠A=120°，
故答案为：D.
【分析】根据圆内接四边形内角互补进行解答即可.
6．（2023九上·雨花月考）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，交BF于点P，如图所示：
∵正六边形
∴，
在Rt △APF中，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接OA，交BF于点P，构造的直角三形，利用正六边形的性质和角的直角三角形的性质求解。
7．（2024九上·天津市期中）如图，是的直径，内接于，延长在外相交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接BD ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABD=180°-∠ACD=80° ∵AB直径∴BD⊥AD ∵ OC⊥AD ，则∠DCO= =50° ∴ BD∥OC ∴∠EDB=∠DCO=50° ∴ ∠E=∠DBA-∠BDE=80°-50°=30°
故答案为：B .
【分析】连接BD，根据圆内接四边形得出∠ABD=180°-∠ACD=80° ， 根据AB直径得出BD⊥AD BD∥OC ，根据垂径定理得出∠DCO= =50° 根据平行线的性质以及三角形的外角的性质既可求解。
8．如图，△ABC内接于⊙O，D，E为圆上的点，连结AD，BD，AE，CE．若∠BAC=50°，则∠D与∠E的和为（ ）
A．220° B．230° C．240° D．250°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵∠ABC+∠E=180°，∠ACB+∠D=180°，
∴∠E=180°-∠ABC，∠D=180°-∠ACB，
∴∠D+∠E=180°-∠ABC+（180°-∠ACB）=360°-130°=230°.
故答案为：B.
【分析】由三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，由圆内接四边形的性质可将∠E和∠D表示出来，两式相加即可求解.
9．如图所示，四边形ABCD是的内接四边形，BE是的直径，连结AE.若，则的度数是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
是的直径，
，
.
故答案为：A.
【分析】圆内接四边形的对角互补，半圆(或直径)所对的圆周角是直角.
10．（2023九上·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S正方形PQRS：S正方形ABCD等于( )．
A．1 ：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，过点O作OF⊥SR，连接OD，OR.
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，
∴OD = OR，DE =OE =CD，OF= RS = 2FR.
在Rt△ODE中，OD2=DE2 +OE2=2DE2 =CD2，即CD2=2OD2；
在Rt△OFR中，OR2=FR2 +OF2=OF2 +OF2=OF2，即OF2=OR2.
∴S正方形PQRS：S正方形ABCD =OF2：CD2=OR2：2OD2=2：5.
故答案为：D.
【分析】以圆的半径为突破点，并利用勾股定理，将S正方形PQRS和S正方形ABCD表示为关于圆的半径的关系式即可得到答案.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·路桥月考）如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；垂径定理的应用；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形是的内接四边形，
∴，
即
又∵
∴由垂径定理可知OC平分，
∴，
∴，
又∵平分 ，
∴
故答案为：.
【分析】由圆的内接四边形的对角互补求出∠BCD，再由垂径定理求出，进而根据直角三角形两锐角互余求出∠CDB，最后根据 平分 求出.
12．（2023九上·南京开学考）如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝66°，那么∠θ＝ ．
【答案】16°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接DE，
∵过A、C、D三点的圆的圆心为点E，
∴，
∵过B、E、F三点的圆的圆心为D，
∴DE=BD，
∴∠BED=∠B=∠θ，
∴∠AED=180°-∠θ，
∴
∵∠A+∠C+∠B= 180°，
∴ 66° +90°+∠θ+∠θ= 180° ，
解得：∠θ=16°.
故答案为：16°.
【分析】首先连接DE，由过A、 C、D三点的圆的圆心为点E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，根据圆的内接四边形的性质可得：， 求得，又由三角形内角和定理，即可求得答案.
13．（2023九上·温州期末）如图，在中，是的中点，作点关于弦的对称点，连接并延长交于点，过点作于点，若，则等于 度．
【答案】18
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图：连接AC、BC、DC
设∠EBF＝x，则∠BAE＝2x，
∴BF⊥AE，
∴∠E＝90° x，
∵C点和D点关于AB对称，
∴AD＝AC，AB垂直平分CD，
∴AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB＝2x，
∵C是 的中点，
∴∠ABC＝∠CAB＝2x，
∴∠ACB＝180° 4x，
∵∠ACB＋∠AEB＝180°，
∴180° 4x＋90° x＝180°，解得x＝18°，
即∠EBF等于18度．
故答案为：18．
【分析】设∠EBF＝x，则∠BAE＝2x，∠E＝90° x，根据对称的性质得AD＝AC，AB垂直平分CD，则可判断AB平分∠CAD，则∠CAB＝∠DAB＝2x，根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CAB＝2x，根据三角形的内角和定理得∠ACB＝180° 4x，利用圆内接四边形的性质得180° 4x＋90° x＝180°，然后解方程即可．
14．（2022九上·顺庆月考）如图，A，B，C三点都在⊙O上，已知∠AOC＝138°，则∠OAB+∠OCB＝ °．
【答案】111
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，CD，
∵，
∴∠D=∠AOC=69°，
∵四边形ABCD内接与圆O，
∴∠B=180°-∠D=180°-69°=111°，
∴∠OAB+∠OCB=360°-∠B-∠AOC=360°-111°-138°=111°
故答案为：111°
【分析】连接AD，CD，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠D的度数；再利用圆内接四边形的性质可求出∠B的度数；然后利用四边形的内角和为360°，可求出∠OAB+∠OCB的度数.
15．（2023九上·韩城期末）如图，四边形ABCD内接于，BC为的直径，.若，则的度数为 °.
【答案】140
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=70°，
∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×70°=40°，
∵OA∥CD，
∴∠AOB=∠C=40°；
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠BAD=180°-∠C=180°-40°=140°.
故答案为：140
【分析】利用等边对等角可求出∠OAB的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠AOB的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，可求出∠BAD的度数.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2求此圆半径的长
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°-90°＝90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°
∵BD⊥AC，
∴，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠FBC+∠ABC＝180°，
∴∠FBC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝2BF＝4，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴，即BD=2BC=8，
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得 ∠ADB＝∠CDB ，根据圆的内接四边的性质可得 ∠ABC+∠ADC＝180° ，结合四边形的内角和计算；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出∠F＝90°，△ACD是等边三角形，进而得出∠BDC＝30°，由BD是直径得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求解。
17．如图，⊙C经过原点O，且与两坐标轴分别交于点A(0，3)和点B．M是劣弧OB上一点，∠BMO=120°．求⊙C的半径长．
【答案】解：∵四边形ABMO是⊙C的内接四边形，∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°．
∵AB 是⊙C的直径，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=90°∠BAO=90°-60°= 30°．
∵点A的坐标为(0，3)，
∴OA=3，
∴AB=2OA=6，
∴⊙C的半径长为3．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAO的度数，然后根据直径所对的圆周角为直角，进而求出∠ABO的度数，根据点的坐标得到相关线段的长度，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出圆的半径.
18．如图所示，四边形ABCD内接于为的直径，.
（1）试判断的形状，并给出证明.
（2）若，求CD的长度.
【答案】（1）解：△ABC是等腰直角三角形，证明如下，
为的直径
是等腰直角三角形
（2）解：，，
为的直径
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】(1)由圆周角定理和圆心角定理可证得AB=BC，，进而得到是等腰直角三角形.
(2)利用勾股定理求得AC的长度后，进而得到CD的长度.
19．（2017九上·东丽期末）如图，⊙ 是△ 的外接圆， 为直径，弦 ， 交 的延长线于点 ，求证：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） 是⊙ 的切线．
【答案】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ECB=∠BAD．（Ⅱ）连结OB，OD，在△ABO和△DBO中， ，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切线
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得结论；
（2）连结OB，OD.易证出△ABO≌△DBO，可得∠DBO=∠ABO，根据半径相等和圆周角定理可得∠ABO=∠OAB=∠BDC，则∠DBO=∠BDC，再由平行线的判定可得OB∥ED，再由BE⊥ED可得证.
20．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．
（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．
【答案】解：（1）∵∠ADB=∠ACB，∠BAD=∠BFC，
∴∠ABD=∠FBC，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠CBF=∠BCF，
∵∠BFC=2∠DFC=80°，
∴∠CBF==50°；
（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°﹣2α，
又∵AB=AD，
∴∠ACD=∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α，
∴∠CFD+∠FCD=α+（90°﹣α）=90°，
∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据已知和三角形内角和定理求出∠CBF的度数；
（2）设∠CFD=α，根据圆内接四边形的性质和三角形内角和定理求出∠CDF=90°，得到答案．
阅卷人 四、综合题
得分
21．（2023九上·嵊州期末）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点，，且.
（1）求证：.
（2）若，点为的中点，求的半径.
【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
（2）解：如图，连接
∵，
∴是的直径，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在中，，
∴的半径为
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，由邻补角的性质可得∠BCD+∠DCE=180°，则∠A=∠DCE，由等腰三角形的性质可得∠E=∠DCE，据此证明；
（2）连接AC，则AC为直径，由圆周角定理可得∠ABC=90°，根据∠A=∠AEB可得AB=BE=8，由中点的概念可得BC的值，然后利用勾股定理进行计算即可.
22．（2023九上·诸暨期末）如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由.
【答案】（1）解：∵，，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BCD=∠BAD=10°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+10°=70°
（2）解：当γ=2（α+β）时，AD=CD，
∵，，
∴∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=α°+β°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∵，
∴∠CAD=∠CBD=∠ACD，
∵∠DBA+∠ACD=180°，∠EBD+∠DBA=180°，
∴∠ACD=∠EBD，
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=2∠ACD=γ°，
∴γ=2（α+β）
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠ACB，∠BCD的度数，再根据∠ACD=∠ACB+∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.
（2）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，可得到∠ACD=α°+β°，利用等边对等角可证得∠ACD=∠DAC，再利用圆周角定理可得到∠CAD=∠CBD=∠ACD，利用圆内接四边形的性质可得到∠ACD=∠EBD，由此可推出∠EBC=2∠ACD，即可证得结论.
23．（2022九上·鹿城期末）已知钝角三角形内接于分别为的中点，连接.
（1）如图1，当点在同一条直线上时，求证：.
（2）如图2，当不在同一条直线上时，取的中点，连接交于点，当时.
①求证：是等腰三角形；
②如图3，连并延长交于点，连接.求证：.
【答案】（1）证明：∵是的中点，点在同一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴.
（2）证明：①∵分别为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形.
②延长交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆内接四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据垂径定理证明AB＝AC，然后根据三角形的中位线解答即可；
（2）①由中位线的性质和中点的定义可得AB＝2DE，AC＝2AE，从而得到AE＋DE＝AG，由图知：AE＋EG＝AG，可证DE＝EG；
②延长HO交⊙O于点N，连接OB，OC，BN，CN，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠EGD＝∠AED，由平行线的性质和圆内接四边形的性质可证∠AED＝∠BNC，进而可证∠CAH＝∠EGD，利用平行线判定定理即可证得结论．
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