江苏省某中学2023-2024学年高一上学期12月测试数学试卷(无答案)

2023-2024学年度高一12月测试卷
（满分150分，120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
3.函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
4.函数的图像可能为（ ）
A. B.
C. D.
5.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为同族函数，下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ）
A. B. C. D.
6.，，则（ ）
A. B. C. D.
7.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的（ ）倍.
A. B.3 C. D.
8.已知函数，若（其中），则的最小值为（ ）.
A. B. C.2 D.4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知函数，，则下列选项中正确的有（ ）
A.为奇函数 B.为偶函数
C.的值域为 D.有最小值0
10.如图，某河塘浮萍面积（）与时间（月）的关系式为，则下列说法正确的是（ ）
A.浮萍每月增加的面积都相等
B.第4个月时，浮萍面积会超过
C.浮萍面积蔓延到只需6个月
D.若浮萍面积蔓延到，，所需时间分别为，，，则
11.已知函数若互不相等的实数，，满足，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
12.给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
A.若函数的定义域为，则函数的定义域是
B.函数（其中，且）的图象过定点
C.当时，幂函数的图象是一条直线
D.若，则的取值范围是
三、填空：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.关于的不等式的解集为____________.
14.若幂函数在区间上是减函数，则整数_________.
15.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：℃）满足：.若当空气温度为30℃时，某物体的温度从90℃下降到60℃用时14分钟.则再经过28分钟后，该物体的温度为_________℃.
16.已知是方程的一个根，是的一个根，则_______.
四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知，.
（1）分别求和；
（2）若，且，求.
18.已知正实数满足不等式.
（1）解关于的不等式.
（2）若函数在区间上有最大值，求实数的值.
19.已知.
（1）求函数的定义域；
（2）求证：为偶函数；
（3）指出方程的实数根个数，并说明理由.
20.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.
（1）现有三个奖励函数模型：①，②，③，.试分析这三个函数模型是否符合公司要求？
（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？
21.已知函数，.
（1）利用函数单调性的定义，证明：函数在区间上是减函数；
（2）若存在实数，（），使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围.
22.已知函数，.
（1）求的值；
（2）若方程在区间上有唯一的实数解，求实数的取值范围；
（3）对任意，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.