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人教版2023-2024年数学九年级第一学期期末扫芒清障复习卷——第二十四章综合测试
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·铜陵期中）如图、、是上的三点，是劣弧的中点，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠OAB=72°，∴∠AOB=36°
又∵B为劣弧AC的中点，∴∠AOC=72°
故答案为：C
【分析】根据半径相等得到三角形ABO为等腰三角形，进而可求∠AOB，再根据B是劣弧AC中点，可求∠AOC的度数。
2．（2023九上·襄州期中）已知⊙O的半径是4cm，点P与⊙O在同一平面内，OP=3cm，下列结论正确的是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径是4cm，点P与⊙O在同一平面内，OP=3cm，
∴OP＜4.
∴点P在⊙O内.
故答案为：A.
【分析】根据点到圆心的距离d和半径r的大小判断点的位置：当d>r时，点在⊙O外；当d=r时，点在⊙O上；当d3．（2023九上·景县期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．和半径垂直的直线是圆的切线
B．平分直径一定垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【解答】解：A： 经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的切线，说法错误，不符合题意；
B：平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，说法错误，不符合题意；
C：同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，说法错误，不符合题意；
D：垂直于弦的直径必平分弦所对的弧，说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据切线的判定定理、垂径定理以及圆周角定理等对每个选项逐一判断求解即可。
4．（2023九上·宁江期中）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，若∠COB=65°，则∠BAD的度数是（ ）
A．25° B．65° C．32.5° D．50°
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示：
∵直径AB⊥CD，
∴
∴∠BOD=∠AOB=65°，
∵，
∴∠BAD=∠BOD=32.5°，
故答案为：C.
【分析】先利用垂径定理的性质可得∠BOD=∠AOB=65°，再利用圆周角的性质可得∠BAD=∠BOD=32.5°.
5．（2023九上·通榆期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度是 （ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接AO，如图所示：
设圆的半径AO的长为r，则AO=CO=r，OE=r-1，
∵AB=10寸，CD⊥AB，
∴AE=BE=AB=5寸，
在Rt△AOE中，AE2+OE2=AO2，
∴52+（r-1）2=r2，
解得：r=13，
∴CD=2r=26寸，
故答案为：D.
【分析】设圆的半径AO的长为r，则AO=CO=r，OE=r-1，利用勾股定理可得AE2+OE2=AO2，再将数据代入求出r的值，最后求出CD的长即可.
6．已知⊙O的半径为5cm，在圆心O的同侧有两条互相平行的弦，长度分别为6cm和8cm，则这两条平行弦之间的距离是（ ）
A．1cm． B．2cm． C．3cm． D．4cm．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，EF=6cm，CD=8cm，
过点O作OG⊥EF交CD于点H，连接OC，OF，则OC=OF=5cm，
∵EF∥CD，
∴OH⊥CD，
∴FG=EF=3cm，HC=CD=4cm，
∴OG==4cm，
OH==3cm，
∴GH=OG-OH=4-3=1cm，
故答案为：A.
【分析】如图，过点O作OG⊥EF交CD于点H，连接OC，OF，则OC=OF=5cm，由勾股定理分别求出OG，OH的长，再利用GH=OG-OH即可求解.
7．（2023九上·长春期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，连结BD，若∠B=32°，则∠C的大小为 （ ）
A．32° B．64° C．26° D．36°
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=32°，OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD=32°，
∴∠AOC=∠ODB+∠OBD=32°+32°=64°，
在Rt△ACO中，∠OAC=90°，∠AOC=64°，
∴∠C=180°-∠OAC-∠AOC=180°-90°-64°=26°，
故答案为：C.
【分析】利用切线的性质可得∠BAC=90°，再求出∠AOC=∠ODB+∠OBD=32°+32°=64°，最后利用三角形的内角和求出∠C的度数即可.
8．（2023九上·雨花月考）如图，是的内接三角形，于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接OA、OB，如图所示：
∵，
∴，
∵，OA=OB，
∴AE=EB，
∴AB=2OE=2，
故答案为：A.
【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理证明是等腰直角三角形，利用垂径定理和直角三角形斜边中线性质求解。
9．（2023九上·玉环期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．，π B．，π C．， D．，2π
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB、OC，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠BOC=，
∵OM⊥BC，
∴∠OMB=90°，
∴∠BOM=30°，
∵OB=6，
∴BM=OB=3，
∴OM=；
【分析】连接OB、OC，由圆的内接正六边形的性质可求得圆心角∠BOC的度数，在直角三角形BOM中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得BM的值，然后用勾股定理可求得边心距OM的值；
10．已知∠ADB，作图：
步骤1：以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DB于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，交于点E ，作射线DE．
步骤2：在DB上任取一点O，以点O为圆心，OD长为半径作半圆，分别交DA，DB，DE于点P，Q，C．
步骤3：连结PQ，OC．
有下列判断：
①= ；②OC∥DA ；③DP= PQ；④OC垂直平分PQ．
其中正确的有（ ）．
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；线段垂直平分线的判定；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图知：DE平分∠ADB，
∴∠ADE=∠EDB，
∴，故①正确；
∴OC垂直平分PQ，故④正确
∵QD为直径，
∴∠DPQ=90°，即DP⊥PQ，
∴ OC∥DA ，故②正确；
若DP= PQ，则点P为半圆的中点，
由题意无法判断P为半圆的中点，故③错误；
∴正确的有①②④ ；
故答案为： ①②④ .
【分析】由尺规作图可得DE平分∠ADB，即得∠ADE=∠EDB，从而得出，根据垂径定理的推论可得OC垂直平分PQ，由直径所对的圆周角为直角可得∠DPQ=90°，从而得出OC∥DA，若DP= PQ，则点P为半圆的中点，由题意无法判断P为半圆的中点，据此即得结论.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·宁江期中）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m ，高度CD为 m．
【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：AD=BD=AB=×16=8cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OD=OC-CD=10-CD，
在Rt△AOD中，由勾股定理可得：AD2+OD2=OA2，
∴82+（10-CD）2=102，
解得：CD=4，
故答案为：4.
【分析】先利用垂径定理求出AD=BD=AB=×16=8cm，再利用线段的和差求出OD=OC-CD=10-CD，结合勾股定理可得82+（10-CD）2=102，再求出CD的长即可.
12．（2023九上·吉林月考）如图，AB是⊙O的直径，若∠D=36°，则∠AOC=
【答案】108°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠D=36°，
∴∠BOC=36°×2=72°，
∴∠AOC=180°-72°=108°；
故答案为：108°.
【分析】根据圆周角定理求出∠BOC的度数，继而根据∠BOC和∠AOC互补求出答案即可。
13．下列说法不正确的是 (只需填写序号)．
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；
②平分弦的直径平分弦所对的弧；
③垂直平分弦的直线必定经过圆心；
④平分弦的直径垂直于弦．
【答案】②④
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：①因为平分弧的直径一定垂直于弦，所以一定平分弧所对的弦；故①正确；
②因为平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；故②错误；
③因为平分弦的直径垂直于弦，所以垂直平分弦的直线必经过圆心，故③正确；
④因为平分弦（非直径）的直径一定垂直于弦，故④错误；
故答案为：②④.
【分析】根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧进行分析即可得出答案.
14．如图，在⊙O中，直径MN⊥弦AB于点C．给出下列结论：
①AC=BC；②；③；④OC=CN；⑤∠AON=∠BON；⑥AM=BM．
其中正确的有 (只需填写序号)．
【答案】①②③⑤⑥
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：①∵直径MN⊥弦AB于点C，
∴AC=BC， ，，
∵OA=OB，ON⊥AB，
∴ ∠AON=∠BON ，AM=BM，
故答案为：①②③⑤⑥.
【分析】根据垂径定理、等腰三角形的性质及垂直平分线的性质逐一判断即可.
15．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D．若BC=3，AB=5，则OD的长为
【答案】2
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴
∴
∵
∴D为BC中点，
又∵O为AB中点，
∴
故答案为：.
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，利用勾股定理即可求出AC的长，然后根据垂径定理得点D为BC的中点，最后根据三角形中位线定理求出OD的长.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、综合题
得分
16．（2023·衢州）如图，在Rt中，为AC边上一点，连结OB.以OC为半径的半圆与AB边相切于点，交AC边于点.
（1）求证：.
（2）若.
①求半圆的半径.
②求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）【方法一】证明：如图，连结OD.
∵BD是圆O的切线，D为切点，
.
，
且，
Rt.
；
【方法二】证明：，点C在圆O上，
∴BC是圆O的切线.
∵BD是圆O的切线，
；
（2）解：①如图，连结OD，
∵OB=OA，
∴∠OBD=∠A，
，
.
.
，
.
在Rt△ODA中，∵∠ADO=90°，∠A=30°，
∴AO=2OD，
又∵OD=OE，AO=OE+AE，
∴OE=AE=2，
∴半圆O的半径为2；
②在Rt中，.
.
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形；切线的判定与性质；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【分析】（1）方法一：连结OD，由切线性质得∠ODB=90°，从而用HL判断出Rt△ODB≌Rt△OCB，得BC=BD；方法二：根据切线的判定定理得BC是圆O的切线，进而根据切线长定理可得结论；
（2）①根据等边对等角、全等三角形的对应角相等及直角三角形的两锐角互余可推出∠OBD=∠OBC=∠A=30°，然后根据含30°角直角三角形的性质可推出OE=AE=2，从而得出答案；
②先用勾股定理算出AD的长，再根据S阴影部分=S△ODA-S扇形ODE，列式计算可得答案.
17．（2022·北京市）如图，是的直径，是的一条弦，连接
（1）求证：
（2）连接，过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
【答案】（1）证明：设交于点，连接，
由题可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：连接，
，
，
同理可得：，，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
直线为的切线．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质，再结合圆的性质求解即可；
（2）先求出 ，， 再求出OC//DE，最后证明即可。
18．（2020九上·香洲期末）如图， 是 的直径，点 是劣弧 中点， 与 相交于点 ．连接 与 的延长线相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵ ，
∴∠BCF＋∠OCB＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴DF是⊙O的切线
（2）证明：∵点 是劣弧 中点，
∴OC⊥BD，
∵OC⊥CF，
∴BD∥CF，
∴∠F=∠ABD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴
（3）证明：设OC交BD于点M，
∵ ，AC⊥BC，
∴ ，
∵点 是劣弧 中点，
∴ ，OC⊥BD，
∴∠CAB=∠CBD，
∴sin∠CAB=sin∠CBD，即 ，
∴CM= ，
∴OM=5- = ，
∵OM是 ABD的中位线，
∴AD=2OM= ．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ∠BAC＝∠ACO， 再求出 OC⊥CF， 最后证明求解即可；
（2）先求出 BD∥CF， 再根据平行线的性质求出 ∠F=∠ABD， 最后证明求解即可；
（3）利用勾股定理求出AC=8，再求出 ， 最后计算求解即可。
19．（2022九上·宁波月考）如图，⊙O经过△ABC的顶点A，B，与边AC，BC分别交于点D，E，连接BD，AE，且∠ADB=∠CDE．
（1）求证：△ABE是等腰三角形；
（2）若AB=10，BE=12，求⊙O的半径r．
【答案】（1）证明：∵四边形ABED为圆内接四边形，
∴∠ABE=∠CDE，
∵，
∴∠ADB=∠AEB，
又∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴△ABE为等腰三角形．
（2）解：如图所示，连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE，
∵AB=AE，OB=OE，
∴点A、O在BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE，
∴AO⊥BE于点H，BH=BE，
∵AB=10，BE=12，
∴，，
∴在Rt△OBH中，，
解得：.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质可得∠ABE=∠CDE，由弧和圆周角关系可得∠ADB=∠AEB，再通过角等量代换可得∠ABE=∠AEB，从而得出AB=AE，即可证明△ABE为等腰三角形；
（2）如图所示，连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE，由AB=AE，OB=OE，易得点A、O在BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE，根据垂径定理得到AO⊥BE于点H，BH=BE=6，根据勾股定理求得AH=8，最后在Rt△OBH中，利用勾股定理得到关于半径r的方程，解之即可.
20．（2023·益阳）如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，．
（1）求的度数；
（2）四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
（3）若，求的长．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵线段与相切于点B，
∴，而，
∴，
∵，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵的中点为M，，
∴，即，而，
∴，
∴，
∵的中点为M，为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）解：如图，连接，，交于，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接，先根据切线的性质即可得到，而，进而结合题意运用等腰三角形的性质即可求解；
（2）先根据垂径定理结合题意即可得到，即，而，进而得到，再根据等腰三角形的性质得到，从而根据题意即可得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明，即可得到，从而根据菱形的判定即可求解；
（3）连接，，交于，先根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而得到，进而根据菱形的性质即可得到，，再结合题意运用弧长的计算公式即可求解。
21．（2023·潍坊）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，则，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，
∵O为正方形中心，
∴，，而，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∴，，
而正方形的边长，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
而，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；扇形面积的计算；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再根据正方形的性质求出 ，， 最后根据全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再求出 ， 最后根据三角形的面积公式以及扇形的面积公式等计算求解即可。
22．（2023八下·丰城期末）如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D．
（1）求证：为的切线；
（2）求和的数量关系；
（3）若，的直径为20，求的长度．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
（3）解：如图所示，过O作，垂足为F，
∴，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴可设，则，
∵O的直径为20，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．
∴，
解得或（舍去），
∴．
∵，
∴由垂径定理知，．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线的圆的切线。
（2）利用角平分线定理进行角之间的转换即可求出答案。
（3）做辅助线，利用矩形性质，勾股定理，垂径定理即可求出答案。
23．（2023·巴中）如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作于点，交延长线于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求图中阴影部分的面积结果用表示．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线
（2）解：如图，连接，
设的半径为，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，为的中点，
是的中位线，
是中点，
，
是的的直径，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积
．
【知识点】平行线的判定与性质；含30°角的直角三角形；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）先证明OD∥AC，再证明OD垂直DF即可；
（2）S阴影=S四边形AODE-S扇形AOD。
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第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·铜陵期中）如图、、是上的三点，是劣弧的中点，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·襄州期中）已知⊙O的半径是4cm，点P与⊙O在同一平面内，OP=3cm，下列结论正确的是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
3．（2023九上·景县期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．和半径垂直的直线是圆的切线
B．平分直径一定垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
4．（2023九上·宁江期中）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，若∠COB=65°，则∠BAD的度数是（ ）
A．25° B．65° C．32.5° D．50°
5．（2023九上·通榆期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度是 （ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
6．已知⊙O的半径为5cm，在圆心O的同侧有两条互相平行的弦，长度分别为6cm和8cm，则这两条平行弦之间的距离是（ ）
A．1cm． B．2cm． C．3cm． D．4cm．
7．（2023九上·长春期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，连结BD，若∠B=32°，则∠C的大小为 （ ）
A．32° B．64° C．26° D．36°
8．（2023九上·雨花月考）如图，是的内接三角形，于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·玉环期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．，π B．，π C．， D．，2π
10．已知∠ADB，作图：
步骤1：以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DB于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，交于点E ，作射线DE．
步骤2：在DB上任取一点O，以点O为圆心，OD长为半径作半圆，分别交DA，DB，DE于点P，Q，C．
步骤3：连结PQ，OC．
有下列判断：
①= ；②OC∥DA ；③DP= PQ；④OC垂直平分PQ．
其中正确的有（ ）．
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·宁江期中）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m ，高度CD为 m．
12．（2023九上·吉林月考）如图，AB是⊙O的直径，若∠D=36°，则∠AOC=
13．下列说法不正确的是 (只需填写序号)．
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；
②平分弦的直径平分弦所对的弧；
③垂直平分弦的直线必定经过圆心；
④平分弦的直径垂直于弦．
14．如图，在⊙O中，直径MN⊥弦AB于点C．给出下列结论：
①AC=BC；②；③；④OC=CN；⑤∠AON=∠BON；⑥AM=BM．
其中正确的有 (只需填写序号)．
15．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D．若BC=3，AB=5，则OD的长为
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、综合题
得分
16．（2023·衢州）如图，在Rt中，为AC边上一点，连结OB.以OC为半径的半圆与AB边相切于点，交AC边于点.
（1）求证：.
（2）若.
①求半圆的半径.
②求图中阴影部分的面积.
17．（2022·北京市）如图，是的直径，是的一条弦，连接
（1）求证：
（2）连接，过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
18．（2020九上·香洲期末）如图， 是 的直径，点 是劣弧 中点， 与 相交于点 ．连接 与 的延长线相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的长．
19．（2022九上·宁波月考）如图，⊙O经过△ABC的顶点A，B，与边AC，BC分别交于点D，E，连接BD，AE，且∠ADB=∠CDE．
（1）求证：△ABE是等腰三角形；
（2）若AB=10，BE=12，求⊙O的半径r．
20．（2023·益阳）如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，．
（1）求的度数；
（2）四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
（3）若，求的长．
21．（2023·潍坊）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
22．（2023八下·丰城期末）如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D．
（1）求证：为的切线；
（2）求和的数量关系；
（3）若，的直径为20，求的长度．
23．（2023·巴中）如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作于点，交延长线于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求图中阴影部分的面积结果用表示．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠OAB=72°，∴∠AOB=36°
又∵B为劣弧AC的中点，∴∠AOC=72°
故答案为：C
【分析】根据半径相等得到三角形ABO为等腰三角形，进而可求∠AOB，再根据B是劣弧AC中点，可求∠AOC的度数。
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径是4cm，点P与⊙O在同一平面内，OP=3cm，
∴OP＜4.
∴点P在⊙O内.
故答案为：A.
【分析】根据点到圆心的距离d和半径r的大小判断点的位置：当d>r时，点在⊙O外；当d=r时，点在⊙O上；当d3．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【解答】解：A： 经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的切线，说法错误，不符合题意；
B：平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，说法错误，不符合题意；
C：同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，说法错误，不符合题意；
D：垂直于弦的直径必平分弦所对的弧，说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据切线的判定定理、垂径定理以及圆周角定理等对每个选项逐一判断求解即可。
4．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示：
∵直径AB⊥CD，
∴
∴∠BOD=∠AOB=65°，
∵，
∴∠BAD=∠BOD=32.5°，
故答案为：C.
【分析】先利用垂径定理的性质可得∠BOD=∠AOB=65°，再利用圆周角的性质可得∠BAD=∠BOD=32.5°.
5．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接AO，如图所示：
设圆的半径AO的长为r，则AO=CO=r，OE=r-1，
∵AB=10寸，CD⊥AB，
∴AE=BE=AB=5寸，
在Rt△AOE中，AE2+OE2=AO2，
∴52+（r-1）2=r2，
解得：r=13，
∴CD=2r=26寸，
故答案为：D.
【分析】设圆的半径AO的长为r，则AO=CO=r，OE=r-1，利用勾股定理可得AE2+OE2=AO2，再将数据代入求出r的值，最后求出CD的长即可.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，EF=6cm，CD=8cm，
过点O作OG⊥EF交CD于点H，连接OC，OF，则OC=OF=5cm，
∵EF∥CD，
∴OH⊥CD，
∴FG=EF=3cm，HC=CD=4cm，
∴OG==4cm，
OH==3cm，
∴GH=OG-OH=4-3=1cm，
故答案为：A.
【分析】如图，过点O作OG⊥EF交CD于点H，连接OC，OF，则OC=OF=5cm，由勾股定理分别求出OG，OH的长，再利用GH=OG-OH即可求解.
7．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=32°，OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD=32°，
∴∠AOC=∠ODB+∠OBD=32°+32°=64°，
在Rt△ACO中，∠OAC=90°，∠AOC=64°，
∴∠C=180°-∠OAC-∠AOC=180°-90°-64°=26°，
故答案为：C.
【分析】利用切线的性质可得∠BAC=90°，再求出∠AOC=∠ODB+∠OBD=32°+32°=64°，最后利用三角形的内角和求出∠C的度数即可.
8．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接OA、OB，如图所示：
∵，
∴，
∵，OA=OB，
∴AE=EB，
∴AB=2OE=2，
故答案为：A.
【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理证明是等腰直角三角形，利用垂径定理和直角三角形斜边中线性质求解。
9．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB、OC，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠BOC=，
∵OM⊥BC，
∴∠OMB=90°，
∴∠BOM=30°，
∵OB=6，
∴BM=OB=3，
∴OM=；
【分析】连接OB、OC，由圆的内接正六边形的性质可求得圆心角∠BOC的度数，在直角三角形BOM中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得BM的值，然后用勾股定理可求得边心距OM的值；
10．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；线段垂直平分线的判定；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图知：DE平分∠ADB，
∴∠ADE=∠EDB，
∴，故①正确；
∴OC垂直平分PQ，故④正确
∵QD为直径，
∴∠DPQ=90°，即DP⊥PQ，
∴ OC∥DA ，故②正确；
若DP= PQ，则点P为半圆的中点，
由题意无法判断P为半圆的中点，故③错误；
∴正确的有①②④ ；
故答案为： ①②④ .
【分析】由尺规作图可得DE平分∠ADB，即得∠ADE=∠EDB，从而得出，根据垂径定理的推论可得OC垂直平分PQ，由直径所对的圆周角为直角可得∠DPQ=90°，从而得出OC∥DA，若DP= PQ，则点P为半圆的中点，由题意无法判断P为半圆的中点，据此即得结论.
11．【答案】4
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：AD=BD=AB=×16=8cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OD=OC-CD=10-CD，
在Rt△AOD中，由勾股定理可得：AD2+OD2=OA2，
∴82+（10-CD）2=102，
解得：CD=4，
故答案为：4.
【分析】先利用垂径定理求出AD=BD=AB=×16=8cm，再利用线段的和差求出OD=OC-CD=10-CD，结合勾股定理可得82+（10-CD）2=102，再求出CD的长即可.
12．【答案】108°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠D=36°，
∴∠BOC=36°×2=72°，
∴∠AOC=180°-72°=108°；
故答案为：108°.
【分析】根据圆周角定理求出∠BOC的度数，继而根据∠BOC和∠AOC互补求出答案即可。
13．【答案】②④
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：①因为平分弧的直径一定垂直于弦，所以一定平分弧所对的弦；故①正确；
②因为平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；故②错误；
③因为平分弦的直径垂直于弦，所以垂直平分弦的直线必经过圆心，故③正确；
④因为平分弦（非直径）的直径一定垂直于弦，故④错误；
故答案为：②④.
【分析】根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧进行分析即可得出答案.
14．【答案】①②③⑤⑥
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：①∵直径MN⊥弦AB于点C，
∴AC=BC， ，，
∵OA=OB，ON⊥AB，
∴ ∠AON=∠BON ，AM=BM，
故答案为：①②③⑤⑥.
【分析】根据垂径定理、等腰三角形的性质及垂直平分线的性质逐一判断即可.
15．【答案】2
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴
∴
∵
∴D为BC中点，
又∵O为AB中点，
∴
故答案为：.
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°，利用勾股定理即可求出AC的长，然后根据垂径定理得点D为BC的中点，最后根据三角形中位线定理求出OD的长.
16．【答案】（1）【方法一】证明：如图，连结OD.
∵BD是圆O的切线，D为切点，
.
，
且，
Rt.
；
【方法二】证明：，点C在圆O上，
∴BC是圆O的切线.
∵BD是圆O的切线，
；
（2）解：①如图，连结OD，
∵OB=OA，
∴∠OBD=∠A，
，
.
.
，
.
在Rt△ODA中，∵∠ADO=90°，∠A=30°，
∴AO=2OD，
又∵OD=OE，AO=OE+AE，
∴OE=AE=2，
∴半圆O的半径为2；
②在Rt中，.
.
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形；切线的判定与性质；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【分析】（1）方法一：连结OD，由切线性质得∠ODB=90°，从而用HL判断出Rt△ODB≌Rt△OCB，得BC=BD；方法二：根据切线的判定定理得BC是圆O的切线，进而根据切线长定理可得结论；
（2）①根据等边对等角、全等三角形的对应角相等及直角三角形的两锐角互余可推出∠OBD=∠OBC=∠A=30°，然后根据含30°角直角三角形的性质可推出OE=AE=2，从而得出答案；
②先用勾股定理算出AD的长，再根据S阴影部分=S△ODA-S扇形ODE，列式计算可得答案.
17．【答案】（1）证明：设交于点，连接，
由题可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：连接，
，
，
同理可得：，，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
直线为的切线．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质，再结合圆的性质求解即可；
（2）先求出 ，， 再求出OC//DE，最后证明即可。
18．【答案】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵ ，
∴∠BCF＋∠OCB＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴DF是⊙O的切线
（2）证明：∵点 是劣弧 中点，
∴OC⊥BD，
∵OC⊥CF，
∴BD∥CF，
∴∠F=∠ABD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴
（3）证明：设OC交BD于点M，
∵ ，AC⊥BC，
∴ ，
∵点 是劣弧 中点，
∴ ，OC⊥BD，
∴∠CAB=∠CBD，
∴sin∠CAB=sin∠CBD，即 ，
∴CM= ，
∴OM=5- = ，
∵OM是 ABD的中位线，
∴AD=2OM= ．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ∠BAC＝∠ACO， 再求出 OC⊥CF， 最后证明求解即可；
（2）先求出 BD∥CF， 再根据平行线的性质求出 ∠F=∠ABD， 最后证明求解即可；
（3）利用勾股定理求出AC=8，再求出 ， 最后计算求解即可。
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABED为圆内接四边形，
∴∠ABE=∠CDE，
∵，
∴∠ADB=∠AEB，
又∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴△ABE为等腰三角形．
（2）解：如图所示，连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE，
∵AB=AE，OB=OE，
∴点A、O在BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE，
∴AO⊥BE于点H，BH=BE，
∵AB=10，BE=12，
∴，，
∴在Rt△OBH中，，
解得：.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质可得∠ABE=∠CDE，由弧和圆周角关系可得∠ADB=∠AEB，再通过角等量代换可得∠ABE=∠AEB，从而得出AB=AE，即可证明△ABE为等腰三角形；
（2）如图所示，连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE，由AB=AE，OB=OE，易得点A、O在BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE，根据垂径定理得到AO⊥BE于点H，BH=BE=6，根据勾股定理求得AH=8，最后在Rt△OBH中，利用勾股定理得到关于半径r的方程，解之即可.
20．【答案】（1）解：如图，连接，
∵线段与相切于点B，
∴，而，
∴，
∵，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵的中点为M，，
∴，即，而，
∴，
∴，
∵的中点为M，为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）解：如图，连接，，交于，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接，先根据切线的性质即可得到，而，进而结合题意运用等腰三角形的性质即可求解；
（2）先根据垂径定理结合题意即可得到，即，而，进而得到，再根据等腰三角形的性质得到，从而根据题意即可得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明，即可得到，从而根据菱形的判定即可求解；
（3）连接，，交于，先根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而得到，进而根据菱形的性质即可得到，，再结合题意运用弧长的计算公式即可求解。
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，则，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，
∵O为正方形中心，
∴，，而，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∴，，
而正方形的边长，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
而，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；扇形面积的计算；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再根据正方形的性质求出 ，， 最后根据全等三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ，， 再求出 ， 最后根据三角形的面积公式以及扇形的面积公式等计算求解即可。
22．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
（3）解：如图所示，过O作，垂足为F，
∴，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴可设，则，
∵O的直径为20，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．
∴，
解得或（舍去），
∴．
∵，
∴由垂径定理知，．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线的圆的切线。
（2）利用角平分线定理进行角之间的转换即可求出答案。
（3）做辅助线，利用矩形性质，勾股定理，垂径定理即可求出答案。
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线
（2）解：如图，连接，
设的半径为，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，为的中点，
是的中位线，
是中点，
，
是的的直径，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积
．
【知识点】平行线的判定与性质；含30°角的直角三角形；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）先证明OD∥AC，再证明OD垂直DF即可；
（2）S阴影=S四边形AODE-S扇形AOD。
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