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人教版2023-2024年数学九年级第一学期期末扫盲清障复习卷——24.4弧长及扇形面积
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．已知在半径为R的圆中，长为l的弧所对的圆心角度数为n°，则下列关系不正确的是（ ）
A．l= B．n= C．R= D．l=2nR
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：l=，
∴n= ， R= ，
故答案为：D.
【分析】由弧长公式l=，分别求出n，R，继而判断即可.
2．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠ACB=40° ，
∴∠AOB=2∠ACB=80°，
∵S==2π，
∴R=3，
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理先求出∠AOB的度数，再利用扇形面积公式即可求解.
3．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积是（ ）
A．100πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．800πcm2
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：AD=AB-BD=30-20=10cm，
∵贴纸部分的面积=扇形BAC的面积-扇形DEA的面积，
即贴纸部分的面积为：cm2.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知，贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去小扇形的面积，结合扇形的面积公式进行计算即可．
4．（2023七上·临汾期中）如图，长方形的宽为a，长为b，若单项式与是同类项，两个圆的圆心均为长方形的顶点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；同类项的概念
【解析】【解答】解：∵单项式与是同类项 ，
∴a-1=1，b=6，
∴a=2，b=6，
∴S=ab-=12-2π.
故答案为：A.
【分析】根据同类项的定义可得a、b的值，利用阴影部分的面积=长方形面积-两个90°扇形的面积，即可求解.
5．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，且B，E是半圆弧的三等分点．若的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OE、BE，
∵ B，E是半圆弧的三等分点 ，
∴∠BOD=∠BOE=∠AOE=60°，OE垂直平分AB，
∵OE=OA=OB，
∴△BOE、△AOE是等边三角形，
∴∠BEO=∠EOA=60°，∠BAC=30°，
∴BE∥AO，
∴△BOE的面积=△ABE的面积，
∵的长为 ，
∴，
∴R=2，
∴AB=，BC=，
∴AC=BC=3，
∴△ABC的面积=，
∴ 图中阴影部分的面积为△ABC的面积-扇形BOE的面积=-= ；
故答案为：C.
【分析】连接OB、OE、BE，△BOE、△AOE是等边三角形，可得∠BEO=∠EOA=60°，∠BAC=30°，从而得出BE∥AO，根据同底等高可得△BOE的面积=△ABE的面积，由的长为可求出R=2，根据图中阴影部分的面积为△ABC的面积-扇形BOE的面积进行计算即可.
6．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C．若AC=BC=2，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵ AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=2，AO=BO，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），AB=AC=，
∴S△AOC=S△BOC，∠AOC=∠COB=90°，OA=，
∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积==，
故答案为：C.
【分析】证明△AOC≌△BOC（SSS），可得S△AOC=S△BOC，∠AOC=∠COB=90°，从而得出阴影部分的面积=扇形AOC的面积，易得△ABC为等腰直角三角形，可得AB=AC=，即得OA=，求出扇形AOC的面积即得结论.
7．如图所示，AB是的直径，将弦AC绕点按顺时针方向旋转得到AD，此时点的对应点落在AB上，延长CD，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接、，作，
由旋转的性质可得，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】作，利用等腰三角形的性质可证得，再通过垂径定理求得OF的长度，进而计算出的面积，同时可证得，然后利用扇形面积的计算公式计算出扇形EOC的面积，接着通过割补法求得阴影部分的面积.
8．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图所示，已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，矩形内接于，连接、，
四边形是矩形，
，
为的直径，
，，
，，
，
，
.
故答案为：.
【分析】先利用矩形的性质和圆周角定理证得AC是直径，再通过直角三角形的性质得到的度数，从而求得的度数，接着利用弧长的计算公式求得改建后门洞的圆弧长.
9．（2023九上·乐清期中）已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD=9，AD=6，则的长为（ ）
A．π B．3π C．π D．π
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，作，连接、、、，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理可得AC=CD，，证得是等边三角形，作，通过等腰三角形的性质求得AE、DE的长度，再利用直角三角形的性质计算出CE的长度，进而通过勾股定理求得AC长，得到半径长度，然后利用弧长计算公式求得的长.
10．（2023·滁州模拟）如图，四边形是的内接正方形，直线且平分，交于点，若，则阴影部分面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE、OB设EF交OA于点M
∵直线且平分OA，
∴OE=AE
∵OA，OE为的半径
∴OA=OE
∴OA=AE=OE=1
∴△OAE为等边三角形
∴∠AOE=60°
∴EM=OE×sin∠AOE=OE×sin60°=
∴
∴
∵四边形ABCD是的内接四边形
∴∠AOB=90°
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形与圆、利用扇形的面积公式求阴影部分的面积，根据正方形内接于圆，可得出圆心角∠AOB＝90°，可求出和，进而求得，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得出AE=OE，从而等到△AOE为等边三角形，利用解直角三角形得出高EM的长，从而求出和，得出，，用即可求出答案.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·江源月考）如图，点C、D是⊙O上直径AB两侧的两点，若∠ACD= 60°．AB=8．则的长为 （结果保留π）．
【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，如图，
∠ACD= 60° ，
∠AOD=2∠ACD= 120° ，
∠BOD= 60° ，
AB=8 ，
OA=OB=4，
的长为
故答案为： .
【分析】连接OD，由圆周角定理求得∠AOD=2∠ACD= 120° ，进一步求得∠BOD= 60° ，代入弧长公式计算即可求解.
12．（2024九上·官渡期中）如图所示，扇形AOB中，∠AOB＝140°，点C为OA中点，OA＝8，CD⊥AO交于D，以OC为半径画交OB于E，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】8π+8
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD，△CDO=90°，CO=4，OD=8，则CD=，
在Rt△OCD中，OD=8，∴∠CDO=30°，∠COD=60°，则∠DOE=140°-60°=80°。
则阴影部分的面积=S△CDO+S扇ODB-S扇COE=×4×+82××π-×π×42=+8π
【分析】连接OD，根据题意得CO、OD的长，即可求出∠COD=60°，则阴影部分的面积=S△CDO+S扇ODB-S扇COE，根据三角形面积公式与扇形面积公式求解即可。
13．（2023九上·长春期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交边AB于点D，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，交边BC于点E，若AC=2，则图中阴影部分图形的面积和为 （结果保留π）．
【答案】π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=180°-∠ACB=90°，
∴阴影部分的面积=S扇形ACD+S扇形BDE=，
故答案为：π.
【分析】利用扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
14．（2023九上·雨花月考）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如图，，分别与相切于点，，延长，交于点若，的半径为，则图中的长为 结果保留
【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC、OD，如图所示，
∵，分别与相切于点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴。
故答案为： .
【分析】连接OC、OD构造扇形OCD，根据切线的性质和四边形内角和求出圆心角，再利用弧长公式求解。
15．（2023九上·成都月考）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域图中阴影部分的面积为 结果保留
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，将绕圆心逆时针旋转至，
∴∠B'OC'=60°，△BOC≌△B'OC'，
∴∠B'OC=180°-60°-60°=60°，
∴∠C'B'O=90°-60°=30°，∠B'OB=∠BOC+∠B'OC=120°，
∵AB=2cm，
∴OB=1cm，OC'=cm，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质求出∠B'OC'=60°，△BOC≌△B'OC'，再利用全等三角形的性质以及扇形面积公式等计算求解即可。
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．已知：如图，A，B，C是⊙O上的三点，且=2．过点B作BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB=2BD．
（2）若AB=，CD=1，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，延长BD交⊙O于E，
∵BD⊥OC，
∴BE=2BD，，
∵
∴，
∴AB=BE，
∴AB=2BD；
（2）解：如图，连接OB，
设OB=x，
∵AB=2，CD=1，
∴BD=，
在Rt△OBD中，x2=（x-1）2+（）2，
解得：x=2，
∴OB=2， OD=1，
∴OD=OB，
∴∠OBD=30°，
∴ ∠BOC=60°
∴阴影部分的面积=.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）如图，延长BD交⊙O于E，由垂径定理可得BE=2BD，，根据题意可得出，即可得出AB=BE，从而得出AB=2BD；
（2）如图，连接OB，设OB=x，根据勾股定理可求出x=2，在Rt△OBD中，由OD=OB得到∠OBD=30°，从而求得∠BOC=60°，最后根据扇形和三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
17．（2023九上·雨花月考）如图，以为直径的经过的中点，于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求图中阴影部分的面积结果保留根号和．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
是的直径，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
点在圆上，
为的切线
（2）解：过点作，垂足为，如图所示：
则，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，
阴影部分面积．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） 连接 构造中位线，根据中位线的性质和切线的判定定理证明即可；
（2） 过点作， 利用垂径定理，结合直角三角形的性质求高OF，根据扇形的面积公式求扇形的面积。
18．（2023·白云模拟）如图，在中，，平分，交于点，点在上，经过、两点，交于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径是，是的中点，求阴影部分的面积结果保留和根号
【答案】（1）证明：连接．
、
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：连接，交于．
，
，
，，，
≌，
，
是等边三角形，
，
．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接．证明OD//AC，根据∠ODB=∠C=90°，即可得证；
（2）连接，交于．证明≌，进而证明△AOE是等边三角形，根据即可求解．
19．（2023·黔东南模拟） 如图，内接于，交于点，交于点，交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求的长结果保留．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
．
（2）解：连接，，
由得，
，
，
∴的长．
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）证明四边形ABED是平行四边形，可得∠B=∠D，等量代换可得∠AFC=∠ACF，即可得出答案；
（2）连接AO，CO，由（1）中结论得出∠AFC，根据圆周角定理得出∠AOC，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
20．（2020九上·扎兰屯期末）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4，∴BC=2，∠CBC′=120°，∠A′BA=120°，
由旋转知△A′BC′≌△ABC ∴ S△A′BC′=S△ABC，
∴S阴影=S△A′BC′+S扇形ABA′-S扇形CBC′-S△ABC= S扇形ABA′-S扇形CBC′= ×（42-22）=4π（cm2）．
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】根据图形阴影部分的面积转化为圆心角为 120° ，两个半径分别为4和2的圆环的面积，利用扇形得面积公式求解即可。
21．（2020九上·元阳期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 ，扇形的圆心角 ，求该圆锥的母线长 ．
【答案】解：圆锥的底面周长 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以该圆锥的母线长为
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】根据题意求出
，最后计算求解即可。
阅卷人 四、综合题
得分
22．（2023·抚顺）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．
（1）求证：与相切；
（2）若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
平分交于点E，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（2）解：如图，连接，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，是的直径，
，
．
即的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OE，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用角平分线的定义可求出∠ACE=45°，然后利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠AOE的度数，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）连接OG、OC，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△OBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠COB的度数，利用邻补角的定义求出∠AOC的度数，同时可求出∠MEC的度数；利用圆周角定理可证得∠GOC=90°，由此可求出∠AOG=30°，然后利用弧长公式求出弧AG的长.
23．（2023·乌鲁木齐模拟）如图，是的直径，点C在的延长线上，与相切于点D，交的延长线于点E
（1）求证：；
（2）若．求，
①的长；
②的长．
【答案】（1）证明：连接，如图：
∵是切线，
∴，即，
∵为的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
在中，，
∴；
②．
【知识点】勾股定理的应用；切线的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据圆的切线性质，可得，利用圆的性质即可求出答案。
（2） ① 证明，求出∠BOD=60D°，∠DCB=30°，利用含30°角的直角三角形性质可求出CD长，根据勾股定理即可求出答案。
② 根据弧长公式即可求出答案。
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数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．已知在半径为R的圆中，长为l的弧所对的圆心角度数为n°，则下列关系不正确的是（ ）
A．l= B．n= C．R= D．l=2nR
2．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积是（ ）
A．100πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．800πcm2
4．（2023七上·临汾期中）如图，长方形的宽为a，长为b，若单项式与是同类项，两个圆的圆心均为长方形的顶点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，且B，E是半圆弧的三等分点．若的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C．若AC=BC=2，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图所示，AB是的直径，将弦AC绕点按顺时针方向旋转得到AD，此时点的对应点落在AB上，延长CD，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）.
A． B． C． D．
8．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图所示，已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）.
A． B． C． D．
9．（2023九上·乐清期中）已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD=9，AD=6，则的长为（ ）
A．π B．3π C．π D．π
10．（2023·滁州模拟）如图，四边形是的内接正方形，直线且平分，交于点，若，则阴影部分面积为（ ）
A． B．
C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·江源月考）如图，点C、D是⊙O上直径AB两侧的两点，若∠ACD= 60°．AB=8．则的长为 （结果保留π）．
12．（2024九上·官渡期中）如图所示，扇形AOB中，∠AOB＝140°，点C为OA中点，OA＝8，CD⊥AO交于D，以OC为半径画交OB于E，则图中阴影部分面积为 ．
13．（2023九上·长春期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交边AB于点D，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，交边BC于点E，若AC=2，则图中阴影部分图形的面积和为 （结果保留π）．
14．（2023九上·雨花月考）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如图，，分别与相切于点，，延长，交于点若，的半径为，则图中的长为 结果保留
15．（2023九上·成都月考）如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域图中阴影部分的面积为 结果保留
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．已知：如图，A，B，C是⊙O上的三点，且=2．过点B作BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB=2BD．
（2）若AB=，CD=1，求图中阴影部分的面积．
17．（2023九上·雨花月考）如图，以为直径的经过的中点，于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求图中阴影部分的面积结果保留根号和．
18．（2023·白云模拟）如图，在中，，平分，交于点，点在上，经过、两点，交于点，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径是，是的中点，求阴影部分的面积结果保留和根号
19．（2023·黔东南模拟） 如图，内接于，交于点，交于点，交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求的长结果保留．
20．（2020九上·扎兰屯期末）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，求图中阴影部分的面积．
21．（2020九上·元阳期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 ，扇形的圆心角 ，求该圆锥的母线长 ．
阅卷人 四、综合题
得分
22．（2023·抚顺）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．
（1）求证：与相切；
（2）若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长．
23．（2023·乌鲁木齐模拟）如图，是的直径，点C在的延长线上，与相切于点D，交的延长线于点E
（1）求证：；
（2）若．求，
①的长；
②的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：l=，
∴n= ， R= ，
故答案为：D.
【分析】由弧长公式l=，分别求出n，R，继而判断即可.
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠ACB=40° ，
∴∠AOB=2∠ACB=80°，
∵S==2π，
∴R=3，
故答案为：B.
【分析】利用圆周角定理先求出∠AOB的度数，再利用扇形面积公式即可求解.
3．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：AD=AB-BD=30-20=10cm，
∵贴纸部分的面积=扇形BAC的面积-扇形DEA的面积，
即贴纸部分的面积为：cm2.
故答案为：C.
【分析】根据题意可知，贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去小扇形的面积，结合扇形的面积公式进行计算即可．
4．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；同类项的概念
【解析】【解答】解：∵单项式与是同类项 ，
∴a-1=1，b=6，
∴a=2，b=6，
∴S=ab-=12-2π.
故答案为：A.
【分析】根据同类项的定义可得a、b的值，利用阴影部分的面积=长方形面积-两个90°扇形的面积，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OE、BE，
∵ B，E是半圆弧的三等分点 ，
∴∠BOD=∠BOE=∠AOE=60°，OE垂直平分AB，
∵OE=OA=OB，
∴△BOE、△AOE是等边三角形，
∴∠BEO=∠EOA=60°，∠BAC=30°，
∴BE∥AO，
∴△BOE的面积=△ABE的面积，
∵的长为 ，
∴，
∴R=2，
∴AB=，BC=，
∴AC=BC=3，
∴△ABC的面积=，
∴ 图中阴影部分的面积为△ABC的面积-扇形BOE的面积=-= ；
故答案为：C.
【分析】连接OB、OE、BE，△BOE、△AOE是等边三角形，可得∠BEO=∠EOA=60°，∠BAC=30°，从而得出BE∥AO，根据同底等高可得△BOE的面积=△ABE的面积，由的长为可求出R=2，根据图中阴影部分的面积为△ABC的面积-扇形BOE的面积进行计算即可.
6．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵ AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=2，AO=BO，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），AB=AC=，
∴S△AOC=S△BOC，∠AOC=∠COB=90°，OA=，
∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积==，
故答案为：C.
【分析】证明△AOC≌△BOC（SSS），可得S△AOC=S△BOC，∠AOC=∠COB=90°，从而得出阴影部分的面积=扇形AOC的面积，易得△ABC为等腰直角三角形，可得AB=AC=，即得OA=，求出扇形AOC的面积即得结论.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，连接、，作，
由旋转的性质可得，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】作，利用等腰三角形的性质可证得，再通过垂径定理求得OF的长度，进而计算出的面积，同时可证得，然后利用扇形面积的计算公式计算出扇形EOC的面积，接着通过割补法求得阴影部分的面积.
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，矩形内接于，连接、，
四边形是矩形，
，
为的直径，
，，
，，
，
，
.
故答案为：.
【分析】先利用矩形的性质和圆周角定理证得AC是直径，再通过直角三角形的性质得到的度数，从而求得的度数，接着利用弧长的计算公式求得改建后门洞的圆弧长.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，作，连接、、、，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理可得AC=CD，，证得是等边三角形，作，通过等腰三角形的性质求得AE、DE的长度，再利用直角三角形的性质计算出CE的长度，进而通过勾股定理求得AC长，得到半径长度，然后利用弧长计算公式求得的长.
10．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE、OB设EF交OA于点M
∵直线且平分OA，
∴OE=AE
∵OA，OE为的半径
∴OA=OE
∴OA=AE=OE=1
∴△OAE为等边三角形
∴∠AOE=60°
∴EM=OE×sin∠AOE=OE×sin60°=
∴
∴
∵四边形ABCD是的内接四边形
∴∠AOB=90°
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形与圆、利用扇形的面积公式求阴影部分的面积，根据正方形内接于圆，可得出圆心角∠AOB＝90°，可求出和，进而求得，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得出AE=OE，从而等到△AOE为等边三角形，利用解直角三角形得出高EM的长，从而求出和，得出，，用即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，如图，
∠ACD= 60° ，
∠AOD=2∠ACD= 120° ，
∠BOD= 60° ，
AB=8 ，
OA=OB=4，
的长为
故答案为： .
【分析】连接OD，由圆周角定理求得∠AOD=2∠ACD= 120° ，进一步求得∠BOD= 60° ，代入弧长公式计算即可求解.
12．【答案】8π+8
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD，△CDO=90°，CO=4，OD=8，则CD=，
在Rt△OCD中，OD=8，∴∠CDO=30°，∠COD=60°，则∠DOE=140°-60°=80°。
则阴影部分的面积=S△CDO+S扇ODB-S扇COE=×4×+82××π-×π×42=+8π
【分析】连接OD，根据题意得CO、OD的长，即可求出∠COD=60°，则阴影部分的面积=S△CDO+S扇ODB-S扇COE，根据三角形面积公式与扇形面积公式求解即可。
13．【答案】π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=180°-∠ACB=90°，
∴阴影部分的面积=S扇形ACD+S扇形BDE=，
故答案为：π.
【分析】利用扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
14．【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC、OD，如图所示，
∵，分别与相切于点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴。
故答案为： .
【分析】连接OC、OD构造扇形OCD，根据切线的性质和四边形内角和求出圆心角，再利用弧长公式求解。
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，将绕圆心逆时针旋转至，
∴∠B'OC'=60°，△BOC≌△B'OC'，
∴∠B'OC=180°-60°-60°=60°，
∴∠C'B'O=90°-60°=30°，∠B'OB=∠BOC+∠B'OC=120°，
∵AB=2cm，
∴OB=1cm，OC'=cm，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质求出∠B'OC'=60°，△BOC≌△B'OC'，再利用全等三角形的性质以及扇形面积公式等计算求解即可。
16．【答案】（1）证明：如图，延长BD交⊙O于E，
∵BD⊥OC，
∴BE=2BD，，
∵
∴，
∴AB=BE，
∴AB=2BD；
（2）解：如图，连接OB，
设OB=x，
∵AB=2，CD=1，
∴BD=，
在Rt△OBD中，x2=（x-1）2+（）2，
解得：x=2，
∴OB=2， OD=1，
∴OD=OB，
∴∠OBD=30°，
∴ ∠BOC=60°
∴阴影部分的面积=.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）如图，延长BD交⊙O于E，由垂径定理可得BE=2BD，，根据题意可得出，即可得出AB=BE，从而得出AB=2BD；
（2）如图，连接OB，设OB=x，根据勾股定理可求出x=2，在Rt△OBD中，由OD=OB得到∠OBD=30°，从而求得∠BOC=60°，最后根据扇形和三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
17．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
是的直径，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
点在圆上，
为的切线
（2）解：过点作，垂足为，如图所示：
则，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，
阴影部分面积．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） 连接 构造中位线，根据中位线的性质和切线的判定定理证明即可；
（2） 过点作， 利用垂径定理，结合直角三角形的性质求高OF，根据扇形的面积公式求扇形的面积。
18．【答案】（1）证明：连接．
、
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：连接，交于．
，
，
，，，
≌，
，
是等边三角形，
，
．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接．证明OD//AC，根据∠ODB=∠C=90°，即可得证；
（2）连接，交于．证明≌，进而证明△AOE是等边三角形，根据即可求解．
19．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
．
（2）解：连接，，
由得，
，
，
∴的长．
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）证明四边形ABED是平行四边形，可得∠B=∠D，等量代换可得∠AFC=∠ACF，即可得出答案；
（2）连接AO，CO，由（1）中结论得出∠AFC，根据圆周角定理得出∠AOC，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
20．【答案】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4，∴BC=2，∠CBC′=120°，∠A′BA=120°，
由旋转知△A′BC′≌△ABC ∴ S△A′BC′=S△ABC，
∴S阴影=S△A′BC′+S扇形ABA′-S扇形CBC′-S△ABC= S扇形ABA′-S扇形CBC′= ×（42-22）=4π（cm2）．
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】根据图形阴影部分的面积转化为圆心角为 120° ，两个半径分别为4和2的圆环的面积，利用扇形得面积公式求解即可。
21．【答案】解：圆锥的底面周长 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以该圆锥的母线长为
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】根据题意求出
，最后计算求解即可。
22．【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
平分交于点E，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（2）解：如图，连接，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，是的直径，
，
．
即的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OE，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，利用角平分线的定义可求出∠ACE=45°，然后利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠AOE的度数，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）连接OG、OC，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△OBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠COB的度数，利用邻补角的定义求出∠AOC的度数，同时可求出∠MEC的度数；利用圆周角定理可证得∠GOC=90°，由此可求出∠AOG=30°，然后利用弧长公式求出弧AG的长.
23．【答案】（1）证明：连接，如图：
∵是切线，
∴，即，
∵为的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
在中，，
∴；
②．
【知识点】勾股定理的应用；切线的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据圆的切线性质，可得，利用圆的性质即可求出答案。
（2） ① 证明，求出∠BOD=60D°，∠DCB=30°，利用含30°角的直角三角形性质可求出CD长，根据勾股定理即可求出答案。
② 根据弧长公式即可求出答案。
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