2023-2024学年初中数学七年级上册 3.3 一元一次方程的解法 同步分层训练基础卷(湘教版)
一、选择题
1．（2021七上·乐平期末）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021七上·惠州期末）下列解方程的步骤中正确的是（ ）
A．由x-5=7，可得x-7=5
B．由8-2（3x+1）=x，可得8-6x-2=x
C．由，可得
D．由，可得
3．（2021七上·西岗期末）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022七上·泾阳期末）下列方程的解为-2的相反数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021七上·海曙期末）下列变形正确的是（ ）
A． 变形得
B． 变形得
C． 变形得
D． 变形得
6．（2021七上·南宁期末）若关于 x 的一元一次方程ax + 2x = 6 的解是正整数，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）
A．0 B．4 C．12 D．20
7．（2021七上·来宾期末）若关于x的一元一次方程 的解为 ，则称该方程为“奇异方程”.例如： 的解为 ，则该方程 是“奇异方程”.已知关于x的一元一次方程 是奇异方程，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021七上·郑州期末）如图所示是一个3行3列矩阵，其中 表示第三行第二列的数字，即 ，若 ，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．1或2
二、填空题
9．（2022七上·信阳月考）已知是关于x的一元一次方程， 则m= .
10．（2021七上·饶平期末）如果｜x－2｜＝1，那么x＝
11．（2021七上·巴彦期末）若的值与-5的相反数相等，则a= ．
12．（2022七上·霍邱期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则该方程的解为 ．
13．（2022七上·温州期中）若，则“”所表示的数为 .
三、解答题
14．（2022七上·凤阳月考）阅读下面例题的解题方法．
解方程：．
解：根据绝对值的意义，原方程可化为
或．
解方程得，
解方程得，
所以原方程的解是或．
请仿照上面例题的解题方法，解方程：．
15．（2021七上·饶平期末）当x＝﹣3时，整式（2﹣m）x+2m+3的值是﹣8；当x为何值时，这个整式的值是0？
四、综合题
16．（2022七上·济阳期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：
第一列 第二列
第一排 1 2
第二排 4 3
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．
例如，以上分组方式的“M值”为．
（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”：
（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，求a的值．
17．（2022·义乌期中）我们知道，若点A、B在数轴上分别表示数x，y，则A、B两点间距离可表示为．下面给出如下定义：对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如： 则2和3关于1的“相对关系值”为3．
（1） 3和5关于1的“相对关系值”为 ：
（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．
（3）若2和4关于x的“相对关系值”为10，求x的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：
方程两边同除以－2，得：
故答案为：A
【分析】方程两边同除以－2，即可得到答案。
2．【答案】B
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】A、移项得x=7+5，故不符合题意；
B、去括号得得8-6x-2=x，故符合题意；
C、由，可得，故不符合题意；
D、由，可得，故不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用解方程的计算方法和步骤逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：当，方程左边=，方程右边=-2，左边≠右边，故解为的不是选项A；
当，方程左边=，，方程右边=，左边=右边，故解为是选项B；
当，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，故解为的不是选项C；
当，方程左边=，方程右边=-2，左边≠右边，故解为的不是选项D；
故答案为：B．
【分析】利用方程的解法求出各选项的答案，再求解即可。
4．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；解一元一次方程
【解析】【解答】解：-2的相反数的是2，
A、 ，解得：x=0 2，该选项不符合题意；
B、 ，解得：x=2，该选项符合题意；
C、 ，解得：x=-2 2，该选项不符合题意；
D、 ，解得：x=- 2，该选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相反数的概念可得-2的相反数为2，然后计算出各个选项中方程的解，据此判断.
5．【答案】D
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：A选项， 变形得 ，A选项不正确；
B选项， 变形得 ，B选项不正确；
C选项， 变形得 ，C选项不正确；
D选项， 变形得 ，D选项正确；
故答案为：D.
【分析】A选项，利用移项变号，得出结果；B选项，利用等式性质2，两边同除以系数3，得出结果；C选项，利用分配律，得出结果；D选项，利用等式性质2，两边同乘以6，等出结果。
6．【答案】B
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：解方程得：
x ，
∵x是正整数，
∴a+2=1、2、3、6，
解得：a=-1，0，1，4.
则符合条件的所有整数a的和是-1+0+1+4=4.
故答案为：B.
【分析】求解方程可得x=，根据x为正整数可得a+2=1、2、3、6，求解可得a的值，进而可得符合条件的所有整数a的和.
7．【答案】A
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是奇异方程，
∴ ，
∴m= .
故答案为：A.
【分析】首先将m作为常数，求出方程4x=m+3的解，然后根据方程为奇异方程可得关于m的方程，求解即可.
8．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得， 表示第三行第一列的数字，即 =5
所以 =5，即 表示第一行第二列或第三列的数字
所以2x-1=2或2x-1=3，解得x= .
故答案为：C.
【分析】由题意可得：a3，1=5，则a1，(2x-1)=5，进而得到2x-1=2或2x-1=3，求解即可.
9．【答案】-3
【知识点】一元一次方程的定义；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：是关于x的一元一次方程，
故答案为：-3.
【分析】利用一元一次方程定义中，x的最高次数是1，系数不等于0，可得到关于m的方程和不等式，然后求出m的值.
10．【答案】1或3
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵｜x－2｜＝1，
∴x－2=±1，
∴x＝1或3，
故答案是：1或3．
【分析】根据绝对值的性质可得x－2=±1，再求出x的值即可。
11．【答案】或-0.5
【知识点】相反数及有理数的相反数；解一元一次方程
【解析】【解答】解：的值与的相反数相等，
，
解得，
故答案为：．
【分析】根据相反数的定义和题意列出方程，再求出a的值即可。
12．【答案】
【知识点】一元一次方程的定义；解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴，
解得，
∴原方程化为，
解得
故答案为：．
【分析】根据一元一次方程的定义可得，再求出k的值，最后再求解一元一次方程即可。
13．【答案】4或2
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴或.
故答案为：4或2.
【分析】根据绝对值的非负性可得，分别求解即可.
14．【答案】解：根据绝对值的意义，原方程可化为
或．
解方程得，
解方程得，
∴原方程的解是或
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【分析】参照题干中的计算方法可得或，再求出x的值即可。
15．【答案】解：根据题意，得
∴
∴
∴
∵
∴．
【知识点】代数式求值；解一元一次方程
【解析】【分析】将x=-3代入（2﹣m）x+2m+3=-8，求出m的值，再根据题意列出方程求解即可。
16．【答案】（1）解：将“1，2，3，4”进行如下分组：
第一列 第二列
第一排 1 3
第二排 4 2
∴以上分组方式的“M值”为：；
（2）解：①当时，
将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：
第一列 第二列
第一排 a 6
第二排 8 7
∵以上分组方式的“M值”为6，
∴．
∴；
②当时，
将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：
第一列 第二列
第一排 6 7
第二排 a 8
∵以上分组方式的“M值”为6，
∴．
∴；
综上，或11．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；解含绝对值符号的一元一次方程；有理数的加减混合运算
【解析】【分析】（1）按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可；
（2）利用分类讨论的方法，分当时和当时两种情况进行求解。
17．【答案】（1）8
（2）解：∵a和2关于1的“相对关系值”为4，
∴，即：，
∴或
（3）解：∵2和4关于x的“相对关系值”为10，
∴，
当时，，解得：；
当时，，解得：，
∴或．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴ 3和5关于1的“相对关系值”为：8，
故答案为：8；
【分析】（1）直接根据“相对关系值”的概念进行解答；
（2）由题意结合“相对关系值” 的概念可得|a-1|+|2-1|=4，求解即可；
（3）同理可得|2-x|+|4-x|=10，然后分x<2、x>4进行求解.
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一、选择题
1．（2021七上·乐平期末）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：
方程两边同除以－2，得：
故答案为：A
【分析】方程两边同除以－2，即可得到答案。
2．（2021七上·惠州期末）下列解方程的步骤中正确的是（ ）
A．由x-5=7，可得x-7=5
B．由8-2（3x+1）=x，可得8-6x-2=x
C．由，可得
D．由，可得
【答案】B
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】A、移项得x=7+5，故不符合题意；
B、去括号得得8-6x-2=x，故符合题意；
C、由，可得，故不符合题意；
D、由，可得，故不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用解方程的计算方法和步骤逐项判断即可。
3．（2021七上·西岗期末）下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：当，方程左边=，方程右边=-2，左边≠右边，故解为的不是选项A；
当，方程左边=，，方程右边=，左边=右边，故解为是选项B；
当，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，故解为的不是选项C；
当，方程左边=，方程右边=-2，左边≠右边，故解为的不是选项D；
故答案为：B．
【分析】利用方程的解法求出各选项的答案，再求解即可。
4．（2022七上·泾阳期末）下列方程的解为-2的相反数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；解一元一次方程
【解析】【解答】解：-2的相反数的是2，
A、 ，解得：x=0 2，该选项不符合题意；
B、 ，解得：x=2，该选项符合题意；
C、 ，解得：x=-2 2，该选项不符合题意；
D、 ，解得：x=- 2，该选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相反数的概念可得-2的相反数为2，然后计算出各个选项中方程的解，据此判断.
5．（2021七上·海曙期末）下列变形正确的是（ ）
A． 变形得
B． 变形得
C． 变形得
D． 变形得
【答案】D
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：A选项， 变形得 ，A选项不正确；
B选项， 变形得 ，B选项不正确；
C选项， 变形得 ，C选项不正确；
D选项， 变形得 ，D选项正确；
故答案为：D.
【分析】A选项，利用移项变号，得出结果；B选项，利用等式性质2，两边同除以系数3，得出结果；C选项，利用分配律，得出结果；D选项，利用等式性质2，两边同乘以6，等出结果。
6．（2021七上·南宁期末）若关于 x 的一元一次方程ax + 2x = 6 的解是正整数，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）
A．0 B．4 C．12 D．20
【答案】B
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：解方程得：
x ，
∵x是正整数，
∴a+2=1、2、3、6，
解得：a=-1，0，1，4.
则符合条件的所有整数a的和是-1+0+1+4=4.
故答案为：B.
【分析】求解方程可得x=，根据x为正整数可得a+2=1、2、3、6，求解可得a的值，进而可得符合条件的所有整数a的和.
7．（2021七上·来宾期末）若关于x的一元一次方程 的解为 ，则称该方程为“奇异方程”.例如： 的解为 ，则该方程 是“奇异方程”.已知关于x的一元一次方程 是奇异方程，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是奇异方程，
∴ ，
∴m= .
故答案为：A.
【分析】首先将m作为常数，求出方程4x=m+3的解，然后根据方程为奇异方程可得关于m的方程，求解即可.
8．（2021七上·郑州期末）如图所示是一个3行3列矩阵，其中 表示第三行第二列的数字，即 ，若 ，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．1或2
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得， 表示第三行第一列的数字，即 =5
所以 =5，即 表示第一行第二列或第三列的数字
所以2x-1=2或2x-1=3，解得x= .
故答案为：C.
【分析】由题意可得：a3，1=5，则a1，(2x-1)=5，进而得到2x-1=2或2x-1=3，求解即可.
二、填空题
9．（2022七上·信阳月考）已知是关于x的一元一次方程， 则m= .
【答案】-3
【知识点】一元一次方程的定义；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：是关于x的一元一次方程，
故答案为：-3.
【分析】利用一元一次方程定义中，x的最高次数是1，系数不等于0，可得到关于m的方程和不等式，然后求出m的值.
10．（2021七上·饶平期末）如果｜x－2｜＝1，那么x＝
【答案】1或3
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵｜x－2｜＝1，
∴x－2=±1，
∴x＝1或3，
故答案是：1或3．
【分析】根据绝对值的性质可得x－2=±1，再求出x的值即可。
11．（2021七上·巴彦期末）若的值与-5的相反数相等，则a= ．
【答案】或-0.5
【知识点】相反数及有理数的相反数；解一元一次方程
【解析】【解答】解：的值与的相反数相等，
，
解得，
故答案为：．
【分析】根据相反数的定义和题意列出方程，再求出a的值即可。
12．（2022七上·霍邱期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则该方程的解为 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的定义；解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴，
解得，
∴原方程化为，
解得
故答案为：．
【分析】根据一元一次方程的定义可得，再求出k的值，最后再求解一元一次方程即可。
13．（2022七上·温州期中）若，则“”所表示的数为 .
【答案】4或2
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴或.
故答案为：4或2.
【分析】根据绝对值的非负性可得，分别求解即可.
三、解答题
14．（2022七上·凤阳月考）阅读下面例题的解题方法．
解方程：．
解：根据绝对值的意义，原方程可化为
或．
解方程得，
解方程得，
所以原方程的解是或．
请仿照上面例题的解题方法，解方程：．
【答案】解：根据绝对值的意义，原方程可化为
或．
解方程得，
解方程得，
∴原方程的解是或
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【分析】参照题干中的计算方法可得或，再求出x的值即可。
15．（2021七上·饶平期末）当x＝﹣3时，整式（2﹣m）x+2m+3的值是﹣8；当x为何值时，这个整式的值是0？
【答案】解：根据题意，得
∴
∴
∴
∵
∴．
【知识点】代数式求值；解一元一次方程
【解析】【分析】将x=-3代入（2﹣m）x+2m+3=-8，求出m的值，再根据题意列出方程求解即可。
四、综合题
16．（2022七上·济阳期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：
第一列 第二列
第一排 1 2
第二排 4 3
然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．
例如，以上分组方式的“M值”为．
（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”：
（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，求a的值．
【答案】（1）解：将“1，2，3，4”进行如下分组：
第一列 第二列
第一排 1 3
第二排 4 2
∴以上分组方式的“M值”为：；
（2）解：①当时，
将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：
第一列 第二列
第一排 a 6
第二排 8 7
∵以上分组方式的“M值”为6，
∴．
∴；
②当时，
将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：
第一列 第二列
第一排 6 7
第二排 a 8
∵以上分组方式的“M值”为6，
∴．
∴；
综上，或11．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；解含绝对值符号的一元一次方程；有理数的加减混合运算
【解析】【分析】（1）按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可；
（2）利用分类讨论的方法，分当时和当时两种情况进行求解。
17．（2022·义乌期中）我们知道，若点A、B在数轴上分别表示数x，y，则A、B两点间距离可表示为．下面给出如下定义：对于实数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如： 则2和3关于1的“相对关系值”为3．
（1） 3和5关于1的“相对关系值”为 ：
（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．
（3）若2和4关于x的“相对关系值”为10，求x的值．
【答案】（1）8
（2）解：∵a和2关于1的“相对关系值”为4，
∴，即：，
∴或
（3）解：∵2和4关于x的“相对关系值”为10，
∴，
当时，，解得：；
当时，，解得：，
∴或．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴ 3和5关于1的“相对关系值”为：8，
故答案为：8；
【分析】（1）直接根据“相对关系值”的概念进行解答；
（2）由题意结合“相对关系值” 的概念可得|a-1|+|2-1|=4，求解即可；
（3）同理可得|2-x|+|4-x|=10，然后分x<2、x>4进行求解.
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