2023-2024学年初中数学七年级上册 2.5 整式的加法和减法 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·信阳期末）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如为实数的数叫做复数，用表示，任何一个复数在平面直角坐标系中都可以用有序数对表示，如：表示为，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·兰州期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
3．（2023·金东模拟）我国在清朝时期的课本中用“”来表示代数式，那么“”的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·定远模拟）设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·深圳模拟）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（ ）
A．5 B． C． D．2
6．（2023七下·沙坪坝期末）有自左向右依次排列的三个整式，，，，将任意相邻的两个整式相加，所得之和等于在两个整式中间，可以产生一个整式串；，，，，，这称为第1次“加法操作”；将第1次“加法操作”后的整式串按上述方法再做一次“加法操作”，可以得到第2次“加法操作”后的整式串；…，以此类推，下列说法：
①当时，第1次“加法操作”后，整式串中所有整式的积为负数；
②第次“加法操作”后，整式串中倒数第二个整式为；
③第4次“加法操作”后，整式串中所有整式之和为．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2023·丰南模拟）表示不超过的最大整数．如， ，．则下列结论：①；②若，则的取值范围是；③当时，的值为1或2；④是方程的唯一一个解．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①③
8．（2023九下·北碚期中）有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：
①b3＝2a+5；
②当a＝2时，第3项为16；
③若第4项与第5项之和为25，则a＝7；
④第2022项为（a+2022）2；
⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2；
以上结论正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤
二、填空题
9．（2023七下·贵池期末）定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：＝ ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：．
小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以．
请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空：
10．（2023七下·忠县期末）如图长方形由图1、2、3、4、5拼成，设图1、2、3是边长分别为a，b，c的正方形，图4是长方形，图5是正方形．对于判断：①；②图4的周长为；③；④长方形的周长为，其中正确的是 （填编号）．
11．（2023七下·防城期末）对于任意实数a，b，c，d，我们规定：，根据这一规定，若x，y同时满足，则的值是 .
12．（2023七下·蜀山期中）对实数、 ，定义运算☆如下：☆ ，
例如2☆3=.计算[2☆( )][( )☆()]=
13．（2023七下·潼南期中）对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”把“中项两倍数”的各个数字之和被整除的商记为其中，能被整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为 ．
三、解答题
14．（2023七下·丰满期末）我们规定的运算法则为，例如. 若，求的取值范围.
15．（2023七下·柳州开学考）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了其中一个多项式，形式如下：试问：老师用手捂住的多项式是什么
四、综合题
16．（2023七下·兴化期中）
（1）填空：
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立；
（3）计算．
17．（2023七下·紫金期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果ac＝b，那么(a，b)＝c.例如：∵23＝8，∴(2，8)＝3.
（1）根据上述规定，填空：(3，27)＝ ，(5，1)＝ ，＝ ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：(3n，4n)＝(3，4)，小明给出了如下的理由：
设(3n，4n)＝x，则(3n)x＝4n，即(3x)n＝4n，
∴3x＝4，即(3，4)＝x，
∴(3n，4n)＝(3，4)．
请你尝试运用这种方法判断(3，4)＋(3，5)＝(3，20)是否成立，若成立，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：可表示为Z（2，-1）；
故答案为：B.
【分析】根据新定义进行解答即可.
2．【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】∵8=8×1，16=8×2，
∴“和谐数”都是8的倍数，
∵2023÷8=252……7，
∴在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数”由8，16，24，32，……2008，2016，一共有252个，
∴（8+2016）×252÷2=2024×252÷2=510048÷2=255024，
故答案为：D.
【分析】先求出规律2023÷8=252……7，再求出在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数”由8，16，24，32，……2008，2016，一共有252个，最后求解即可。
3．【答案】A
【知识点】定义新运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由“” 来表示代数式 ，
∴甲是a，甲二是a2，乙是b，乙二是b2，丙是c，丙二是c2，丁是d，丁二是d2，
“⊥”表示“+”，“T”表示“-”
∴表示为；
故答案为：A.
【分析】利用已知代数式及“一一对应”法则，了解每一项所代表的的字母及符号，据此再列式并合并即可.
4．【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】∵，，
∴
∵，
∴
故答案为：D.
【分析】先利用整式的减法求出，即可得到。
5．【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
∴或（舍去），故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】参照题干中的计算方法可得，再求出BC的长即可。
6．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：①第1次"加法操作"后，整式串中所有整式的积为：a（2a-3）（a-3）（a-6）×（-3），
∵ ，
∴2a-3＞0，a-3＞0，a-6＜0，
∴a（2a-3）（a-3）（a-6）×（-3）＞0，故①错误；
②第1次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式为a-3-3，
第2次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式为a-3-3-3=a-3-3×2，
第3次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式为a-3-3-3-3=a-3-3×3，
······，
∴第n次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式为a-3-3n，故②正确；
③第4次"加法操作"后，整式串中所有整式的和为：
a+5a-3+4a-3+7a-6+3a-3+8a-9+2a-3+7a-9+5a-9+7a-12+3a-6+8a-15+4a-9+7a-15+a-3+3a-12+2a-9+3a-15+a-6+2a-15+a-9+a-12-3+5a-12+4a-15+5a-21+5a-24+4a-21+3a-21+3a-24+2a-21+a-15=123a-369，
故③错误；
故答案为：B.
【分析】①将第1次"加法操作"后，五个整式相乘，确定每个整式的符号，即确定积的符号；②分别求出第1次，第2次，第3次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式，据此得出规律，即可判断；③求出第4次"加法操作"后，整式串中所有整式，再相加即可判断.
7．【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：①当时，，，不相等；故①不符合题意；
②若，则的取值范围是是正确的；故②是正确的；
③当时，，，
则：；
当时，；
当时，，，
；综上③是正确的；
故当时，的值为1或2是正确的；
④的范围为，
∵，即：，亦即：，
∴，即：，
即，
当时，方程变形为，
解得；
当时，方程变形为，
解得；
∴或都是方程的解，故④是错误的．
故答案为：C．
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
8．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第一项是a2，
第二项是a2+2a+1，
用第二项减去第一项，所得之差记为b1，则，
将b1加2记为b2，则，
将第二项与b2相加作为第三项，则第三项是，
当a＝2时，第三项是，②正确；
将b2加2记为b3，则，①正确；
第三项与b3相加作为第四项，则第四项是，
将b3加2记为b4，则，
第四项与b4相加作为第五项，则第五项是，
第4项与第5项之和为25，则，解得a＝0或，③错误；
…
综上所述：，第项为，
第2022项为，④错误；
当时，
，
故答案为：A.
【分析】由题意可得：b1=2a+1，b2=2a+3，b3=2a+5，第三项为a2+4a+4，令a=2，求出相应的值，据此判断①②；第四项是a2+6a+9，b4=2a+7，第五项是a2+8a+16，根据第4项与第5项之和为25可求出a的值，据此判断③；综合可得bn=2a+2n-1，第n项为[a+(n-1)]2，据此表示出第2022项，进而判断④；令n=k，表示出b1+b2+……+bk，进而判断⑤.
9．【答案】（1）
（2）
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵50=1，
∴（5，1）=0
故答案为：0
（2）设（a，m）=x，（a，n）=y
则ax=m，ay=n
∴ax·ay=ax+y=mn
∴x+y=（a，mn）
即：（a，m）+（a，n）=（a，mn）
故答案为：mn
【分析】（1）根据例题的运算方法即可计算；
（2）设（a，m）=x，（a，n）=y，根据定义的运算即可求解。
10．【答案】①③
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意得DA=CB=a+b＞c，①正确；
图4的周长为2（a+b-c+b+c-a）=4b，②错误；
∵图5是正方形，
又∵图5的一条边长为b-a，一条边长为c-b，
∴b-a=c-b，
∴，③正确；
长方形的周长为2（a+b+b+c）=2（a+2b+c），④错误；
故答案为：①③
【分析】根据整式的加减结合边长进行分析即可求解。
11．【答案】-3
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
则；
∴=-3×（-1）-2×3=3-6=-3.
故答案为：-3
【分析】根据新运算可得关于a、b的方程组，解方程组求得a、b的值，然后把x=-1，y=3代入新运算计算即可求解.
12．【答案】1
【知识点】有理数的乘方；定义新运算
【解析】【解答】
[2☆( )][( )☆()] =
【分析】本题考查定义运算和有理数的乘方运算。根据新定义，注意判断使用哪个公式，列出算式，进行计算。
13．【答案】
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵ 是"中项两倍数”，
∴a+c=2b，
∵Q能被21整除，
∴为整数，
∴c=7，
∵为有理数，
∴为有理数，
∴b =1或4或9，
当c=7，b=1时，a+7=2x1，
解得a =-5(舍去)，
当c=7，b=4时，a+7=2x4，
解得a=1，
∴Q=147，
当c=7，b=9时，a+7=2x9，
解得：a=11（舍去），
综上所述：Q=147，
故答案为：147.
【分析】根据题意先求出a+c=2b，再求出c=7，最后计算求解即可。
14．【答案】解：∵
∴
∵
∴，解得
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】根据所给的运算法则求出 ，再求出 ， 最后计算求解即可。
15．【答案】解：由题意得被捂住的多项式为：
2（a2b+ab2）-ab2+（a2b-2ab2）
=2a2b+2ab2-ab2+a2b-2ab2
=3a2b-ab2
【知识点】整式的加减运算
【解析】【分析】由题意得被捂住的多项式为：2（a2b+ab2）-ab2+（a2b-2ab2），进而去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项即可.
16．【答案】（1）0；1；2
（2）解： （ 为正整数），
证明：
；
（3）解：原式
．
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）21-20=2-1=0=20；
22-21=4-2=2=21；
23-22=8-4=4=22.
故答案为：0；1；2.
【分析】（1）根据乘法的运算法则计算即可.
（2）根据（1）中的规律可得2n-2n-1=2n-1，然后利用提公因式2n-1可以证明这个等式成立.
（3）由于21-20=20，22-21=21，23-22=22，…，22024-22023=22023，所以将等式左边与左边相加，右边与右边相加，即可等于原式，从而求出答案.
17．【答案】（1）3；0；－2
（2）解：成立．
理由如下：
设(3，4)=x，(3，5)=y，
则
∴
∴(3，20)=x+y，
∴(3，4)+(3，5)=(3，20).
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵33=27，∴（3，27）=3
∵50=1，
∴（5，1）=0
∵2-2=，
∴(2，）=-2
故答案为：3；0；-2
【分析】（1）根据定义的运算，以及零次幂、负次幂的定义进行计算即可；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y，根据题中定义的运算规则，得出3x=4，3y=5，再根据同底数幂的乘法运算法则，即可判断。
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 2.5 整式的加法和减法 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·信阳期末）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如为实数的数叫做复数，用表示，任何一个复数在平面直角坐标系中都可以用有序数对表示，如：表示为，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：可表示为Z（2，-1）；
故答案为：B.
【分析】根据新定义进行解答即可.
2．（2023七下·兰州期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】∵8=8×1，16=8×2，
∴“和谐数”都是8的倍数，
∵2023÷8=252……7，
∴在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数”由8，16，24，32，……2008，2016，一共有252个，
∴（8+2016）×252÷2=2024×252÷2=510048÷2=255024，
故答案为：D.
【分析】先求出规律2023÷8=252……7，再求出在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数”由8，16，24，32，……2008，2016，一共有252个，最后求解即可。
3．（2023·金东模拟）我国在清朝时期的课本中用“”来表示代数式，那么“”的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】定义新运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由“” 来表示代数式 ，
∴甲是a，甲二是a2，乙是b，乙二是b2，丙是c，丙二是c2，丁是d，丁二是d2，
“⊥”表示“+”，“T”表示“-”
∴表示为；
故答案为：A.
【分析】利用已知代数式及“一一对应”法则，了解每一项所代表的的字母及符号，据此再列式并合并即可.
4．（2023·定远模拟）设，，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】∵，，
∴
∵，
∴
故答案为：D.
【分析】先利用整式的减法求出，即可得到。
5．（2023·深圳模拟）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（ ）
A．5 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
∴或（舍去），故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】参照题干中的计算方法可得，再求出BC的长即可。
6．（2023七下·沙坪坝期末）有自左向右依次排列的三个整式，，，，将任意相邻的两个整式相加，所得之和等于在两个整式中间，可以产生一个整式串；，，，，，这称为第1次“加法操作”；将第1次“加法操作”后的整式串按上述方法再做一次“加法操作”，可以得到第2次“加法操作”后的整式串；…，以此类推，下列说法：
①当时，第1次“加法操作”后，整式串中所有整式的积为负数；
②第次“加法操作”后，整式串中倒数第二个整式为；
③第4次“加法操作”后，整式串中所有整式之和为．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：①第1次"加法操作"后，整式串中所有整式的积为：a（2a-3）（a-3）（a-6）×（-3），
∵ ，
∴2a-3＞0，a-3＞0，a-6＜0，
∴a（2a-3）（a-3）（a-6）×（-3）＞0，故①错误；
②第1次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式为a-3-3，
第2次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式为a-3-3-3=a-3-3×2，
第3次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式为a-3-3-3-3=a-3-3×3，
······，
∴第n次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式为a-3-3n，故②正确；
③第4次"加法操作"后，整式串中所有整式的和为：
a+5a-3+4a-3+7a-6+3a-3+8a-9+2a-3+7a-9+5a-9+7a-12+3a-6+8a-15+4a-9+7a-15+a-3+3a-12+2a-9+3a-15+a-6+2a-15+a-9+a-12-3+5a-12+4a-15+5a-21+5a-24+4a-21+3a-21+3a-24+2a-21+a-15=123a-369，
故③错误；
故答案为：B.
【分析】①将第1次"加法操作"后，五个整式相乘，确定每个整式的符号，即确定积的符号；②分别求出第1次，第2次，第3次"加法操作"后整式串中倒数第二个整式，据此得出规律，即可判断；③求出第4次"加法操作"后，整式串中所有整式，再相加即可判断.
7．（2023·丰南模拟）表示不超过的最大整数．如， ，．则下列结论：①；②若，则的取值范围是；③当时，的值为1或2；④是方程的唯一一个解．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①③
【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：①当时，，，不相等；故①不符合题意；
②若，则的取值范围是是正确的；故②是正确的；
③当时，，，
则：；
当时，；
当时，，，
；综上③是正确的；
故当时，的值为1或2是正确的；
④的范围为，
∵，即：，亦即：，
∴，即：，
即，
当时，方程变形为，
解得；
当时，方程变形为，
解得；
∴或都是方程的解，故④是错误的．
故答案为：C．
【分析】根据题干中的定义及计算方法求解即可。
8．（2023九下·北碚期中）有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：
①b3＝2a+5；
②当a＝2时，第3项为16；
③若第4项与第5项之和为25，则a＝7；
④第2022项为（a+2022）2；
⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2；
以上结论正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第一项是a2，
第二项是a2+2a+1，
用第二项减去第一项，所得之差记为b1，则，
将b1加2记为b2，则，
将第二项与b2相加作为第三项，则第三项是，
当a＝2时，第三项是，②正确；
将b2加2记为b3，则，①正确；
第三项与b3相加作为第四项，则第四项是，
将b3加2记为b4，则，
第四项与b4相加作为第五项，则第五项是，
第4项与第5项之和为25，则，解得a＝0或，③错误；
…
综上所述：，第项为，
第2022项为，④错误；
当时，
，
故答案为：A.
【分析】由题意可得：b1=2a+1，b2=2a+3，b3=2a+5，第三项为a2+4a+4，令a=2，求出相应的值，据此判断①②；第四项是a2+6a+9，b4=2a+7，第五项是a2+8a+16，根据第4项与第5项之和为25可求出a的值，据此判断③；综合可得bn=2a+2n-1，第n项为[a+(n-1)]2，据此表示出第2022项，进而判断④；令n=k，表示出b1+b2+……+bk，进而判断⑤.
二、填空题
9．（2023七下·贵池期末）定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：＝ ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：．
小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以．
请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空：
【答案】（1）
（2）
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵50=1，
∴（5，1）=0
故答案为：0
（2）设（a，m）=x，（a，n）=y
则ax=m，ay=n
∴ax·ay=ax+y=mn
∴x+y=（a，mn）
即：（a，m）+（a，n）=（a，mn）
故答案为：mn
【分析】（1）根据例题的运算方法即可计算；
（2）设（a，m）=x，（a，n）=y，根据定义的运算即可求解。
10．（2023七下·忠县期末）如图长方形由图1、2、3、4、5拼成，设图1、2、3是边长分别为a，b，c的正方形，图4是长方形，图5是正方形．对于判断：①；②图4的周长为；③；④长方形的周长为，其中正确的是 （填编号）．
【答案】①③
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意得DA=CB=a+b＞c，①正确；
图4的周长为2（a+b-c+b+c-a）=4b，②错误；
∵图5是正方形，
又∵图5的一条边长为b-a，一条边长为c-b，
∴b-a=c-b，
∴，③正确；
长方形的周长为2（a+b+b+c）=2（a+2b+c），④错误；
故答案为：①③
【分析】根据整式的加减结合边长进行分析即可求解。
11．（2023七下·防城期末）对于任意实数a，b，c，d，我们规定：，根据这一规定，若x，y同时满足，则的值是 .
【答案】-3
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
则；
∴=-3×（-1）-2×3=3-6=-3.
故答案为：-3
【分析】根据新运算可得关于a、b的方程组，解方程组求得a、b的值，然后把x=-1，y=3代入新运算计算即可求解.
12．（2023七下·蜀山期中）对实数、 ，定义运算☆如下：☆ ，
例如2☆3=.计算[2☆( )][( )☆()]=
【答案】1
【知识点】有理数的乘方；定义新运算
【解析】【解答】
[2☆( )][( )☆()] =
【分析】本题考查定义运算和有理数的乘方运算。根据新定义，注意判断使用哪个公式，列出算式，进行计算。
13．（2023七下·潼南期中）对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”把“中项两倍数”的各个数字之和被整除的商记为其中，能被整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为 ．
【答案】
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵ 是"中项两倍数”，
∴a+c=2b，
∵Q能被21整除，
∴为整数，
∴c=7，
∵为有理数，
∴为有理数，
∴b =1或4或9，
当c=7，b=1时，a+7=2x1，
解得a =-5(舍去)，
当c=7，b=4时，a+7=2x4，
解得a=1，
∴Q=147，
当c=7，b=9时，a+7=2x9，
解得：a=11（舍去），
综上所述：Q=147，
故答案为：147.
【分析】根据题意先求出a+c=2b，再求出c=7，最后计算求解即可。
三、解答题
14．（2023七下·丰满期末）我们规定的运算法则为，例如. 若，求的取值范围.
【答案】解：∵
∴
∵
∴，解得
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】根据所给的运算法则求出 ，再求出 ， 最后计算求解即可。
15．（2023七下·柳州开学考）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了其中一个多项式，形式如下：试问：老师用手捂住的多项式是什么
【答案】解：由题意得被捂住的多项式为：
2（a2b+ab2）-ab2+（a2b-2ab2）
=2a2b+2ab2-ab2+a2b-2ab2
=3a2b-ab2
【知识点】整式的加减运算
【解析】【分析】由题意得被捂住的多项式为：2（a2b+ab2）-ab2+（a2b-2ab2），进而去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项即可.
四、综合题
16．（2023七下·兴化期中）
（1）填空：
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立；
（3）计算．
【答案】（1）0；1；2
（2）解： （ 为正整数），
证明：
；
（3）解：原式
．
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）21-20=2-1=0=20；
22-21=4-2=2=21；
23-22=8-4=4=22.
故答案为：0；1；2.
【分析】（1）根据乘法的运算法则计算即可.
（2）根据（1）中的规律可得2n-2n-1=2n-1，然后利用提公因式2n-1可以证明这个等式成立.
（3）由于21-20=20，22-21=21，23-22=22，…，22024-22023=22023，所以将等式左边与左边相加，右边与右边相加，即可等于原式，从而求出答案.
17．（2023七下·紫金期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果ac＝b，那么(a，b)＝c.例如：∵23＝8，∴(2，8)＝3.
（1）根据上述规定，填空：(3，27)＝ ，(5，1)＝ ，＝ ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：(3n，4n)＝(3，4)，小明给出了如下的理由：
设(3n，4n)＝x，则(3n)x＝4n，即(3x)n＝4n，
∴3x＝4，即(3，4)＝x，
∴(3n，4n)＝(3，4)．
请你尝试运用这种方法判断(3，4)＋(3，5)＝(3，20)是否成立，若成立，请说明理由．
【答案】（1）3；0；－2
（2）解：成立．
理由如下：
设(3，4)=x，(3，5)=y，
则
∴
∴(3，20)=x+y，
∴(3，4)+(3，5)=(3，20).
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵33=27，∴（3，27）=3
∵50=1，
∴（5，1）=0
∵2-2=，
∴(2，）=-2
故答案为：3；0；-2
【分析】（1）根据定义的运算，以及零次幂、负次幂的定义进行计算即可；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y，根据题中定义的运算规则，得出3x=4，3y=5，再根据同底数幂的乘法运算法则，即可判断。
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