2023-2024学年初中数学七年级上册 3.2 等式的性质 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·长泰期中）下列等式的变形错误的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、如果，依据等式的性质1，等式的两边都减去1，等式仍然成立，所以，说法正确，不符合题意；
B、如果，依据等式的性质2，等式的两边都乘以2，等式仍然成立，所以，说法正确，不符合题意；
C、如果，依据等式的性质2，等式的两边都乘以，等式仍然成立，所以，说法正确，不符合题意；
D、如果，，依据等式的性质2，等式的两边都除以，得，说法错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质“①等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；
②等式两边同时乘或除以同一个数(除数不能为0)，等式仍然成立.”并结合各选项可判断求解.
2．（2023七下·泉港期中）解一元一次方程去分母后，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：解一元一次方程-3＝2x-1，
去分母得：.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质在方程两边同时乘以2可得.
3．（2023七上·海曙期末）根据等式的性质，下列变形不成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、若，则，正确，故此选项不符合题意；
B、若，则，正确，故此选项不符合题意；
C、若，则，正确，故此选项不符合题意；
D、若，则，原变形错误，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去相等的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.
4．（2021七上·滨海期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A．如果，那么，选项符合题意；
B．如果，那么，选项不符合题意；
C．如果，那么，选项不符合题意；
D．如果，那么，选项不符合题意；
故答案为： A．
【分析】根据等式的性质逐项判断即可。
5．（2023七下·泉港期末）对等式进行变形，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：等式两边同时乘以6，可得3x=2y.
故答案为：B.
【分析】根据等式的性质：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立进行解答.
6．（新人教版数学七年级上册第三章一元一次方程3.1.2 等式的性质 课时练习）若 ，则在① ；② ；③ ；④ 中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】由 ，两边同时-3，可得 ，故①正确；
由 ，两边同时× ，可得 ，故②错误；
由 ，两边同时×（- ），可得 ，故③正确；
由 ，两边同时×3得3a=3b，两边同时-1得 ，故④正确；
所以①③④正确，选C.
【分析】根据等式的性质判断即可.
7．（2021七上·孝南期末）下列说法中错误的是（ ）
A．若a=b，则-a+1=-b+1 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】A.等式两边都乘以-1再加1，结果不变，故A正确.
B.等式两边都乘以c，结果不变，故B正确.
C.当c=0时，无论a和b的值是什么，ac=bc必成立，所以a不一定等于b，故C错误.
D.等式两边都乘以c，结果不变，故D正确.
故答案为：C.
【分析】利用等式的性质1,2，可对A作出判断；利用等式的性质2，可对B，C，D作出判断.
8．（2023·宝山模拟）已知线段a、b，如果，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】∵，
∴设a=2k，b=3k，
∴，
故答案为： C.
【分析】根据，设a=2k，b=3k，再逐项判断即可。
二、填空题
9．（2023七下·丰满期末）已知方程x+2y=10，用含y的代数式表示x，则x= .
【答案】10-2y
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵方程x+2y=10，
∴x=10-2y，
故答案为：10-2y.
【分析】根据等式的性质求解即可。
10．（2023七下·长泰期中）已知方程，则 .（用含有x的代数式表示）
【答案】2-x
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：，
移项，得：，
故答案为：2-x.
【分析】由题意移项即可求解.
11．（2023七下·如东月考）已知非负实数、、满足条件：，，设的最大值为，最小值为，则等于 ．
【答案】-2
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵3a+2b+c=4①，2a+b+3c=5②，
∴②×2-①得a=6-5c，
①×2-②×3得b=7c-7.
∵a、b、c为非负实数，
∴6-5c≥0，7c-7≥0，
∴1≤c≤，
∴S=5a+4b+7c=5(6-5c)+4(7c-7)+7c=10c+2，
∴12≤10c+2≤14，
∴m=14，n=12，
∴n-m=12-14=-2.
故答案为：-2.
【分析】利用第二个等式的2倍减去第一个等式可得a=6-5c，利用第一个等式的2倍减去第二个等式的3倍可得b=7c-7，结合a、b、c为非负实数可求出c的范围，然后根据S=5a+4b+7c可得S=10c+2，结合c的范围可得S的范围，据此可得m、n的值，然后根据有理数的减法法则进行计算.
12．（2023七下·如东月考）若，，则 ．
【答案】6
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴()+()=4()=12，
∴=3，
∴=6.
故答案为：6.
【分析】将已知等式相加并化简可得的值，据此求解.
13．（2023七下·阳江期末）把方程7x－4y＝8变形为用含y的式子表示x的形式： ．
【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：.
【分析】利用等式的基本性质对等式进行变形.
三、解答题
14．（2018-2019学年数学浙教版七年级上册5.2 等式的基本性质 同步练习）阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么？
2（x-1）-1=3（x-1）-1．
两边同时加上1，得2（x-1）=3（x-1），第一步
两边同时除以（x-1），得2=3．第二步．
【答案】解：解题过程第二步出错，理由为：方程两边不能除以x-1，x-1可能为0
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】根据等式的基本性质可得，等式两边同时乘以或除以一个不为0的数，值不变可知解题过程第二步出错，因为当x-1为0时不符合等式的性质。
15．（2018-2019学年数学人教版七年级上册期中复习试卷）已知 m﹣1= n，试用等式的性质比较m与n的大小．
【答案】解：已知等式去分母得：3m﹣4=3n，
整理得：3（m﹣n）=4，
∴m﹣n＞0，
则m＞n
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】根据等式的性质等式两边都加或减同一个数，其等式不变；等式两边都乘以或除以一个不为0的数，其等式不变.
四、综合题
16．（2023七上·嘉兴期末）小周学习《5.2等式的基本性质》后，对等式5m-2= 3m-2进行变形，得出“5=3”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体过程如图所示：
（1）哪一步等式变形产生错误？
（2）请你分析产生错误的原因．
【答案】（1）解：第②步变形产生了错误；
（2）解：①m可能为0，
②两边同时除以不为0的数，违背了等式的性质，所以出错了.
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】（1）根据等式的性质观察发现出错在第②步；
（2）小周同学的解题过程中，第一步的依据是等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式依然成立，第二步依据是等式的两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个不为0的数或整式，等式依然成立，但在使用性质的时候，忽略了条件（除数不能为0）从而导致了出错 .
17．（初中数学浙教版七下精彩练习5.4分式的加减（2））已知 .
（1）判断 时等式是否成立.请说明理由；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
【答案】（1）解：将 代入 ，
左边 右边，故 不成立.
（2）解：∵ ，
∴原式
（3）解：∵
∴
∴
【知识点】代数式求值；等式的基本性质
【解析】【分析】(1)将a=0代入左式计算求值，再和右式值比较，即可判断；
(2)由已知得 ，然后把原式变形，再整体代值计算，即可求出结果；
(3)由(1)得a≠0，然后两边同除以a，再移项，把常数移到右式，即可求出结果.
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一、选择题
1．（2023七下·长泰期中）下列等式的变形错误的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
2．（2023七下·泉港期中）解一元一次方程去分母后，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七上·海曙期末）根据等式的性质，下列变形不成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2021七上·滨海期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
5．（2023七下·泉港期末）对等式进行变形，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（新人教版数学七年级上册第三章一元一次方程3.1.2 等式的性质 课时练习）若 ，则在① ；② ；③ ；④ 中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021七上·孝南期末）下列说法中错误的是（ ）
A．若a=b，则-a+1=-b+1 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
8．（2023·宝山模拟）已知线段a、b，如果，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023七下·丰满期末）已知方程x+2y=10，用含y的代数式表示x，则x= .
10．（2023七下·长泰期中）已知方程，则 .（用含有x的代数式表示）
11．（2023七下·如东月考）已知非负实数、、满足条件：，，设的最大值为，最小值为，则等于 ．
12．（2023七下·如东月考）若，，则 ．
13．（2023七下·阳江期末）把方程7x－4y＝8变形为用含y的式子表示x的形式： ．
三、解答题
14．（2018-2019学年数学浙教版七年级上册5.2 等式的基本性质 同步练习）阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么？
2（x-1）-1=3（x-1）-1．
两边同时加上1，得2（x-1）=3（x-1），第一步
两边同时除以（x-1），得2=3．第二步．
15．（2018-2019学年数学人教版七年级上册期中复习试卷）已知 m﹣1= n，试用等式的性质比较m与n的大小．
四、综合题
16．（2023七上·嘉兴期末）小周学习《5.2等式的基本性质》后，对等式5m-2= 3m-2进行变形，得出“5=3”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体过程如图所示：
（1）哪一步等式变形产生错误？
（2）请你分析产生错误的原因．
17．（初中数学浙教版七下精彩练习5.4分式的加减（2））已知 .
（1）判断 时等式是否成立.请说明理由；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、如果，依据等式的性质1，等式的两边都减去1，等式仍然成立，所以，说法正确，不符合题意；
B、如果，依据等式的性质2，等式的两边都乘以2，等式仍然成立，所以，说法正确，不符合题意；
C、如果，依据等式的性质2，等式的两边都乘以，等式仍然成立，所以，说法正确，不符合题意；
D、如果，，依据等式的性质2，等式的两边都除以，得，说法错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质“①等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；
②等式两边同时乘或除以同一个数(除数不能为0)，等式仍然成立.”并结合各选项可判断求解.
2．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：解一元一次方程-3＝2x-1，
去分母得：.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质在方程两边同时乘以2可得.
3．【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、若，则，正确，故此选项不符合题意；
B、若，则，正确，故此选项不符合题意；
C、若，则，正确，故此选项不符合题意；
D、若，则，原变形错误，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去相等的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等；
等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等.
4．【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A．如果，那么，选项符合题意；
B．如果，那么，选项不符合题意；
C．如果，那么，选项不符合题意；
D．如果，那么，选项不符合题意；
故答案为： A．
【分析】根据等式的性质逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：等式两边同时乘以6，可得3x=2y.
故答案为：B.
【分析】根据等式的性质：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立进行解答.
6．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】由 ，两边同时-3，可得 ，故①正确；
由 ，两边同时× ，可得 ，故②错误；
由 ，两边同时×（- ），可得 ，故③正确；
由 ，两边同时×3得3a=3b，两边同时-1得 ，故④正确；
所以①③④正确，选C.
【分析】根据等式的性质判断即可.
7．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】A.等式两边都乘以-1再加1，结果不变，故A正确.
B.等式两边都乘以c，结果不变，故B正确.
C.当c=0时，无论a和b的值是什么，ac=bc必成立，所以a不一定等于b，故C错误.
D.等式两边都乘以c，结果不变，故D正确.
故答案为：C.
【分析】利用等式的性质1,2，可对A作出判断；利用等式的性质2，可对B，C，D作出判断.
8．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】∵，
∴设a=2k，b=3k，
∴，
故答案为： C.
【分析】根据，设a=2k，b=3k，再逐项判断即可。
9．【答案】10-2y
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵方程x+2y=10，
∴x=10-2y，
故答案为：10-2y.
【分析】根据等式的性质求解即可。
10．【答案】2-x
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：，
移项，得：，
故答案为：2-x.
【分析】由题意移项即可求解.
11．【答案】-2
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵3a+2b+c=4①，2a+b+3c=5②，
∴②×2-①得a=6-5c，
①×2-②×3得b=7c-7.
∵a、b、c为非负实数，
∴6-5c≥0，7c-7≥0，
∴1≤c≤，
∴S=5a+4b+7c=5(6-5c)+4(7c-7)+7c=10c+2，
∴12≤10c+2≤14，
∴m=14，n=12，
∴n-m=12-14=-2.
故答案为：-2.
【分析】利用第二个等式的2倍减去第一个等式可得a=6-5c，利用第一个等式的2倍减去第二个等式的3倍可得b=7c-7，结合a、b、c为非负实数可求出c的范围，然后根据S=5a+4b+7c可得S=10c+2，结合c的范围可得S的范围，据此可得m、n的值，然后根据有理数的减法法则进行计算.
12．【答案】6
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴()+()=4()=12，
∴=3，
∴=6.
故答案为：6.
【分析】将已知等式相加并化简可得的值，据此求解.
13．【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：.
【分析】利用等式的基本性质对等式进行变形.
14．【答案】解：解题过程第二步出错，理由为：方程两边不能除以x-1，x-1可能为0
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】根据等式的基本性质可得，等式两边同时乘以或除以一个不为0的数，值不变可知解题过程第二步出错，因为当x-1为0时不符合等式的性质。
15．【答案】解：已知等式去分母得：3m﹣4=3n，
整理得：3（m﹣n）=4，
∴m﹣n＞0，
则m＞n
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】根据等式的性质等式两边都加或减同一个数，其等式不变；等式两边都乘以或除以一个不为0的数，其等式不变.
16．【答案】（1）解：第②步变形产生了错误；
（2）解：①m可能为0，
②两边同时除以不为0的数，违背了等式的性质，所以出错了.
【知识点】等式的基本性质
【解析】【分析】（1）根据等式的性质观察发现出错在第②步；
（2）小周同学的解题过程中，第一步的依据是等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式依然成立，第二步依据是等式的两边同时乘以或除以（除数不为0）同一个不为0的数或整式，等式依然成立，但在使用性质的时候，忽略了条件（除数不能为0）从而导致了出错 .
17．【答案】（1）解：将 代入 ，
左边 右边，故 不成立.
（2）解：∵ ，
∴原式
（3）解：∵
∴
∴
【知识点】代数式求值；等式的基本性质
【解析】【分析】(1)将a=0代入左式计算求值，再和右式值比较，即可判断；
(2)由已知得 ，然后把原式变形，再整体代值计算，即可求出结果；
(3)由(1)得a≠0，然后两边同除以a，再移项，把常数移到右式，即可求出结果.
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