2023-2024学年初中数学七年级上册 2.4 整式 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·曲靖模拟）按一定规律排列的单项式：，则第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022七上·杭州期中）在代数式中，是整式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020七上·五常期末）下列说法中正确的有（ ）
①由两条射线所组成的图形叫做角；
②两点之间，线段最短：
③两个数比较大小，绝对值大的反而小：
④单项式和多项式都是整式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021七上·凤山期中）下列说法正确的是（ ）
A． 不是单项式 B． 表示负数
C． 的系数是3 D． 不是多项式
5．（2020七上·夏津期末）对于式子，下列说法正确的是（ ）
A．有5个单项式，1个多项式 B．有3个单项式，2个多项式
C．有4个单项式，2个多项式 D．有7个整式
6．（2020七上·河南月考）下列式子： ， ， ， ， ， ， 中，整式的个数是（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
7．一组按规律排列的多项式：a+b，a2-b3，a3+b5，a4-b7，…，其中第10个式子是( )
A．a10+b19 B． a10-b19 C．a10-b17 D．a10-b21
二、填空题
8．（2022七上·乐山期中）把多项式按的降幂排列为 ．
9．（2022七上·北京期中）写出的一个含有两个字母，且次数为2的单项式： ．
10．（2022七上·新余期中）关于x的多项式合并后是三项式，则a的值为 ．（提示：当时，）
11．（2021七上·浦北期中）若多项式中不含的项，则 ．
12．关于x的多项式(m-1)x3-2xn+3x的次数是2，那么m= ，n= ．
三、解答题
13．（2020七上·辽阳期中）若关于x的多项式-5x3-（2m-1）x2+（2-3n）x-1不含二次项和一次项，求m，n的值．
14．若单项式ny2n-1的次数是3，求当y=3时此单项式的值．
四、综合题
15．（2019七上·高安期中）已知关于x的整式 ．
（1）若此整式是单项式，求k的值；
（2）若此整式是二次多项式，求k的值；
（3）若此整式是二项式，求k的值．
16．（2020七上·兴山月考）已知整式P＝x2+x﹣1，Q＝x2﹣x+1，R＝﹣x2+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以表示为aP+bQ+cR（其中a，b，c为常数）.则可以进行如下分类
①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为P类整式；
②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为PQ类整式；
③若a≠0，b≠0，c≠0.则称该整式为PQR类整式；
（1）模仿上面的分类方式，请给出R类整式和QR类整式的定义，若 ，则称该整式为“R类整式”，若 ，则称该整式为“QR类整式”；
（2）说明整式x2﹣5x+5为“PQ类整式；
（3）x2+x+1是哪一类整式？说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】单项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴第个单项式是，
故答案为：B
【分析】根据题干提供的单项式即可找到规律，进而即可求解。
2．【答案】B
【知识点】整式及其分类
【解析】【解答】解：，的分母含有字母，不是整式；的被开方数含有字母，不是整式；整式有，共2个.
故答案为：B.
【分析】整式分为单项式与多项式，单项式是数字与字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，由若干个单项式相加（或相减）组成的代数式叫做多项式，据此判断.
3．【答案】B
【知识点】有理数大小比较；线段的性质：两点之间线段最短；角的概念；整式及其分类
【解析】【解答】①两条端点重合的射线组成的图形叫做角，故①不符合题意；
②两点之间，线段最短，故②符合题意：
③两个负数比较大小，绝对值大的反而小，故③不符合题意：
④单项式和多项式都是整式，故④符合题意．
正确的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据角的定义、线段的性质、有理数的大小比较及整式的定义逐一分析可得．
4．【答案】D
【知识点】正数和负数的认识及应用；单项式；多项式
【解析】【解答】解：A、-1是单项式，故A错误；
B、 表示负数、零、正数，故B错误；
C、 的系数是 而不是3，故C错误；
D、 是分式，不是多项式故D正确；
故答案为：D.
【分析】单项式是指由数和字母的积组成的代数式；单项式系数是指代数式的单项式中的数字因数；多项式是几个单项式的和，有几个单项式，它就是几项式，多项式的次数，是指多项式里次数最高项的次数；根据定义分别判断即可.
5．【答案】C
【知识点】整式及其分类
【解析】【解答】解：有4个单项式：，，，；
2个多项式：．
共有6个整式．
综上，有4个单项式，2个多项式．
故答案为：C．
【分析】根据整式的定义、单项式和多项式的定义求解即可。
6．【答案】C
【知识点】整式及其分类
【解析】【解答】题干中 、 ， 分母中含有字母，所以不是整式；剩余4个式子符合整式的定义，所以是整式.
故答案为：C.
【分析】根据整式的定义即可判断.
7．【答案】B
【知识点】多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】多项式的第一项依次是a，a2，a3，a4，…，an，第二项依次是b，-b3，b5，-b7，…，（-1）n+1b2n-1，所以第10个式子即当n=10时，
代入到得到an+（-1）n+1b2n-1=a10-b19．故答案选：B
【分析】先观察字母a、b的指数，再观察运算符号，故第10个式子是 a10-b19．
8．【答案】-4y4+2y2+2y-1
【知识点】多项式
【解析】【解答】解：多项式2y2-4y4+2y-1按y降幂排列为：-4y4+2y2+2y-1．
故答案为：-4y4+2y2+2y-1．
【分析】把多项式按照y的次数由大到小排列，即可解答．
9．【答案】答案不唯一，如：xy
【知识点】单项式
【解析】【解答】含有两个字母，且次数为2的单项式有很多，例如xy，ab，zx等.
【分析】根据单项式的定义求解即可。
10．【答案】0、1、2
【知识点】多项式
【解析】【解答】解：当时，
原式，符合题意；
当，即时，
原式，符合题意；
当，即时，
原式
，符合题意；
故答案为：0、1、2．
【分析】根据三项式的定义求解即可。
11．【答案】3
【知识点】多项式
【解析】【解答】∵=
不含的项
∴=0
∴k=3
故答案为：3．
【分析】由题意先将多项式合并同类项，然后根据多项式不含xy项可知此项的系数为0，即-3k+9=0，解方程可求解.
12．【答案】1；2
【知识点】多项式
【解析】【解答】因为多项式(m-1)x3-2xn+3x的次数是2；所以三次项不存在即m-1=0，-2xn这一项的次数为2从而m=1，n=2．
【分析】多项式的次数是次数最高项的次数，所以该多项式的各项次数不大于2，对于次数大于2的项应该令其系数为0；而剩余的两项一个次数为n，一个次数为1，所以必须有n=2．
13．【答案】m= ，n=
【知识点】多项式
【解析】【解答】因为关于x的多项式 5x3-（2m-1）x2+（2-3n）x-1 不含二次项和一次项， 所以二次项-（2m-1）x2与一次项 （2-3n）x- 1的系数为0，即-（2m-1）=0，2-3n=0，所以m=，n=．
【分析】不含某次项即该项的系数为0．
14．【答案】-9π2
【知识点】代数式求值；单项式
【解析】【解答】因为单项式 ny2n-1的次数是3，所以2n-1=3，所以n=2，所以单项式为2y3，所以y=3当时原式=π2 33=-9π2．
【分析】根据单项式次数的概念求的n的值，进而得到单项式的具体表达式，将y的值代入即求出此时单项式的值．注意：π是一个常数；单项式的次数与常数的次数无关，而是所有字母的指数和．
15．【答案】（1）解： 且 时，原式为单项式，解得k=3；
（2）解： 且k-3≠0时，原式是二次多项式，解得k=-3；
（3）解：当 且k-3≠0时，原式为二项式，解得k=-3；
当k=0时，原式为二项式；
∴ 或-3.
【知识点】单项式；多项式
【解析】【分析】（1）利用单项式的定义，得到 且 求k；（2）利用多项式次数的定义，得到 且k-3≠0时，是二次多项式，求k；（3）利用多项式的定义，讨论：当 且k-3≠0时，整式为二项式，所以k=-3；当k=0时，整式为二项式.
16．【答案】（1）a＝b＝0，c≠0；a＝0，b≠0，c≠0
（2）解；因为﹣2P+3Q＝﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1）
＝﹣2x2﹣2x+2+3x2﹣3x+3＝x2﹣5x+5.
即x2﹣5x+5＝﹣2P+3Q，所以x2﹣5x+5是“PQ类整式”
（3）解；∵x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1），
∴该整式为PQR类整式.
【知识点】多项式
【解析】【解答】解：（1）若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”.
若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.
故答案是：a＝b＝0，c≠0；a＝0，b≠0，c≠0；
【分析】（1）类比得出R类整式和QR类整式的定义即可；
（2）、（3）类比方法拆开表示得出答案即可.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 2.4 整式 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023·曲靖模拟）按一定规律排列的单项式：，则第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴第个单项式是，
故答案为：B
【分析】根据题干提供的单项式即可找到规律，进而即可求解。
2．（2022七上·杭州期中）在代数式中，是整式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】整式及其分类
【解析】【解答】解：，的分母含有字母，不是整式；的被开方数含有字母，不是整式；整式有，共2个.
故答案为：B.
【分析】整式分为单项式与多项式，单项式是数字与字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，由若干个单项式相加（或相减）组成的代数式叫做多项式，据此判断.
3．（2020七上·五常期末）下列说法中正确的有（ ）
①由两条射线所组成的图形叫做角；
②两点之间，线段最短：
③两个数比较大小，绝对值大的反而小：
④单项式和多项式都是整式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】有理数大小比较；线段的性质：两点之间线段最短；角的概念；整式及其分类
【解析】【解答】①两条端点重合的射线组成的图形叫做角，故①不符合题意；
②两点之间，线段最短，故②符合题意：
③两个负数比较大小，绝对值大的反而小，故③不符合题意：
④单项式和多项式都是整式，故④符合题意．
正确的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据角的定义、线段的性质、有理数的大小比较及整式的定义逐一分析可得．
4．（2021七上·凤山期中）下列说法正确的是（ ）
A． 不是单项式 B． 表示负数
C． 的系数是3 D． 不是多项式
【答案】D
【知识点】正数和负数的认识及应用；单项式；多项式
【解析】【解答】解：A、-1是单项式，故A错误；
B、 表示负数、零、正数，故B错误；
C、 的系数是 而不是3，故C错误；
D、 是分式，不是多项式故D正确；
故答案为：D.
【分析】单项式是指由数和字母的积组成的代数式；单项式系数是指代数式的单项式中的数字因数；多项式是几个单项式的和，有几个单项式，它就是几项式，多项式的次数，是指多项式里次数最高项的次数；根据定义分别判断即可.
5．（2020七上·夏津期末）对于式子，下列说法正确的是（ ）
A．有5个单项式，1个多项式 B．有3个单项式，2个多项式
C．有4个单项式，2个多项式 D．有7个整式
【答案】C
【知识点】整式及其分类
【解析】【解答】解：有4个单项式：，，，；
2个多项式：．
共有6个整式．
综上，有4个单项式，2个多项式．
故答案为：C．
【分析】根据整式的定义、单项式和多项式的定义求解即可。
6．（2020七上·河南月考）下列式子： ， ， ， ， ， ， 中，整式的个数是（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【知识点】整式及其分类
【解析】【解答】题干中 、 ， 分母中含有字母，所以不是整式；剩余4个式子符合整式的定义，所以是整式.
故答案为：C.
【分析】根据整式的定义即可判断.
7．一组按规律排列的多项式：a+b，a2-b3，a3+b5，a4-b7，…，其中第10个式子是( )
A．a10+b19 B． a10-b19 C．a10-b17 D．a10-b21
【答案】B
【知识点】多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】多项式的第一项依次是a，a2，a3，a4，…，an，第二项依次是b，-b3，b5，-b7，…，（-1）n+1b2n-1，所以第10个式子即当n=10时，
代入到得到an+（-1）n+1b2n-1=a10-b19．故答案选：B
【分析】先观察字母a、b的指数，再观察运算符号，故第10个式子是 a10-b19．
二、填空题
8．（2022七上·乐山期中）把多项式按的降幂排列为 ．
【答案】-4y4+2y2+2y-1
【知识点】多项式
【解析】【解答】解：多项式2y2-4y4+2y-1按y降幂排列为：-4y4+2y2+2y-1．
故答案为：-4y4+2y2+2y-1．
【分析】把多项式按照y的次数由大到小排列，即可解答．
9．（2022七上·北京期中）写出的一个含有两个字母，且次数为2的单项式： ．
【答案】答案不唯一，如：xy
【知识点】单项式
【解析】【解答】含有两个字母，且次数为2的单项式有很多，例如xy，ab，zx等.
【分析】根据单项式的定义求解即可。
10．（2022七上·新余期中）关于x的多项式合并后是三项式，则a的值为 ．（提示：当时，）
【答案】0、1、2
【知识点】多项式
【解析】【解答】解：当时，
原式，符合题意；
当，即时，
原式，符合题意；
当，即时，
原式
，符合题意；
故答案为：0、1、2．
【分析】根据三项式的定义求解即可。
11．（2021七上·浦北期中）若多项式中不含的项，则 ．
【答案】3
【知识点】多项式
【解析】【解答】∵=
不含的项
∴=0
∴k=3
故答案为：3．
【分析】由题意先将多项式合并同类项，然后根据多项式不含xy项可知此项的系数为0，即-3k+9=0，解方程可求解.
12．关于x的多项式(m-1)x3-2xn+3x的次数是2，那么m= ，n= ．
【答案】1；2
【知识点】多项式
【解析】【解答】因为多项式(m-1)x3-2xn+3x的次数是2；所以三次项不存在即m-1=0，-2xn这一项的次数为2从而m=1，n=2．
【分析】多项式的次数是次数最高项的次数，所以该多项式的各项次数不大于2，对于次数大于2的项应该令其系数为0；而剩余的两项一个次数为n，一个次数为1，所以必须有n=2．
三、解答题
13．（2020七上·辽阳期中）若关于x的多项式-5x3-（2m-1）x2+（2-3n）x-1不含二次项和一次项，求m，n的值．
【答案】m= ，n=
【知识点】多项式
【解析】【解答】因为关于x的多项式 5x3-（2m-1）x2+（2-3n）x-1 不含二次项和一次项， 所以二次项-（2m-1）x2与一次项 （2-3n）x- 1的系数为0，即-（2m-1）=0，2-3n=0，所以m=，n=．
【分析】不含某次项即该项的系数为0．
14．若单项式ny2n-1的次数是3，求当y=3时此单项式的值．
【答案】-9π2
【知识点】代数式求值；单项式
【解析】【解答】因为单项式 ny2n-1的次数是3，所以2n-1=3，所以n=2，所以单项式为2y3，所以y=3当时原式=π2 33=-9π2．
【分析】根据单项式次数的概念求的n的值，进而得到单项式的具体表达式，将y的值代入即求出此时单项式的值．注意：π是一个常数；单项式的次数与常数的次数无关，而是所有字母的指数和．
四、综合题
15．（2019七上·高安期中）已知关于x的整式 ．
（1）若此整式是单项式，求k的值；
（2）若此整式是二次多项式，求k的值；
（3）若此整式是二项式，求k的值．
【答案】（1）解： 且 时，原式为单项式，解得k=3；
（2）解： 且k-3≠0时，原式是二次多项式，解得k=-3；
（3）解：当 且k-3≠0时，原式为二项式，解得k=-3；
当k=0时，原式为二项式；
∴ 或-3.
【知识点】单项式；多项式
【解析】【分析】（1）利用单项式的定义，得到 且 求k；（2）利用多项式次数的定义，得到 且k-3≠0时，是二次多项式，求k；（3）利用多项式的定义，讨论：当 且k-3≠0时，整式为二项式，所以k=-3；当k=0时，整式为二项式.
16．（2020七上·兴山月考）已知整式P＝x2+x﹣1，Q＝x2﹣x+1，R＝﹣x2+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以表示为aP+bQ+cR（其中a，b，c为常数）.则可以进行如下分类
①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为P类整式；
②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为PQ类整式；
③若a≠0，b≠0，c≠0.则称该整式为PQR类整式；
（1）模仿上面的分类方式，请给出R类整式和QR类整式的定义，若 ，则称该整式为“R类整式”，若 ，则称该整式为“QR类整式”；
（2）说明整式x2﹣5x+5为“PQ类整式；
（3）x2+x+1是哪一类整式？说明理由.
【答案】（1）a＝b＝0，c≠0；a＝0，b≠0，c≠0
（2）解；因为﹣2P+3Q＝﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1）
＝﹣2x2﹣2x+2+3x2﹣3x+3＝x2﹣5x+5.
即x2﹣5x+5＝﹣2P+3Q，所以x2﹣5x+5是“PQ类整式”
（3）解；∵x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1），
∴该整式为PQR类整式.
【知识点】多项式
【解析】【解答】解：（1）若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”.
若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.
故答案是：a＝b＝0，c≠0；a＝0，b≠0，c≠0；
【分析】（1）类比得出R类整式和QR类整式的定义即可；
（2）、（3）类比方法拆开表示得出答案即可.
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