2023-2024学年初中数学七年级上册 3.2 等式的性质 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·防城期末）已知二元一次方程，用含的式子表示，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·泉港期中）如图，天秤中的物体a、b、c使天秤处于平衡状态，则物体a与物体c的重量关系是（ ）
A．2a=3c B．4a=9c C．a=2c D．a=c
3．（2023·包河模拟）已知实数a，b满足：，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．为定值
C． D．
4．（2022七上·河北期末）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022七上·新昌月考）下列等式变形：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么；（4）如果，那么，其中正确的有（ ）
A．（1）（4） B．（1）（2）（4）
C．（1）（3） D．（2）（4）
6．下列等式一定成立的是（ ）
A．x2+3=0 B．x+2=x+3 C．x+2=2+x D．=-2
7．（2020七上·无为期末）宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）．第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放10克砝码，右盘放一块饼干和一颗糖果，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再度平衡（ ）
A．在糖果的称盘上加2克砝码 B．在饼干的称盘上加2克砝码
C．在糖果的称盘上加5克砝码 D．在饼干的称盘上加5克砝
8．下列判断错误的是（ ）
A．若a=b，则ac-3=bc-3 B．若a=b，则
C．若x=2，则x2=2x D．若ax=bx，则a=b
二、填空题
9．（2022九上·余杭月考）若2x＝3y，则的值是 .
10．（2022九上·镇海区期中）若2a＝3b，且ab≠0，则 .
11．（2021七上·临海期末）对于有理数，，，若，则称是关于的“相关数”，例如，，则3是2关于2的“相关数”．若是关于1的“相关数”，是关于2的“相关数”，…，是关于4的“相关数”．则 ．（用含的式子表示）
12．（2021七下·高平期末）已知，则的值为 ．
三、解答题
13．（新人教版数学七年级上册第三章一元一次方程3.1.2 等式的性质 课时练习）下列方程的解法对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？
由3x+2=7x+5，3x+7x=2+5，10x=7，x=0.7．
14．（1）小兵今年13岁，约翰的年龄的3倍比小兵的年龄的2倍多10岁，求约翰的年龄．
（2）若干年前，创维牌25英寸彩电的价格为3000元，现在只卖1600元，求降低了百分之几？
四、综合题
15．（2019七上·顺义期中）阅读下面一段文字：问题： 能化为分数形式吗？
探求：步骤①设 ，步骤② ，
步骤③ ，则 ，
步骤④ ，解得 .
根据你对这段文字的理解，回答下列问题：
（1）步骤①到步骤②的依据是 ；
（2）仿照上述探求过程，请你尝试把 化为分数形式；
步骤①设 ，步骤② ，
步骤③ ，
步骤④ ，解得 ；
（3）请你将 化为分数形式，并说明理由。
16．（2021七上·于都期末）观察下列两个等式： ， 给出定义如下：我们称使等式 成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为 ，如：数对 ， ，都是“同心有理数对”．
（1）数对 ， 是“同心有理数对”的是 ；
（2）若 是“同心有理数对”，求a的值；
（3）若 是“同心有理数对”，则 “同心有理数对”（填“是”或“不是”）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：A.
【分析】利用等式基本性质1进行变形即可.
2．【答案】B
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知2a=3b，2b=3c，根据等式的性质可将b分别用含a、c的代数式表示出来，然后结合各选项可判断求解.
3．【答案】D
【知识点】代数式求值；等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
即：，故A符合题意；
，
即：，故B符合题意；
则，
∴，，
∴，，即：，故C符合题意；
∵，
∴，
当时，，
当时，，即：，则或，故D不符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据 ， ，对每个选项一一判断即可。
4．【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A. 等式两边同时除以3，得，不符合题意；
B. 等式两边同时加上1，得，不符合题意；
C. ，不一定成立，故该选项符合题意；
D.等式两边同时减去5，得，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此将各选项变形，再判断即可.
5．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；等式的性质
【解析】【解答】解：（1）当时，x和y的值可以不相等，故（1）错误；
（2），即，等号两边平方，即得出，故（2）正确；
（3）当a，b互为相反数时满足，但不满足，故（3）错误；
（4），等号两边同时除以28，即得出，故（4）正确；
综上可知正确的有（2）（4），故D正确.
故答案为：D.
【分析】等式的基本性质：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，据此判断（1）（4）；根据a+b=0可得a=-b，两边同时平方可判断（2）；根据|a|=|b|可得a=±b，据此判断（3）.
6．【答案】C
【知识点】等式的性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】A．x2+3=0，根据等式的性质1，两边同时-3得x2=-3，因为x2≥0，故A不成立； B．x+2=x+3，根据等式的性质1，两边同时-x得2=3，故B不成立； C．x+2=2+x，根据等式的性质1，两边同时-x得2=2，故C成立； D．≥0，故D错误； 故选C.
【分析】根据等式的性质和≥0，x2≥0判断即可.
7．【答案】A
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】①2饼干=3糖果，1饼干=糖果，②1饼干+1糖果=10砝码，把1饼干=糖果代入，得糖果+1糖果=10砝码，1糖果=4砝码，1饼干=糖果=×4=6砝码，6砝码=4砝码+2砝码，∴1饼干=1糖果+2砝码，故选：A
【分析】根据第一个等式，可得1饼干与糖果的关系，根据第二个等式，可得1糖果的质量，1饼干的质量，再根据等式的性质，可得答案．
8．【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】A．若a=b，根据等式的性质，两边同时乘以c,再同时-3即可解得ac-3=bc-3，正确.
B．因为c2+1＞0，若a=b，根据等式的性质，两边同时除以c2+1,得，正确.
C．若x=2，根据等式的性质，两边同时乘以x,得x2=2x，正确.
D．若ax=bx，若x=0，则不可得出a=b，故错误. 故选D.
【分析】利用等式的性质即可解答，特别注意：等式的性质2中两边同时除以的数必须不能等于0.
9．【答案】
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：∵2x＝3y，
∴ ＝ .
故答案为：.
【分析】给2x=3y的两边同时除以3x即可.
10．【答案】
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：∵2a=3b，且ab≠0，
∴，
故答案为：.
【分析】给2a=3b两边同时除以2b即可.
11．【答案】9-3|x-1|
【知识点】等式的性质；绝对值的非负性；定义新运算
【解析】【解答】解：依题意有：|x1-1|+|x-1|＝1，①
|x2-2|+|x1-2|＝1，②
|x3-3|+|x2-3|＝1，③
|x4-4|+|x3-4|＝1，④
由①可知0≤x，x1≤2，若否，则①不成立，
由②可知1≤x1，x2≤3，若否，则②不成立，
同理可知2≤x2，x3≤4，3≤x3，x4≤5，
∴x1-1+|x-1|＝1，⑤
x2-2+2-x1＝1，⑥
x3-3+3-x2＝1，⑦
3×⑤+2×⑥+⑦，得x1+x2+x3-3+3|x-1|＝6，
∴x1+x2+x3＝9-3|x-1|．
故答案为：9-3|x-1|.
【分析】依题意有：|x1-1|+|x-1|＝x1-1+|x-1|=1，|x2-2|+|x1-2|=x2-2+2-x1＝1，|x3-3|+|x2-3|＝x3-3+3-x2=1，联立可得x1+x2+x3-3+3|x-1|＝6，化简即可.
12．【答案】2021
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴．
故填2021．
【分析】注意移项必须要改变符号，分别把字母和数字移项就可求出代数式的值。
13．【答案】不对，第二步计算错误，由3x+2=7x+5，3x-7x=5-2，-4x=3，x=-.
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】由3x+2=7x+5
根据等式的性质1，两边同时加上（-7x-2）得：
3x+2-7x-2=7x+5-7x-2
3x-7x=5-2
-4x=3
根据等式的性质2，两边同时除以-4得：
x=.
【分析】根据等式的性质两边同时加上-7x-2，整理后在两边同时除以-4即可解得到正确答案.
14．【答案】（1）设约翰的年龄是x岁，得3x=13×2+10（2）设降低了x，得：3000×（1-x）=1600
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】（1）设约翰的年龄是x岁.
根据题意列方程：3x=13×2+10
（2）设降低的百分数为x.
根据题意列方程:3000×（1-x）=1600
【分析】解决本题主要是找准题干中的等量关系，两题的等量关系分别是：小兵年龄×2+10=约翰的年龄×3；原价×（1-降低率）=现价.
15．【答案】（1）等式的基本性质2
（2）；100x＝37＋x；x＝ ；
（3）设 ，10x＝8＋x，
， ，
10x＝8＋x，
解得： ．
设 ，
，
，
即 ．
【知识点】等式的性质；定义新运算
【解析】【解答】（1）步骤①到步骤②的依据是等式的基本性质2．
故答案为：等式的基本性质2；（2）把 化为分数形式：
步骤①设 ，步骤② ，
步骤③ ，则 ；
步骤④100x＝37＋x，解得x＝ ．
【分析】（1）利用等式的基本性质得出答案；（2）仿照材料中的探求过程，即可得出答案；（3）利用已知设 ，进而得出10x＝8＋x，求出x＝ ．再设 ，则 ＝3＋ ＝ ，求出m＝ ．
16．【答案】（1）
（2）解：∵ 是“同心有理数对”，
∴ ，
∴ ．
（3）是
【知识点】等式的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
， ，
∴数对 ，、不是“同心有理数对”；
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是“同心有理数”，
∴数对 ， 是“同心有理数对”的是 ；
（3）是．
理由：∵ 是“同心有理数对”，
∴ ，
∴ ，
∴ 是“同心有理数对”．
【分析】（1）根据“同心有理数对”的定义进行判断即可；
（2）根据“同心有理数对”的定义，可得 ，求出a值即可；
（3）根据 是“同心有理数对”，可得，即得，据此即可得出结论.
1 / 12023-2024学年初中数学七年级上册 3.2 等式的性质 同步分层训练培优卷(湘教版)
一、选择题
1．（2023七下·防城期末）已知二元一次方程，用含的式子表示，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：A.
【分析】利用等式基本性质1进行变形即可.
2．（2023七下·泉港期中）如图，天秤中的物体a、b、c使天秤处于平衡状态，则物体a与物体c的重量关系是（ ）
A．2a=3c B．4a=9c C．a=2c D．a=c
【答案】B
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知2a=3b，2b=3c，根据等式的性质可将b分别用含a、c的代数式表示出来，然后结合各选项可判断求解.
3．（2023·包河模拟）已知实数a，b满足：，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．为定值
C． D．
【答案】D
【知识点】代数式求值；等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
即：，故A符合题意；
，
即：，故B符合题意；
则，
∴，，
∴，，即：，故C符合题意；
∵，
∴，
当时，，
当时，，即：，则或，故D不符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据 ， ，对每个选项一一判断即可。
4．（2022七上·河北期末）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A. 等式两边同时除以3，得，不符合题意；
B. 等式两边同时加上1，得，不符合题意；
C. ，不一定成立，故该选项符合题意；
D.等式两边同时减去5，得，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式仍成立；等式性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍成立；据此将各选项变形，再判断即可.
5．（2022七上·新昌月考）下列等式变形：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么；（4）如果，那么，其中正确的有（ ）
A．（1）（4） B．（1）（2）（4）
C．（1）（3） D．（2）（4）
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；等式的性质
【解析】【解答】解：（1）当时，x和y的值可以不相等，故（1）错误；
（2），即，等号两边平方，即得出，故（2）正确；
（3）当a，b互为相反数时满足，但不满足，故（3）错误；
（4），等号两边同时除以28，即得出，故（4）正确；
综上可知正确的有（2）（4），故D正确.
故答案为：D.
【分析】等式的基本性质：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，据此判断（1）（4）；根据a+b=0可得a=-b，两边同时平方可判断（2）；根据|a|=|b|可得a=±b，据此判断（3）.
6．下列等式一定成立的是（ ）
A．x2+3=0 B．x+2=x+3 C．x+2=2+x D．=-2
【答案】C
【知识点】等式的性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】A．x2+3=0，根据等式的性质1，两边同时-3得x2=-3，因为x2≥0，故A不成立； B．x+2=x+3，根据等式的性质1，两边同时-x得2=3，故B不成立； C．x+2=2+x，根据等式的性质1，两边同时-x得2=2，故C成立； D．≥0，故D错误； 故选C.
【分析】根据等式的性质和≥0，x2≥0判断即可.
7．（2020七上·无为期末）宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）．第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放10克砝码，右盘放一块饼干和一颗糖果，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再度平衡（ ）
A．在糖果的称盘上加2克砝码 B．在饼干的称盘上加2克砝码
C．在糖果的称盘上加5克砝码 D．在饼干的称盘上加5克砝
【答案】A
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】①2饼干=3糖果，1饼干=糖果，②1饼干+1糖果=10砝码，把1饼干=糖果代入，得糖果+1糖果=10砝码，1糖果=4砝码，1饼干=糖果=×4=6砝码，6砝码=4砝码+2砝码，∴1饼干=1糖果+2砝码，故选：A
【分析】根据第一个等式，可得1饼干与糖果的关系，根据第二个等式，可得1糖果的质量，1饼干的质量，再根据等式的性质，可得答案．
8．下列判断错误的是（ ）
A．若a=b，则ac-3=bc-3 B．若a=b，则
C．若x=2，则x2=2x D．若ax=bx，则a=b
【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】A．若a=b，根据等式的性质，两边同时乘以c,再同时-3即可解得ac-3=bc-3，正确.
B．因为c2+1＞0，若a=b，根据等式的性质，两边同时除以c2+1,得，正确.
C．若x=2，根据等式的性质，两边同时乘以x,得x2=2x，正确.
D．若ax=bx，若x=0，则不可得出a=b，故错误. 故选D.
【分析】利用等式的性质即可解答，特别注意：等式的性质2中两边同时除以的数必须不能等于0.
二、填空题
9．（2022九上·余杭月考）若2x＝3y，则的值是 .
【答案】
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：∵2x＝3y，
∴ ＝ .
故答案为：.
【分析】给2x=3y的两边同时除以3x即可.
10．（2022九上·镇海区期中）若2a＝3b，且ab≠0，则 .
【答案】
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：∵2a=3b，且ab≠0，
∴，
故答案为：.
【分析】给2a=3b两边同时除以2b即可.
11．（2021七上·临海期末）对于有理数，，，若，则称是关于的“相关数”，例如，，则3是2关于2的“相关数”．若是关于1的“相关数”，是关于2的“相关数”，…，是关于4的“相关数”．则 ．（用含的式子表示）
【答案】9-3|x-1|
【知识点】等式的性质；绝对值的非负性；定义新运算
【解析】【解答】解：依题意有：|x1-1|+|x-1|＝1，①
|x2-2|+|x1-2|＝1，②
|x3-3|+|x2-3|＝1，③
|x4-4|+|x3-4|＝1，④
由①可知0≤x，x1≤2，若否，则①不成立，
由②可知1≤x1，x2≤3，若否，则②不成立，
同理可知2≤x2，x3≤4，3≤x3，x4≤5，
∴x1-1+|x-1|＝1，⑤
x2-2+2-x1＝1，⑥
x3-3+3-x2＝1，⑦
3×⑤+2×⑥+⑦，得x1+x2+x3-3+3|x-1|＝6，
∴x1+x2+x3＝9-3|x-1|．
故答案为：9-3|x-1|.
【分析】依题意有：|x1-1|+|x-1|＝x1-1+|x-1|=1，|x2-2|+|x1-2|=x2-2+2-x1＝1，|x3-3|+|x2-3|＝x3-3+3-x2=1，联立可得x1+x2+x3-3+3|x-1|＝6，化简即可.
12．（2021七下·高平期末）已知，则的值为 ．
【答案】2021
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴．
故填2021．
【分析】注意移项必须要改变符号，分别把字母和数字移项就可求出代数式的值。
三、解答题
13．（新人教版数学七年级上册第三章一元一次方程3.1.2 等式的性质 课时练习）下列方程的解法对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？
由3x+2=7x+5，3x+7x=2+5，10x=7，x=0.7．
【答案】不对，第二步计算错误，由3x+2=7x+5，3x-7x=5-2，-4x=3，x=-.
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】由3x+2=7x+5
根据等式的性质1，两边同时加上（-7x-2）得：
3x+2-7x-2=7x+5-7x-2
3x-7x=5-2
-4x=3
根据等式的性质2，两边同时除以-4得：
x=.
【分析】根据等式的性质两边同时加上-7x-2，整理后在两边同时除以-4即可解得到正确答案.
14．（1）小兵今年13岁，约翰的年龄的3倍比小兵的年龄的2倍多10岁，求约翰的年龄．
（2）若干年前，创维牌25英寸彩电的价格为3000元，现在只卖1600元，求降低了百分之几？
【答案】（1）设约翰的年龄是x岁，得3x=13×2+10（2）设降低了x，得：3000×（1-x）=1600
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】（1）设约翰的年龄是x岁.
根据题意列方程：3x=13×2+10
（2）设降低的百分数为x.
根据题意列方程:3000×（1-x）=1600
【分析】解决本题主要是找准题干中的等量关系，两题的等量关系分别是：小兵年龄×2+10=约翰的年龄×3；原价×（1-降低率）=现价.
四、综合题
15．（2019七上·顺义期中）阅读下面一段文字：问题： 能化为分数形式吗？
探求：步骤①设 ，步骤② ，
步骤③ ，则 ，
步骤④ ，解得 .
根据你对这段文字的理解，回答下列问题：
（1）步骤①到步骤②的依据是 ；
（2）仿照上述探求过程，请你尝试把 化为分数形式；
步骤①设 ，步骤② ，
步骤③ ，
步骤④ ，解得 ；
（3）请你将 化为分数形式，并说明理由。
【答案】（1）等式的基本性质2
（2）；100x＝37＋x；x＝ ；
（3）设 ，10x＝8＋x，
， ，
10x＝8＋x，
解得： ．
设 ，
，
，
即 ．
【知识点】等式的性质；定义新运算
【解析】【解答】（1）步骤①到步骤②的依据是等式的基本性质2．
故答案为：等式的基本性质2；（2）把 化为分数形式：
步骤①设 ，步骤② ，
步骤③ ，则 ；
步骤④100x＝37＋x，解得x＝ ．
【分析】（1）利用等式的基本性质得出答案；（2）仿照材料中的探求过程，即可得出答案；（3）利用已知设 ，进而得出10x＝8＋x，求出x＝ ．再设 ，则 ＝3＋ ＝ ，求出m＝ ．
16．（2021七上·于都期末）观察下列两个等式： ， 给出定义如下：我们称使等式 成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为 ，如：数对 ， ，都是“同心有理数对”．
（1）数对 ， 是“同心有理数对”的是 ；
（2）若 是“同心有理数对”，求a的值；
（3）若 是“同心有理数对”，则 “同心有理数对”（填“是”或“不是”）．
【答案】（1）
（2）解：∵ 是“同心有理数对”，
∴ ，
∴ ．
（3）是
【知识点】等式的性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
， ，
∴数对 ，、不是“同心有理数对”；
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是“同心有理数”，
∴数对 ， 是“同心有理数对”的是 ；
（3）是．
理由：∵ 是“同心有理数对”，
∴ ，
∴ ，
∴ 是“同心有理数对”．
【分析】（1）根据“同心有理数对”的定义进行判断即可；
（2）根据“同心有理数对”的定义，可得 ，求出a值即可；
（3）根据 是“同心有理数对”，可得，即得，据此即可得出结论.
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